Văn Vinh-ST

HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN

 

Bài 1.     Cho hình chóp  S.ABCD  có đáy ABCD là hình vuông  cạnh a , SA vuông góc với đáy ,

SA = a.

a)      Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.

b)      CMR  (SAC) (SBD) .

c)      Tính góc giữa SC và mp ( SAB ) .

d)      Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD)

e)      Tính d(A, (SCD)) .

Giải

a)  Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.

      Ta có :

vuông tại A.

      Chứng minh vuông :

Ta có : ( Hai cạnh kề của hình vuông ABCD )

        ( vì )

   , mà

       vuông tại B.

      Chứng minh vuông :

Ta có : ( Hai cạnh kề của hình vuông ABCD )

       (Vì )

 , mà

 vuông tại D.

b)  CMR  (SAC) (SBD)  :

  (Hai đường chéo của hình vuông ABCD )

( Vì )

  , mà .

c)  Tính góc giữa SC và mp ( SAB ) :

Do tại B nên hình chiếu của C lên (SAB) là B.

  Hình chiếu của SC lên (SAB) là SB.

 .

Trong vuông tại A, ta có : .

Trong vuông tại B, ta có : .

Vậy .

d)  Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD) :

Ta có : .

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, .

Theo chứng minh ở câu b) , mà .

Mặc khác, .

Vậy (do là góc nhọn).

.

Trong vuông tại A, ta có : .

.

Nhận xét : Để xác định góc giữa ta có thể làm theo các cách sau :

Cách 1 : Tìm a, b sao cho .

Cách 2 : Nếu thì tìm . Từ O, trong vẽ tại O ;

trong vẽ tại O. Suy ra . (đã trình bày ở câu d) )

Cách 3 : Trong trường hợp tổng quát :

  Tìm ;

  Tìm sao cho ;

  Tìm , ;

 Kết luận :  .

 

Câu d) ta có thể trình bày cách 3 như sau :

  Ta có : ;

   (theo chứng minh câu b) )

  , ;

 Vậy ( Vì là góc nhọn).

e)  Tính d(A, (SCD))  :

Gọi H là hình chiếu của A lên SD.

Ta có :         (1)

  ( Hai cạnh kề của hình vuông ABCD) ;

  (Vì ).

  , mà    (2)

Từ (1), (2) tại H .

Xét vuông tại A có AH là đường cao :

 Ta có : .

Vậy .

Bài 2.     Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C và SB (ABC), biết AC = a, BC = a, SB = 3a.

a)      Chứng minh: AC (SBC)

b)      Gọi BH là đường cao của tam giác SBC. Chứng minh: SA BH.

c)      Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC)

 

Giải

a)  Chứng minh : AC(SBC)

Ta có : (gt) ;

  (Vì ) ;

       .

b)  Chứng minh : SA BH

Để chứng minh SA BH ta chứng minh  .

Ta có : (gt)            (1)

Theo chứng minh trên ,   (2)

Từ (1) và (2) , mà .

c)  Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC)

Do tại B nên hình chiếu của S lên (ABC) là B.

Hình chiếu của SA lên (ABC) là BA.

.

Trong vuông tại C, ta có :

Trong vuông tại B, ta có : .

Vậy .

Bài 3.     Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc = 600

và SA=SB = SD = a.

a)                  Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD)

b)                  Chứng minh tam giác SAC vuông

c)                  Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)

Giải

a)  Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD)

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD.

Ta có : cân tại S có O là trung điểm của BD nên  ;  

 ABCD là hình thoi nên ;   

      , mà .

b)  Chứng minh tam giác SAC vuông

Ta chứng minh SO = AO = OC.

Do cân tại A có đều.

đều cạnh a có AO là đường trung tuyến

.

Xét vuông tại O, ta có : .

, mà SO là đường trung tuyến của vuông tại S.

Chú ý : Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến

vuông tại A.

 

“Trong một tam giác vuông đường trung tuyến ứng với

cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền”

 

 

 

c)  Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)

Xét hình chóp S.ABD :

Ta có : SA = SB = SD = a, AB = BD = DA = a nên S.ABD là hình chóp đều.

Gọi H là trọng tâm của (Theo tính chất của hình chóp đều).

tại H .

Vì H là trọng tâm nên .

Trong vuông tại H, ta có : .

.

Bài 4.     Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều. Gọi E, F là trung điểm của AB và CD.

a) Cho biết tam giác SCD vuông cân tại S. Chứng minh: SE (SCD) và SF (SAB).

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên EF. Chứng minh: SH AC

c) Tính góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SAD)

Giải

a)  Chứng minh SE (SCD) và SF (SAB).

   Chứng minh SE (SCD) :

Do cân tại S có F là trung điểm của CD   

(theo tính chất của hình vuông)    

, mà   (1)

Ta chứng minh vuông tại S bằng cách

sử dụng định lý Pytago như sau :

vuông tại S có SF là đường trung tuyến nên

.

đều cạnh a có SE là trung tuyến nên .

EF = a.

Ta có : .

Vậy vuông tại S    (2)

Từ (1) và (2) .

Chứng minh SF (SAB) :

Theo chứng minh trên,      (3)

, mà AB // CD  (4)

Từ (3) và (4) .

b)  Chứng minh SH AC

Ta có : (theo chứng minh trên), mà .

Hơn nữa, (gt) .

.

c)  Tính góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SAD) (câu khó - các em học sinh đọc tham khảo).

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Theo tính chất của hình vuông ABCD, ta có  AC, BD và EF đồng quy tại O.

nên H thuộc đoạn OF.

Trong mặt phẳng (ABCD), qua H vẽ đường thẳng song song với CD cắt AD, OD lần lượt tại M và K.

Vậy góc giữa BD và mặt phẳng (SAD) là góc giữa KD và (SAD). Ta đi tìm hình chiếu của K lên (SAD).

Ta có : (do ) .

.

Vẽ () tại P.

Nhận xét : Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

Hình chiếu của K lên (SAD) là P.

Hình chiếu của KD lên (SAD) là PD.

.

Để tìm góc ta đi tìm KD và KP.

vuông tại S có SH là đường cao nên ta có : .

vuông tại H  nên ta có : .

.

H là trung điểm của OF, mà HK // DF nên HK là đường trung bình của .

K là trung điểm của OD . (do ).

là trung điểm của MH.

Trong (SHM), vẽ (),  mà mà K là trung điểm của MH nên KP là đường trung bình của .

vuông tại H có HQ là đường cao, ta có :

.

.

Trong vuông tại P, ta có :

Vậy .

Bài 5.     Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, và SA = 2a.

a). Chứng minh ;

b). Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC);

c).  Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC))

Giải

a)  Chứng minh ;

Chứng minh :

Ta có : (Hai đường chéo của hình vuông ABCD) ;

  (do ) ;

      , mà .

 

Chứng minh :

Ta có : (Hai cạnh kề của hình vuông ABCD) ;

  (do ;

       , mà .

b)  Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC).

Tính góc giữa SD và (ABCD).

 

Ta có : tại A nên hình chiếu của S lên mp (ABCD) là A.

Hình chiếu của SD lên mặt phẳng (ABCD) là AD.

.

Trong vuông tại A,

Vậy .

Tính góc giữa SB và (SAD).

Ta có : tại A nên hình chiếu của B lên (SAD) là A.

Hình chiếu của SB lên mặt phẳng (SAD) là SA.

.

Trong vuông tại A,

Vậy .

Tính góc giữa SB và (SAC).

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Theo chứng minh trên tại O nên hình chiếu của B lên (SAC) là O.

Hình chiếu của SB lên (SAC) là SO.

.

.

vuông tại A nên .

Trong vuông tại O, ta có : .

Vậy .

c)  Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC)).

Tính d(A, (SCD)).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SD.

Ta có : .

Theo chứng minh ở câu a, .

tại H .

vuông tại A có là đường cao, ta có : .

 

Vậy .

Nhận xét : Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

Trong ý trên, do (SAD) (SCD) và có giao tuyến là SD nên khi kẽ thì .

 

Tính d(B,(SAC)).

Theo chứng minh trên tại O nên hình chiếu của B lên (SAC) là O.

.

 

Bài 6.     Hình chóp S.ABC. ABC vuông tại A, góc = 600 , AB = a, hai mặt bên (SAB) và (SBC) vuông góc với đáy; SB = 2a. Hạ BH SA (H SA); BK SC (K SC).

a) CM: SB (ABC)

b) CM: mp(BHK) SC.

c) CM: BHK vuông .

d) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK).

Giải

Nhận xét : Hai mặt phẳng cùng vuông góc với  một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) vuông góc với mặt phẳng đó, tức là :

Ta có : .

 

a)  CM  SB (ABC) :

Ta có : .

b)  CM  (BHK) SC :

(gt)      (1)

( vuông tại A) ;

  (do ) .

   mà , mặc khác (gt)

  (2)

Từ  (1) và (2) .

c)  CM BHK vuông :

Theo chứng minh ở câu b, .

Vậy vuông tại H.

d)  Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK) :

nên.

Theo chứng minh ở câu b, tại K nên hình chiếu của S lên (BHK) là K.

Hình chiếu của SH lên (BHK) là KH.

vuông tại K nên . Ta có : .

vuông tại A, .

vuông tại B nên .

.

.

Vậy .

Bài 7.     Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng . Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Và M là trung điểm của SC.

a)      Chứng minh: (MBD) (SAC)

b)      Tính góc giữa SA và mp(ABCD) .

c)      Tính góc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD).

d)      Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD)

 

Nhắc lại : Hình chóp đều là hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và có đáy là đa giác đều. Do đó, trong hình chóp đều, tâm của đa giác đáy trùng với hình chiếu của đỉnh S lên mặt đáy.

 

a)  Chứng minh : (MBD) (SAC) :

Vì hình chóp S.ABCD đều nên ;

;

Hơn nữa, (Hai đường chéo của hình vuông ABCD);

.

b)  Tính góc giữa SA và mp(ABCD) :

Ta có : nên hình chiếu của S lên (ABCD) là O.

Hình chiếu của SA lên (ABCD) là OA.

.

;

Trong vuông tại O, ta có :

 .

Vậy .

c)  Tính góc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD) :

Ta có : ;

;

;

;

( Vì là góc nhọn )

Trong vuông tại O có OM là đường trung tuyến nên .

.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác COM, ta có : .

.

Vậy

Cách 2 :

Trong vuông tại O có OM là đường trung tuyến nên .

cân tại M .

Mặc khác, ( Vì cân tại S) . Theo câu b, .

Từ đó suy ra

 

Nhận xét : Trong việc xác định góc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD) ta có thể dùng cách 2 như đã nói ở bài tập 1. Cách này không đơn giản vì tìm điểm  thuộc BD để từ đó vẽ trong (ABCD) và (MBD) hai đường thẳng lần lượt vuông góc với BD tại điểm đó là khó. Thực chất, người ta thường dùng cách 3 để từ đó trình bày cách 2 cho đơn giản.

 

d)  Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD) :

Ta có : ;

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.

(do ).

; ;

( Vì là góc nhọn )

vuông tại O nên

Trong vuông tại O, ta có :

Vậy .

Bài 8.     Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA (ABC) và AA = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a.

a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB).

b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC).

c) Chứng minh rằng AB (ACCA) và

tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC).

Giải

a)  Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB).

     nên

.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC.

Từ H, vẽ đường thẳng song song với AA’ cắt B’C’ tại H’.

Do , .

Ta có : tại H

 .

vuông tại A nên .

vuông tại A có AH là đường cao nên .

.

b)  Tính khoảng cách từ A đến (ABC).

(do ) ; (gt) .

Ta có : A’A = AC = a nên A’ACC’  là hình vuông.

Gọi O là tâm của hình vuông A’ACC’.

Do  .

Hai mặt phẳng có giao tuyến là .

Trong kẻ tại K.

.

vuông tại A có AK là đường cao nên .

Vậy .

 

Cách 2 :

Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến A’H.

Trong mặt phẳng (AA’H), kẻ tại I.

vuông tại A có AI là đường cao nên .

. Nhận xét : Hai điểm I và K hiển nhiên trùng nhau.

c)  Chứng minh rằng AB (ACCA) và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC).

Chứng minh rằng AB (ACCA) :

Ta có : (do ) .

Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) :

Theo chứng minh trên, tại O nên .

Ta có : .

Nhận xét : Để tính khoảng cách từ M đến , nếu đề bài cho không xác định trực tiếp được hình chiếu của M lên thì ta làm như sau :

Tìm mp đi qua M và ;

Tìm giao tuyến ;

Kẻ .

1

 

nguon VI OLET