Lêi nãi ®Çu

 To¸n häc lµ mét trong nh÷ng m«n häc cã vÞ trÝ quan träng trong nhµ tr­êng. D¹y to¸n lµ d¹y ph­¬ng ph¸p suy luËn khoa häc. Häc to¸n lµ rÌn luyÖn kh¶ n¨ng t­ duy l«gic, cßn gi¶i to¸n lµ mét ph­¬ng tiÖn rÊt tèt trong viÖc n¾m v÷ng tri thøc, ph¸t triÓn t­ duy, h×nh thµnh kü n¨ng, kü x¶o. To¸n häc lµ mét c«ng cô vÜ ®¹i lµm gi¶m nhÑ c«ng viÖc trong c¸c lÜnh vùc kh¸c nhau. To¸n häc kh«ng  ph¶i lµ sù th«ng minh s¸ch vë kh« khan, nh»m chäc tøc nh÷ng ng­êi Ýt quan t©m còng kh«ng ph¶i lµ nh÷ng tÝnh to¸n ngèc nghÕch chØ ®em l¹i kÕt qu¶ lµ thuéc lßng mét tãm t¾t, c«ng thøc. Trong th­ cña Thñ t­íng Ph¹m V¨n §ång göi c¸c b¹n trÎ yªu To¸n viÕt:   “ Trong c¸c m«n khoa häc kü thuËt, to¸n häc gi÷ mét vÞ trÝ ®Æc biÖt, nã cã t¸c dông lín ®èi víi s¶n xuÊt vµ chiÕn ®Êu”.

 Trong To¸n häc, Ph©n m«n Sè häc lµ ph©n m«n m«n cã tõ l©u ®êi nhÊt vµ cã nhiÒu sù hÊp dÉn. C¸c bµi to¸n sè häc ®· cuèn hót vµ lµm say mª lßng ng­êi: Tõ c¸c nhµ to¸n häc lçi l¹c cña mäi thêi ®¹i ®Õn ®«ng ®¶o c¸c b¹n trÎ yªu to¸n. ThÕ giíi c¸c con sè quen thuéc ®èi víi chóng ta trong cuéc sèng hµng ngµy, nh­ng nã còng lµ mét thÕ giíi hÕt søc kú l¹ vµ ®Çy bÝ Èn. Loµi ng­êi ®· ph¸t hiÖn trong ®ã biÕt bao tÝnh chÊt, bao quy luËt ®ång thìi còng ®au ®Çu ch­a thÓ chøng minh ®­îc mét sè nh÷ng dù kiÕn, dù ®o¸n to¸n häc. Mét ®iÒu lý thó lµ cã nhiÒu mÖnh ®Ò khã cña sè häc l¹i ®­îc ph¸t biÓu rÊt ®¬n gi¶n, rÊt dÔ hiÓu. NhiÒu bµi to¸n  sè häc khã nh­ng l¹i cã thÓ gi¶i quyÕt s¸ng t¹o víi nh÷ng kiÕn thøc sè häc rÊt phæ th«ng. Trong sè häc, chóng ta cßn cã nh÷ng vÊn ®Ò míi ®Çy bÝ Èn ®ang chê ®ãn. ChÝnh v× lÏ ®ã mµ c¸c bµi to¸n sè häc lu«n cã mÆt trong c¸c ®Ò thi chän häc sinh giái to¸n ë tÊt c¶ c¸c cÊp häc vµ ®èi víi hÇu hÕt c¸c n­íc trªn thÕ giíi.

 Lµ mét bé phËn cña Sè häc, Sè nguyªn tè còng tùu chung ®Çy ®ñ c¸c yÕu tè trªn, lµm quen ®èi víi sè nguyªn tè  vµ yªu thÝch sè nguyªn tè, chóng ta cµng thÊy râ ch©n lý: “To¸n häc lµ m«n thÓ dôc cña trÝ tuÖ” . Nã gióp rÌn luyÖn ®­îc

1

 


tÝnh kiªn tr× v­ît khã, t­ duy l«gic vµ tÝnh s¸ng t¹o.

 VÒ sè nguyªn tè trong ch­¬ng tr×nh häc ,gi¸o viªn míi dõng ë møc ®é gióp häc sinh cã ®­îc hiÓu biÕt s¬ ®¼ng nhÊt vÒ sè nguyªn tè nh­: ®Þnh nghÜa sè nguyªn tè, nh÷ng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña sè nguyªn tè vµ c¸c bµi tËp ¸p dông lý thuyÕt ®¬n thuÇn. V× vËy khi gÆp nh÷ng bµi to¸n vÒ sè nguyªn tè ë d¹ng tæng qu¸t vµ phøc t¹p, häc sinh th­êng hay lóng tóng vµ bÕ t¾c.

 Lµ gi¸o viªn, t«i thÊy viÖc gióp ®ì c¸c em häc sinh, nhÊt lµ c¸c em häc sinh kh¸ giái t×m hiÓu s©u s¾c h¬n vÒ sè nguyªn tè  lµ mét viÖc lµm rÊt cÇn thiÕt. Víi nh÷ng lý do ®ã, cïng víi sù tr¨n trë, say mª nghiªn cøu, t×m tßi häc hái, t«i m¹nh d¹n tr×nh bµy mét sè quan ®iÓm khi gi¶ng d¹y chuyªn ®Ò “Sè nguyªn tè” trong tr­êng trung häc c¬ së víi ®èi t­îng lµ häc sinh kh¸ vµ giái.

 Trong ph¹m vi chuyªn ®Ò nµy, t«i tr×nh bµy nh÷ng néi dung sau:

 PhÇn thø nhÊt: Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ sè nguyªn tè. PhÇn nµy t«i nh»m hÖ thèng l¹i c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ sè nguyªn tè mµ chóng ta sÏ sö dông gi¶i bµi tËp.

 PhÇn thø hai: Mét sè bµi to¸n c¬ b¶n vÒ sè nguyªn tè líp 6. C¸c bµi tËp trong phÇn nµy ®­îc ®­a vµo theo c¸c d¹ng vµ cã tr×nh bµy lêi gi¶i.

 

PhÇn I

Tãm t¾t

Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n

VÒ sè nguyªn tè

I/ §Þnh nghÜa

1) Sè nguyªn tè lµ nh÷ng sè tù nhiªn lín h¬n 1, chØ cã 2 ­íc sè lµ 1 vµ chÝnh nã.

VÝ dô: 2, 3, 5, 7 11, 13,17, 19....

1

 


2) Hîp sè lµ sè tù nhiªn lín h¬n 1 vµ cã nhiÒu h¬n 2 ­íc

VÝ dô: 4 cã 3 ­íc sè: 1 ;  2  vµ  4 nªn  4 lµ  hîp  sè.

3) C¸c sè 0 vµ 1 kh«ng ph¶i lµ sã nguyªn tè còng kh«ng ph¶i lµ hîp sè

4) BÊt kú sè tù nhiªn lín h¬n 1 nµo còng cã Ýt nhÊt mét ­íc  sè nguyªn tè

II/ Mét sè ®Þnh lý c¬ b¶n

1) §Þnh lý 1: D·y sè nguyªn tè lµ d·y sè v« h¹n

Chøng minh:

Gi¶ sö chØ cã h÷u h¹n sè nguyªn tè lµ p1; p2; p3; ....pn. trong ®ã pn lµ sè lín nhÊt trong c¸c nguyªn tè. XÐt sè N = p1 p2 ...pn +1  th× N chia cho mçi sè nguyªn tè pi (1 i n) ®Òu d­ 1                                          (1)

MÆt kh¸c N lµ mét hîp sè (v× nã lín h¬n sè nguyªn tè lín nhÊt lµ pn) do ®ã N ph¶i cã mét ­íc nguyªn tè nµo ®ã, tøc lµ N chia hÕt cho mét trong c¸c sè pi

(1 i n).     (2)

Ta thÊy (2) m©u thuÉn (1).

VËy kh«ng thÓ cã h÷u h¹n sè nguyªn tè.

2/ §Þnh lý 2:

Mäi sè tù nhiªn lín h¬n 1 ®Òu ph©n tÝch ®­îc ra thõa sè nguyªn tè mét c¸ch duy nhÊt (kh«ng kÓ thø tù c¸c thõa sè).

Chøng minh:

* Mäi sè tù nhiªn lín h¬n 1 ®Òu ph©n tÝch ®­îc ra thõa sè nguyªn tè:

ThËt vËy: gi¶ sö ®iÒu kh¼ng ®Þnh trªn lµ ®óng víi mäi sè m tho¶ m·n:   

  1< m < n  ta chøng minh ®iÒu ®ã ®óng víi mäi n.

NÕu n lµ nguyªn tè, ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.

NÕu n lµ hîp sè, theo ®Þnh nghÜa hîp sè, ta cã: n = a.b (víi a, b < n)

Theo gi¶ thiÕt quy n¹p: a vµ b lµ tÝch c¸c thõa sè nhá h¬n n nªn n lµ tÝch c¶ c¸c thõa sè nguyªn tè.

1

 


* Sù ph©n tÝch lµ duy nhÊt:

Gi¶ sö mäi sè m < n  ®Òu ph©n tÝch ®­îc ra thõa sè nguyªn tè mét c¸ch duy nhÊt, ta chøng minh ®iÒu ®ã ®óng víi n:

NÕu n lµ sè nguyªn tè th× ta ®­îc ®iÒu ph¶i chøng minh.

NÕu n lµ hîp sè: Gi¶ sö cã 2 c¸ch ph©n tÝch n ra thõa sè nguyªn tè kh¸c nhau:

n = p.q.r....

n = p.q.r....

Trong ®ã p, q, r ..... vµ p, q, r.... lµ c¸c sè nguyªn tè vµ kh«ng cã sè nguyªn tè nµo còng cã mÆt trong c¶ hai ph©n tÝch ®ã (v× nÕu cã sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn nh­ trªn, ta cã thÓ chia n cho sè ®ã lóc ®ã th­êng sÏ nhá h¬n n, th­¬ng nµy cã hai c¸ch ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè kh¸c nhau, tr¸i víi gi¶ thiÕt cña quy n¹p).

Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, ta cã thÓ gi¶ thiÕt p vµ p lÇn l­ît lµ c¸c sè nguyªn tè nhá nhÊt trong ph©n tÝch thø nhÊt vµ thø hai.

V× n lµ hîp sè nªn n > p2 vµ n > p’2

Do  p = p => n > p.p

XÐt m = n  -   pp  <  n  ®­îc ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè mét c¸ch duy nhÊt ta thÊy:

p \ n => p \ n – pp hay p \ m

p\ n => p\ n – pp hay p \ m

Khi ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè ta cã:

m = n - pp = pp . P.Q ... víi P, Q P ( P  lµ tËp c¸c sè nguyªn tè)   

     pp’ \ n = pp \ p.q.r ... => p \  q.r ... => p lµ ­íc nguyªn tè cña q.r ...

Mµ p kh«ng trïng víi mét thõa sè nµo trong q,r ... (®iÒu nµy tr¸i víi gØa thiÕt quy n¹p lµ mét sè nhá h¬n n ®Òu ph©n tÝch ®­îc ra thõa sè nguyªn tè mét c¸ch duy nhÊt).

1

 


VËy, ®iÒu gi¶ sö kh«ng ®óng, n kh«ng thÓ lµ hîp sè mµ n ph¶i lµ sè nguyªn tè (§Þnh lý ®­îc chøng minh).

III/ C¸ch nhËn biÕt mét sè nguyªn tè

C¸ch 1

Chia sè ®ã lÇn l­ît cho c¸c nguyªn tè  tõ nhá ®Õn lín: 2; 3; 5; 7...

NÕu cã  mét phÐp chia hÕt th× sè ®ã kh«ng nguyªn tè.

NÕu thùc hiÖn phÐp chia cho ®Õn lóc th­¬ng sè nhá h¬n sè chia mµ c¸c phÐp chia vÉn cã sè d­ th× sè ®ã lµ nguyªn tè.

C¸ch 2:

Mét sè cã hai ­íc sè lín h¬n 1 th× sè ®ã kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè

Cho häc sinh líp 6 häc c¸ch nhËn biÕt 1 sè nguyªn tè b»ng ph­¬ng ph¸p thø nhÊt (nªu ë trªn), lµ dùa vµo ®Þnh lý c¬ b¶n:

¦íc sè nguyªn tè nhá nhÊt cña mét hîp sè A lµ mét sè kh«ngv­ît qu¸ A.

§Æc biÖt: Víi d·y 25 sè nguyªn tè nhá h¬n 100 nªn cho häc sinh häc thuéc, tuy nhiªn khi g¨p 1 sè a nµo ®ã (a < 100) muèn xÐt xem a lµ sè nguyªn tè hay hîp sè ta thö a cã chia hÕt cho 2; 3; 5; 7 hay kh«ng.

+ NÕu a chia hÕt cho 1 trong 4 sè ®ã th× a lµ hîp sè.

+NÕu a kh«ng chia hÕt cho sè nµo ®ã trong 4 sè trªn th× a lµ sè nguyªn tè.

Víi quy t¾c trªn trong mét kho¶n thêi gian ng¾n, víi c¸c dÊu hiÖu chia hÕt th× häc sinh nhanh chãng tr¶ lêi ®­îc mét sè cã hai ch÷ sè nµo ®ã lµ nguyªn tè hay kh«ng.

HÖ qu¶:

NÕu cã sè A > 1 kh«ng cã mét ­íc sè nguyªn tè nµo tõ  2 ®Õn A th× A lµ mét nguyªn tè.

(Do häc sinh líp 6 ch­a häc kh¸i niÖm c¨n bËc hai nªn ta kh«ng ®Æt vÊn ®Ò chøng minh ®Þnh lý nµy, chØ giíi thiÖu ®Ó häc sinh tham kh¶o.).

1

 


IV/ Sè c¸c ­íc sè vµ tæng c¸c ­íc sè cña 1 sè:

Gi¶ sö: A = p1X1 . p2X2 ......pnXn  

Trong ®ã: pi P   ; xi N ; i = I, n      

a) Sè c¸c ­íc sè cña A tÝnh b»ng c«ng thøc:

T(A) = (x1 + 1)(x2 + 1) .....(xn + 1)

VÝ dô: 30 = 2.3.5 th× T(A) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8

ThËt vËy:  ¦(30) = 1;2;3;5;6;10;15;30

  ¦(30)  cã 8 ph©n tö

øng dông: Cã thÓ kh«ng cÇn t×m ¦(A) vÉn biÕt A cã bao nhiªu ­íc th«ng qua viÖc ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè.

3100 cã (100 + 1) = 101 ­íc

1000 000 000 = 109 = 29.59 cã (9 + 1)(9+1) = 100 ­íc

 ý nghÜa: Khi th«ng b¸o cho häc sinh c¸ch tÝnh sè ­íc cña mét sè c¸c em cã thÓ tin t­ëng khi viÕt mét tËp hîp ­íc cña mét sè vµ kh¼ng ®Þnh ®· ®ñ hay ch­a.

 b) Tæng c¸c ­íc mét sè cña A tÝnh b»ng c«ng thøc:

     p1X1 + 1  -  1  p2X2 + 1       -  1 pnXn + 1  -  1

 (A) =        p1  -  1    p2  -  1             pn  -  1

 

 V/ Hai sè nguyªn tè cïng nhau:

 1- Hai sè tù nhiªn ®­îc gäi lµ nguyªn tè cïng nhau khi vµ chØ khi chóng cã ­íc chung lín nhÊt (¦CLN) b»ng 1.

 a, b nguyªn tè cïng nhau <=> (a,b) = 1  a,b N

 2- Hai sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n nguyªn tè cïng nhau

 3- Hai sè nguyªn tè kh¸c nhau lu«n nguyªn tè cïng nhau

 4- C¸c sè a,b,c nguyªn tè cïng nhau <=> (a,b,c) = 1

 5- a,b,c nguyªn tè s¸nh ®«i khi chóng ®«i mét nguyªn tè cïng nhau

1

 


     a,b,c nguyªn tè s¸nh ®«i <=> (a,b) = (b,c) = (c,a) = 1

 VI/ Mét sè ®Þnh lý ®Æc biÖt

 1) §Þnh lý §irichlet

 Tån t¹i v« sè sè nguyªn tè p cã d¹ng:

 p = ax + b  (x N, a,b lµ 2 sè nguyªn tè cïng nhau).

     ViÖc chøng minh ®Þnh lý nµy kh¸ phøc t¹p, trõ mét sè tr­êng hîp ®Æc biÖt.

  VÝ dô: Chøng minh r»ng cã v« sè sè nguyªn tè d¹ng 2x – 1; 3x – 1; 4x + 3; 6x + 5.....

  2) §Þnh lý Tchebycheff

 Trong kho¶ng tõ sè tù nhiªn n ®Õn sè tù nhiªn 2n cã Ýt nhÊt mét sè nguyªn tè    (n 2).

  3) §Þnh lý Vinogradow

 Mäi sè lÎ lín h¬n 33­ lµ tæng cña 3 sè nguyªn tè.

 C¸c ®Þnh lý 2 vµ ®Þnh lý 3 ta cã thÓ giíi thiÖu cho häc sinh tham kh¶o vµ sö dông ®Ó gi¶i mét sè bµi tËp.  

 

 

1

 


PhÇn II

Mét sè bµi to¸n c¬ b¶n

VÒ sè nguyªn tè líp 6

 

D¹ng 1:

Cã bao nhiªu sè nguyªn tè d¹ng ax + b   (víi x N vµ (a,b) = 1)

Bµi tËp sè 1:

Chøng minh r»ng: cã v« sè sè nguyªn tè cã d¹ng: 3x – 1 (x1)

Gi¶i:

Gi¸o viªn gîi ý vµ h­íng dÉn häc sinh ®Ó häc sinh tù rót ra nhËn xÐt:

Mäi sè tù nhiªn kh«ng nhá h¬n 2 cã 1 trong 3 d¹ng: 3x; 3x + 1; hoÆc 3x - 1

+) Nh÷ng sè cã d¹ng 3x (víi x>1) lµ hîp sè

+) XÐt 2 sè cã d¹ng 3x + 1: ®ã lµ sè (3m + 1) vµ sè (3n + 1)

XÐt tÝch (3m + 1)(3n + 1) = 9mn + 3m + 3n + 1 = 3x + 1

TÝch trªn cã d¹ng: 3x + 1

+) LÊy mét sè nguyªn tè p cã d¹ng 3x – 1 (víi p bÊt kú p) ta lËp tÝch cña p víi tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè nhá h¬n p råi trõ ®i ta cã:

M = 2.3.5.7....p – 1 = 3(2.5.7....p) – 1

M cã d¹ng: 3x – 1

Cã 2 kh¶ n¨ng x¶y ra:

* Kh¶ n¨ng 1: M lµ sè nguyªn tè, ®ã lµ sè nguyªn tè cã d¹ng (3x – 1) > p, bµi to¸n ®­îc chøng minh.

* Kh¶ n¨ng 2: M lµ hîp sè: Ta chia M cho 2, 3, 5,....,p ®Òu tån t¹i mét sè d­ kh¸c 0 nªn c¸c ­íc nguyªn tè cña M ®Òu lín h¬n p, trong c¸c ­íc nµy kh«ng cã sè nµo cã d¹ng 3x + 1 (®· chøng minh trªn). Do ®ã Ýt nhÊt mét trong c¸c ­íc nguyªn tè cña M ph¶i cã d¹ng 3x (hîp sè) hoÆc 3x + 1....

1

 


V× nÕu tÊt c¶ cã d¹ng 3x + 1 th× M ph¶i cã d¹ng 3x + 1 (®· chøng minh trªn). Do ®ã, Ýt nhÊt mét trong c¸c ­íc nguyªn tè cña M ph¶i cã d¹ng 3x + 1, ­íc nµy lu«n lín h¬n p.

VËy: Cã v« sè sè nguyªn tè d¹ng 3x – 1.

Bµi tËp sè 2:

Chøng minh r»ng: Cã v« sè sè nguyªn tè cã d¹ng 4x + 3 (víi x N)

NhËn xÐt: C¸c sè nguyªn tè lÎ kh«ng thÓ cã d¹ng 4x hoÆc 4x + 2.

VËy chóng chØ cã thÓ tån t¹i d­íi 1 trong 2 d¹ng

4x + 1 hoÆc 4x + 3. Ta sÏ chøng minh cã v« sè sè nguyªn tè cã d¹ng 4x + 3

+) XÐt tÝch 2 sè cã d¹ng 4x + 1 lµ: 4m + 1 vµ 4n + 1

Ta cã: (4m + 1)(4n + 1)  = 16mn + 4m + 4n + 1

    = 4(4mn + m + n) + 1

    = 4x   + 1

VËy tÝch cña 2 sè cã d¹ng 4x + 1 lµ mét sè còng cã d¹ng 4x + 1

+) LÊy mét sè nguyªn tè p bÊt kú cã d¹ng 4x – 1, ta lËp tÝch cña 4p víi tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè nhá h¬n p råi trõ ®i 1 khi ®ã ta cã:

N = 4(2.3.5.7 ..... p) – 1   Cã 2 kh¶ n¨ng x¶y ra

* Kh¶ n¨ng 1:

N lµ sè nguyªn tè => N = 4(2.3.5.7....p) – 1 cã d¹ng 4x – 1.

Nh÷ng sè nguyªn tè cã d¹ng 4x – 1 còng chÝnh lµ nh÷ng sè cã d¹ng 4x + 3 vµ bµi to¸n ®­îc chøng minh.

* Kh¶ n¨ng 2:

N lµ hîp sè: Chia N cho 2, 3, 5, ...., p   ®Òu ®­îc c¸c sè d­ kh¸c 0 => c¸c ­íc nguyªn tè cña N ®Òu lín h¬n p.

C¸c ­íc nµy kh«ng thÓ cã d¹ng 4x hoÆc 4x + 2 (v× ®ã lµ hîp sè). Còng kh«ng thÓ toµn c¸c ­íc cã d¹ng 4x + 1 v× nh­ thÕ N ph¶i cã d¹ng 4x + 1. Nh­ vËy trong

1

 


c¸c ­íc nguyªn tè cña N cã Ýt nhÊt 1 ­íc cã d¹ng 4x – 1 mµ ­íc nµy hiÓn nhiªn lín h¬n p.

VËy: Cã v« sè sè nguyªn tè cã d¹ng  4x – 1    (hay cã d¹ng 4x + 3).

Trªn ®©y lµ mé sè bµi to¸n chøng minh ®¬n gi¶n cña ®Þnh lý §irielet: Cã v« sè sè nguyªn tè d¹ng ax + b trong ®ã x N ,(a,b) = 1.

Môc ®Ých cña nh÷ng bµi tËp d¹ng nµy lµ: RÌn luyÖn cho häc sinh kh¶ n¨ng t­ duy s©u, c¸ch xem xÐt vµ kÕt luËn vÒ mét vÊn ®Ò to¸n häc b»ng c¸ch xÐt hÕt c¸c kh¶ n¨ng cã thÓ x¶y ra, dïng nh÷ng vÊn ®Ò to¸n häc ®· ®­îc chøng minh hoÆc ®· biÕt ®Ó lo¹i bá c¸c kh¶ n¨ng kh«ng thÓ x¶y ra vµ lµm s¸ng tá vÊn ®Ò cÇn ph¶i chøng minh.

Sau khi thµnh th¹o d¹ng to¸n nµy häc sinh líp 6 hiÓu ®­îc s©u s¾c h¬n, cã kh¸i niÖm râ rµng h¬n. ThÕ nµo lµ chøng minh mét vÊn ®Ò to¸n häc vµ cã ®­îc nh÷ng kü n¨ng, kü x¶o chøng minh cÇn thiÕt.

Tuy nhiªn, víi d¹ng to¸n nµy, ë tr×nh ®é líp 6 c¸c em chØ gi¶i quyÕt ®­îc nh÷ng bµi tËp ë d¹ng ®¬n gi¶n. ViÖc chøng c¸c bµi tËp ë d¹ng nµy phøc t¹p h¬n, c¸c em sÏ gÆp nhiÒu khã kh¨n chø kh«ng thÓ dÔ dµng chøng minh ®­îc. Ch¼ng h¹n chøng minh vÒ v« sè sè nguyªn tè cã d¹ng 4a + 1;   6a + 1.........  phøc t¹p h¬n nhiÒu.

Bµi tËp ®Ò nghÞ:

Bµi 1: Chøng minh  r»ng cã v« sè sè nguyªn tè cã d¹ng 6x+5.

Bµi 2: Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn tè d­¬ng n cã d¹ngn 4k + 3(k N)

 

 

 

 

1

 


D¹ng 2

C¸c bµi to¸n chøng minh

Sè nguyªn tè

Bµi tËp sè 1:

Chøng minh r»ng: (p – 1)! chia hÕt cho p nÕu p lµ hîp sè, kh«ng chia hÕt cho p nÕu p lµ sè nguyªn tè.

Gi¶i:

+) XÐt tr­êng hîp p lµ hîp sè:

NÕu p lµ hîp sè th× p lµ tÝch cña c¸c thõa sè nguyªn tè nhá h¬n p vµ sè mò c¸c luü thõa nµy kh«ng thÓ lín h¬n sè mò cña chÝnh c¸c luü thõa Êy chøa trong  (p – 1)!.

VËy: (p – 1) ! p     (®iÒu ph¶i chøng minh).

+) XÐt tr­êng hîp p lµ sè nguyªn tè:

V× p P    => p nguyªn tè cïng nhau víi mäi thõa sè cña (p –1)!

(v× p>p-1 => (p – 1)! p    (®iÒu ph¶i chøng minh)

Bµi tËp sè 2:

Cho 2m – 1 lµ sè nguyªn tè

Chøng minh r»ng m còng lµ sè nguyªn tè

Gi¶i:

Gi¶ sö m lµ hîp sè => m = p.q(p,q N; p,q > 1)

Khi ®ã: 2m – 1 = 2pq  -  1  = (2p)q – 1

    = (2p – 1)(2p(q-1) + 2p(q-2) + .....+ 1)

v× p > 1 (gi¶ thiÕt) cña ®iÒu gi¶ sö  => 2p – 1 > 1

vµ (2p(q-1) + 2p(q-2) + .....+ 1) > 1

DÉn ®Õn 2m – 1 lµ hîp sè (tr¸i víi gi¶ thiÕt 2m –1 lµ sè nguyªn tè)

     §iÒu gi¶ sö kh«ng thÓ x¶y ra.

1

 

nguon VI OLET