CHƯƠNG III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
PHÂN 1 – LÝ THUYẾT
Xét mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên . Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi ( là số tự nhiên cho trước) thì ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Kiểm tra đúng với.
Bước 2: Giả sử đúng khi, (xem đây là giả thiết để chứng minh bước 3).
Bước 3: Ta cần chứng minh đúng khi (bước này quan trọng và khó nhất) .
Bước 4: Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận rằng đúng với mọi .
PHẦN 2 – CÁC DẠNG BÀI TẬP TỰ LUẬN
Dạng 1:Chứng minh đẳng thức.
Phương pháp giải:
Làm theo 4 bước như phần lý thuyết, chú ý ta sẽ sử dụng Bước 2 đề chứng minh Bước 3.
Ví dụ điển hình
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:
Hướng dẫn giải
(1)
Với n = 1: Vế trái của (1) ; Vế phải của (1) . Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1). Vậy (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có:
Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:
Thật vậy (đpcm).
Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:
Hướng dẫn giải
Với n = 1: Vế trái của (1) ; Vế phải của (1) .
Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1). Vậy (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có:
Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:
Thật vậy
(đpcm).
Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta có:
Hướng dẫn giải
(1)
Với n = 2: Vế trái của (1) , vế phải của (1) . Suy ra (1) đúng với n = 2.
Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có:
Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:
Thật vậy ta có:
(đpcm).
Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương .
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta có:
Hướng dẫn giải
Với n = 1: Vế trái của (1) , vế phải của (1) . Suy ra (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có:
Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:
Thật vậy:
(đúng).
Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta có:
Hướng dẫn giải
(1)
Với n = 2: Vế trái của (1) = 4, vế phải của (1) . Suy ra (1) đúng với n = 2.
Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có:
Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:
Thật vậy:
Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương .
Bài tập luyện tập
Câu 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
LỜI GIẢI
a)
Với n = 1: Vế trái của (1) = 1, vế phải của (1) . Vậy (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có:
Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:
Cách 1 : Thật vậy (thế (2) vào).
(đpcm).
Vậy (1) đúng khi
nguon VI OLET
