SO NGUYEN TO

Sè nguyªn tè

I. KiÕn thøc cÇn nhí:

1. §Þnh nghÜa:

* Sè nguyªn tè lµ sè tù nhiªn lín h¬n 1, chØ cã hai ­íc lµ 1 vµ chÝnh nã.

* Hîp sè lµ sè tù nhiªn lín h¬n 1, cã nhiÒu h¬n hai ­íc.

2. TÝnh chÊt:

* NÕu sè nguyªn tè p chia hÕt cho sè nguyªn tè q th× p = q.

* NÕu tÝch abc chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× Ýt nhÊt mét thõa sè cña tÝch abc chia hÕt cho sè nguyªn tè p.

* NÕu a vµ b kh«ng chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× tÝch ab kh«ng chia hÕt cho sè nguyªn tè p .

3. C¸ch nhËn biÕt mét sè nguyªn tè:

a) Chia sè ®ã lÇn l­ît cho c¸c sè nguyªn tè ®· biÕt tõ nhá ®Õn lín.

- NÕu cã mét phÐp chia hÕt th× sè ®ã kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè.

- NÕu chia cho ®Õn lóc sè th­¬ng nhá h¬n sè chia mµ c¸c phÐp chia vÉn cßn sè d­ th× ssã ®ã lµ sè nguyªn tè.

b) Mét sè cã 2 ­íc sè lín h¬n 1 th× sè ®ã kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè.

4. Ph©n tÝch mét sè ra thõa sè nguyªn tè:

* Ph©n tÝch mét sè tù nhiªn lín h¬n 1 ra thõa sè nguyªn tè lµ viÕt sè ®ã d­íi d¹ng mét tÝch c¸c thõa sè nguyªn tè.

- D¹ng ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè cña mçi sè nguyªn tè lµ chÝnh sè ®ã.

- Mäi hîp sè ®Òu ph©n tÝch ®­îc ra thõa sè nguyªn tè.

 

5. Sè c¸c ­íc sè vµ tæng c¸c ­íc sè cña mét sè:

 

6. Sè nguyªn tè cïng nhau:

* Hai sè nguyªn tè cïng nhau lµ hai sè cã ¦CLN b»ng 1.

 Hai sè a vµ b nguyªn tè cïng nhau ¦CLN(a, b) = 1.

 C¸c sè a, b, c nguyªn tè cïng nhau ¦CLN(a, b, c) = 1.

 C¸c sè a, b, c ®«i mét nguyªn tè cïng nhau ¦CLN(a, b) = ¦CLN(b, c) = ¦CLN(c, a) =1.

II. C¸c vÝ dô:

VD1: Ta biÕt r»ng cã 25 sè nguyªn tè nhá h¬n 100. Tæng cña 25 sè nguyªn tè lµ sè ch½n hay sè lÎ.

HD:     Trong 25 sè nguyªn tè nhá h¬n 100 cã chøa mét sè nguyªn tè ch½n duy nhÊt lµ 2, cßn 24 sè nguyªn tè cßn l¹i lµ sè lÎ. Do ®ã tæng cña 25 sè nguyªn tè lµ sè ch½n.

VD2: Tæng cña 3 sè nguyªn tè b»ng 1012. T×m sè nguyªn tè nhá nhÊt trong ba sè nguyªn tè ®ã.

HD:      V× tæng cña 3 sè nguyªn tè b»ng 1012, nªn trong 3 sè nguyªn tè ®ã tån t¹i Ýt nhÊt mét sè nguyªn tè ch½n. Mµ sè nguyªn tè ch½n duy nhÊt lµ 2 vµ lµ sè nguyªn tè nhá nhÊt. VËy sè nguyªn tè nhá nhÊt trong 3 sè nguyªn tè ®ã lµ 2.

VD3: Tæng cña 2 sè nguyªn tè cã thÓ b»ng 2003 hay kh«ng? V× sao?

HD:       V× tæng cña 2 sè nguyªn tè b»ng 2003, nªn trong 2 sè nguyªn tè ®ã tån t¹i 1 sè nguyªn tè ch½n. Mµ sè nguyªn tè ch½n duy nhÊt lµ 2. Do ®ã sè nguyªn tè cßn l¹i lµ 2001. Do 2001 chia hÕt cho 3 vµ 2001 > 3. Suy ra 2001 kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè.

VD4: T×m sè nguyªn tè p, sao cho p + 2 vµ p + 4 còng lµ c¸c sè nguyªn tè.

HD: Gi¶ sö p lµ sè nguyªn tè.

-         NÕu p = 2 th× p + 2 = 4 vµ p + 4 = 6 ®Òu kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè.

-         NÕu p 3 th× sè nguyªn tè p cã 1 trong 3 d¹ng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 víi k N*.

+) NÕu p = 3k p = 3 p + 2 = 5 vµ p + 4 = 7 ®Òu lµ c¸c sè nguyªn tè.

+) NÕu p = 3k +1 th× p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) p + 2 3 vµ p + 2 > 3. Do ®ã p + 2 lµ hîp sè.

+) NÕu p = 3k + 2 th× p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) p + 4 3 vµ p + 4 > 3. Do ®ã p + 4 lµ hîp sè.

VËy víi p = 3 th× p + 2 vµ p + 4 còng lµ c¸c sè nguyªn tè.

VD5: Cho p vµ p + 4 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng p + 8 lµ hîp sè.

HD: V× p lµ sè nguyªn tè vµ p > 3, nªn sè nguyªn tè p cã 1 trong 2 d¹ng: 3k + 1, 3k + 2 víi k N*.

- NÕu p = 3k + 2 th× p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) p + 4 3 vµ p + 4 > 3. Do ®ã

p + 4 lµ hîp sè ( Tr¸i víi ®Ò bµi p + 4 lµ sè nguyªn tè).

- NÕu p = 3k + 1 th× p + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) p + 8 3 vµ p + 8 > 3. Do ®ã

p + 8 lµ hîp sè.

VËy sè nguyªn tè p cã d¹ng: p = 3k + 1 th× p + 8 lµ hîp sè.

VD6: Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn tè lín h¬n 2 ®Òu cã d¹ng 4n + 1 hoÆc 4n – 1.

HD: Mçi sè tù nhiªn n khi chia cho 4 cã thÓ cã 1 trong c¸c sè d­: 0; 1; 2; 3. Do ®ã mäi sè tù nhiªn n ®Òu cã thÓ viÕt ®­îc d­íi 1 trong 4 d¹ng:  4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + 3

víi k N*.

-         NÕu n = 4k n4 n lµ hîp sè.

-         NÕu n = 4k + 2 n2 n lµ hîp sè.

VËy mäi sè nguyªn tè lín h¬n 2 ®Òu cã d¹ng 4k + 1 hoÆc 4k – 1. Hay mäi sè nguyªn tè lín h¬n 2 ®Òu cã d¹ng 4n + 1 hoÆc 4n – 1 víi n N*.

VD7: T×m sè nguyªn tè, biÕt r»ng sè ®ã b»ng tæng cña hai sè nguyªn tè vµ b»ng hiÖu cña hai sè nguyªn tè.

HD:

VD8: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: x2 – 6y2 = 1.

HD:

VD9: Cho p vµ p + 2 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng p + 16.

HD: V× p lµ sè nguyªn tè vµ p > 3, nªn sè nguyªn tè p cã 1 trong 2 d¹ng: 3k + 1, 3k + 2 víi k N*.

- NÕu p = 3k + 1 th× p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) p + 2 3 vµ p + 2 > 3. Do ®ã

p + 2 lµ hîp sè ( Tr¸i víi ®Ò bµi p + 2 lµ sè nguyªn tè).

- NÕu p = 3k + 2 th× p + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1)  (1).

Do p lµ sè nguyªn tè vµ p > 3 p lÎ k lÎ k + 1 ch½n k + 12  (2)

Tõ (1) vµ (2) p + 16.

II. Bµi tËp vËn dông:

Bµi 1: T×m sè nguyªn tè p sao cho c¸c sè sau còng lµ sè nguyªn tè:

a)     p + 2 vµ p + 10. ;  b) p + 10 vµ p + 20.  ; c)p + 10 vµ p + 14. ; d) p + 14 vµ p + 20.

b)    p + 2vµ p + 8.  ; f) p + 2 vµ p + 14.   ;   g) p + 4 vµ p + 10.  ;  h) p + 8 vµ p + 10.

Bµi 2: T×m sè nguyªn tè p sao cho c¸c sè sau còng lµ sè nguyªn tè:

a)     p + 2, p + 8, p + 12, p + 14.; b) p + 2, p + 6, p + 8, p + 14.;   c) p + 6, p + 8, p + 12, p + 14.

d) p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14.; e)p + 6, p + 12, p + 18, p + 24. ;

f).p + 18, p + 24, p + 26, p + 32.;  g) p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p+16.

Bµi 3:

a)     Cho p vµ p + 4 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: p + 8 lµ hîp sè.

b)    Cho p vµ 2p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 4p + 1 lµ hîp sè.

c)     Cho p vµ 10p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 5p + 1 lµ hîp sè.

d)    Cho p vµ p + 8 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: p + 4 lµ hîp sè.

e)     Cho p vµ 4p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 2p + 1 lµ hîp sè.

f)      Cho p vµ 5p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 10p + 1 lµ hîp sè.

g)    Cho p vµ 8p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p - 1 lµ hîp sè.

h)    Cho p vµ 8p - 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p + 1 lµ hîp sè.

i)      Cho p vµ 8p2 - 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p2 + 1 lµ hîp sè.

j)      Cho p vµ 8p2 + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p2 - 1 lµ hîp sè.

Bµi 4: Chøng minh r»ng:

a)     NÕu p vµ q lµ hai sè nguyªn tè lín h¬n 3 th× p2 – q2 24.

b)    NÕu a, a + k, a + 2k (a, k N*) lµ c¸c sè nguyªn tè lín h¬n 3 th× k 6.

Bµi 5:

a)     Mét sè nguyªn tè chia cho 42 cã sè d­ r lµ hîp sè. T×m sè d­ r.

b)    Mét sè nguyªn tè chia cho 30 cã sè d­ r. T×m sè d­ r biÕt r»ng r kh«ng lµ sè nguyªn tè.

Bµi 6: Hai sè nguyªn tè gäi lµ sinh ®«i nÕu chóng lµ hai sè nguyªn tè lÎ liªn tiÕp. Chøng minh r»ng mét sè tù nhiªn lín h¬n 3 n»m gi÷a hai sè nguyªn tè sinh ®«i th× chia hÕt cho 6.

Bµi 7: Cho 3 sè nguyªn tè lín h¬n 3, trong ®ã sè sau lín h¬n sè tr­íc lµ d ®¬n vÞ. Chøng minh r»ng d chia hÕt cho 6.

Bµi 8: T×m sè nguyªn tè cã ba ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu viÕt sè ®ã theo thø tù ng­îc l¹i th× ta ®­îc mét sè lµ lËp ph­¬ng cña mét sè tù nhiªn.

Bµi 9: T×m sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè, ch÷ sè hµng ngh×n b»ng ch÷ sè hµng ®¬n vÞ, ch÷ sè hµng tr¨m b»ng ch÷ sè hµng chôc vµ sè ®ã viÕt ®­îc d­íi d¹ng tÝch cña 3 sè nguyªn tè liªn tiÕp.

Bµi 10: T×m 3 sè nguyªn tè lÎ liªn tiÕp ®Òu lµ c¸c sè nguyªn tè.

Bµi 11: T×m 3 sè nguyªn tè liªn tiÕp p, q, r sao cho p2 + q2 + r2 còng lµ sè nguyªn tè.

Bµi 12: T×m tÊt c¶ c¸c bé ba sè nguyªn tè a, b, c sao cho a.b.c < a.b + b.c + c.a.

Bµi 13: T×m 3 sè nguyªn tè p, q, r sao cho pq + qp = r.

Bµi 14: T×m c¸c sè nguyªn tè x, y, z tho¶ m·n xy + 1 = z.

Bµi 15: T×m sè nguyªn tè

Bài 16: Cho c¸c sè p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b (a, b, c N*) lµ c¸c sè nguyªn tè. Chøng minh r»ng 3 sè p, q, r cã Ýt nhÊt hai sè b»ng nhau.

Bµi 17: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho:

a)     x2 – 12y2 = 1.

b)    3x2 + 1 = 19y2.

c)     5x2 – 11y2 = 1.

d)    7x2 – 3y2 = 1.

e)     13x2 – y2 = 3.

f)      x2 = 8y + 1.

Bµi 18: T×m 3 sè nguyªn tè sao cho tÝch cña chóng gÊp 5 lÇn tæng cña chóng.

Bµi 19: Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó p vµ 8p2 + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè lµ p = 3.

Bµi 20: Chøng minh r»ng: NÕu a2 – b2 lµ mét sè nguyªn tè th× a2 – b2 = a + b.

Bµi 21: Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn tè lín h¬n 3 ®Òu cã d¹ng 6n + 1 hoÆc 6n – 1.

Bµi 22: Chøng minh r»ng tæng b×nh ph­¬ng cña 3 sè nguyªn tè lín h¬n 3 kh«ng thÓ lµ mét sè nguyªn tè.

Bµi 23: Cho sè tù nhiªn n2. Gäi p1, p2, ..., pn lµ nh÷ng sè nguyªn tè sao cho

pn n + 1. §Æt A = p1.p2 ...pn. Chøng minh r»ng trong d·y sè c¸c sè tù nhiªn liªn tiÕp: A + 2, A + 3, ..., A + (n + 1). Kh«ng chøa mét sè nguyªn tè nµo.

Bµi 24: Chøng minh r»ng: NÕu p lµ sè nguyªn tè th×  2.3.4...(p – 3)(p – 2) - 1p.

Bµi 25: Chøng minh r»ng: NÕu p lµ sè nguyªn tè th×  2.3.4...(p – 2)(p – 1) + 1p.

 

26. T×m c¸c nguyªn tè x, y tháa m·n : (x-2)2 .(y-3)2 = - 4

 

27. T×m sè nguyªn tè p sao cho vµ còng lµ sè nguyªn tè.

 

28. C¸c sè sau ®©y lµ nguyªn tè hay hîp sè?

a)     111…1 ( 2002 ch÷ sè 1)

b)    222…2 ( 2002 ch÷ sè 2)

c)     333…3 ( 2002 ch÷ sè 3)

d)    aaa…a ( 2002 ch÷ sè a)

29. T×m sè nguyªn tè p sao cho c¸c sè p + 2 vµ p + 4 Còng lµ c¸c sè nguyªn tè.

30.  Sè 2   lµ sè nguyªn tè hay hîp sè ?

                  2006 sè 1     2006 sè 1

 

Bµi 26, 27, 28, 29, 30 cã ®¸p ¸n

26. Do –4 = 12 . (- 4)  = 22.(-1) nªn cã c¸c tr­êng hîp sau:

a.  

                        hoÆc                           

b.           

                        hoÆc                               

27. Sè p cã 1 trong ba d¹ng: 3k; 3k+1; 3k+2 víi K  

NÕu p =3k th× p =3 ( v× p lµ sè nguyªn tè ) 

Khi ®ã: p +2 = 5; p + 4 = 7 ®Òu lµ c¸c sè nguyªn tè.

NÕu p = 3k + 1 th× p + 2 = 3k + 13 vµ lín h¬n 3 nªn p + 4 lµ hîp sè tr¸i víi ®Ò bµi.  

 VËy p = 3 lµ gi¸ trÞ duy nhÊt ph¶i t×m.

29. Sè p cã mét trong 3 d¹ng 3k; 3k + 1; 3k + 2 víi k  N *

NÕu p = 3k th× p = 3 ( v× p lµ sè nguyªn tè)

Khi ®ã p + 2 =5; p + 4 =7 ®Òu lµ c¸c sè nguyªn tè.

NÕu p = 3k + 1 th× p + 2 = 3k +3 chia hÕt cho 3 vµ lín h¬n 3 nªn p +2 lµ hîp sè tr¸i víi ®Ò bµi.

NÕu P = 3k +2 th× p +4 = 3k + 6 chia hÕt cho 3 lín h¬n 3 nªn

p + 4 lµ hîp sè; tr¸i víi ®Ò bµi.

VËy p = 3 lµ gi¸ trÞ duy nhÊt ph¶i t×m.

30.A = 2

           2006 sè 1     2006 sè 1

   = . 10 2006 +

          2007 sè 1                           2007 sè 1

   =  . (10 2006 + 1)

            2007 sè 1                          

V× mçi thõa sè cña tÝch ®Òu lín h¬n 1, suy ra A cã nhiÒu h¬n hai ­íc. VËy sè ®· cho lµ hîp sè.