I/ Lý do chän ®Ò tµi:

 C¸c bµi to¸n vÒ ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn lµ nh÷ng bµi to¸n khã. §­êng lèi chung ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh nµy lµ dùa vµo ®Æc ®iÓm cña ph­¬ng tr×nh ®Ó thu hÑp miÒn chøa nghiÖm.

 §Ó ph¸t huy tÝnh tÝch cùc, tù gi¸c, chñ ®éng trong häc tËp cña mçi häc sinh, ®èi víi mçi d¹ng to¸n nµy còng nh­ viÖc t¹o ra sù høng thó say mª häc tËp cña c¸c em lµ viÖc rÊt cÇn thiÕt cña c¸c thÇy c« gi¸o d¹y to¸n. Do vËy t«i muèn trao ®æi kinh nghiÖm vÒ mét sè ph­¬ng ph¸p th­êng dïng ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn hay gÆp trong ch­¬ng tr×nh to¸n cÊp 2 mµ t«i ®· lµm.

 

II/ Môc ®Ých:

 Gióp häc sinh n¾m ®­îc mét sè ph­¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn.

 

III/ NhiÖm vô:

 - §­a ra c¸c ph­¬ng ph¸p vµ vÝ dô minh ho¹

 - Rót kinh nghiÖm

 

IV/ §èi t­îng vµ ph¹m vi nghiªn cøu:

 - §èi t­îng: c¸c tµi liÖu vÒ ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn

 - Ph¹m vi nghiªn cøu: c¸c bµi to¸n vÒ ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn trong ch­¬ng tr×nh to¸n cÊp 2.

 

V/ Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu:

 - Nghiªn cøu tµi liÖu

 - Trao ®æi kinh nghiÖm

 - Tæng kÕt rót kinh nghiÖm

 

Néi dung nghiªn cøu:

I/ Ph­¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt chia hÕt:

1/ Ph­¬ng ph¸p ph¸t hiÖn tÝnh chia hÕt:

 VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh :

   3x + 17y = 159   (1)

Gi¶i:

 Gi¶ sö x, y lµ c¸c sè nguyªn tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh (1). Ta thÊy 159 vµ 3x ®Òu chia hÕt cho 3 nªn 17y còng chia hÕt cho 3, do ®ã y chia hÕt cho 3 ( v× 17 vµ 3 nguyªn tè cïng nhau)

 §Æt y = 3t  ( t lµ sè nguyªn). Thay vµo ph­¬ng tr×nh (1), ta ®­îc:


      3x + 17.3t = 159

          x + 17t = 53

          => x =53 - 17t

                                           Do ®ã        ( t )

 §¶o l¹i thay c¸c biÓu thøc cña x vµ y vµo (1) ph­¬ng tr×nh ®­îc nghiÖm ®óng.

VËy ph­¬ng tr×nh (1) cã v« sè nghiÖm nguyªn (x; y) ®­îc biÓu thÞ bëi c«ng thøc:

             ( t )

2/ Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh ­íc sè:

 VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh : 

   x.y - x - y = 2

Gi¶i:

 Ta cã: x.y - x - y = 2 x.( y -1) - y = 2

        x. (y - 1) - (y - 1) = 3

        (x -1). (y - 1) = 3

Do x, y lµ c¸c sè nguyªn nªn x - 1, y - 1 còng lµ c¸c sè nguyªn vµ lµ ­íc cña 3. Suy ra c¸c tr­êng hîp sau:

    ;          ;              ;      

Gi¶i c¸c hÖ nµy ta cã nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh : (4; 2),  (2; 4),    (0; -2),    (-2; 0)

3/ Ph­¬ng ph¸p t¸ch ra gi¸ trÞ nguyªn:

 VÝ dô 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh ë vÝ dô 2 b»ng c¸ch kh¸c

Gi¶i:

 Ta cã:     x.y - x - y = 2

           x.(y-1) = y+2

 Ta thÊy y ( v× nÕu y=1 th× x.0 = 3 v« nghiÖm )

Do ®ã x =

+Víi x.y =1 => x=1, y=1thay vµo (1)ta ®­îc 2 +z = z 

x nguyªn nªn nguyªn. => y-1 lµ ­íc cña 3 => y-1=3; y-1=-3; y-1=1; y-1=-1

Ta còng cã ®¸p sè nh­ ë vÝ dô 2

II/ Ph­¬ng ph¸p xÐt sè d­ tõng vÕ:

 VÝ dô 4: Chøng minh r»ng c¸c ph­¬ng tr×nh sau kh«ng cã nghiÖm nguyªn:


  a/ x2- y2 = 1998

  b/ x2+ y2 = 1999  

Gi¶i:

 a/ Ta thÊy x2 ; y2 chia cho 4 chØ cã sè d­ lµ: 0 ; 1

 nªn x2 - y2 chia cho 4 cã sè d­ lµ : 0 ; 1 ; 3 cßn vÕ ph¶i 1998 chia cho 4 d­ 2.

VËy ph­¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn.

 b/ T­¬ng tù ta cã x2 + y2 chia cho 4 cã sè d­ lµ :  0; 1; 2 cßn vÕ ph¶i 1999 chia cho 4 d­ 3

  VËy ph­¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn

 VÝ dô 5: T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh :

   9x + 2 = y2+y   (1)

Gi¶i:

 Ta cã ph­¬ng tr×nh (1) 9x+2 = y(y+1)

   Ta thÊy vÕ tr¸i cña ph­¬ng tr×nh lµ sè chia cho 3 d­ 2 nªn y.(y+1) chia cho 3 còng d­ 2.

 ChØ cã thÓ: y = 3k+1;    y+1 = 3k+2  ( k)

 Khi ®ã: 9x+2 = (3k+1).(3k+2)

  

  

Thö l¹i:

x= k.(k+1);   y = 3k+1 tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh ®· cho.

VËy ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm tæng qu¸t:

            

III/ Ph­¬ng ph¸p dïng bÊt ®¼ng thøc:

1. Ph­¬ng ph¸p s¾p thø tù c¸c Èn:

 VÝ dô 6:  T×m 3 sè nguyªn d­¬ng sao cho tæng cña chóng b»ng tÝch cña chóng

Gi¶i:

 Gäi c¸c sè nguyªn d­¬ng ph¶i t×m lµ x, y, z. Ta cã:  x + y + z = x.y.z   (1)

Do x, y, z cã vai trß nh­ nhau ë trong ph­¬ng tr×nh (1) nªn cã thÓ s¾p thø tù c¸c Èn nh­ sau:

         

Do ®ã :    x.y.z = x + y +z

Chia c¶ hai vÕ cho sè d­¬ng z ta ®­îc:     x.y

Do ®ã:   x.y =

Víi x.y =1 => x=1, y=1thay vµo (1)ta ®­îc 2 +z = z  lo¹i

Víi x.y = 2 =>x=1, y=2 thay vµo (1) ta ®­îc x = 3


+Víi x.y = 3 =>  x=1, y=3 thay vµo (1) ta ®­îc z = 2 lo¹i v× tr¸i víi s¾p xÕp y

 VËy ba sè ph¶i t×m lµ 1; 2; 3

2. Ph­¬ng ph¸p xÐt tõng kho¶ng gi¸ trÞ cña Èn:

 VÝ dô 7: T×m c¸c nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh

  

Gi¶i:

 Do vai trß b×nh ®¼ng cña x vµ y. Gi¶ sö , dïng bÊt ®¼ng thøc ®Ó giíi h¹n kho¶ng gi¸ trÞ cña sè nhá y

Ta cã:

    (1)

MÆt kh¸c do

Do ®ã

     nªn    (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã :  . Do y

+Víi y =4  ta ®­îc:

+ Víi y = 5 ta ®­îc:    lo¹i v× x kh«ng lµ sè nguyªn

+ Víi y = 6 ta ®­îc: 

VËy c¸c nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh lµ: (4; 12), (12; 4) , (6; 6)

3/ Ph­¬ng ph¸p chØ ra nghiÖm nguyªn:

 VÝ dô 8: T×m sè tù nhiªn x sao cho 2x+3x=5x

Gi¶i:

 Chia hai vÕ cho 5x, ta ®­îc:

        (1)

+Víi x=0 vÕ tr¸i cña ph­¬ng tr×nh (1) b»ng 2 (lo¹i)

+ Víi x = 1 th× vÕ tr¸i cña ph­¬ng tr×nh b»ng 1 ( ®óng)

+ Víi x th×:

    

 Nªn:     ( lo¹i)


VËy nghiÖm duy nhÊt cña ph­¬ng tr×nh lµ x = 1

 

4/  Sö dông ®iÒu kiÖn cña ph­¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm

Ta viÕt ph­¬ng tr×nh f(x; y) = 0  d­íi d¹ng ph­¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi mét Èn ®· chän. Ch¼ng h¹n chän Èn x, khi ®ã y lµ tham sè, ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ , ®Ó cã nghiÖm nguyªn cßn cÇn ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng.

 VÝ dô 9:

 T×m c¸c nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh :

   x+y+xy = x2+y2    (1)

Gi¶i:

 Ph­¬ng tr×nh (1) t­¬ng ®­¬ng víi: x2-(y+1)x+(y2-y) = 0       (2)

§iÒu kiÖn ®Ó (2) cã nghiÖm lµ

  

             

Do ®ã (y-1)2   => y-1 = 0;  y-1 = -1;   y-1 = 1    => y=(0; 1; 2)

+Víi y=0 thay vµo (2) ta ®­îc: x2-x = 0   => x1=0; x2=1

+Víi y=1 thay vµo (2) ta ®­îc: x2-2x=0  => x3=0; x4=2

+Víi y=2 thay vµo (2) ta ®­îc: x2-3x+2=0  => x5=1; x6=2

Thö l¹i c¸c gi¸ trÞ trªn nghiÖm ®óng víi ph­¬ng tr×nh (1)

§¸p sè: nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) lµ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2)

5/ Sö dông bÊt ®¼ng thøc C«si, Bunhia Copxiki:

 VÝ dô 10:

  T×m nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh :

           (1)

Gi¶i:

 Ph­¬ng tr×nh (1)  

                                                         ( ¸p dông B§T C«si)

       

VËy ph­¬ng tr×nh (1) c0s nghiÖm nguyªn d­¬ng lµ (1; 1; 1)

IV/ Ph­¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt cña mét sè chÝnh ph­¬ng:

1/Sö dông tÝnh chÊt chia hÕt cña mét sè chÝnh ph­¬ng:

  • C¸c tÝnh chÊt th­êng dïng:
    1. sè chÝnh ph­¬ng kh«ng tËn cïng b»ng 2, 3, 7, 8

  1. Sè chÝnh ph­¬ng chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× chia hÕt cho p2
  2. Sè chÝnh ph­¬ng chia cho 3 th× cã sè d­ lµ 0; 1, chia cho 4 cã sè d­ lµ 0; 1, chia cho 8 cã sè d­ lµ  0; 1; 4

 VÝ dô 11:

  T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó 9x+5 lµ tÝch cña hai sè nguyªn liªn tiÕp

Gi¶i:

Gi¶ sö  9x+5 = n(n+1) víi n nguyªn th×  36x+20 = 4n2+4n

  => 36x+21= 4n2+4n+1

  => 3(12x+7) = (2n+1)2        (1)

Tõ (1) => (2n+1)2 , do 3 lµ sè nguyªn tè => (2n+1)2

 MÆt kh¸c ta cã  12x+7 kh«ng chia hÕt cho 3 nªn 3(12x+7) kh«ng chia hÕt cho 9

VËy chøng tá kh«ng tån t¹i sè nguyªn x ®Ó 9x+5 lµ tÝch cña hai sè nguyªn liªn tiÕp.

2/ T¹o ra b×nh ph­¬ng ®óng:

 VÝ dô 12:

  T×m c¸c nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh:

    2x2+4x+2 = 21-3y2                (1)

Gi¶i:

Ph­¬ng tr×nh (1)            (2)

Ta thÊy vÕ tr¸i chia hÕt cho 2 => 3(7-y2)  lÎ

Ta l¹i cã 7-y2 0  (v× vÕ tr¸i 0) nªn chØ cã thÓ y2 = 1.

Khi ®ã ph­¬ng tr×nh (2) cã d¹ng 2(x2+1) = 18 .

 C¸c cÆp sè (2; 1), (2; -1), (-4; 1), (-4; -1) tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh (2) nªn lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho.

3/ XÐt c¸c sè chÝnh ph­¬ng liªn tiÕp:

 HiÓn nhiªn gi÷a hai sè chÝnh ph­¬ng liªn tiÕp kh«ng cã sè chÝnh ph­¬ng. Do ®ã víi mäi sè nguyªn a, x ta cã:

  1. Kh«ng tån t¹i x ®Ó a22<(a+1)2
  2. NÕu a22<(a+2)2 th× x2=(a+1)2

 VÝ dô 13:

  Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn k cho tr­íc kh«ng tån t¹i sè nguyªn d­¬ng x sao cho x(x+1) = k(k+2)

Gi¶i:

 Gi¶ sö x(x+1) = k(k+2) víi k nguyªn, x nguyªn d­¬ng.

Ta cã x2+x = k2+2k   => x2+x+1 = k2+2k+1 = (k+1)2

Do x>0 nªn x22+x+1 = (k+1)2     (1)

Còng do x>0 nªn (k+1)2 = x2+x+1 < x2+2x+1 = (x+1)2     (2)

Tõ (1) vµ (2)  => x2 < (k+1)2 < (x+1)2     V« lÝ.

VËy kh«ng tån t¹i sè nguyªn d­¬ng x ®Ó :   x(x+1) = k(k+2)


4/ Sö dông tÝnh chÊt " nÕu hai sè nguyªn d­¬ng nguyªn tè cïng nhau cã tÝch lµ mét sè chÝnh ph­¬ng th× mçi sè ®Òu lµ sè chÝnh ph­¬ng"

 

VÝ dô 14:

  Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi nghiÖm nguyªn d­¬ng:     xy=z2        (1)

Gi¶i: 

 Tr­íc hÕt ta cã thÓ gi¶ sö (x, y, z) = 1. ThËt vËy nÕu bé ba sè x0, y0, z0, tho¶ m·n (1) vµ cã ¦CLN b»ng d gi¶ sö x0=dx1; y0=dy1; z0=dz1 cã ­íc chung b»ng d th× sè cßn l¹i còng chia hÕt cho d.

Ta cã: z2=xy mµ (x;y)=1 nªn x=a2, y=b2 víi a,b nguyªn d­¬ng

    => z2=xy=(ab)2 do ®ã z=ab.

Nh­ vËy :  víi t > 0

 §¶o l¹i ta thÊy c«ng thøc trªn tho¶ m·n (1). VËy c«ng thøc trªn lµ nghiÖm nguyªn d­¬ng cña (1)

5/ Sö dông tÝnh chÊt: " nÕu hai sè nguyªn liªn tiÕp cã tÝch lµ mét sè chÝnh ph­¬ng th× mét trong hai sè nguyªn liªn tiÕp ®ã b»ng 0 "

 VÝ dô 15: T×m c¸c nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh :

    x2+xy+y2=x2y2          (1)

Gi¶i:  Thªm xy vµo hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh (1), ta ®­îc: x2+2xy+y2=x2y2+xy

                                                        (2)

  Ta thÊy xy vµ xy+1 lµ hai sè nguyªn liªn tiÕp cã tÝch lµ mét sè chÝnh ph­¬ng nªn tån t¹i mét sè b»ng 0.

NÕu xy = 0 tõ (1)  => x2+y2=0 nªn x=y=0

NÕu xy+1=0  => xy= -1 nªn (x; y)=(1;-1) hoÆc (x;y)=(-1;1).

Thö c¸c cÆp sè (0;0), (1;-1), (-1;1) ®Òu lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1)

V/ Ph­¬ng ph¸p lïi v« h¹n ( nguyªn t¾c cùc h¹n):

 VÝ dô 16: T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh :

    x3+2y3=4z3      (1)

Gi¶i:

 Tõ (1) ta thÊy x, ®Æt x=2x1 víi x1 nguyªn. hay vµo (1) råi chia hai vÕ cho 2 ta

®­îc 4x31+y3=2z3     (2). Tõ (2) ta thÊy , ®Æt y=2y1 víi y1 nguyªn thay vµo (2) råi chia hai vÕ cho 2 ta ®­îc: 2x31+4y31=z3      (3)

      Tõ (3) ta thÊy z ®Æt z = 2z1 víi z1 nguyªn. Th©y vµo (3) råi chia hai vÕ cho 2, ta

®­îc: x13+2y13= 4z13      (4)


Nh­ vËy nÕu (x; y; z) lµ nghiÖm cña (1) th× (x1; y1; z1 ) còng lµ nghiÖm cña (1). Trong ®ã x = 2x1; y = 2y1; z = 2z1.

LËp luËn t­¬ng tù nh­ vËy ta ®i ®Õn x, y, z chia hÕt cho 2k víi k. §iÒu nµy chØ x¶y ra khi x = y = z = 0

 

C. Bµi tËp:

Bµi 1: T×m nghiÖm nguyªn c¸c ph­¬ng tr×nh sau:

  a. 5x-y = 13

  b .23x+53y= 109

  c. 12x-5y = 21

  d. 12x+17y = 41

Bµi 2: T×m nghiÖm nguyªn c¸c ph­¬ng tr×nh sau:

  a/ 1+y+y2+y3 = t3

  b/ 1+y+y2+y3+y4 = t4

Bµi 3: T×m nghiÖm nguyªn d­¬ng cña c¸c ph­¬ng tr×nh sau:

  a/ 5(x+y)+2 = 3xy

  b/ 2(x+y) = 5xy

  c/ 3x+7 = y(x-3)

Bµi 4: T×m nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh sau:

  5(x+y+z+t)+10 = 2xyzt

Bµi 5: T×m 12 sè nguyªn d­¬ng sao cho tæng cña chóng b»ng tÝch cña chóng

Bµi 6: Chøng minh r»ng, víi n lµ sè tù nhiªn kh¸c 0, ph­¬ng tr×nh :

  x1+x2+x3+…+xn= x1x2x3…xn

Ýt nhÊt còng cã mét nghiÖm trong tËp hîp sè tù nhiªn kh¸c 0

Bµi 7: T×m nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh :

   

Bµi 8: T×m nghiÖm nguyªn d­¬ng cña c¸c ph­¬ng tr×nh sau:

  a/ 4(x+y+z) = xyz

  b/ x+y+z+9-xyz = 0

Bµi 10: Chøng minh ph­¬ng tr×nh 2x2-5y2=7 kh«ng cã nghiÖm nguyªn

Bµi 11: T×m nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh :

  

Bµi 12: T×m nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh:

nguon VI OLET