Phương trinh vô tỷ

Cách Giải Các Phương Trình Cơ bản Danh Cho Học Sinh Lớp 8 - 12

Để đáp ứng nhu cầu tự học tập và rèn luyện của các em học sinh, giúp các em tiếp cận gần hơn với các kì thi lớn Thầy đã biên tập một cách hệ thống  về chuyên đề “Giải Phương Trình” – một trong những chuyên đề quan trọng có mặt khắp các chuyên đề khác của toán học. Các em hoàn toàn có thể tự học một cách dễ dàng, kể cả học sinh THCS muốn nâng cao trình độ tư duy toán học. Kiến thức được hệ thống từ dễ đến khó. Hãy chuẩn bị Nghị Lực - Sức Lực và một chút Trí lực cho hành trình khám phá tri thức trong tài liệu này nhé ! Good luck !

P/s. Kiến tha lâu đầy tổ, người khắc khổ ắt thành công!

 Thầy Minh Phúc

1. Phương trình bậc 1.

Phương trình bậc nhất là phương trình có dạng trong đó

 Phương trình này luôn có một nghiệm là

Ví dụ1: Giải phương trình

 a)   b)   c)

 Các em cần xác định các hằng số và một cách chính xác trước khi giải

• Ở câu a) ta có vậy ta sẽ có lời giải như sau

• Ở câu b) ta có vậy ta sẽ có lời giải như sau

• Ở câu c) ta có   ( Lưu ý là hằng số được viết trước biến số ) vậy ta sẽ có lời  giải như sau

2. Phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng

Để giải phương trình này các em xác định rõ các hệ số sau đó xem rơi vào trường hợp nào dưới đây và ta sẽ giải theo đúng trường hợp đó.

• TH1: Nếu ta có thì có hai nghiệm là và

• TH2: Nếu ta có thì có hai nghiệm là và
• TH3: Nếu không rơi vào hai trường hợp trên thì ta sẽ tính biệt thức Delta

Khi đó có thể có 3 trường hợp có thể xảy ra

• Nếu thì pt vô nghiệm
• Nếu thì pt có một nghiệm là
• Nếu thì pt có hai nghiệm được tính bởi công thức sau

 Ví Dụ 2: Giải các phương trình sau

  a)  b)  c)  

d)  e)  f)

 Trước tiên các em cần xác định các hệ số trong phương trình

• Trong bài a) ta có , ta dễ thấy rằng nên pt có hai nghiệm là 1 và . Do đó ta có bài giải như sau

• Trong bài b) ta có , ta dễ thấy rằng nên pt có hai nghiệm là và . Do đó ta có bài giải như sau

• Trong bài c) ta có , ta tính biệt thức . Do đó phương trình vô nghiệm.
• Trong bài d) ta có , ta tính biệt thức . Do đó pt có một nghiệm duy nhất . Ta có lời giải sau

• Trong bài e) ta có , ta tính biệt thức . Do đó phương trình có 2  nghiệm

Ta có lời giải sau

1. Phương trình bậc 3

Là phương trình có dạng sau

Để giải phương trình này các em cần nhẩm được một nghiệm của phương trình ( Để làm điều này các em có thể dùng máy tính !) sau đó ta sẽ sử dụng sơ đồ Hoocne để phân tích thành nhân tử.

Ta giả sử đã nhẩm được một nghiệm là . Ta viết lại các hệ số theo thứ tự như sau

Sau khi đã tính toán được các hệ số ta sẽ viết lại phương trình như sau

Đến đây ta hoàn toàn có thể giải tiếp bằng cách giải phương trình bậc hai đã được học ở trên !

Ví dụ 3: Giải phương trình sau

 Ta nhẩm được một nghiệm của phương trình là . Ta viết sơ đồ Hoocne như sau với

 Do đó ta có lời giải như sau

Ví dụ 4: Giải phương trình sau

Ta nhẩm được một nghiệm của phương trình là . Ta viết sơ đồ Hoocne như sau với

Do đó ta có lời giải như sau

 Ví dụ 5: Giải các phương trình sau

a)     Hd: Ta biến đổi về thành  

b)     Hd: Ta biến đổi về thành  

c)    Hd: Ta biến đổi về thành  

Chú ý: Để giải triệt để tất cả các phương trình bậc 3 các em phải sử dụng công thức Cardano !

1. Phương trình bậc 4

Ta có thể giải pt bậc 4 bằng sơ đồ Hoocne như trên nếu nhẩm được nghiệm.

1. Phương trình trùng phương

Là phương trình có dạng

Để giải phương trình này ta đặt với điều kiện khi đó pt trở thành phương trình sau

, ta giải pt bậc hai này theo sau đó giải .

Ví dụ 6: Giải phương trình sau

Đặt ta được phương trình sau

2. Phương trình đối xứng

Là phương trình có dạng

Để giải phương trình này ta chia hai vế cho và đặt , ta được một phương trình bậc hai theo t. Ta giải phương trình theo t sau đó giải .

Ví dụ 7: Giải phương trình sau

Giải: Ta thấy không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho ta được

Đặt ta có phương trình sau

    

    

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm .

Chú ý khi đặt ta luôn có điều kiện

Ví dụ 8: Giải các phương trình sau

a)   Hd: Phương trình có 3 nghiệm là 

b)  Hd: Phương trình có 3 nghiệm là 

1. Phương trình tựa đối xứng

Là phương trình có dạng

Để giải phương trình này ta chia hai vế cho và đặt , ta được một phương trình bậc hai theo t. Ta giải phương trình theo t sau đó giải .

Ví dụ 9: Giải phương trình sau

Giải: Ta thấy không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho ta được

Đặt ta có phương trình sau

    

    

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm .

Chú ý khi đặt ta không có điều kiện cho .

Ví dụ 10: Giải các phương trình sau

a)    Đ/s: 

b)   Đ/s: 

1. Phương trình bậc hai tam thức

Là phương trình có dạng

Ta biến đổi tương đương thành

Sau đó đặt

Ta được pt bậc hai theo sau đó giải rồi giải

Ví dụ 11: Giải pt sau

Các em chú ý ta có Do đó ta biến đổi pt tương đương như sau

Đặt ta được pt sau

    

     pt vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm

Ví dụ 12: Giải các phương trình sau

a)   Đ/s: 

b)  Đ/s: 

1. Phương trình ẩn trùng phương

Là phương trình có dạng

Để giải phương trình này ta đặt sau đó khai triển và rút gọn được pt trùng phương

 Ví dụ 13: Giải phương trình sau

 Giải: Đặt ta có phương trình sau

Ví dụ 12: Giải các phương trình sau

a)    Đ/s: 

b)    Đ/s: 

c)    Đ/s: 

Chú ý: Để giải triệt để tất cả các phương trình bậc 4 các em phải tham khảo cách giải của Ferrari – một học trò của Cardano !

Cách giải các phương trình vô tỉ và hệ phương trình sẽ được biên soạn trong thời gian gần nhất, mời các em đón đọc !

Trước khi đi vào giải một số dạng phương trình khác các em hãy xem lại các hằng đẳng thức sau để tiện lợi hơn trong quá trình giải toán !

1. Phương trình chứa dấu trị tuyệt đối
   1. Phương trình có dạng

Để giải phương trình này các em bình phương hai vế và thêm điều kiện

Ví dụ 13: Giải phương trình sau  

Các em để ý ta đã thấy do đó ta không cần đặt điều kiện cho nữa

Ta có lời giải như sau

Ví dụ 14: Giải phương trình sau 

Lần này ta cần phải có điều kiện cho , do đó khi giải được nghiệm các em phải thay vào điều kiện nếu thỏa mãn thì nhận, nếu không thỏa mãn thì loại ! Ta có lời giải như sau

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là .

Chú ý ở dòng số 3 sang dòng số 4 ta sử dụng hằng đẳng thức số 3 các em nhé !

Ví dụ 15. Giải các phương trình sau

 a)   Đ/s:  

 b)   Đ/s:  

1. Phương trình dạng

Để giải phương trình này các em bình phương hai vế mà không cần thêm điều kiện nào cả !

Ví dụ 16: Giải phương trình sau 

Ta có lời giải như sau

Vậy phương trình có 4 nghiệm là .

Chú ý rằng ta không cần phải loại nghiệm như đã làm ở ví dụ 14.