S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – To¸n THCS
Phßng gi¸o dôc tiªn l·ng
Trêng thcs ®oµn lËp
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
®Ò tµi:
“ mét sè ph¬ng tr×nh ngiÖm nguyªn thêng gÆp vµ c¸ch gi¶I “
*********
Ngêi viÕt: nguyÔn c¶nh tuyªn
§¬n vÞ : trêng thcs ®oµn lËp
N¨m häc: 2008 – 2009
më ®Çu
Thùc tÕ cho thÊy trong ch¬ng tr×nh to¸n bËc THCS c¸c bµi to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn lµ nh÷ng bµi to¸n kh«ng dÔ víi ®a sè häc sinh. Bµi viÕt sau ®©y xin giíi thiÖu mét sè vÝ dô, qua ®ã gióp häc sinh n¾m ®îc mét c¸ch cã hÖ thèng mét sè ph¬ng ph¸p hay gÆp nhÊt khi gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ ph¬ng tr×nh víi nghiÖm nguyªn trong ch¬ng tr×nh To¸n bËc THCS.
1) Ph¬ng ph¸p xÐt íc sè nguyªn
VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh:
(1)
Lêi gi¶i: Ta biÕn ®æi
(1)
(2)
Do x, y lµ c¸c sè nguyªn d¬ng nªn 2x + 2y + 1 > 0. KÕt hîp víi (2) suy ra
2y – 2x – 1 > 0. VËy 2y + 2x + 1 > 2y – 2x – 1 > 0
L¹i cã 1995 = 1.1995 = 3.665 = 5.399 = 15.133, dÉn ®Õn viÖc gi¶i c¸c hÖ:
; ;
;
Tõ ®ã gi¶i bèn hÖ ph¬ng tr×nh ta cã ®¸p sè
VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh:
( 2 )
Lêi gi¶i: Ta biÕn ®æi
(2)
(x – y – 3)(x + 3y + 1) = -7
Tõ ®ã dÉn ®Õn ®¸p sè
2) Ph¬ng ph¸p sö dông tÝnh chÊt: “ NÕu x Z vµ x < a < x+1 th× a Z“
VÝ dô 3: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh:
(3)
Lêi gi¶i: Ta biÕn ®æi
(3)
§Æt vµ x – 2006 = z. Ta cã
(3)
Tõ ®ã xÐt c¸c trêng hîp:
*) NÕu t > 0, suy ra 0 < 2t < 2t + 1
Suy ra
Tøc lµ . VËy trong trêng hîp nµy z Z (lo¹i )
*) NÕu tøc lµ
XÐt tiÕp bèn trêng hîp ta cã ®¸p sè:
VÝ dô4: T×m nghiÖm nguyªn kh«ng ©m cña ph¬ng tr×nh:
(4)
Lêi gi¶i: Gi¶ sö x, y lµ c¸c sè nguyªn kh«ng ©m, ta biÕn ®æi:
(4)
§Æt . Ta cã t > 0. Khi ®ã:
(4) . L¹i xÐt hai trêng hîp:
*) NÕu x > 0, suy ra 0 < x + 1 < 2x + 1
Suy ra
Tõ ®ã cã: x < t < x + 1. VËy t Z ( lo¹i)
*) NÕu x = 0, ta tÝnh ®îc y = 0. §¸p sè (x ; y) = (0 ; 0)
3) Ph¬ng ph¸p sö dông tÝnh chÊt cña sè chÝnh ph¬ng
VÝ dô 5: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh:
(5)
Lêi gi¶i: Gi¶ sö x, y lµ c¸c sè nguyªn, ta biÕn ®æi:
(5)
*) Trêng hîp 1: XÐt . Trêng hîp nµy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
*) Trêng hîp 2: XÐt . LÇn lît xÐt c¸c trêng hîp:
-
Víi ta t×m ®îc
-
Víi ta t×m ®îc
-
Víi ta t×m ®îc
§¸p sè:
VÝ dô 6: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh:
(6)
Lêi gi¶i:
*) NhËn xÐt : Ph¬ng tr×nh (6) cã nghiÖm (x ; y) = (0;0)
*) Víi x, y kh¸c 0, ta biÕn ®æi
(6)
Suy ra ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng. Tõ ®ã suy ra tån t¹i sè nguyªn a ®Ó
hay (x – a)(x + a) = 7. XÐt bèn trêng hîp:
; ; ;
§¸p sè:
4) Ph¬ng ph¸p s¾p thø tù c¸c biÕn
VÝ dô 7: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh:
x + y + z = xyz (7)
Lêi gi¶i:
Do vai trß cña x, y, z nh nhau nªn gi¶ sö: 1. Ta suy ra . Tõ ®ã cã nªn x = 1. Thay vµo (7) ®îc:
(7) 1 + y + z = yz
y + z – yz + 1 = 0
y(1 – z) – (1 – z) = - 2
(y – 1)(z – 1) = 2 = 1.2
L¹i v× y – 1 ≤ z – 1, nªn
§¸p sè: Ph¬ng tr×nh cã s¸u bé nghiÖm lµ c¸c ho¸n vÞ cña (1;2;3)
VÝ dô 8: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh:
5(x + y + z) = 4xyz – 24 (8)
Lêi gi¶i: Do vai trß cña x, y, z nh nhau nªn cã thÓ gi¶ sö . Chia c¶ hai vÕ cña (8) cho 5xyz (kh¸c 0 ) ta ®îc:
(8)
Suy ra: . VËy
*) NÕu z = 1. Thay vµo (8) ®îc:
5x + 5y – 4xy = -29
x(5 – 4y) + 5y = -29
4x(5 – 4y) + 5.4y = -116
4x(5 – 4y) + 5.4y – 5.5 = -141
(4x – 5)(4y – 5) = 141 = 47.3 = 141.1
Do . VËy ta cã
(I) hoÆc (II)
Gi¶i (I) ®îc (x; y; z) = (13; 2; 1)
Gi¶i (II) HÖ ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn
*) NÕu z = 2. LËp luËn t¬ng tù ta ®îc (x; y; z) = (4; 2; 2)
*) NÕu z = 3. Ph¬ng tr×nh (8) kh«ng cã nghiÖm nguyªn d¬ng
§¸p sè: Ph¬ng tr×nh (8) cã tÊt c¶ 9 bé nghiÖm lµ c¸c ho¸n vÞ cña hai bé sè (13; 2; 1) vµ (4; 2; 2)
5) Ph¬ng ph¸p sö dông ®iÒu kiÖn cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai
VÝ dô 9: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh (To¸n Tuæi th¬ - Sè 64- Tr6)
(9)
Lêi gi¶i: Ta cã
(9) (9’)
§Ó (9’) cã nghiÖm x, cÇn vµ ®ñ lµ
V× nªn . Suy ra nghiÖm cña (9) lµ
VÝ dô 10: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: (To¸n Tuæi th¬ - Sè 64- Tr6)
(10)
Lêi gi¶i: V× x, y lµ c¸c sè nguyªn nªn vµ . Do ®ã tån t¹i sè nguyªn m ®Ó
Tõ , suy ra x = 5m – 2y. Thay vµo ph¬ng tr×nh
vµ rót gän, ta ®îc (10’)
§Ó (10’) cã nghiÖm y, cÇn vµ ®ñ lµ
V× nªn . Tõ ®ã t×m ®îc nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh (10) lµ:
IV) Bµi tËp ¸p dông
*) §Ò bµi: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau (KÝ hiÖu Bµi 1 (1) nghÜa lµ bµi 1 cã thÓ gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p 1)
Bµi 1 (1):
Bµi 2 (1):
Bµi 3 (1);
Bµi 4 (1); x + xy + y = 9
Bµi 5 (1);
Bµi 6 (2);
Bµi 7 (2);
Bµi 8 (3);
Bµi 9 (3); . Víi x, y d¬ng
Bµi 10 (3);
Bµi 11 (3);
Bµi 12 (3); . Víi x, y d¬ng
Bµi 13 (3);
Bµi 14 (4); . Víi x, y, z, t d¬ng
Bµi 15 (4); . Víi x, y, z d¬ng
Bµi 16 (5);
Bµi 17 (5);
Bµi 18)
*) §¸p sè:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
kÕt luËn
Trªn ®©y lµ mét sè kinh ngiÖm mµ t«i ®· rót ra ®îc trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y. Tuy ®· cã nhiÒu cè g¾ng nhng bµi viÕt trªn ®©y còng kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. RÊt mong sù gãp ý, nhËn xÐt, rót kinh nghiÖm cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó viÖc gi¶ng d¹y cña t«i ®¹t ®îc nh÷ng kÕt qu¶ cao h¬n. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n.
NguyÔn C¶nh Tuyªn – Trêng THCS §oµn LËp
N¨m häc 2008 – 2009