S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – To¸n THCS

                                     Phßng gi¸o dôc tiªn l·ng

Tr­êng thcs ®oµn lËp

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm

®Ò tµi:

 

mét sè ph­¬ng tr×nh ngiÖm nguyªn th­êng gÆp vµ c¸ch gi¶I

*********

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ng­êi viÕt: nguyÔn c¶nh tuyªn

                                  §¬n vÞ : tr­êng thcs ®oµn lËp

                                          N¨m häc: 2008 – 2009

 më ®Çu

Thùc tÕ cho thÊy trong ch­¬ng tr×nh to¸n bËc THCS c¸c bµi to¸n gi¶i ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªnnh÷ng bµi to¸n kh«ng dÔ víi ®a sè häc sinh. Bµi viÕt sau ®©y xin giíi thiÖu mét sè vÝ dô, qua ®ã gióp häc sinh n¾m ®­îc mét c¸ch cã hÖ thèng mét sè ph­¬ng ph¸p hay gÆp nhÊt khi gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ ph­¬ng tr×nh víi nghiÖm nguyªn trong ch­¬ng tr×nh To¸n bËc THCS.

1) Ph­¬ng ph¸p xÐt ­íc sè nguyªn

VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh:

           (1)

Lêi gi¶i: Ta biÕn ®æi

       (1)

            

              

                 (2)

Do x, y lµ c¸c sè nguyªn d­¬ng nªn 2x + 2y + 1 > 0. KÕt hîp víi (2) suy ra

2y – 2x – 1 > 0. VËy  2y + 2x + 1 > 2y – 2x – 1 > 0

L¹i cã 1995 = 1.1995 = 3.665 = 5.399 = 15.133, dÉn ®Õn viÖc gi¶i c¸c hÖ:

              ;              ;   

                ;             

 Tõ ®ã gi¶i bèn hÖ ph­¬ng tr×nh ta cã ®¸p sè

       

VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh:

           ( 2 )

Lêi gi¶i: Ta biÕn ®æi

       (2) 

              

              

              

                 (x – y – 3)(x + 3y + 1) = -7

Tõ ®ã dÉn ®Õn ®¸p sè

        

2) Ph­¬ng ph¸p sö dông tÝnh chÊt: “ NÕu x Z vµ x < a < x+1 th× a Z

VÝ dô 3: T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh:

                 (3)

Lêi gi¶i: Ta biÕn ®æi

             (3) 

§Æt vµ x – 2006 = z. Ta cã

               (3)   

Tõ ®ã xÐt c¸c tr­êng hîp:

*) NÕu t > 0, suy ra 0 < 2t < 2t + 1

               Suy ra

              Tøc lµ  . VËy trong tr­êng hîp nµy z  Z (lo¹i )

*) NÕu tøc lµ

                 

             

XÐt tiÕp bèn tr­êng hîp ta cã ®¸p sè:

             

VÝ dô4: T×m nghiÖm nguyªn kh«ng ©m cña ph­¬ng tr×nh:

               (4)

Lêi gi¶i: Gi¶ sö x, y lµ c¸c sè nguyªn kh«ng ©m, ta biÕn ®æi:

               (4)

                    

                    

                    

                      

§Æt . Ta cã t > 0. Khi ®ã:

               (4) . L¹i xÐt hai tr­êng hîp:

*) NÕu x > 0, suy ra 0 < x + 1 < 2x + 1

                 Suy ra 

                  Tõ ®ã cã: x < t < x + 1. VËy t Z ( lo¹i)

*) NÕu x = 0, ta tÝnh ®­îc y = 0. §¸p sè (x ; y) = (0 ; 0)

3) Ph­¬ng ph¸p sö dông tÝnh chÊt cña sè chÝnh ph­¬ng

VÝ dô 5: T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh:

               (5)

Lêi gi¶i: Gi¶ sö x, y lµ c¸c sè nguyªn, ta biÕn ®æi:

              (5) 

                      

*) Tr­êng hîp 1:  XÐt  . Tr­êng hîp nµy ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm             

*) Tr­êng hîp 2: XÐt . LÇn l­ît xÐt c¸c tr­êng hîp:

 

  • Víi    ta t×m ®­îc
  • Víi    ta t×m ®­îc
  • Víi    ta t×m ®­îc

       §¸p sè:

VÝ dô 6: T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh:

                     (6)

Lêi gi¶i:

*) NhËn xÐt : Ph­¬ng tr×nh  (6) cã nghiÖm (x ; y) = (0;0)

*) Víi x, y kh¸c 0, ta biÕn ®æi

                (6)  

                       

Suy ra  ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng. Tõ ®ã suy ra tån t¹i sè nguyªn a ®Ó                     

hay (x – a)(x + a) = 7. XÐt bèn tr­êng hîp:

         ;          ;         ;         

§¸p sè:

4) Ph­¬ng ph¸p s¾p thø tù c¸c biÕn

VÝ dô 7: T×m nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh:

             x + y + z = xyz     (7)

Lêi gi¶i:

Do vai trß cña x, y, z nh­ nhau nªn gi¶ sö: 1. Ta suy ra . Tõ ®ã cã nªn x = 1. Thay vµo  (7) ®­îc:

                   (7)  1 + y + z = yz

                          y + z – yz + 1 = 0

                          y(1 – z) – (1 – z) = - 2

                            (y – 1)(z – 1) = 2 = 1.2

L¹i v× y – 1 z – 1, nªn    

§¸p sè: Ph­¬ng tr×nh cã s¸u bé nghiÖm lµ c¸c ho¸n vÞ cña (1;2;3)

VÝ dô 8: T×m nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh:

            5(x + y + z) = 4xyz – 24      (8)

Lêi gi¶i: Do vai trß cña x, y, z nh­ nhau nªn cã thÓ gi¶ sö . Chia c¶ hai vÕ cña (8) cho 5xyz (kh¸c 0 ) ta ®­îc:

             (8)  

              Suy ra: . VËy

*) NÕu z = 1. Thay vµo (8) ®­îc:

                 5x + 5y – 4xy = -29

            x(5 – 4y) + 5y = -29

            4x(5 – 4y) + 5.4y = -116

            4x(5 – 4y) + 5.4y – 5.5 = -141

             (4x – 5)(4y – 5) = 141 = 47.3 = 141.1

Do . VËy ta cã

                (I)    hoÆc      (II)      

Gi¶i (I) ®­îc (x; y; z) = (13; 2; 1)

Gi¶i (II) HÖ ph­¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn

*) NÕu z = 2. LËp luËn t­¬ng tù ta ®­îc (x; y; z) = (4; 2; 2)

*) NÕu z = 3.  Ph­¬ng tr×nh (8) kh«ng cã nghiÖm nguyªn d­¬ng

§¸p sè: Ph­¬ng tr×nh (8) cã tÊt c¶ 9 bé nghiÖm lµ c¸c ho¸n vÞ cña hai bé sè  (13; 2; 1)  (4; 2; 2)

5) Ph­¬ng ph¸p sö dông ®iÒu kiÖn cã nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai  

VÝ dô 9: T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh (To¸n Tuæi th¬ - Sè 64- Tr6)

                 (9)

Lêi gi¶i:  Ta cã

            (9)    (9’)

§Ó (9’) cã nghiÖm x, cÇn vµ ®ñ lµ

          

                     

                     

nªn . Suy ra nghiÖm cña (9) lµ

VÝ dô 10: T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh: (To¸n Tuæi th¬ - Sè 64- Tr6)

                   (10)

Lêi gi¶i: V× x, y lµ c¸c sè nguyªn nªn . Do ®ã tån t¹i sè nguyªn m ®Ó

             

, suy ra x = 5m – 2y. Thay vµo ph­¬ng tr×nh

vµ rót gän, ta ®­îc   (10’)

§Ó (10’) cã nghiÖm y, cÇn vµ ®ñ lµ

              

nªn . Tõ ®ã t×m ®­îc nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh (10) lµ:

IV) Bµi tËp ¸p dông

*) §Ò bµi: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau (KÝ hiÖu Bµi 1 (1) nghÜa lµ bµi 1 cã thÓ gi¶i b»ng ph­¬ng ph¸p 1)

   Bµi 1    (1):                                

   Bµi 2    (1):                                      

   Bµi 3   (1)                                         

    Bµi 4   (1)x + xy + y = 9                                        

   Bµi 5   (1)                      

   Bµi 6   (2)                                         

    Bµi 7   (2)                                     

    Bµi 8   (3)                                   

   Bµi 9   (3). Víi x, y d­¬ng          

   Bµi 10  (3)                                     

   Bµi 11 (3)                                 

    Bµi 12  (3).  Víi x, y d­¬ng      

    Bµi 13  (3)                                

    Bµi 14  (4); . Víi x, y, z, t d­¬ng  

   Bµi 15  (4); . Víi x, y, z d­¬ng               

   Bµi 16  (5);                                        

    Bµi 17  (5);                                     

   Bµi 18)      

*) §¸p sè:

    1)

    2)

    3)       

    4)

    5)      

    6)      

    7)      

     8)

     9)

    10)

    11)

    12)

    13)

    14)

    15)

    16)

    17)

    18)      

kÕt luËn

Trªn ®©y lµ mét sè kinh ngiÖm mµ t«i ®· rót ra ®­îc trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y. Tuy ®· cã nhiÒu cè g¾ng nh­ng bµi viÕt trªn ®©y còng kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. RÊt mong sù gãp ý, nhËn xÐt, rót kinh nghiÖm cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó viÖc gi¶ng d¹y cña t«i ®¹t ®­îc nh÷ng kÕt qu¶ cao h¬n. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 NguyÔn C¶nh Tuyªn – Tr­êng THCS §oµn LËp

N¨m häc 2008 – 2009

nguon VI OLET