quy hoạch thực nghiệm

KHOẢNG TIN CẬY CHO TỈ LỆ

 Nếu biến ngẫu nhiên gốc không tuân theo luật phân phối chuẩn, việc xác định khoảng tin cậy cho EX sẽ rất phức tạp và đòi hỏi các kỹ thuật hiện đại hơn. Tuy nhiên trong trường hợp n đủ lớn, cả hai thống kê Z trong: và T trong

  đều có phân phối xấp xỉ chuẩn N(0,1). Do đó các thủ tục ước lượng khoảng làm giống như bài toán phương sai đã biết.

Ta xét một trường hợp cụ thể khi dấu hiệu X~ B(1,p) ( phân phối Béc nu li). Khi đó nếu ta chọn ra phần tử từ tập nền (theo dạng mẫu ngẫu nhiên) thì số lần xuất hiện dấu hiệu quan tâm cùng phân phối với X. Như vậy chính là tần số ước lượng điểm của xác suất hay tỉ lệ . Mặt khác từ kết quả chương BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT,  sẽ có phân phối nhị thức B(n,p), từ đó và . Nếu ta chọn thống kê (với là tần suất mẫu xuất hiện dấu hiệu quan tâm)

                           (*)

Thì khi n khá lớn

Bài toán 1 ( tìm khoảng tin cậy cho xác suất)

Dựa vào (*) ta có 2 cách đi tìm khoảng tin cậy khi n đủ lớn.

1)     Chọn , ta có

(khoảng tin cậy đối xứng). Gỉai hệ bất phương trình trên đối với p

                                            .

Gỉai và tìm nghiệm phương trình bậc 2 ở vế trái, ta có 2 nghiệm

                              (**)

Và khoảng tin cậy cần tìm sẽ là (, với . Tuy nhiên việc tính toán theo (**) sẽ khá khó khăn.

2)     Ta tìm ước lượng khoảng gần đúng theo cách khác. Để ý nếu n khá lớn, thống kê

Với được thay bằng ước lượng điểm . Bây giờ quy trình giải bài toán này đã có thể được áp dụng (thay bằng f, thay bằng

Từ đó:

a, Khoảng tin cậy đối xứng

 ( )

b, Khoảng tin cậy phải và

( )

c, Khoảng tin cậy trái: với như trên

( )

Cuối cùng, nếu ký hiệu là độ chính xác của ước lượng khoảng đối xứng, ta có quan hệ:

Thí dụ Kiểm tra ngẫu nhiên 600 sản phẩm của một máy dap65 thấy có 24 phế phẩm. Với độ tin cậy hãy ước lượng tỷ lệ phế phẩm tối đa của máy đó.

Gỉai:

 Gọi p là xác suất sản xuất ra phế phẩm của máy trên

Ta sẽ dùng khoảng tin cậy trái

Tra bảng laplace ; từ đó

( )( )

Hay tỉ lệ phế phẩm tối đa là 0,05312=5,312%

Thí dụ. Phỏng vấn 400 người ở một khu vực 3000000 người thấy có 240 người ủng hộ dự luật A. Với độ tin cậy 0,95 hãy ước lượng số  người ủng hộ dự luật A trong khu vực bằng khoảng tin cậy đối xứng.

Gỉai

Gọi p là tỷ lệ người ủng hộ dự luật A và ta sử dụng khoảng tin cậy đối xứng

Tra bảng phân phối Student

Vậy khoảng tin cậy cần tìm của p là

Do đó khoảng tin cậy của số người ủng hộ dự luật A ở vùng đó là:

(300000.