Phương trình lượng giác

Phương trình lượng giác

Ta xét bài toán sau :

Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái Ðất theo một quỹ đạo hình elip.Ðộ cao h (tính bằng kilômet) của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất được xác định bởi công thức

Trong đó t là thời gian tính bằng phút kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo.Người ta cần thực hiện một thí nghiệm khóa học khi vệ tinh cách mặt đất 250km. Hãy tìm các thời điểm để có thể thực hiện thí nghiệm đó

Bài toán này dẫn đến việc giải phương trình ,hay

Nếu đặt thì phương trình trên có dạng

Trên thực tế,có nhiều bài toán dẫn đến việc giải các phương trình có một trong các dạng và ,

trong đó x là ẩn số () và m là một số cho trước.

Ðó là các phương trình lượng giác cơ bản

1. Phương trình

a. Ðể làm ví dụ,ta xét một phương trình cụ thể,chẳng hạn

(1). Tìm nghiệm của phương trình (1).

Để tìm tất cả các nghiệm của (1),ta có thể làm như sau :

Xét đường tròn lượng giác góc A.Trên trục sin , ta lấy điểm K sao cho .Ðường thẳng qua K và vuông góc với trục sin cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm và ; hai điểm này đối xứng nhau qua trục sin.

Ta có .

Dễ thấy số đo (radian) của các góc lượng giác ( và () là tất cả các nghiệm của (1). Lấy một nghiệm tùy ý của (1),chẳng hạn . Khi đó các góc () có số đo ; các góc ( ) có số đo

Vậy

hoặc

Sử dụng kí hiệu "[" thay cho từ "hoặc",ta có thể viết lại kết quả trên như sau :



b. Giả sử m là một số đã cho.Xét phương trình (I)

Hiển nhiên phương trình (I) xác định với mọi .

Ta đã biết với mọi x.Do đó phương trình (I) vô nghiệm khi .Mặt khác,khi thay đổi,sin x nhận mọi giá trị từ -1 đến 1 nên phương trình luôn có nghiệm khi .

Làm tương tự như đối với phương trình (1),ta có :

Nếu là một nghiệm của phương trình (I) , nghia là thì (Ia)

Ta nói rằng và là hai nghiệm của phương trình (I).

Kể từ đây,để cho gọn ta quy ước rằng nếu trong một biểu thức nghiệm của phương trình lượng giác có chứa k mà không giải thích gì thêm thì ta hiểu rằng k nhận mọi giá trị thuộc Z.

Chẳng hạn , có nghĩa là x lấy mọi giá trị thuộc tập hợp

Ví dụ 1 . Giải các phương trình sau :

1. ;

2.
Giải

1. Do

nên

2. Vì nên có số để .

Do đó

Giải phương trình

Trong mặt phẳng tọa độ, nếu vẽ đồ thị (G) của hàm số và đường thẳng (d) : thì hoành độ mỗi giao điểm của (d) và (G) (nếu có ) là một nghiệm của phương trình .

Trên đồ thị hàm số ,hãy chỉ ra các điểm có hoành độ trong khoảng là nghiệm của phương trình .

CHÚ Ý

1. Khi { } , công thức (Ia) có thể viết gọn như sau :

.
,
.

2. Dễ thấy rằng với m cho trước mà ,phương trình có đúng một nghiệm nằm trong đoạn .\

Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là (đọc là ác-sin m).

Khi đó

Vậy ở ví dụ 1 câu 2) có thể viết .

3. Từ (Ia) ta thấy rằng :

Nếu và là hai số thực thì khi và chỉ khi có số nguyên k để hoặc

Ví dụ 2: Tìm số x thỏa mãn phương trình .
Giải




Vậy các số x cần tìm là và

Giải phương tình

2. Phương trình

Xét phương trình , (II) trong đó m là một số cho trước.

Hiển nhiên phương tình (II) xác định với mọi . Dễ thấy rằng :

Khi ,phương trình (II) vo nghiệm.

Khi ,phương trình (II) luôn có nghiệm.Để tìm tất cả các nghiệm của (II),trên trục côsin ta lấy điểm H sao cho .Gọi (l) là đường thẳng đi qua H và vuông góc với trục côsin

Do nên đường thằng (l) cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm và .Hai điểm này đối xứng với nhau qua trục côsin (chúng trùng nhau nếu ).Ta thấy số đo của các góc luongj giác và là tất cả các nghiệm của (II).Nếu

là số đo của một góc trong chúng , nói cách khác,nếu là một nghiệm của (II) thì các góc đó có các số đo là và .

Vậy ta có : nếu là một nghiệm của phương trình (II),nghĩa là thì (IIa)

Giải phương trình sau .

CHÚ Ý

1) Đặc biệt,khi { },công thức (IIa) có thể viết gọn như sau

,
,
.

2. Dễ thấy rằng với mọi số m cho trước mà ,phương trình có đúng một nghiệm nằm trong đoạn .

Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là (đọc là ác-côsin m).

Khi đó
mà cũng thường được viết là .

3. Từ (IIa) ta thấy rằng : nếu và là hai số thực thì khi và chỉ khi có số nguyên k để hoặc .

Hãy giải phương trình .


3. Phương trình

Cho m là một số tùy ý.Xét phương trình (III)

Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình (III) là .

Ta đã biết,khi x thay đổi, tan x nhận mọi giá trị từ đến .Do đó phương trình (III) luôn có nhiệm.Để tìm tất cả các nghiệm của (III),trên trục tang,ta lấy điểm T sao cho .Đường thẳng OT cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm và .

Ta có

Gọi số đo của một trong các góc lượng giác và là ; nói cách khác , là một nghiệm nào đó của phương trình (III).Khi đó m các góc lượng giác và có các số đo là .Đó là tất cả các nghiệm của phương trình (III) (hiển nhiên chúng thỏa mãn ĐKXĐ của (III).

Vậy ta có:

Nếu là một nghiệm của phương trình (III), nghĩa là thì (IIIa)

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau : 1)
2)
Giải

1) Vì nên

2) Gọi là một số mà .Khi đó .

(Có thể tìm được một số thỏa mãn bằng cách tra bảng số hoặc dùng máy tính bỏ túi.Cụ thể là )

CHÚ Ý

1) Dễ thấy rằng với mọi số m cho trước,phương trình có đúng một nghiệm nằm trong khoảng .

Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arctan m (đọc là ác-tang m).

Khi đó

2) Từ (IIIa) ta thấy rằng : Nếu và là hai số thực mà xác định thì khi và chỉ khi có số nguyên k để

Giải phương trình

4. Phương trình

Cho m là một số tùy ý,xét phương trình (IV)

ĐKXĐ của phương trình (IV) là .Tương tự như đối với phương trình ,ta có

Nếu

là một nghiệm của phương trình (IV), nghĩa là thì (IVa)

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau :
1)
2)
Giải

1) Gọi là một số ,tức là (chẳng hạn,bằng bảng số hoặc máy tính bỏ túi,ta tìm được ).

Khi đó .

2) .

CHÚ Ý

Dễ thấy rằng với mọi số m cho trước,phương trình có đúng một nghiệm nằm trong khoảng .

Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arccot m (đọc là ác-côtang m).

Khi đó

Giải phương trình .

5. Một số điều cần lưu ý

1) Khi đã cho số m,ta có thể tính được các giá trị arcsin m, arccos m (với ), arctan m bằng máy tính bỏ túi với các phím và

2) acrsin m , arctan m (với ), arctan m và arccot m có giá trị là những số thực.Do đó ta viết,chẳng hạn mà không viết .

3) Khi xét các phương trình lượng giác ta đã coi ẩn số x là số đo rađian của các góc lượng giác.Trên thực tế,ta còn gặp những bài toán yêu cầu tìm số đo độ của các góc (cung) lượng giác sao cho sin (côsin,tang hoặc côtang) của chúng bằng số m cho trước chẳng hạn .Khi giải các phương trình này (mà lạm dụng ngôn ngữ,ta vẫn gọi là giải các phương trình lượng giác),ta có thể áp dụng các công thức nêu trên và lưu ý sử dụng kí hiệu số đo độ trong "công thức nghiệm" cho thống nhất,chẳng hạn viết

chứ không viết .

Tuy nhiên,ta quy ước rằng nếu không có giải thích gì thêm hoặc trong phương trình lượng giác không sử dụng đơn vị đo góc là độ thì mặc nhiên ẩn số là số đo rađian của góc lượng giác.

Ví dụ 5: Giải phương trình .
Giải

Vì nên

Giải các phương trình sau :

1) ;
2)