SANG KIEN KINH NGHIEM

                            S¸ng kiÕn kinh nghiÖm

“ båi d­ìng häc sinh giái m«n to¸n ,,

I . ®Æt vÊn ®Ò

  §Êt n­íc ta ®ang trong thêi k× c«ng nghiÖp, hãa hiÖn ®¹i hãa ®Êt n­íc. NhiÖm vô cña ngµnh gi¸o dôc lµ ®µo t¹o nh÷ng con ng­êi lao ®éng míi cã ®ñ tµi n¨ng, trÝ tuÖ ®Ó tiÕp thu nh÷ng thµnh tùu khoa häc kÜ thuËt vµ  c«ng nghÖ tiªn tiÕn cña thÕ giíi  ¸p dông vµo viÖc ph¸t triÓn kinh tÕ cña ®Êt n­íc. Tõng b­íc ®­a n­íc ta trë thµnh mét n­íc c«ng nghiÖp. §Ó lµm ®­îc ®iÒu ®ã th× ngµnh gi¸o dôc nãi chung vµ mçi ng­êi gi¸o viªn nãi riªng ph¶i tõng b­íc ®æi míi ph­¬ng ph¸p gi¶ng d¹y,kh«ng ngõng häc hái ®Ó n©ng cao tr×nh ®é chuyªn m«n nghiÖp vô cña b¶n th©n .

  Muèn c«ng nghiÖp hãa, hiÖn ®¹i hãa thµnh c«ng th× ph¶i kh«ng ngõng ®µo t¹o nh©n lùc , båi d­ìng nh©n tµi. Do ®ã viÖc båi d­ìng nh©n tµi lµ mét nhiÖm vô rÊt quan träng cña ngµnh gi¸o dôc vµ cña mçi ng­êi gi¸o viªn. Båi d­ìng nh©n tµi ph¶i ®­îc thùc hiÖn sím tõ bËc tiÓu häc, trung häc c¬ së . ViÖc båi d­ìng nh©n tµi ë bËc trung häc c¬ së ®­îc thÓ hiÖn ë båi d­ìng häc sinh giái, trong ®ã cã båi d­ìng häc sinh giái m«n To¸n .

   Lµ gi¸o viªn gi¶ng d¹y m«n To¸n THCS , t«i cã nhiÒu n¨m  tham gia vµo c«ng t¸c båi d­ìng häc sinh giái m«n To¸n vµ rót ra mét sè kinh nghiÖm . Sau ®©y t«i xin tr×nh bµy mét sè kinh nghiÖm båi d­ìng häc sinh giái m«n To¸n ®Ó quý thÇy c« vµ c¸c b¹n ®ång nghiÖp cïng tham kh¶o .

II. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò

   §Ó båi d­ìng häc sinh giái To¸n cã hiÖu qu¶ theo t«i ph¶i lµm  ®­îc nh÷ng c«ng viÖc sau :

-           §Çu n¨m  ph©n lo¹i ®èi t­îng häc sinh, chän nh÷ng em häc kh¸ To¸n trë lªn vµ ch¨m häc vµo ®éi tuyÓn HSG To¸n .

-         ChuÈn bÞ tµi liÖu , s¸ch tham kh¶o , s¸ch n©ng cao m«n To¸n.

-         So¹n néi dung båi giái , trong néi dung båi giái ph¶i hÖ thèng, ph©n lo¹i ®­îc tõng d¹ng To¸n ë khèi ®­îc ph©n c«ng båi .

-         Lªn kÕ ho¹ch båi giái theo tõng tuÇn .

B¶n th©n t«i nhiÒu n¨m ®­îc ph©n c«ng båi d­ìng häc sinh giái To¸n 7 vµ ®· ®¹t ®­îc mét sè kÕt qu¶ nhÊt ®Þnh. Sau ®©y t«i xin lÊy mét sè vÝ dô cô thÓ khi båi d­ìng häc sinh giái m«n To¸n 7 .

1. Tµi liÖu : N©ng cao vµ ph¸t triÓn To¸n 7 , N©ng cao vµ c¸c chuyªn ®Ò To¸n 7 , Båi d­ìng To¸n 7 , To¸n ph¸t triÓn .....
2. KÕ ho¹ch båi giái : D¹y tõ 2 – 3 buæi trong mét tuÇn b¾t ®Çu tõ 15/9
3. Mét sè d¹ng To¸n c¬ b¶n líp 7 :

-         D¹ng to¸n tÝnh to¸n .

-         D¹ng to¸n t×m  x , t×m x, y lµ sè nguyªn

-         D¹ng to¸n vÒ tØ lÖ thøc vµ d·y tØ sè b»ng nhau .

-         D¹ng to¸n vÒ ®å thÞ hµm sè y = ax .

-         D¹ng to¸n vÒ chia hÕt .

-         D¹ng to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt , gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc .

-         D¹ng to¸n t×m gi¸ nguyªn cña biÕn ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ nguyªn .

-         D¹ng to¸n vÒ ®a thøc , gi¸ trÞ cña biÓu thøc ®¹i sè .

-         D¹ng to¸n vÒ chøng minh hai tam gi¸c b»ng nhau, hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau , hai gãc b»ng nhau , hai ®o¹n th¼ng vu«ng gãc .

-         D¹ng to¸n vÒ tÝnh sè ®o gãc , tÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng .

-         ...................................................................

Ngoµi nh÷ng c«ng viÖc trªn th× viÖc gi¶ng d¹y lµ quan träng nhÊt . Khi gi¶ng d¹y ph¶i d¹y cho häc sinh theo tõng d¹ng to¸n , theo tõng chuyªn ®Ò . ë mçi d¹ng to¸n ph¶i nªu bËt cho häc sinh c¸ch lµm  vµ khai th¸c bµi to¸n ë nhiÒu khÝa c¹nh kh¸c nhau.

VÝ dô 1 : TÝnh A = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + ....+ 32007

+Ph©n tÝch ®Ò bµi

-         BiÓu thøc A lµ tæng c¸c lòy thõa c¬ sè 3 cã sè mò tõ 0 ®Õn 2007

-         §Ó tÝnh biÓu thøc A ta xÐt biÓu thøc 3A hoÆc – 3A sau ®ã tÝnh  3A – A hoÆc              A – 3A ta sÏ t×m  ®­îc gi¸ trÞ cña biÓu thøc A .

 + Lêi gi¶i :

  Ta cã 3A = 3 + 32 + 33 + 34 + ....+ 32008

XÐt 3A – A = 32008 – 1

             2A  = 32008 – 1

                A  =

+ Tæng qu¸t c¸ch gi¶i :

       §Ó tÝnh A = 1 + a + a2 + a3 + ... + an

        XÐt aA – A tõ ®ã tÝnh A

 + Khai th¸c : Tõ bµi to¸n trªn ta cã c¸c bµi to¸n t­¬ng tù sau

  Bµi 1 : TÝnh

           a)     B = 22 + 24 + 26 + ....+ 22008

           b)     C = + + + ... +

c)     D =

 Bµi 2 : So s¸nh

     A = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + ....+ 32007 vµ  B = 32008 – 1

 Bµi 3 : T×m x biÕt

        x + 3x + 32x + 33x + 34x + ....+ 32007 x = 32008 – 1

 VÝ dô 2 : T×m x biÕt :   + 3 = 7 (1)

 + Ph©n tÝch ®Ò bµi

-         Ta thÊy x n»m trong dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi , ®Ó t×m  x ta ph¶i bá ®­îc dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi .

-         Bá dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng c¸ch xÐt biÓu thøc 2x – 1 khi nµo ©m , khi nµo kh«ng ©m . HoÆc vËn dông tÝnh chÊt =

 + Lêi gi¶i :

  C¸ch 1 :                  + 3 = 7

                                      =  4

   2x – 1 = 4 hoÆc 2x – 1 = - 4

   x = 2,5 hoÆc x = - 1,5

  C¸ch 2 : NÕu 2x – 1 0 suy ra x 0,5 th× (1) cã d¹ng :

                    2x – 1 + 3 = 7

               x    =  2,5    ( tháa m·n x 0,5 )

                NÕu  2x – 1 < 0  suy ra x < 0,5 th× (1) cã d¹ng :

                            -( 2x – 1 ) + 3 = 7

                                     - 2x =   3

                                          x = - 1,5  ( tháa m·n x < 0,5)

             VËy x = 2,5 hoÆc x = - 1,5

Tæng qu¸t c¸ch gi¶i :

D¹ng to¸n t×m  x trong dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi chia thµnh mét sè d¹ng sau:

D¹ng 1:       = a     (a0 )

                  A(x) =a

 D¹ng 2:       =       A(x) = B(x)

  D¹ng 3:      = ...

  C¸ch gi¶i:LËp b¶ng xÐt dÊu ®Ó bá gi¸ trÞ tuyÖt ®èi.

  D¹ng 4:   + + 0

                   A(x) =0

                  vµ  B(y) =0

                  vµ  C(z) =0

 + Khai th¸c : Tõ bµi to¸n (1) ta cã bµi to¸n t­¬ng tù sau.

                 a) + 3x = 7

                 b)  +3 = 7x

                 c)  +3x = 7x

  VÝ dô 3 : T×m x , biÕt :   = 10x    (2)

   + Ph©n tÝch:

      - Ta cã thÓ gi¶i bµi to¸n nh­ vÝ dô 2.

      - HoÆc ta xÐt vÕ ph¶i tõ ®ã bá dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ë vÕ tr¸i.

  + Lêi gi¶i.

-         NÕu x< 0 th× 10x < 0 khi ®ã kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x tháa m·n (2).

-           NÕu x0 th× 10x 0 vµ x+1 > 0 nªn (2) cã d¹ng :

                  x + 1 = 10x

                 x =     ( tháa m·n x 0 )

                 VËy x =

  + Khai th¸c : Tõ c¸ch gi¶i cña bµi to¸n trªn ta cã thÓ gi¶i  c¸c bµi to¸n khã h¬n sau:

  T×m x , biÕt:

                     a) + + + ...  = 10x

                     b)  + + + .... + = 100x

                     c)  + + + + .... + = ( 32008 + 2007 )x

VÝ dô 4 : Cho tØ lÖ thøc =   ( gi¶ thiÕt c¸c biÓu thøc ®Òu cã nghÜa ) . Chøng minh

    a) =

    b) = 

 + Ph©n tÝch ®Ò bµi :

  Ta thÊy tö vµ mÉu cña c¸c tØ sè cã a + b , c + d . §Ó gi¶i bµi to¸n nµy ta cã thÓ sö dông tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc vµ d·y tØ sè b»ng nhau hoÆc biÕn ®æi VT , VP cña ®¼ng thøc .

 + Lêi gi¶i :

a) C¸ch 1 :   Tõ tØ lÖ thøc =   -> = ->

     C¸ch 2 :   Tõ tØ lÖ thøc =   ->   + 1 = + 1  hay

     C¸ch 3 :  §Æt = = t  -> a = bt , c = dt

                   Ta cã         ( 1 )

                                    (2)

                    Tõ (1) vµ (2) suy ra  

     C¸ch 4 : Tõ =   -> ad = bc ->     ad + bd = bc + bd       hay ( a + b)d = ( c+d )b       ->

a)     C¸ch 1 :  Tõ tØ lÖ thøc =   -> = -> (1)

                       Mµ   (2)

                Tõ (1) vµ (2) suy ra = 

     C¸ch 2 :   §Æt = = t  -> a = bt , c = dt

    Ta cã   = =      (3)

               = =     (4)

     Tõ (3) vµ (4) suy ra  = 

+Khai th¸c : Tõ kÕt qu¶ cña bµi to¸n trªn ta cã c¸c bµi to¸n t­¬ng tù sau

     Bµi 1 : Cho tØ lÖ thøc =   . Chøng minh

    a)

    b ) = 1

    c)

  Bµi 2 :  Cho tØ lÖ thøc = vµ a + b = c + d  . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc

 VÝ dô 5 : Cho x , y lµ c¸c sè nguyªn . Chøng minh 2x + y

    + Ph©n tÝch : §Ó gi¶i bµi to¸n nµy ta sö dông tÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng hoÆc mét hiÖu.

   + Lêi gi¶i :

     XÐt  A = 3( 2x + y ) + ( 9x + 2y ) = 15x + 5y = 5( 3x + y )

   NÕu 2x + y th×  3( 2x + y ) mµ A nªn 9x + 2y

   NÕu 9x + 2y mµ A suy ra 3( 2x + y ) mµ ( 3 ; 5 ) = 1 nªn 2x + y

 NhËn xÐt c¸ch gi¶i : §Ó gi¶i bµi to¸n nµy ta ph¶i lËp ®­îc mét biÓu thøc chia hÕt cho 5 vµ trong biÓu thøc A ph¶i chøa hai biÓu thøc 2x + y vµ 9x + 2y . Sau ®ã sö dông tÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng hoÆc mét hiÖu ®Ó chøng minh .

   + Khai th¸c : Tõ bµi to¸n trªn ta cã c¸c bµi to¸n cã c¸ch gi¶i  t­¬ng tù sau:

  Cho a , b lµ c¸c sè nguyªn . Chøng minh

a)     a + 3b 2 a + b 2

b)     5a + 2b 13  a + 3b 13

c)     2a – b  4   5a + b 4

 III. KÕt luËn

   Qua nhiÒu n¨m  thùc hiÖn c«ng t¸c båi giái m«n To¸n 7 t«i thÊy ®a sè häc sinh n¾m ®­îc c¸ch lµm c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n . KÕt qu¶ lµ tØ lÖ häc sinh ®ç HSG To¸n 7 cÊp huyÖn hµng n¨m ®¹t cao vµ æn ®Þnh . §éi tuyÓn HSG To¸n 7 nhiÒu n¨m ®¹t gi¶i nhÊt nh× ®ång ®éi .

  Do trong khu«n khæ cña mét chuyªn ®Ò , t«i kh«ng thÓ tr×nh bµy hÕt ®­îc c¸c d¹ng To¸n båi giái cña m«n to¸n 7 vµ kh«ng tr¸nh khái nh÷ng sai sãt . KÝnh mong ®­îc sù ®ãng gãp ý kiÕn , chØ b¶o cña quý thµy c« vµ c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó b¶n th©n ngµy cµng cã nhiÒu kinh nghiÖm h¬n n÷a trong c«ng t¸c båi d­ìng häc sinh giái .

                                                             Canh T©n, ngµy 20 th¸ng 5 n¨m 2007

                                                                                    Ng­êi viÕt

                                    Vò Do·n Chinh