Thể loại Giáo án bài giảng Toán học
Số trang 1
Ngày tạo 12/3/2009 10:41:50 PM +00:00
Loại tệp doc
Kích thước 0.18 M
Tên tệp chuyen deptnn doc
I/ Lý do chän ®Ò tµi:
C¸c bµi to¸n vÒ ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn lµ nh÷ng bµi to¸n khã. §êng lèi chung ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh nµy lµ dùa vµo ®Æc ®iÓm cña ph¬ng tr×nh ®Ó thu hÑp miÒn chøa nghiÖm.
§Ó ph¸t huy tÝnh tÝch cùc, tù gi¸c, chñ ®éng trong häc tËp cña mçi häc sinh, ®èi víi mçi d¹ng to¸n nµy còng nh viÖc t¹o ra sù høng thó say mª häc tËp cña c¸c em lµ viÖc rÊt cÇn thiÕt cña c¸c thÇy c« gi¸o d¹y to¸n. Do vËy t«i muèn trao ®æi kinh nghiÖm vÒ mét sè ph¬ng ph¸p thêng dïng ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn hay gÆp trong ch¬ng tr×nh to¸n cÊp 2 mµ t«i ®· lµm.
II/ Môc ®Ých:
Gióp häc sinh n¾m ®îc mét sè ph¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn.
III/ NhiÖm vô:
- §a ra c¸c ph¬ng ph¸p vµ vÝ dô minh ho¹
- Rót kinh nghiÖm
IV/ §èi tîng vµ ph¹m vi nghiªn cøu:
- §èi tîng: c¸c tµi liÖu vÒ ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn
- Ph¹m vi nghiªn cøu: c¸c bµi to¸n vÒ ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn trong ch¬ng tr×nh to¸n cÊp 2.
V/ Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu:
- Nghiªn cøu tµi liÖu
- Trao ®æi kinh nghiÖm
- Tæng kÕt rót kinh nghiÖm
Néi dung nghiªn cøu:
I/ Ph¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt chia hÕt:
1/ Ph¬ng ph¸p ph¸t hiÖn tÝnh chia hÕt:
VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh :
3x + 17y = 159 (1)
Gi¶i:
Gi¶ sö x, y lµ c¸c sè nguyªn tho¶ m·n ph¬ng tr×nh (1). Ta thÊy 159 vµ 3x ®Òu chia hÕt cho 3 nªn 17y còng chia hÕt cho 3, do ®ã y chia hÕt cho 3 ( v× 17 vµ 3 nguyªn tè cïng nhau)
§Æt y = 3t ( t lµ sè nguyªn). Thay vµo ph¬ng tr×nh (1), ta ®îc:
3x + 17.3t = 159
x + 17t = 53
=> x =53 - 17t
Do ®ã ( t )
§¶o l¹i thay c¸c biÓu thøc cña x vµ y vµo (1) ph¬ng tr×nh ®îc nghiÖm ®óng.
VËy ph¬ng tr×nh (1) cã v« sè nghiÖm nguyªn (x; y) ®îc biÓu thÞ bëi c«ng thøc:
( t )
2/ Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh íc sè:
VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh :
x.y - x - y = 2
Gi¶i:
Ta cã: x.y - x - y = 2 x.( y -1) - y = 2
x. (y - 1) - (y - 1) = 3
(x -1). (y - 1) = 3
Do x, y lµ c¸c sè nguyªn nªn x - 1, y - 1 còng lµ c¸c sè nguyªn vµ lµ íc cña 3. Suy ra c¸c trêng hîp sau:
; ; ;
Gi¶i c¸c hÖ nµy ta cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : (4; 2), (2; 4), (0; -2), (-2; 0)
3/ Ph¬ng ph¸p t¸ch ra gi¸ trÞ nguyªn:
VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh ë vÝ dô 2 b»ng c¸ch kh¸c
Gi¶i:
Ta cã: x.y - x - y = 2
x.(y-1) = y+2
Ta thÊy y ( v× nÕu y=1 th× x.0 = 3 v« nghiÖm )
Do ®ã x =
+Víi x.y =1 => x=1, y=1thay vµo (1)ta ®îc 2 +z = z
x nguyªn nªn nguyªn. => y-1 lµ íc cña 3 => y-1=3; y-1=-3; y-1=1; y-1=-1
Ta còng cã ®¸p sè nh ë vÝ dô 2
II/ Ph¬ng ph¸p xÐt sè d tõng vÕ:
VÝ dô 4: Chøng minh r»ng c¸c ph¬ng tr×nh sau kh«ng cã nghiÖm nguyªn:
a/ x2- y2 = 1998
b/ x2+ y2 = 1999
Gi¶i:
a/ Ta thÊy x2 ; y2 chia cho 4 chØ cã sè d lµ: 0 ; 1
nªn x2 - y2 chia cho 4 cã sè d lµ : 0 ; 1 ; 3 cßn vÕ ph¶i 1998 chia cho 4 d 2.
VËy ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn.
b/ T¬ng tù ta cã x2 + y2 chia cho 4 cã sè d lµ : 0; 1; 2 cßn vÕ ph¶i 1999 chia cho 4 d 3
VËy ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn
VÝ dô 5: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh :
9x + 2 = y2+y (1)
Gi¶i:
Ta cã ph¬ng tr×nh (1) 9x+2 = y(y+1)
Ta thÊy vÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh lµ sè chia cho 3 d 2 nªn y.(y+1) chia cho 3 còng d 2.
ChØ cã thÓ: y = 3k+1; y+1 = 3k+2 ( k)
Khi ®ã: 9x+2 = (3k+1).(3k+2)
Thö l¹i:
x= k.(k+1); y = 3k+1 tho¶ m·n ph¬ng tr×nh ®· cho.
VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm tæng qu¸t:
III/ Ph¬ng ph¸p dïng bÊt ®¼ng thøc:
1. Ph¬ng ph¸p s¾p thø tù c¸c Èn:
VÝ dô 6: T×m 3 sè nguyªn d¬ng sao cho tæng cña chóng b»ng tÝch cña chóng
Gi¶i:
Gäi c¸c sè nguyªn d¬ng ph¶i t×m lµ x, y, z. Ta cã: x + y + z = x.y.z (1)
Do x, y, z cã vai trß nh nhau ë trong ph¬ng tr×nh (1) nªn cã thÓ s¾p thø tù c¸c Èn nh sau:
Do ®ã : x.y.z = x + y +z
Chia c¶ hai vÕ cho sè d¬ng z ta ®îc: x.y
Do ®ã: x.y =
Víi x.y =1 => x=1, y=1thay vµo (1)ta ®îc 2 +z = z lo¹i
Víi x.y = 2 =>x=1, y=2 thay vµo (1) ta ®îc x = 3
+Víi x.y = 3 => x=1, y=3 thay vµo (1) ta ®îc z = 2 lo¹i v× tr¸i víi s¾p xÕp y
VËy ba sè ph¶i t×m lµ 1; 2; 3
2. Ph¬ng ph¸p xÐt tõng kho¶ng gi¸ trÞ cña Èn:
VÝ dô 7: T×m c¸c nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh
Gi¶i:
Do vai trß b×nh ®¼ng cña x vµ y. Gi¶ sö , dïng bÊt ®¼ng thøc ®Ó giíi h¹n kho¶ng gi¸ trÞ cña sè nhá y
Ta cã:
(1)
MÆt kh¸c do
Do ®ã
nªn (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã : . Do y
+Víi y =4 ta ®îc:
+ Víi y = 5 ta ®îc: lo¹i v× x kh«ng lµ sè nguyªn
+ Víi y = 6 ta ®îc:
VËy c¸c nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh lµ: (4; 12), (12; 4) , (6; 6)
3/ Ph¬ng ph¸p chØ ra nghiÖm nguyªn:
VÝ dô 8: T×m sè tù nhiªn x sao cho 2x+3x=5x
Gi¶i:
Chia hai vÕ cho 5x, ta ®îc:
(1)
+Víi x=0 vÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh (1) b»ng 2 (lo¹i)
+ Víi x = 1 th× vÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh b»ng 1 ( ®óng)
+ Víi x th×:
Nªn: ( lo¹i)
VËy nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh lµ x = 1
4/ Sö dông ®iÒu kiÖn cña ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm
Ta viÕt ph¬ng tr×nh f(x; y) = 0 díi d¹ng ph¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi mét Èn ®· chän. Ch¼ng h¹n chän Èn x, khi ®ã y lµ tham sè, ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ , ®Ó cã nghiÖm nguyªn cßn cÇn ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng.
VÝ dô 9:
T×m c¸c nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh :
x+y+xy = x2+y2 (1)
Gi¶i:
Ph¬ng tr×nh (1) t¬ng ®¬ng víi: x2-(y+1)x+(y2-y) = 0 (2)
§iÒu kiÖn ®Ó (2) cã nghiÖm lµ
Do ®ã (y-1)2 => y-1 = 0; y-1 = -1; y-1 = 1 => y=(0; 1; 2)
+Víi y=0 thay vµo (2) ta ®îc: x2-x = 0 => x1=0; x2=1
+Víi y=1 thay vµo (2) ta ®îc: x2-2x=0 => x3=0; x4=2
+Víi y=2 thay vµo (2) ta ®îc: x2-3x+2=0 => x5=1; x6=2
Thö l¹i c¸c gi¸ trÞ trªn nghiÖm ®óng víi ph¬ng tr×nh (1)
§¸p sè: nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2)
5/ Sö dông bÊt ®¼ng thøc C«si, Bunhia Copxiki:
VÝ dô 10:
T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh :
(1)
Gi¶i:
Ph¬ng tr×nh (1)
( ¸p dông B§T C«si)
VËy ph¬ng tr×nh (1) c0s nghiÖm nguyªn d¬ng lµ (1; 1; 1)
IV/ Ph¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt cña mét sè chÝnh ph¬ng:
1/Sö dông tÝnh chÊt chia hÕt cña mét sè chÝnh ph¬ng:
VÝ dô 11:
T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó 9x+5 lµ tÝch cña hai sè nguyªn liªn tiÕp
Gi¶i:
Gi¶ sö 9x+5 = n(n+1) víi n nguyªn th× 36x+20 = 4n2+4n
=> 36x+21= 4n2+4n+1
=> 3(12x+7) = (2n+1)2 (1)
Tõ (1) => (2n+1)2 , do 3 lµ sè nguyªn tè => (2n+1)2
MÆt kh¸c ta cã 12x+7 kh«ng chia hÕt cho 3 nªn 3(12x+7) kh«ng chia hÕt cho 9
VËy chøng tá kh«ng tån t¹i sè nguyªn x ®Ó 9x+5 lµ tÝch cña hai sè nguyªn liªn tiÕp.
2/ T¹o ra b×nh ph¬ng ®óng:
VÝ dô 12:
T×m c¸c nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh:
2x2+4x+2 = 21-3y2 (1)
Gi¶i:
Ph¬ng tr×nh (1) (2)
Ta thÊy vÕ tr¸i chia hÕt cho 2 => 3(7-y2) lÎ
Ta l¹i cã 7-y2 0 (v× vÕ tr¸i 0) nªn chØ cã thÓ y2 = 1.
Khi ®ã ph¬ng tr×nh (2) cã d¹ng 2(x2+1) = 18 .
C¸c cÆp sè (2; 1), (2; -1), (-4; 1), (-4; -1) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh (2) nªn lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho.
3/ XÐt c¸c sè chÝnh ph¬ng liªn tiÕp:
HiÓn nhiªn gi÷a hai sè chÝnh ph¬ng liªn tiÕp kh«ng cã sè chÝnh ph¬ng. Do ®ã víi mäi sè nguyªn a, x ta cã:
VÝ dô 13:
Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn k cho tríc kh«ng tån t¹i sè nguyªn d¬ng x sao cho x(x+1) = k(k+2)
Gi¶i:
Gi¶ sö x(x+1) = k(k+2) víi k nguyªn, x nguyªn d¬ng.
Ta cã x2+x = k2+2k => x2+x+1 = k2+2k+1 = (k+1)2
Do x>0 nªn x2
Còng do x>0 nªn (k+1)2 = x2+x+1 < x2+2x+1 = (x+1)2 (2)
Tõ (1) vµ (2) => x2 < (k+1)2 < (x+1)2 V« lÝ.
VËy kh«ng tån t¹i sè nguyªn d¬ng x ®Ó : x(x+1) = k(k+2)
4/ Sö dông tÝnh chÊt " nÕu hai sè nguyªn d¬ng nguyªn tè cïng nhau cã tÝch lµ mét sè chÝnh ph¬ng th× mçi sè ®Òu lµ sè chÝnh ph¬ng"
VÝ dô 14:
Gi¶i ph¬ng tr×nh víi nghiÖm nguyªn d¬ng: xy=z2 (1)
Gi¶i:
Tríc hÕt ta cã thÓ gi¶ sö (x, y, z) = 1. ThËt vËy nÕu bé ba sè x0, y0, z0, tho¶ m·n (1) vµ cã ¦CLN b»ng d gi¶ sö x0=dx1; y0=dy1; z0=dz1 cã íc chung b»ng d th× sè cßn l¹i còng chia hÕt cho d.
Ta cã: z2=xy mµ (x;y)=1 nªn x=a2, y=b2 víi a,b nguyªn d¬ng
=> z2=xy=(ab)2 do ®ã z=ab.
Nh vËy : víi t > 0
§¶o l¹i ta thÊy c«ng thøc trªn tho¶ m·n (1). VËy c«ng thøc trªn lµ nghiÖm nguyªn d¬ng cña (1)
5/ Sö dông tÝnh chÊt: " nÕu hai sè nguyªn liªn tiÕp cã tÝch lµ mét sè chÝnh ph¬ng th× mét trong hai sè nguyªn liªn tiÕp ®ã b»ng 0 "
VÝ dô 15: T×m c¸c nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh :
x2+xy+y2=x2y2 (1)
Gi¶i: Thªm xy vµo hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (1), ta ®îc: x2+2xy+y2=x2y2+xy
(2)
Ta thÊy xy vµ xy+1 lµ hai sè nguyªn liªn tiÕp cã tÝch lµ mét sè chÝnh ph¬ng nªn tån t¹i mét sè b»ng 0.
NÕu xy = 0 tõ (1) => x2+y2=0 nªn x=y=0
NÕu xy+1=0 => xy= -1 nªn (x; y)=(1;-1) hoÆc (x;y)=(-1;1).
Thö c¸c cÆp sè (0;0), (1;-1), (-1;1) ®Òu lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)
V/ Ph¬ng ph¸p lïi v« h¹n ( nguyªn t¾c cùc h¹n):
VÝ dô 16: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh :
x3+2y3=4z3 (1)
Gi¶i:
Tõ (1) ta thÊy x, ®Æt x=2x1 víi x1 nguyªn. hay vµo (1) råi chia hai vÕ cho 2 ta
®îc 4x31+y3=2z3 (2). Tõ (2) ta thÊy , ®Æt y=2y1 víi y1 nguyªn thay vµo (2) råi chia hai vÕ cho 2 ta ®îc: 2x31+4y31=z3 (3)
Tõ (3) ta thÊy z ®Æt z = 2z1 víi z1 nguyªn. Th©y vµo (3) råi chia hai vÕ cho 2, ta
®îc: x13+2y13= 4z13 (4)
Nh vËy nÕu (x; y; z) lµ nghiÖm cña (1) th× (x1; y1; z1 ) còng lµ nghiÖm cña (1). Trong ®ã x = 2x1; y = 2y1; z = 2z1.
LËp luËn t¬ng tù nh vËy ta ®i ®Õn x, y, z chia hÕt cho 2k víi k. §iÒu nµy chØ x¶y ra khi x = y = z = 0
C. Bµi tËp:
Bµi 1: T×m nghiÖm nguyªn c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a. 5x-y = 13
b .23x+53y= 109
c. 12x-5y = 21
d. 12x+17y = 41
Bµi 2: T×m nghiÖm nguyªn c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a/ 1+y+y2+y3 = t3
b/ 1+y+y2+y3+y4 = t4
Bµi 3: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a/ 5(x+y)+2 = 3xy
b/ 2(x+y) = 5xy
c/ 3x+7 = y(x-3)
Bµi 4: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh sau:
5(x+y+z+t)+10 = 2xyzt
Bµi 5: T×m 12 sè nguyªn d¬ng sao cho tæng cña chóng b»ng tÝch cña chóng
Bµi 6: Chøng minh r»ng, víi n lµ sè tù nhiªn kh¸c 0, ph¬ng tr×nh :
x1+x2+x3+…+xn= x1x2x3…xn
Ýt nhÊt còng cã mét nghiÖm trong tËp hîp sè tù nhiªn kh¸c 0
Bµi 7: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh :
Bµi 8: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a/ 4(x+y+z) = xyz
b/ x+y+z+9-xyz = 0
Bµi 10: Chøng minh ph¬ng tr×nh 2x2-5y2=7 kh«ng cã nghiÖm nguyªn
Bµi 11: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh :
Bµi 12: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh:
© 2024 - nslide
Website chạy thử nghiệm. Thư viện tài liệu miễn phí mục đích hỗ trợ học tập nghiên cứu , được thu thập từ các nguồn trên mạng internet ... nếu tài liệu nào vi phạm bản quyền, vi phạm pháp luật sẽ được gỡ bỏ theo yêu cầu, xin cảm ơn độc giả