Thể loại Giáo án bài giảng Toán học 6
Số trang 1
Ngày tạo 7/27/2011 12:58:15 PM +00:00
Loại tệp doc
Kích thước 0.20 M
Tên tệp se nguyn te doc
Lêi nãi ®Çu
To¸n häc lµ mét trong nh÷ng m«n häc cã vÞ trÝ quan träng trong nhµ trêng. D¹y to¸n lµ d¹y ph¬ng ph¸p suy luËn khoa häc. Häc to¸n lµ rÌn luyÖn kh¶ n¨ng t duy l«gic, cßn gi¶i to¸n lµ mét ph¬ng tiÖn rÊt tèt trong viÖc n¾m v÷ng tri thøc, ph¸t triÓn t duy, h×nh thµnh kü n¨ng, kü x¶o. To¸n häc lµ mét c«ng cô vÜ ®¹i lµm gi¶m nhÑ c«ng viÖc trong c¸c lÜnh vùc kh¸c nhau. To¸n häc kh«ng ph¶i lµ sù th«ng minh s¸ch vë kh« khan, nh»m chäc tøc nh÷ng ngêi Ýt quan t©m còng kh«ng ph¶i lµ nh÷ng tÝnh to¸n ngèc nghÕch chØ ®em l¹i kÕt qu¶ lµ thuéc lßng mét tãm t¾t, c«ng thøc. Trong th cña Thñ tíng Ph¹m V¨n §ång göi c¸c b¹n trÎ yªu To¸n viÕt: “ Trong c¸c m«n khoa häc kü thuËt, to¸n häc gi÷ mét vÞ trÝ ®Æc biÖt, nã cã t¸c dông lín ®èi víi s¶n xuÊt vµ chiÕn ®Êu”.
Trong To¸n häc, Ph©n m«n Sè häc lµ ph©n m«n m«n cã tõ l©u ®êi nhÊt vµ cã nhiÒu sù hÊp dÉn. C¸c bµi to¸n sè häc ®· cuèn hót vµ lµm say mª lßng ngêi: Tõ c¸c nhµ to¸n häc lçi l¹c cña mäi thêi ®¹i ®Õn ®«ng ®¶o c¸c b¹n trÎ yªu to¸n. ThÕ giíi c¸c con sè quen thuéc ®èi víi chóng ta trong cuéc sèng hµng ngµy, nhng nã còng lµ mét thÕ giíi hÕt søc kú l¹ vµ ®Çy bÝ Èn. Loµi ngêi ®· ph¸t hiÖn trong ®ã biÕt bao tÝnh chÊt, bao quy luËt ®ång thìi còng ®au ®Çu cha thÓ chøng minh ®îc mét sè nh÷ng dù kiÕn, dù ®o¸n to¸n häc. Mét ®iÒu lý thó lµ cã nhiÒu mÖnh ®Ò khã cña sè häc l¹i ®îc ph¸t biÓu rÊt ®¬n gi¶n, rÊt dÔ hiÓu. NhiÒu bµi to¸n sè häc khã nhng l¹i cã thÓ gi¶i quyÕt s¸ng t¹o víi nh÷ng kiÕn thøc sè häc rÊt phæ th«ng. Trong sè häc, chóng ta cßn cã nh÷ng vÊn ®Ò míi ®Çy bÝ Èn ®ang chê ®ãn. ChÝnh v× lÏ ®ã mµ c¸c bµi to¸n sè häc lu«n cã mÆt trong c¸c ®Ò thi chän häc sinh giái to¸n ë tÊt c¶ c¸c cÊp häc vµ ®èi víi hÇu hÕt c¸c níc trªn thÕ giíi.
Lµ mét bé phËn cña Sè häc, Sè nguyªn tè còng tùu chung ®Çy ®ñ c¸c yÕu tè trªn, lµm quen ®èi víi sè nguyªn tè vµ yªu thÝch sè nguyªn tè, chóng ta cµng thÊy râ ch©n lý: “To¸n häc lµ m«n thÓ dôc cña trÝ tuÖ” . Nã gióp rÌn luyÖn ®îc
1
tÝnh kiªn tr× vît khã, t duy l«gic vµ tÝnh s¸ng t¹o.
VÒ sè nguyªn tè trong ch¬ng tr×nh häc ,gi¸o viªn míi dõng ë møc ®é gióp häc sinh cã ®îc hiÓu biÕt s¬ ®¼ng nhÊt vÒ sè nguyªn tè nh: ®Þnh nghÜa sè nguyªn tè, nh÷ng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña sè nguyªn tè vµ c¸c bµi tËp ¸p dông lý thuyÕt ®¬n thuÇn. V× vËy khi gÆp nh÷ng bµi to¸n vÒ sè nguyªn tè ë d¹ng tæng qu¸t vµ phøc t¹p, häc sinh thêng hay lóng tóng vµ bÕ t¾c.
Lµ gi¸o viªn, t«i thÊy viÖc gióp ®ì c¸c em häc sinh, nhÊt lµ c¸c em häc sinh kh¸ giái t×m hiÓu s©u s¾c h¬n vÒ sè nguyªn tè lµ mét viÖc lµm rÊt cÇn thiÕt. Víi nh÷ng lý do ®ã, cïng víi sù tr¨n trë, say mª nghiªn cøu, t×m tßi häc hái, t«i m¹nh d¹n tr×nh bµy mét sè quan ®iÓm khi gi¶ng d¹y chuyªn ®Ò “Sè nguyªn tè” trong trêng trung häc c¬ së víi ®èi tîng lµ häc sinh kh¸ vµ giái.
Trong ph¹m vi chuyªn ®Ò nµy, t«i tr×nh bµy nh÷ng néi dung sau:
PhÇn thø nhÊt: Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ sè nguyªn tè. PhÇn nµy t«i nh»m hÖ thèng l¹i c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ sè nguyªn tè mµ chóng ta sÏ sö dông gi¶i bµi tËp.
PhÇn thø hai: Mét sè bµi to¸n c¬ b¶n vÒ sè nguyªn tè líp 6. C¸c bµi tËp trong phÇn nµy ®îc ®a vµo theo c¸c d¹ng vµ cã tr×nh bµy lêi gi¶i.
PhÇn I
Tãm t¾t
Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n
VÒ sè nguyªn tè
I/ §Þnh nghÜa
1) Sè nguyªn tè lµ nh÷ng sè tù nhiªn lín h¬n 1, chØ cã 2 íc sè lµ 1 vµ chÝnh nã.
VÝ dô: 2, 3, 5, 7 11, 13,17, 19....
1
2) Hîp sè lµ sè tù nhiªn lín h¬n 1 vµ cã nhiÒu h¬n 2 íc
VÝ dô: 4 cã 3 íc sè: 1 ; 2 vµ 4 nªn 4 lµ hîp sè.
3) C¸c sè 0 vµ 1 kh«ng ph¶i lµ sã nguyªn tè còng kh«ng ph¶i lµ hîp sè
4) BÊt kú sè tù nhiªn lín h¬n 1 nµo còng cã Ýt nhÊt mét íc sè nguyªn tè
II/ Mét sè ®Þnh lý c¬ b¶n
1) §Þnh lý 1: D·y sè nguyªn tè lµ d·y sè v« h¹n
Chøng minh:
Gi¶ sö chØ cã h÷u h¹n sè nguyªn tè lµ p1; p2; p3; ....pn. trong ®ã pn lµ sè lín nhÊt trong c¸c nguyªn tè. XÐt sè N = p1 p2 ...pn +1 th× N chia cho mçi sè nguyªn tè pi (1 i n) ®Òu d 1 (1)
MÆt kh¸c N lµ mét hîp sè (v× nã lín h¬n sè nguyªn tè lín nhÊt lµ pn) do ®ã N ph¶i cã mét íc nguyªn tè nµo ®ã, tøc lµ N chia hÕt cho mét trong c¸c sè pi
(1 i n). (2)
Ta thÊy (2) m©u thuÉn (1).
VËy kh«ng thÓ cã h÷u h¹n sè nguyªn tè.
2/ §Þnh lý 2:
Mäi sè tù nhiªn lín h¬n 1 ®Òu ph©n tÝch ®îc ra thõa sè nguyªn tè mét c¸ch duy nhÊt (kh«ng kÓ thø tù c¸c thõa sè).
Chøng minh:
* Mäi sè tù nhiªn lín h¬n 1 ®Òu ph©n tÝch ®îc ra thõa sè nguyªn tè:
ThËt vËy: gi¶ sö ®iÒu kh¼ng ®Þnh trªn lµ ®óng víi mäi sè m tho¶ m·n:
1< m < n ta chøng minh ®iÒu ®ã ®óng víi mäi n.
NÕu n lµ nguyªn tè, ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.
NÕu n lµ hîp sè, theo ®Þnh nghÜa hîp sè, ta cã: n = a.b (víi a, b < n)
Theo gi¶ thiÕt quy n¹p: a vµ b lµ tÝch c¸c thõa sè nhá h¬n n nªn n lµ tÝch c¶ c¸c thõa sè nguyªn tè.
1
* Sù ph©n tÝch lµ duy nhÊt:
Gi¶ sö mäi sè m < n ®Òu ph©n tÝch ®îc ra thõa sè nguyªn tè mét c¸ch duy nhÊt, ta chøng minh ®iÒu ®ã ®óng víi n:
NÕu n lµ sè nguyªn tè th× ta ®îc ®iÒu ph¶i chøng minh.
NÕu n lµ hîp sè: Gi¶ sö cã 2 c¸ch ph©n tÝch n ra thõa sè nguyªn tè kh¸c nhau:
n = p.q.r....
n = p’.q’.r’....
Trong ®ã p, q, r ..... vµ p’, q’, r’.... lµ c¸c sè nguyªn tè vµ kh«ng cã sè nguyªn tè nµo còng cã mÆt trong c¶ hai ph©n tÝch ®ã (v× nÕu cã sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn nh trªn, ta cã thÓ chia n cho sè ®ã lóc ®ã thêng sÏ nhá h¬n n, th¬ng nµy cã hai c¸ch ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè kh¸c nhau, tr¸i víi gi¶ thiÕt cña quy n¹p).
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, ta cã thÓ gi¶ thiÕt p vµ p’ lÇn lît lµ c¸c sè nguyªn tè nhá nhÊt trong ph©n tÝch thø nhÊt vµ thø hai.
V× n lµ hîp sè nªn n’ > p2 vµ n > p’2
Do p = p’ => n > p.p’
XÐt m = n - pp’ < n ®îc ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè mét c¸ch duy nhÊt ta thÊy:
p \ n => p \ n – pp’ hay p \ m
p’ \ n => p’ \ n – pp’ hay p’ \ m
Khi ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè ta cã:
m = n - pp’ = pp’ . P.Q ... víi P, Q P ( P lµ tËp c¸c sè nguyªn tè)
pp’ \ n = pp’ \ p.q.r ... => p’ \ q.r ... => p’ lµ íc nguyªn tè cña q.r ...
Mµ p’ kh«ng trïng víi mét thõa sè nµo trong q,r ... (®iÒu nµy tr¸i víi gØa thiÕt quy n¹p lµ mét sè nhá h¬n n ®Òu ph©n tÝch ®îc ra thõa sè nguyªn tè mét c¸ch duy nhÊt).
1
VËy, ®iÒu gi¶ sö kh«ng ®óng, n kh«ng thÓ lµ hîp sè mµ n ph¶i lµ sè nguyªn tè (§Þnh lý ®îc chøng minh).
III/ C¸ch nhËn biÕt mét sè nguyªn tè
C¸ch 1
Chia sè ®ã lÇn lît cho c¸c nguyªn tè tõ nhá ®Õn lín: 2; 3; 5; 7...
NÕu cã mét phÐp chia hÕt th× sè ®ã kh«ng nguyªn tè.
NÕu thùc hiÖn phÐp chia cho ®Õn lóc th¬ng sè nhá h¬n sè chia mµ c¸c phÐp chia vÉn cã sè d th× sè ®ã lµ nguyªn tè.
C¸ch 2:
Mét sè cã hai íc sè lín h¬n 1 th× sè ®ã kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè
Cho häc sinh líp 6 häc c¸ch nhËn biÕt 1 sè nguyªn tè b»ng ph¬ng ph¸p thø nhÊt (nªu ë trªn), lµ dùa vµo ®Þnh lý c¬ b¶n:
¦íc sè nguyªn tè nhá nhÊt cña mét hîp sè A lµ mét sè kh«ngvît qu¸ A.
§Æc biÖt: Víi d·y 25 sè nguyªn tè nhá h¬n 100 nªn cho häc sinh häc thuéc, tuy nhiªn khi g¨p 1 sè a nµo ®ã (a < 100) muèn xÐt xem a lµ sè nguyªn tè hay hîp sè ta thö a cã chia hÕt cho 2; 3; 5; 7 hay kh«ng.
+ NÕu a chia hÕt cho 1 trong 4 sè ®ã th× a lµ hîp sè.
+NÕu a kh«ng chia hÕt cho sè nµo ®ã trong 4 sè trªn th× a lµ sè nguyªn tè.
Víi quy t¾c trªn trong mét kho¶n thêi gian ng¾n, víi c¸c dÊu hiÖu chia hÕt th× häc sinh nhanh chãng tr¶ lêi ®îc mét sè cã hai ch÷ sè nµo ®ã lµ nguyªn tè hay kh«ng.
HÖ qu¶:
NÕu cã sè A > 1 kh«ng cã mét íc sè nguyªn tè nµo tõ 2 ®Õn A th× A lµ mét nguyªn tè.
(Do häc sinh líp 6 cha häc kh¸i niÖm c¨n bËc hai nªn ta kh«ng ®Æt vÊn ®Ò chøng minh ®Þnh lý nµy, chØ giíi thiÖu ®Ó häc sinh tham kh¶o.).
1
IV/ Sè c¸c íc sè vµ tæng c¸c íc sè cña 1 sè:
Gi¶ sö: A = p1X1 . p2X2 ......pnXn
Trong ®ã: pi P ; xi N ; i = I, n
a) Sè c¸c íc sè cña A tÝnh b»ng c«ng thøc:
T(A) = (x1 + 1)(x2 + 1) .....(xn + 1)
VÝ dô: 30 = 2.3.5 th× T(A) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8
ThËt vËy: ¦(30) = 1;2;3;5;6;10;15;30
¦(30) cã 8 ph©n tö
øng dông: Cã thÓ kh«ng cÇn t×m ¦(A) vÉn biÕt A cã bao nhiªu íc th«ng qua viÖc ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè.
3100 cã (100 + 1) = 101 íc
1000 000 000 = 109 = 29.59 cã (9 + 1)(9+1) = 100 íc
ý nghÜa: Khi th«ng b¸o cho häc sinh c¸ch tÝnh sè íc cña mét sè c¸c em cã thÓ tin tëng khi viÕt mét tËp hîp íc cña mét sè vµ kh¼ng ®Þnh ®· ®ñ hay cha.
b) Tæng c¸c íc mét sè cña A tÝnh b»ng c«ng thøc:
p1X1 + 1 - 1 p2X2 + 1 - 1 pnXn + 1 - 1
(A) = p1 - 1 p2 - 1 pn - 1
V/ Hai sè nguyªn tè cïng nhau:
1- Hai sè tù nhiªn ®îc gäi lµ nguyªn tè cïng nhau khi vµ chØ khi chóng cã íc chung lín nhÊt (¦CLN) b»ng 1.
a, b nguyªn tè cïng nhau <=> (a,b) = 1 a,b N
2- Hai sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n nguyªn tè cïng nhau
3- Hai sè nguyªn tè kh¸c nhau lu«n nguyªn tè cïng nhau
4- C¸c sè a,b,c nguyªn tè cïng nhau <=> (a,b,c) = 1
5- a,b,c nguyªn tè s¸nh ®«i khi chóng ®«i mét nguyªn tè cïng nhau
1
a,b,c nguyªn tè s¸nh ®«i <=> (a,b) = (b,c) = (c,a) = 1
VI/ Mét sè ®Þnh lý ®Æc biÖt
1) §Þnh lý §irichlet
Tån t¹i v« sè sè nguyªn tè p cã d¹ng:
p = ax + b (x N, a,b lµ 2 sè nguyªn tè cïng nhau).
ViÖc chøng minh ®Þnh lý nµy kh¸ phøc t¹p, trõ mét sè trêng hîp ®Æc biÖt.
VÝ dô: Chøng minh r»ng cã v« sè sè nguyªn tè d¹ng 2x – 1; 3x – 1; 4x + 3; 6x + 5.....
2) §Þnh lý Tchebycheff
Trong kho¶ng tõ sè tù nhiªn n ®Õn sè tù nhiªn 2n cã Ýt nhÊt mét sè nguyªn tè (n 2).
3) §Þnh lý Vinogradow
Mäi sè lÎ lín h¬n 33 lµ tæng cña 3 sè nguyªn tè.
C¸c ®Þnh lý 2 vµ ®Þnh lý 3 ta cã thÓ giíi thiÖu cho häc sinh tham kh¶o vµ sö dông ®Ó gi¶i mét sè bµi tËp.
1
PhÇn II
Mét sè bµi to¸n c¬ b¶n
VÒ sè nguyªn tè líp 6
D¹ng 1:
Cã bao nhiªu sè nguyªn tè d¹ng ax + b (víi x N vµ (a,b) = 1)
Bµi tËp sè 1:
Chøng minh r»ng: cã v« sè sè nguyªn tè cã d¹ng: 3x – 1 (x1)
Gi¶i:
Gi¸o viªn gîi ý vµ híng dÉn häc sinh ®Ó häc sinh tù rót ra nhËn xÐt:
Mäi sè tù nhiªn kh«ng nhá h¬n 2 cã 1 trong 3 d¹ng: 3x; 3x + 1; hoÆc 3x - 1
+) Nh÷ng sè cã d¹ng 3x (víi x>1) lµ hîp sè
+) XÐt 2 sè cã d¹ng 3x + 1: ®ã lµ sè (3m + 1) vµ sè (3n + 1)
XÐt tÝch (3m + 1)(3n + 1) = 9mn + 3m + 3n + 1 = 3x + 1
TÝch trªn cã d¹ng: 3x + 1
+) LÊy mét sè nguyªn tè p cã d¹ng 3x – 1 (víi p bÊt kú p) ta lËp tÝch cña p víi tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè nhá h¬n p råi trõ ®i ta cã:
M = 2.3.5.7....p – 1 = 3(2.5.7....p) – 1
M cã d¹ng: 3x – 1
Cã 2 kh¶ n¨ng x¶y ra:
* Kh¶ n¨ng 1: M lµ sè nguyªn tè, ®ã lµ sè nguyªn tè cã d¹ng (3x – 1) > p, bµi to¸n ®îc chøng minh.
* Kh¶ n¨ng 2: M lµ hîp sè: Ta chia M cho 2, 3, 5,....,p ®Òu tån t¹i mét sè d kh¸c 0 nªn c¸c íc nguyªn tè cña M ®Òu lín h¬n p, trong c¸c íc nµy kh«ng cã sè nµo cã d¹ng 3x + 1 (®· chøng minh trªn). Do ®ã Ýt nhÊt mét trong c¸c íc nguyªn tè cña M ph¶i cã d¹ng 3x (hîp sè) hoÆc 3x + 1....
1
V× nÕu tÊt c¶ cã d¹ng 3x + 1 th× M ph¶i cã d¹ng 3x + 1 (®· chøng minh trªn). Do ®ã, Ýt nhÊt mét trong c¸c íc nguyªn tè cña M ph¶i cã d¹ng 3x + 1, íc nµy lu«n lín h¬n p.
VËy: Cã v« sè sè nguyªn tè d¹ng 3x – 1.
Bµi tËp sè 2:
Chøng minh r»ng: Cã v« sè sè nguyªn tè cã d¹ng 4x + 3 (víi x N)
NhËn xÐt: C¸c sè nguyªn tè lÎ kh«ng thÓ cã d¹ng 4x hoÆc 4x + 2.
VËy chóng chØ cã thÓ tån t¹i díi 1 trong 2 d¹ng
4x + 1 hoÆc 4x + 3. Ta sÏ chøng minh cã v« sè sè nguyªn tè cã d¹ng 4x + 3
+) XÐt tÝch 2 sè cã d¹ng 4x + 1 lµ: 4m + 1 vµ 4n + 1
Ta cã: (4m + 1)(4n + 1) = 16mn + 4m + 4n + 1
= 4(4mn + m + n) + 1
= 4x + 1
VËy tÝch cña 2 sè cã d¹ng 4x + 1 lµ mét sè còng cã d¹ng 4x + 1
+) LÊy mét sè nguyªn tè p bÊt kú cã d¹ng 4x – 1, ta lËp tÝch cña 4p víi tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè nhá h¬n p råi trõ ®i 1 khi ®ã ta cã:
N = 4(2.3.5.7 ..... p) – 1 Cã 2 kh¶ n¨ng x¶y ra
* Kh¶ n¨ng 1:
N lµ sè nguyªn tè => N = 4(2.3.5.7....p) – 1 cã d¹ng 4x – 1.
Nh÷ng sè nguyªn tè cã d¹ng 4x – 1 còng chÝnh lµ nh÷ng sè cã d¹ng 4x + 3 vµ bµi to¸n ®îc chøng minh.
* Kh¶ n¨ng 2:
N lµ hîp sè: Chia N cho 2, 3, 5, ...., p ®Òu ®îc c¸c sè d kh¸c 0 => c¸c íc nguyªn tè cña N ®Òu lín h¬n p.
C¸c íc nµy kh«ng thÓ cã d¹ng 4x hoÆc 4x + 2 (v× ®ã lµ hîp sè). Còng kh«ng thÓ toµn c¸c íc cã d¹ng 4x + 1 v× nh thÕ N ph¶i cã d¹ng 4x + 1. Nh vËy trong
1
c¸c íc nguyªn tè cña N cã Ýt nhÊt 1 íc cã d¹ng 4x – 1 mµ íc nµy hiÓn nhiªn lín h¬n p.
VËy: Cã v« sè sè nguyªn tè cã d¹ng 4x – 1 (hay cã d¹ng 4x + 3).
Trªn ®©y lµ mé sè bµi to¸n chøng minh ®¬n gi¶n cña ®Þnh lý §irielet: Cã v« sè sè nguyªn tè d¹ng ax + b trong ®ã x N ,(a,b) = 1.
Môc ®Ých cña nh÷ng bµi tËp d¹ng nµy lµ: RÌn luyÖn cho häc sinh kh¶ n¨ng t duy s©u, c¸ch xem xÐt vµ kÕt luËn vÒ mét vÊn ®Ò to¸n häc b»ng c¸ch xÐt hÕt c¸c kh¶ n¨ng cã thÓ x¶y ra, dïng nh÷ng vÊn ®Ò to¸n häc ®· ®îc chøng minh hoÆc ®· biÕt ®Ó lo¹i bá c¸c kh¶ n¨ng kh«ng thÓ x¶y ra vµ lµm s¸ng tá vÊn ®Ò cÇn ph¶i chøng minh.
Sau khi thµnh th¹o d¹ng to¸n nµy häc sinh líp 6 hiÓu ®îc s©u s¾c h¬n, cã kh¸i niÖm râ rµng h¬n. ThÕ nµo lµ chøng minh mét vÊn ®Ò to¸n häc vµ cã ®îc nh÷ng kü n¨ng, kü x¶o chøng minh cÇn thiÕt.
Tuy nhiªn, víi d¹ng to¸n nµy, ë tr×nh ®é líp 6 c¸c em chØ gi¶i quyÕt ®îc nh÷ng bµi tËp ë d¹ng ®¬n gi¶n. ViÖc chøng c¸c bµi tËp ë d¹ng nµy phøc t¹p h¬n, c¸c em sÏ gÆp nhiÒu khã kh¨n chø kh«ng thÓ dÔ dµng chøng minh ®îc. Ch¼ng h¹n chøng minh vÒ v« sè sè nguyªn tè cã d¹ng 4a + 1; 6a + 1......... phøc t¹p h¬n nhiÒu.
Bµi tËp ®Ò nghÞ:
Bµi 1: Chøng minh r»ng cã v« sè sè nguyªn tè cã d¹ng 6x+5.
Bµi 2: Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn tè d¬ng n cã d¹ngn 4k + 3(k N)
1
D¹ng 2
C¸c bµi to¸n chøng minh
Sè nguyªn tè
Bµi tËp sè 1:
Chøng minh r»ng: (p – 1)! chia hÕt cho p nÕu p lµ hîp sè, kh«ng chia hÕt cho p nÕu p lµ sè nguyªn tè.
Gi¶i:
+) XÐt trêng hîp p lµ hîp sè:
NÕu p lµ hîp sè th× p lµ tÝch cña c¸c thõa sè nguyªn tè nhá h¬n p vµ sè mò c¸c luü thõa nµy kh«ng thÓ lín h¬n sè mò cña chÝnh c¸c luü thõa Êy chøa trong (p – 1)!.
VËy: (p – 1) ! p (®iÒu ph¶i chøng minh).
+) XÐt trêng hîp p lµ sè nguyªn tè:
V× p P => p nguyªn tè cïng nhau víi mäi thõa sè cña (p –1)!
(v× p>p-1 => (p – 1)! p (®iÒu ph¶i chøng minh)
Bµi tËp sè 2:
Cho 2m – 1 lµ sè nguyªn tè
Chøng minh r»ng m còng lµ sè nguyªn tè
Gi¶i:
Gi¶ sö m lµ hîp sè => m = p.q(p,q N; p,q > 1)
Khi ®ã: 2m – 1 = 2pq - 1 = (2p)q – 1
= (2p – 1)(2p(q-1) + 2p(q-2) + .....+ 1)
v× p > 1 (gi¶ thiÕt) cña ®iÒu gi¶ sö => 2p – 1 > 1
vµ (2p(q-1) + 2p(q-2) + .....+ 1) > 1
DÉn ®Õn 2m – 1 lµ hîp sè (tr¸i víi gi¶ thiÕt 2m –1 lµ sè nguyªn tè)
§iÒu gi¶ sö kh«ng thÓ x¶y ra.
1
© 2024 - nslide
Website chạy thử nghiệm. Thư viện tài liệu miễn phí mục đích hỗ trợ học tập nghiên cứu , được thu thập từ các nguồn trên mạng internet ... nếu tài liệu nào vi phạm bản quyền, vi phạm pháp luật sẽ được gỡ bỏ theo yêu cầu, xin cảm ơn độc giả