Trêng THPT Huúnh Thóc Kh¸ng GV : Chu Quèc Hïng
Chủ để 1. Chứng minh các đẳng thức Vectơ
VD1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : (bằng nhiều cách khác nhau)
a) 
b) 
c) 
VD2. Cho tam giác ABC với M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng :
a) 
b) 
c) 
VD3. (Hệ thức về trung điểm) Cho hai điểm A, B.
a) Cho M là trung điểm A, B. Chứng minh rằng với điểm I bất kì ta có : 
.
b) Với điểm N sao cho 
. CMR với I bất kì : 
c) Vơi điểm P sao cho 
. CMR với I bất ki : 
.
d) Tổng quát tính chất trên.
VD3. (Hệ thức về trọng tâm) Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác.
a) Chứng minh rằng 
. Với I bất kì ta có : 
.
b) M thuộc đoạn AG và 
. CMR : 
. Với I bki 
.
c) Tổng quát tính chất trên.
d) Cho hai tam giác ABC và DEF có trọng tâm là G và G1. Chứng minh rằng :
+ 
+ Tìm điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm.
VD4. (Hệ thức về hình bình hành) Chohình bình hành ABCD tâm O.
a) CMR : 
, Với I bất kì 
b) M là điểm thoả mãn:
VD5. (Tứ giác bất kì) Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N của AB và CD . CMR :
a) 
b) 
c) Tìm vị trí điểm I sao cho 
d) Với M bất kì, CMR : 
VD6. (Khái niệm trọng tâm của hệ n điểm và tâm tỉ cự của hệ n điểm) Cho n điểm 
.
a) Gọi G là điểm thoả mãn 
. CMR vơi bki M : 
.
b) Gọi I là điểm thoả mãn 
. CMR với M bất kì :
VD7.
a) Cho lục giác đều ABCDEF. CMR hai tam giác ACE và BDF cùng trọng tâm.
b) Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, EF, BC, DE, FA. CMR hai tam giác MNP và QRS cùng trọng tâm.
c) Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ là các điểm thuộc BC, CA, AB sao cho :
và 
. CMR hai tam giác ABC và A’B’C’ cùng trọng tâm.
d) Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N , P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA. CMR hai tam giác ANP và CMQ cùng trọng tâm.
VD8. (Một số đẳng thức về trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp)
Cho tam giác ABC, G, H, O, I là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) Gọi M là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. CMR : 
(M nằm ngoài thì không còn đúng).
VD9. (Nhấn mạnh bài toán và mở rộng ra nhiều trường hợp). Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm MN.
a) CMR : 
. b) D là trung điểm BC. CMR : 
Chủ đề 2. Biểu diễn véc tơ
ĐVĐề : Dẫn dắt từ trung điểm
VD1. Cho tam giác ABC và G là trọng tâm. B1 đối xứng với B qua G. M là trung điểm BC. Hãy biểu diễn các véc tơ 
, 
qua hai véc tơ 
.
VD2. Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J thuộc BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC.
a) Tính 
theo hai véc tơ . Từ đó biểu diễn theo . (Nhấn mạnh cách tìm biểu diễn)
b) Gọi G là trọng tâm tam giác. Tính 
theo .
Chủ đề 3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Phương pháp : A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi 
.
Lưu ý : 
thì
VD1. (Dễ, sử dụng VD1 để dẫn dắt sang các VD phức tạp hơn). Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC.
a) Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng.
b) Gọi E, F thoả mãn : 
, 
. CMR : A, E, F thẳng hàng.
VD2. Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mãn AF = 2FC.
a) Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mãn 4EI = 3FI. CMR : A, M, I thẳng hàng.
b) Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC và J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF. CMR A, J, N thẳng hàng.
c) Lấy điểm K là trung điểm EF. Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng hàng.
VD3. Cho tam giác ABC và M, N, P là các điểm thoả mãn : 
, 
, 
. CMR : M, N, P thẳng hàng. (
).
VD4. Cho tam giác ABC và L, M, N thoả mãn 
, 
. CM : L, M, N thẳng hàng.
VD5. Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. I, J thoả mãn : 
, 
.
a) CMR : M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm AB và BC.
b) CMR J là trung điểm BI.
c) Gọi E là điểm thuộc AB và thoả mãn 
. Xác định k để C, E, J thẳng hàng.
VD6. Cho tam giác ABC. I, J thoả mãn : 
. CMR : Đường thẳng IJ đi qua G.
Chủ đề 4. Xác định vị trí một điểm thoả mãn một đẳng thức Vectơ
Đặt Vấn đề : Cho hai điểm A, B, C cố định.
a) Nếu thì P là trung điểm của AB.
b) Nếu 
thị P là trọng tâm tam giác ABC.
c) Nếu P là một điểm thoã mãn một đẳng thức véc tơ khác thì có xác định được vị trí của P hay không ?
VD1(Cho hai điểm). Xác định vị trí điểm I thoả mãn : 
.
NX : Với hai điểm A, B cho trước luôn xác định được điểm I thoả mãn : 
. Với điểm O bất kì ta có : 
.
VD2 (Bài toán 3 điểm) Cho 3 điểm A, B, C. Tìm vị trí điểm M sao cho :
a) 
(Trung điểm AC) b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
NX : Mở rộng với n điểm bất kì
Chủ đề 5. Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn một đẳng thức véc tơ
Một số quĩ tích cơ bản :
a) 
thì M nẵm trên đường trung trực của AB.
b) 
, với A, B, C cố định thì M nẵm trên đường tròn tâm C bán kính k.AB.
c) 
với A, B, C cho trước.
+ k > 0 thì M nẵm trên nửa đường thẳng qua A và song song với BC và theo hướng 
.
+ k< 0
+ k bất kì
Dạng 1. (Bài toán hai điểm)
VD1. Cho hai điểm A,B cố định. Tìm quĩ tích điểm M sao cho :
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Dạng 2. (Bài toán 3 điểm)
VD2. Cho tam giác ABC. Tìm quĩ tích điểm M sao cho :
a) 
b) 
c) 
d) 
VD3. Tìm quĩ tích điểm M sao cho :
a) 
b) 
c) 
VD4 (Bài toán 4 điểm)
VD5. (Bài toán tổng quát cho n điểm bất kì)
Chủ đề 6. Một số bài toán về khoảng cách
VD1 Cho hai điểm A, B và đường thẳng d. Tìm vị trí điểm M trên d sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ nhất ?
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
VD2. Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm vị trí điểm M trên d sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ nhất
a) 
b) 
c) 
d) 
VD3. Cho tứ giác ABCD và đường thẳng d. Tìm vị trí điểm M trên d sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ nhất
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
VD4. (Mở rộng ra bài toán cho n điểm)
Chủ đề 7. Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định
ĐVĐ : Với I là trung điểm AB thì :
+ 
+ Nếu M, I, N thẳng hàng thì khi đó : 
, hay nói cách khác
Là đường thẳng MN đi qua điểm I cố định.
Từ đó dẫn dắt vào bài toán bằng cách thay điểm I bằng điểm bất kì
VD1. (Bài toán 2 điểm) Cho hai điểm A B cố định. Hai điểm M, N di động. CMR đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định nếu :
a) 
b) 
c) 
d) 
VD2. (Bài toán 3 điểm). Cho tam giác ABC và điểm M trong mặt phẳng. CMR đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định nếu (Xác định vị trí điểm cố định và điểm N trong mỗi trường hợp)
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
VD3.(Tổng quát cho bài toán n điểm)
