Quan hệ vuông góc (full)

0

------

A.  C¸c vÊn ®Ò chÝnh:

1. VÐc t¬, c¸c phÐp to¸n vÐc t¬ trong kh«ng gian vµ øng dông.
2. Chøng minh vu«ng gãc: ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng,

®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng, 2 mÆt ph¼ng vu«ng gãc.

3. C¸c bµi to¸n tÝnh gãc: Gãc gi÷a 2 ®­êng th¼ng, gãc gi÷a ®­êng th¼ng

vµ mÆt ph¼ng, gãc gi÷a 2 mÆt ph¼ng.

4. C¸c bµi to¸n tÝnh kho¶ng c¸ch: Tõ 1 ®iÓm ®Õn 1 ®­êng th¼ng, ®Õn 1

mÆt ph¼ng, kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®­êng th¼ng chÐo nhau.

5. Bµi to¸n dùng thiÕt diÖn, tÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn.

B.  Bµi tËp:

Lo¹i 1: Chøng minh ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng, víi ®­êng th¼ng:

1. Cho tø diÖn S.ABC cã SA vu«ng gãc víi (ABC) vµ tam gi¸c ABC vu«ng ë B.

a)      Chøng minh BC (SAB)

b)      Gäi AH lµ ®­êng cao cña SAB. Chøng minh: AH (SBC)

2. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi t©m O; gäi I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm AB, BC. BiÕt SA = SC, SB = SD. Chøng minh r»ng:

a)      SO (ABCD)

b)      IJ (SBD)

3. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O vµ cã c¹nh SA (ABCD). Gäi H, I, K lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm A lªn SB, SC, SD.

a)      Chøng minh r»ng: CD (SAD), BD (SAC)

b)      Chøng minh: SC (AHK) vµ ®iÓm I còng thuéc (AHK)

c)      Chøng minh: HK (SAC), tõ ®ã suy ra HK AI

4. Cho tø diÖn ABCD cã ABC vµ DBC lµ 2 tam gi¸c ®Òu, gäi I lµ trung ®iÓm BC

a)      Chøng minh: BC (AID)

b)      VÏ ®­êng cao AH cña tam gi¸c AID. Chøng minh: AH (BCD)

5.  Cho tø diÖn OABC cã OA, OB, OC ®«i mét vu«ng gãc víi nhau. Gọi H lµ ®iÓm thuéc

 mp(ABC) sao cho OH (ABC). Chøng minh r»ng:

a) BC (OAH)

b) H lµ trùc t©m cña ABC

c)

6. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, mÆt bªn SAB lµ tam gi¸c ®Òu vµ SC = . Gäi H, K lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, AD.

a)      Chøng minh: SH (ABCD)

b)      Chøng minh: AC SK vµ CK SD

7. Gäi I lµ 1 ®iÓm bÊt k× n»m trong ®­êng trßn (O; R). CD lµ d©y cung cña ®­êng trßn (O) qua I. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa (O) t¹i I ta lÊy ®iÓm S víi OS = R. Gäi E lµ ®iÓm ®èi t©m cña D trªn (O). Chøng minh r»ng:

a)      Tam gi¸c SDE vu«ng ë S

a)      SD CE   c)  Tam gi¸c SCD vu«ng.

Lo¹i 2: Chøng minh 2 mÆt ph¼ng vu«ng gãc: 

2. Cho tø diÖn ABCD cã 2 mÆt ph¼ng ABC, ABD cïng vu«ng gãc víi ®¸y DBC. VÏ c¸c ®­êng cao BE, DF cña tam gi¸c BCD; ®­êng cao DK cña tam gi¸c ACD

a)      Chøng minh: AB (BCD)

b)      Chøng minh 2 mÆt ph¼ng (ABE) vµ (DFK) cïng vu«ng gãc víi (ADC)

c)      Gäi O vµ H lÇn l­ît lµ trùc t©m cña 2 tam gi¸c BCD vµ ACD. CM: OH (ADC)

3. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi c¹nh 2a; gãc BAC = 600, SA (ABCD) vµ SA = . Chøng minh:

a)      (SAC) (ABCD) vµ (SAC) (SBD)

b)      (SBC) (SDC)

4. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi t©m O, SA = SC, SB = SD.

a)      Chøng minh: SO (ABCD); (SAC) (SBD)

b)      Mét mÆt ph¼ng () ®i qua A vµ song song víi BD c¾t SB, SC, SD lÇn l­ît t¹i B’, C’, D’. Chøng minh AC’ B’D’ vµ 2 tam gi¸c AB’C’ vµ AD’C’ ®èi xøng víi nhau qua mÆt ph¼ng (SAC)

5. Cho tam gi¸c ®Òu ABC c¹nh a, I lµ trung ®iÓm cña BC, D lµ ®iÓm ®èi xøng víi A qua I. Dùng ®o¹n SD = vu«ng gãc víi (ABC). Chøng minh:

a)      MÆt ph¼ng (SAB) (SAC)

b)      MÆt ph¼ng (SBC) (SAD)

6. Trong mÆt ph¼ng (P) cho h×nh thoi ABCD víi AB = a vµ BD = . Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi (P) t¹i giao ®iÓm cña 2 ®­êng chÐo cña h×nh thoi lÊy ®iÓm S sao cho SB = a.

a)      Chøng minh tam gi¸c ASC vu«ng

b)      Chøng minh: (SAB) (SAD)

7. Cho h×nh tø diÖn ABCD cã AB = BC = a; AC = b; DC = DB = x, AD = y. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a, b, x, y ®Ó:

a)      (ABC) (BCD)

b)      (ABC) (ACD)

8. Cho ABC vu«ng t¹i A. VÏ BB’ vµ CC’ cïng vu«ng gãc víi (ABC)

a)      (ABB’) (ACC’)

b)      Gäi AH, AK lµ c¸c ®­êng cao cña c¸c tam gi¸c ABC vµ AB’C’. Chøng minh r»ng hai mÆt ph¼ng (BCC’B’) vµ (AB’C’) cïng vu«ng gãc víi (AHK)

Lo¹i 3: Gãc cña 2 ®­êng th¼ng:

9. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh thang vu«ng t¹i A vµ D, AD = DC = a, AB = 2a. SA vu«ng gãc víi AB vµ AD, SA = . TÝnh gãc cña 2 ®­êng th¼ng:

a)      SB vµ DC          (300)

b)      SD vµ BC          (cos = )

10. Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh a, gäi I lµ trung ®iÓm c¹nh AD.

  TÝnh gãc gi÷a AB vµ CI         (cos = )

17.Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A’B’C’D’

  a) TÝnh gãc gi÷a: AB’ vµ BC’; AC’ vµ CD’      (600 vµ 900)

  b) Gäi M, N, P lÇn l­ît lµ trung ®iÓm AB, BC, C’D’. H·y tÝnh gãc gi÷a: MN vµ C’D’; BD vµ

  AD’; MN vµ ; A’P vµ DN.        (600, 450, 900)

Lo¹i 4: Gãc gi÷a ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng:

18. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA = vu«ng gãc víi ®¸y. TÝnh gãc cña:

a)      SC víi (ABCD)         (600)

b)      SC víi (SAB)         

c)      SB víi (SAC)         

19. Cho h×nh vu«ng ABCD vµ tam gi¸c ®Òu SAB c¹nh a n»m trong 2 mÆt ph¼ng vu«ng gãc. Gäi I lµ trung ®iÓm AB.

a)      Chøng minh SI (ABCD) vµ tÝnh gãc hîp bëi SC víi (ABCD)  

b)      TÝnh kho¶ng c¸ch tõ B ®Õn (SAD). Suy ra gãc cña SC víi (SAD)  

c)      Gäi J lµ trung ®iÓm CD, chøng tá (SIJ) (ABCD).     

TÝnh gãc hîp bëi SI víi (SDC)        

20. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng t©m O, c¹nh a vµ SO vu«ng gãc víi ®¸y. Gäi M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm SA vµ BC. BiÕt gãc gi÷a MN vµ (ABCD) lµ 600

a)      TÝnh MN, SO         

b)      TÝnh gãc cña MN víi mÆt ph¼ng(SBD)      

Lo¹i 5: Gãc gi÷a mÆt ph¼ng vµ mÆt ph¼ng:

21. Cho tø diÖn SABC cã SA, SB, Sc ®«i mét vu«ng gãc vµ SA = SB = SC. Gäi I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm AB, BC. TÝnh gãc cña 2 mÆt ph¼ng: (SAJ) vµ (SCI)                                          (600)
22. Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu cã c¹nh ®¸y b»ng 3a, c¹nh bªn b»ng 2a.

a) TÝnh gãc gi÷a c¹nh bªn vµ mÆt ®¸y      (300)

b) TÝnh gãc t¹o bëi mÆt bªn vµ mÆt ®¸y      

23. Cho h×nh l¨ng trô ABC.A’B’C’ cã tÊt c¶ c¸c c¹nh ®¸y ®Òu b»ng a. BiÕt gãc t¹o bëi c¹nh bªn vµ mÆt ®¸y lµ 600 vµ h×nh chiÕu H cña ®Ønh A lªn (A’B’C’) trïng víi trung ®iÓm cña B’C’.

a) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a 2 mÆt ®¸y      (3a/2)

b) TÝnh gãc gi÷a 2 ®­êng th¼ng: BC vµ AC’     (tan = 3)

c) TÝnh gãc gi÷a mÆt ph¼ng (ABB’A’) vµ mÆt ®¸y    

24. Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a, vÏ SA = vu«ng gãc víi (ABCD). TÝnh gãc:

a)      (SAB) vµ (ABC)         (900)

b)      (SBD) vµ (ABD)         

c)      (SAB) vµ (SCD)          (300)

18. Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a, t©m O; SA vu«ng gãc víi (ABCD). TÝnh SA theo a ®Ó gãc gi÷a (SBC) vµ (SCD) b»ng 600                                                                                                                (SA = a)
19. Cho h×nh thoi ABCD c¹nh a cã t©m O vµ OB = , vÏ SO (ABCD) vµ SO =

a)      Chøng minh: gãc ASC = 900

b)      Chøng minh: (SAB) (SAD)

20. Cho tø diÖn ABCD cã ABC lµ tam gi¸c ®Òu, DBC vu«ng c©n t¹i D.

  BiÕt AB = 2a, AD = . TÝnh gãc gi÷a (ABC) vµ (DBC)    (300)

Lo¹i 6: C¸c bµi to¸n vÒ kho¶ng c¸ch:

21. Cho tø diÖn ABCD cã BCD lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, AB (BCD) vµ AB = a. TÝnh k/c:

a)      Tõ D ®Õn (ABC)         ()

b)      Tõ B ®Õn (ACD)           ()

22. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a, mÆt bªn SAB vu«ng gãc víi ®¸y vµ SA = SB = b. TÝnh kho¶ng c¸ch:

a)      Tõ S ®Õn (ABCD)         ()

b)      Tõ trung ®iÓm I cña CD ®Õn (SHC), H lµ trung ®iÓm AB   ()

c)      Tõ AD ®Õn (SBC)         ()

23. Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a. SC = SA = SB = AD = a.

Gäi I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AD vµ BC

a)      Chøng minh (SIJ) (SBC)

b)      TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®­êng th¼ng AD vµ SB    ()

24. Cho h×nh l¨ng trô ABC.A’B’C’ cã AA’ (ABC) vµ AA’ = a, ®¸y lµ tam gi¸c vu«ng t¹i A cã BC = 2a, AB = a.

a)      TÝnh kho¶ng c¸ch tõ AA’ ®Õn mÆt ph¼ng(BCC’B’)    ()

b)      TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn (A’BC)      ()

c)      Chøng minh r»ng  AB vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng(ACC’A’) vµ tÝnh kho¶ng c¸ch tõ A’ ®Õn (ABC’)                                                                                                                                            ()

25. Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a. Dùng SA = a vµ SA (ABCD). Dùng vµ tÝnh ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc chung cña:

a) SB µ AD   b) AB vµ SC      (;)

26. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA = a vµ vu«ng gãc víi ®¸y. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®­êng th¼ng:

a) SC vµ BD   b) AC vµ SD             (;)