Số Nguyên Tố

PhÇn I

Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n VÒ sè nguyªn tè

I/ §Þnh nghÜa

1) Sè nguyªn tè lµ nh÷ng sè tù nhiªn lín h¬n 1, chØ cã 2 ­íc sè lµ 1 vµ chÝnh nã.

VÝ dô: 2, 3, 5, 7 11, 13,17, 19....

2) Hîp sè lµ sè tù nhiªn lín h¬n 1 vµ cã nhiÒu h¬n 2 ­íc.

VÝ dô: 4 cã 3 ­íc sè: 1 ;  2  vµ  4 nªn  4 lµ  hîp  sè.

3) C¸c sè 0 vµ 1 kh«ng ph¶i lµ sã nguyªn tè còng kh«ng ph¶i lµ hîp sè

4) BÊt kú sè tù nhiªn lín h¬n 1 nµo còng cã Ýt nhÊt mét ­íc sè nguyªn tè

II/ Mét sè ®Þnh lý c¬ b¶n

1) §Þnh lý 1: D·y sè nguyªn tè lµ d·y sè v« h¹n

Chøng minh:

Gi¶ sö chØ cã h÷u h¹n sè nguyªn tè lµ p1; p2; p3; ....pn. trong ®ã pn lµ sè lín nhÊt trong c¸c nguyªn tè. XÐt sè N = p1 p2 ...pn +1  th× N chia cho mçi sè nguyªn tè pi (1  i  n) ®Òu d­ 1                                          (1)

MÆt kh¸c N lµ mét hîp sè (v× nã lín h¬n sè nguyªn tè lín nhÊt lµ pn) do ®ã N ph¶i cã mét ­íc nguyªn tè nµo ®ã, tøc lµ N chia hÕt cho mét trong c¸c sè pi

(1  i  n).     (2)

Ta thÊy (2) m©u thuÉn (1).

VËy kh«ng thÓ cã h÷u h¹n sè nguyªn tè.

2/ §Þnh lý 2:

Mäi sè tù nhiªn lín h¬n 1 ®Òu ph©n tÝch ®­îc ra thõa sè nguyªn tè mét c¸ch duy nhÊt (kh«ng kÓ thø tù c¸c thõa sè).

Chøng minh:

* Mäi sè tù nhiªn lín h¬n 1 ®Òu ph©n tÝch ®­îc ra thõa sè nguyªn tè:

ThËt vËy: gi¶ sö ®iÒu kh¼ng ®Þnh trªn lµ ®óng víi mäi sè m tho¶ m·n:         1< m < n  ta chøng minh ®iÒu ®ã ®óng víi mäi n.

NÕu n lµ nguyªn tè, ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.

NÕu n lµ hîp sè, theo ®Þnh nghÜa hîp sè, ta cã: n = a.b (víi a, b < n)

Theo gi¶ thiÕt quy n¹p: a vµ b lµ tÝch c¸c thõa sè nhá h¬n n nªn n lµ tÝch cu¶ c¸c thõa sè nguyªn tè.

* Sù ph©n tÝch lµ duy nhÊt:

Gi¶ sö mäi sè m < n  ®Òu ph©n tÝch ®­îc ra thõa sè nguyªn tè mét c¸ch duy nhÊt, ta chøng minh ®iÒu ®ã ®óng víi n:

NÕu n lµ sè nguyªn tè th× ta ®­îc ®iÒu ph¶i chøng minh.

NÕu n lµ hîp sè: Gi¶ sö cã 2 c¸ch ph©n tÝch n ra thõa sè nguyªn tè kh¸c nhau:

n = p.q.r....

n = p’.q’.r’....

Trong ®ã p, q, r ..... vµ p’, q’, r’.... lµ c¸c sè nguyªn tè vµ kh«ng cã sè nguyªn tè nµo còng cã mÆt trong c¶ hai ph©n tÝch ®ã (v× nÕu cã sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn nh­ trªn, ta cã thÓ chia n cho sè ®ã lóc ®ã th­êng sÏ nhá h¬n n, th­¬ng nµy cã hai c¸ch ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè kh¸c nhau, tr¸i víi gi¶ thiÕt cña quy n¹p).

Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, ta cã thÓ gi¶ thiÕt p vµ p’ lÇn l­ît lµ c¸c sè nguyªn tè nhá nhÊt trong ph©n tÝch thø nhÊt vµ thø hai.

V× n lµ hîp sè nªn n’ > p2 vµ n > p’2

Do  p = p’ => n > p.p’

XÐt m = n  -   pp’  <  n  ®­îc ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè mét c¸ch duy nhÊt ta thÊy:

p | n => p | n – pp’ hay p | m

p’| n => p’| n – pp’ hay p’| m

Khi ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè ta cã:

m = n - pp’ = pp’ . P.Q ... víi P, Q P ( P  lµ tËp c¸c sè nguyªn tè)   

     pp’ | n = pp’ | p.q.r ... => p’ |  q.r ... => p’ lµ ­íc nguyªn tè cña q.r ...

Mµ p’ kh«ng trïng víi mét thõa sè nµo trong q,r ... (®iÒu nµy tr¸i víi gØa thiÕt quy n¹p lµ mét sè nhá h¬n n ®Òu ph©n tÝch ®­îc ra thõa sè nguyªn tè mét c¸ch duy nhÊt).

VËy, ®iÒu gi¶ sö kh«ng ®óng, n kh«ng thÓ lµ hîp sè mµ n ph¶i lµ sè nguyªn tè (§Þnh lý ®­îc chøng minh).

III/ C¸ch nhËn biÕt mét sè nguyªn tè

C¸ch 1:

Chia sè ®ã lÇn l­ît cho c¸c nguyªn tè  tõ nhá ®Õn lín: 2; 3; 5; 7...

NÕu cã mét phÐp chia hÕt th× sè ®ã kh«ng nguyªn tè.

NÕu thùc hiÖn phÐp chia cho ®Õn lóc th­¬ng sè nhá h¬n sè chia mµ c¸c phÐp chia vÉn cã sè d­ th× sè ®ã lµ nguyªn tè.

C¸ch 2:

Mét sè cã hai ­íc sè lín h¬n 1 th× sè ®ã kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè

Cho häc sinh líp 6 häc c¸ch nhËn biÕt 1 sè nguyªn tè b»ng ph­¬ng ph¸p thø nhÊt (nªu ë trªn), lµ dùa vµo ®Þnh lý c¬ b¶n:

¦íc sè nguyªn tè nhá nhÊt cña mét hîp sè A lµ mét sè kh«ngv­ît qu¸ A.

§Æc biÖt: Víi d·y 25 sè nguyªn tè nhá h¬n 100 nªn cho häc sinh häc thuéc, tuy nhiªn khi g¨p 1 sè a nµo ®ã (a < 100) muèn xÐt xem a lµ sè nguyªn tè hay hîp sè ta thö a cã chia hÕt cho 2; 3; 5; 7 hay kh«ng.

+ NÕu a chia hÕt cho 1 trong 4 sè ®ã th× a lµ hîp sè.

+ NÕu a kh«ng chia hÕt cho sè nµo ®ã trong 4 sè trªn th× a lµ sè nguyªn tè.

Víi quy t¾c trªn trong mét kho¶n thêi gian ng¾n, víi c¸c dÊu hiÖu chia hÕt th× häc sinh nhanh chãng tr¶ lêi ®­îc mét sè cã hai ch÷ sè nµo ®ã lµ nguyªn tè hay kh«ng.

HÖ qu¶:

NÕu cã sè A > 1 kh«ng cã mét ­íc sè nguyªn tè nµo tõ 2 ®Õn A th× A lµ mét nguyªn tè.

(Do häc sinh líp 6 ch­a häc kh¸i niÖm c¨n bËc hai nªn ta kh«ng ®Æt vÊn ®Ò chøng minh ®Þnh lý nµy, chØ giíi thiÖu ®Ó häc sinh tham kh¶o.).

IV/ Sè c¸c ­íc sè vµ tæng c¸c ­íc sè cña 1 sè:

Gi¶ sö: A = p1X1 . p2X2 ......pnXn  

Trong ®ã: pi P   ; xi  N ; i = 1, n      

a) Sè c¸c ­íc sè cña A tÝnh b»ng c«ng thøc:

T(A) = (x1 + 1)(x2 + 1) .....(xn + 1)

VÝ dô: 30 = 2.3.5 th× T(A) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8

ThËt vËy:  ¦(30) = 1;2;3;5;6;10;15;30

  ¦(30)  cã 8 ph©n tö

øng dông: Cã thÓ kh«ng cÇn t×m ¦(A) vÉn biÕt A cã bao nhiªu ­íc th«ng qua viÖc ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè.

3100 cã (100 + 1) = 101 ­íc

1 000 000 000 = 109 = 29.59 cã (9 + 1)(9+1) = 100 ­íc

 ý nghÜa: Khi th«ng b¸o cho häc sinh c¸ch tÝnh sè ­íc cña mét sè c¸c em cã thÓ tin t­ëng khi viÕt mét tËp hîp ­íc cña mét sè vµ kh¼ng ®Þnh ®· ®ñ hay ch­a.

 b) Tæng c¸c ­íc mét sè cña A tÝnh b»ng c«ng thøc:

(A) =

p1X1 + 1  -  1 p1  -  1

.

p2X2 + 1 -  1 p2  -  1

…

pnXn + 1  -  1 pn  -  1

 

V/ Hai sè nguyªn tè cïng nhau:

 1- Hai sè tù nhiªn ®­îc gäi lµ nguyªn tè cïng nhau khi vµ chØ khi chóng cã ­íc chung lín nhÊt (¦CLN) b»ng 1.

 a, b nguyªn tè cïng nhau <=> (a,b) = 1  a,b N

 2- Hai sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n nguyªn tè cïng nhau

 3- Hai sè nguyªn tè kh¸c nhau lu«n nguyªn tè cïng nhau

 4- C¸c sè a,b,c nguyªn tè cïng nhau <=> (a,b,c) = 1

 5- a,b,c nguyªn tè s¸nh ®«i khi chóng ®«i mét nguyªn tè cïng nhau

     a,b,c nguyªn tè s¸nh ®«i <=> (a,b) = (b,c) = (c,a) = 1

VI/ Mét sè ®Þnh lý ®Æc biÖt

 1) §Þnh lý §irichlet

 Tån t¹i v« sè sè nguyªn tè p cã d¹ng:

 p = ax + b  (x N, a, b lµ 2 sè nguyªn tè cïng nhau).

     ViÖc chøng minh ®Þnh lý nµy kh¸ phøc t¹p, trõ mét sè tr­êng hîp ®Æc biÖt.

          VÝ dô: Chøng minh r»ng cã v« sè sè nguyªn tè d¹ng: 2x – 1; 3x – 1; 4x + 3; 6x + 5.....

  2) §Þnh lý Tchebycheff

 Trong kho¶ng tõ sè tù nhiªn n ®Õn sè tù nhiªn 2n cã Ýt nhÊt mét sè nguyªn tè    (n > 2).

  3) §Þnh lý Vinogradow

 Mäi sè lÎ lín h¬n 33­ lµ tæng cña 3 sè nguyªn tè.

 C¸c ®Þnh lý 2 vµ 3 ta cã thÓ giíi thiÖu cho häc sinh tham kh¶o vµ sö dông ®Ó gi¶i mét sè bµi tËp.  

 

 

PhÇn II

Mét sè bµi to¸n c¬ b¶n

VÒ sè nguyªn tè

 

D¹ng 1:

Cã bao nhiªu sè nguyªn tè d¹ng ax + b   (víi x  N vµ (a,b) = 1)

Bµi tËp sè 1:

Chøng minh r»ng: cã v« sè sè nguyªn tè cã d¹ng: 3x – 1 (x<1)

Gi¶i:

Gi¸o viªn gîi ý vµ h­íng dÉn häc sinh ®Ó häc sinh tù rót ra nhËn xÐt:

Mäi sè tù nhiªn kh«ng nhá h¬n 2 cã 1 trong 3 d¹ng: 3x; 3x + 1; hoÆc 3x - 1

+) Nh÷ng sè cã d¹ng 3x (víi x>1) lµ hîp sè

+) XÐt 2 sè cã d¹ng 3x + 1: ®ã lµ sè (3m + 1) vµ sè (3n + 1)

XÐt tÝch (3m + 1)(3n + 1) = 9mn + 3m + 3n + 1 = 3x + 1

TÝch trªn cã d¹ng: 3x + 1

+) LÊy mét sè nguyªn tè p cã d¹ng 3x – 1 (víi p bÊt kú  p) ta lËp tÝch cña p víi tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè nhá h¬n p råi trõ ®i ta cã:

M = 2.3.5.7....p – 1 = 3(2.5.7....p) – 1

M cã d¹ng: 3x – 1

Cã 2 kh¶ n¨ng x¶y ra:

* Kh¶ n¨ng 1: M lµ sè nguyªn tè, ®ã lµ sè nguyªn tè cã d¹ng (3x – 1) > p, bµi to¸n ®­îc chøng minh.

* Kh¶ n¨ng 2: M lµ hîp sè: Ta chia M cho 2, 3, 5,....,p ®Òu tån t¹i mét sè d­ kh¸c 0 nªn c¸c ­íc nguyªn tè cña M ®Òu lín h¬n p, trong c¸c ­íc nµy kh«ng cã sè nµo cã d¹ng 3x + 1 (®· chøng minh trªn). Do ®ã Ýt nhÊt mét trong c¸c ­íc nguyªn tè cña M ph¶i cã d¹ng 3x (hîp sè) hoÆc 3x + 1....

V× nÕu tÊt c¶ cã d¹ng 3x + 1 th× M ph¶i cã d¹ng 3x + 1 (®· chøng minh trªn). Do ®ã, Ýt nhÊt mét trong c¸c ­íc nguyªn tè cña M ph¶i cã d¹ng 3x + 1, ­íc nµy lu«n lín h¬n p.

VËy: Cã v« sè sè nguyªn tè d¹ng 3x – 1.

Bµi tËp sè 2:

Chøng minh r»ng: Cã v« sè sè nguyªn tè cã d¹ng 4x + 3 (víi x  N)

NhËn xÐt: C¸c sè nguyªn tè lÎ kh«ng thÓ cã d¹ng 4x hoÆc 4x + 2.

VËy chóng chØ cã thÓ tån t¹i d­íi 1 trong 2 d¹ng

4x + 1 hoÆc 4x + 3. Ta sÏ chøng minh cã v« sè sè nguyªn tè cã d¹ng 4x + 3

+) XÐt tÝch 2 sè cã d¹ng 4x + 1 lµ: 4m + 1 vµ 4n + 1

Ta cã: (4m + 1)(4n + 1)  = 16mn + 4m + 4n + 1

    = 4(4mn + m + n) + 1

    = 4x   + 1

VËy tÝch cña 2 sè cã d¹ng 4x + 1 lµ mét sè còng cã d¹ng 4x + 1

+) LÊy mét sè nguyªn tè p bÊt kú cã d¹ng 4x – 1, ta lËp tÝch cña 4p víi tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè nhá h¬n p råi trõ ®i 1 khi ®ã ta cã:

N = 4(2.3.5.7 ..... p) – 1   Cã 2 kh¶ n¨ng x¶y ra

* Kh¶ n¨ng 1:

N lµ sè nguyªn tè => N = 4(2.3.5.7....p) – 1 cã d¹ng 4x – 1.

Nh÷ng sè nguyªn tè cã d¹ng 4x – 1 còng chÝnh lµ nh÷ng sè cã d¹ng 4x + 3 vµ bµi to¸n ®­îc chøng minh.

* Kh¶ n¨ng 2:

N lµ hîp sè: Chia N cho 2, 3, 5, ...., p   ®Òu ®­îc c¸c sè d­ kh¸c 0 => c¸c ­íc nguyªn tè cña N ®Òu lín h¬n p.

C¸c ­íc nµy kh«ng thÓ cã d¹ng 4x hoÆc 4x + 2 (v× ®ã lµ hîp sè). Còng kh«ng thÓ toµn c¸c ­íc cã d¹ng 4x + 1 v× nh­ thÕ N ph¶i cã d¹ng 4x + 1. Nh­ vËy trong c¸c ­íc nguyªn tè cña N cã Ýt nhÊt 1 ­íc cã d¹ng 4x – 1 mµ ­íc nµy hiÓn nhiªn lín h¬n p.

VËy: Cã v« sè sè nguyªn tè cã d¹ng  4x – 1    (hay cã d¹ng 4x + 3).

Trªn ®©y lµ mé sè bµi to¸n chøng minh ®¬n gi¶n cña ®Þnh lý §irielet: Cã v« sè sè nguyªn tè d¹ng ax + b trong ®ã x  N ,(a,b) = 1.

Môc ®Ých cña nh÷ng bµi tËp d¹ng nµy lµ: RÌn luyÖn cho häc sinh kh¶ n¨ng t­ duy s©u, c¸ch xem xÐt vµ kÕt luËn vÒ mét vÊn ®Ò to¸n häc b»ng c¸ch xÐt hÕt c¸c kh¶ n¨ng cã thÓ x¶y ra, dïng nh÷ng vÊn ®Ò to¸n häc ®· ®­îc chøng minh hoÆc ®· biÕt ®Ó lo¹i bá c¸c kh¶ n¨ng kh«ng thÓ x¶y ra vµ lµm s¸ng tá vÊn ®Ò cÇn ph¶i chøng minh.

Sau khi thµnh th¹o d¹ng to¸n nµy häc sinh líp 6 hiÓu ®­îc s©u s¾c h¬n, cã kh¸i niÖm râ rµng h¬n. ThÕ nµo lµ chøng minh mét vÊn ®Ò to¸n häc vµ cã ®­îc nh÷ng kü n¨ng, kü x¶o chøng minh cÇn thiÕt.

Tuy nhiªn, víi d¹ng to¸n nµy, ë tr×nh ®é líp 6 c¸c em chØ gi¶i quyÕt ®­îc nh÷ng bµi tËp ë d¹ng ®¬n gi¶n. ViÖc chøng c¸c bµi tËp ë d¹ng nµy phøc t¹p h¬n, c¸c em sÏ gÆp nhiÒu khã kh¨n chø kh«ng thÓ dÔ dµng chøng minh ®­îc. Ch¼ng h¹n chøng minh vÒ v« sè sè nguyªn tè cã d¹ng 4a + 1;   6a + 1.........  phøc t¹p h¬n nhiÒu.

DẠNG 2:

C¸c bµi to¸n chøng minh

Sè nguyªn tè

Bµi tËp sè 1:

Chøng minh r»ng: (p – 1)! chia hÕt cho p nÕu p lµ hîp sè, kh«ng chia hÕt cho p nÕu p lµ sè nguyªn tè.

Gi¶i:

+) XÐt tr­êng hîp p lµ hîp sè:

NÕu p lµ hîp sè th× p lµ tÝch cña c¸c thõa sè nguyªn tè nhá h¬n p vµ sè mò c¸c luü thõa nµy kh«ng thÓ lín h¬n sè mò cña chÝnh c¸c luü thõa Êy chøa trong  (p – 1)!.

VËy: (p – 1) !: p     (®iÒu ph¶i chøng minh).

+) XÐt tr­êng hîp p lµ sè nguyªn tè:

V× p  P    => p nguyªn tè cïng nhau víi mäi thõa sè cña (p –1)!

(v× p > p-1 => (p – 1)! : p    (®iÒu ph¶i chøng minh)

Bµi tËp sè 2:

Cho 2m – 1 lµ sè nguyªn tè

Chøng minh r»ng m còng lµ sè nguyªn tè.

Gi¶i:

Gi¶ sö m lµ hîp sè => m = p.q ( p, q  N; p, q > 1)

Khi ®ã: 2m – 1 = 2p,q  -  1  = (2p)q – 1

    = (2p – 1)(2p(q-1) + 2p(q-2) + .....+ 1)

v× p > 1 (gi¶ thiÕt) cña ®iÒu gi¶ sö  => 2p – 1 > 1

vµ (2p(q-1) + 2p(q-2) + .....+ 1) > 1

DÉn ®Õn 2m – 1 lµ hîp sè (tr¸i víi gi¶ thiÕt 2m –1 lµ sè nguyªn tè)

     §iÒu gi¶ sö kh«ng thÓ x¶y ra.

          VËy m ph¶i lµ sè nguyªn tè (®iÒu ph¶i chøng minh)

Bµi tËp sè 3:

Chøng minh r»ng: 1994! – 1 cã mäi ­íc sè nguyªn tè lín h¬n 1994.

Gi¶i:    (Chøng minh b»ng ph­¬ng ph¸p ph¶n chøng)

Gäi p lµ ­íc sè nguyªn tè cña (1994! – 1)

Gi¶ sö p 1994 => 1994. 1993 ..... 3. 2. 1 : p

<=> 1994! : p

mµ (1994! – 1) : p => 1 : p    (v« lý)

VËy: p kh«ng thÓ nhá h¬n hoÆc b»ng 1994 hay p > 1994 (®iÒu ph¶i chøng minh).

Bµi tËp sè 4:

Chøng minh r»ng: n > 2 th× gi÷a n vµ n! cã Ýt nhÊt 1 sè nguyªn tè (tõ ®ã suy ra cã v« sè sè nguyªn tè).

Gi¶i:

 V× n > 2 nªn k = n! – 1 > 1, do ®ã k cã Ýt nhÊt mét ­íc sè nguyªn tè p.

 Ta chøng minh p > n .ThËt vËy: nÕu p  n th× n! : p

 Mµ  k : p => (n! – 1) : p.Do ®ã: 1 : p   (v« lý)

VËy: p > n=>n < p < n! – 1 < n! (§iÒu ph¶i chøng minh)

Dạng 3

T×m sè nguyªn tè

Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cho tr­íc

Bµi tËp sè 1:

T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña sè nguyªn tè p ®Ó: p + 10 vµ p + 14 còng lµ sè nguyªn tè.

Gi¶i:    (Ph­¬ng ph¸p: Chøng minh duy nhÊt)

+ NÕu p = 3  th× p + 10 = 3 + 10 = 13

vµ p + 14 = 3 + 14 = 17 ®Òu lµ c¸c sè nguyªn tè

     p = 3 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m

+ NÕu p  3 => p cã d¹ng 3k + 1 hoÆc d¹ng 3k – 1

* NÕu p = 3k + 1 th× p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) : 3

* NÕu p = 3k – 1 th× p + 10 = 3k + 9  = 3(k + 3) : 3

VËy nÕu p  3 th× hoÆc p + 10 hoÆc p + 14 lµ hîp sè.

=> kh«ng tháa m·n bµi ra

Do ®ã: gi¸ trÞ duy nhÊt cÇn t×m lµ: p = 3

Bµi tËp sè 2:

T×m sè nguyªn tè p ®Ó p + 2; p + 6;  p + 18  ®Òu lµ sè nguyªn tè.

Gi¶i:

B»ng c¸ch gi¶i t­¬ng tù bµi tËp sè 1, häc sinh dÔ dµng t×m ®­îc p = 5 tho¶ m·n bµi ra. Xong kh«ng chøng minh ®­îc p = 5 lµ gi¸ trÞ duy nhÊt v× dÔ dµng thÊy p = 11 còng tho¶ m·n bµi ra.

VËy víi bµi tËp nµy, häc sinh chØ cÇn chØ ra mét vµi gi¸ trÞ cña p tho¶ m·n lµ ®ñ.

Bµi tËp sè 3:

T×m k ®Ó trong 10 sè tù nhiªn liªn tiÕp: k + 1; k +2; k +3;....k +10 cã nhiÒu sè nguyªn tè nhÊt.

Gi¶i:

Gi¸o viªn h­íng dÉn häc sinh rót ra nhËn xÐt: Trong 10 sè tù nhiªn liªn tiÕp, cã 5 sè ch½n vµ 5 sè lÎ (trong 5 sè ch½n, cã nhiÒu nhÊt lµ 1 sè nguyªn tè ch½n lµ 2).

VËy: trong 10 sè ®ã cã kh«ng qu¸ 6 sè nguyªn tè

+) NÕu k = 0, tõ 1 ®Õn 10 cã 4 sè nguyªn tè: 2; 3; 5; 7

+) NÕu k = 1 tõ 2 ®Õn 11 cã 5 sè nguyªn tè: 2; 3; 5; 7; 11

+) NÕu k > 1 tõ 3 trë ®i kh«ng cã sè ch½n nµo lµ sè nguyªn tè. Trong 5 sè lÎ liªn tiÕp, Ýt nhÊt cã 1 sè lµ béi sè cña 3 do ®ã, d·y sÏ cã Ýt h¬n 5 sè nguyªn tè.

VËy víi k = 1, d·y t­¬ng øng: k + 1;  k + 2, ..... k + 10 cã chøa nhiÒu sè nguyªn tè nhÊt (5 sè nguyªn tè).

Bµi tËp sè 4:

T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè p ®Ó: 2p + p2 còng lµ sè nguyªn tè

Gi¶i:

XÐt hai tr­êng hîp:

+)  p  3 <=> p = 2 hoÆc p = 3

* NÕu p = 2 => 2p + p2 = 22 + 22 = 8  P

* NÕu p = 3 => 2p + p2 = 22 + 32 = 17 P

 +)  p > 3 ta cã 2p + p2=(p2 – 1) + (2p + 1)

 v× p lÎ => (2p + 1) 3

 vµ p2 – 1 = (p + 1)(p – 1) 3 => 2p + p2  P 

 VËy: Cã duy nhÊt 1 gi¸ trÞ p = 3 tho¶ m·n bµi ra.

 Bµi tËp sè 6:

 T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè sao cho:  p | 2p + 1

 Gi¶i:

  V× p P   ,p | 2p + 1 => p  2

 Ta thÊy: 2 |p v×  p  2

 Theo ®Þnh lý Fermatm ta cã: p | 2p-1 – 1

Mµ p | 2p + 1 (gi¶ thiÕt)  => p | 2.2p-1 – 2 + 3

    => p | 2(2p-1 – 1) + 3

    => p | 3 [v× p | 2(2p-1 – 1)]

V× p P   p | 3 => p = 3

VËy: p = 3 lµ sè nguyªn tè tho¶ m·n tÝnh chÊt p | 2p + 1

Tãm l¹i:

C¸c bµi to¸n thuéc d¹ng: T×m sè nguyªn tè tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn cho tr­íc lµ lo¹i to¸n kh«ng khã trong c¸c lo¹i bµi to¸n vÒ sè nguyªn tè. Qua lo¹i to¸n nµy, gi¸o viªn cÇn cè g¾ng trang bÞ cho häc sinh nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n nhÊt vÒ sè nguyªn tè. §Æc biÖt gióp häc sinh n¾m v÷ng: Sè 2 lµ sè nguyªn tè ch½n duy nhÊt vµ nhá nhÊt cña tËp sè nguyªn tè.

Dùa vµo c¸ch viÕt sè nguyªn tè d¹ng a.x + b, (a,b) = 1. RÌn kü n¨ng xÐt c¸c tr­êng hîp cã thÓ x¶y ra, ph­¬ng ph¸p lo¹i trõ c¸c tr­êng hîp dÉn ®Õn ®iÒu v« lý.

Qua d¹ng to¸n nµy, gi¸o viªn cÇn gióp häc sinh rÌn luyÖn t­ duy l«gic, t­ duy s¸ng t¹o, tÝnh tÝch cùc chñ ®éng khi lµm bµi.

 

D¹ng 4

NhËn biÕt sè nguyªn tè

Sù ph©n bè sè nguyªn tè trong n

Bµi tËp sè 1:

NÕu p lµ sè nguyªn tè vµ 1 trong 2 sè 8p + 1 vµ 8p – 1 lµ sè nguyªn tè th× sè cßn l¹i lµ sè nguyªn tè hay hîp sè?

Gi¶i:

+) NÕu p = 2 => 8p +1 = 17 P  , 8p – 1 = 15  P

+) NÕu p = 3 => 8p – 1 = 23 P  , 8p – 1 = 25  P

+) NÕu p kh¸c 3, xÐt 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp: 8p – 1; 8p vµ 8p + 1. Trong 3 sè nµy ¾t cã 1 sè chia hÕt cho 3. Nªn mét trong hai sè  8p + 1 vµ 8p – 1 chia hÕt cho 3.

KÕt luËn: NÕu p P  vµ 1 trong 2 sè 8p + 1 vµ 8p – 1 P  th× sè cßn l¹i ph¶i lµ hîp sè.

Bµi tËp sè 2:

NÕu p < 5 vµ 2p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè th× 4p + 1 lµ nguyªn tè hay hîp sè

Gi¶i:

XÐt 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp: 4p; 4p + 1; 4p + 2

Trong 3 sè ¾t cã mét sè lµ béi cña 3

Mµ  p < 5,  p P  nªn p cã d¹ng 3k + 1 hoÆc 3k + 2

+) NÕu p = 3k + 1 th× 4p = 4(3k + 1) <=> 3Q + 1 = p

vµ 4p + 2 = 4(3k + 1) + 2 <=> p = 3.Q : 3

MÆt kh¸c: 4p + 2 = 2(2p +1) = 3Q nªn 3Q : 3

=> 2(2p + 1) : 3; (2;3) = 1 nªn (2p + 1) : 3 (tr¸i víi gi¶ thiÕt)

+) NÕu p cã d¹ng 3k + 2

Khi ®ã 4p + 1 = 4(3k + 2) + 1 = 12k + 9 = 3M : 3

=> 4p + 1 lµ hîp sè

VËy trong 3 sè ¾t cã mét sè lµ béi cña 3.

Bµi tËp sè 3:

Trong d·y sè tù nhiªn cã thÓ t×m ®­îc 1997 sè liªn tiÕp nhau mµ kh«ng cã sè nguyªn tè nµo hay kh«ng ?

Gi¶i:

Chän d·y sè:

a1 = 1998! + 2   a1 : 2

a2 = 1998! + 3   a2 : 3

a3 = 1998! + 4    a3 : 4

....................    ...........

a1997 = 1998! + 1998  a1997 : 1998

Nh­ vËy: D·y sè a1; a2; a3; ..... a1997 gåm cã 1997 sè tù nhiªn liªn tiÕp kh«ng cã sè nµo lµ sè nguyªn tè.

Bµi tËp sè 4: (Tæng qu¸t bµi sè 3)

Chøng minh r»ng cã thÓ t×m ®­îc 1 d·y sè gåm n sè tù nhiªn liªn tiÕp (n>1) kh«ng cã sè nµo lµ sè nguyªn tè ?

Gi¶i:

Ta chän d·y sè sau:

a1 = (n+1)! + 2  a­1:2 a1>2 nªn a1 lµ hîp sè

a2 = (n+1)! + 3  a2:3 a2>3 nªn a2 lµ hîp sè

.......................  .......................

an = (n+1)! + (n+1)  an:(n+1) an > (n+1) nªn a­n lµ hîp sè

D·y a1; a2; a3; .....an ë trªn sÏ gåm cã n sè tù nhiªn liªn tiÕp trong ®ã kh«ng cã sè nµo lµ sè nguyªn tè c¶.

Tãm l¹i:

Qua c¸c bµi to¸n d¹ng: NhËn biÕt sè nguyªn tè, sù ph©n biÖt sè nguyªn tè trong N, gi¸o viªn cÇn gióp cho häc sinh h­íng suy nghÜ ®Ó chøng minh hoÆc xem xÐt 1 sè cã ph¶i lµ sè nguyªn tè hay kh«ng? Th«ng qua viÖc ph©n tÝch vµ xÐt hÕt kh¶ n¨ng cã thÓ x¶y ra, ®èi chiÕu víi gi¶ thiÕt vµ c¸c ®Þnh lý, hÖ qu¶ ®· häc ®Ó lo¹i bá c¸c tr­êng hîp m©u thuÉn. Bµi tËp sè 3 lµ bµi tËp tæng qu¸t vÒ sù ph©n bè sè nguyªn tè trong N. Qua ®ã gi¸o viªn cho häc sinh thÊy ®­îc sù ph©n bè sè nguyªn tè “cµng vÒ sau cµng rêi r¹c”. Tõ bµi to¸n nµy cã thÓ ph¸t triÓn thµnh bµi to¸n kh¸c gióp häc sinh rÌn luyÖn kü x¶o chøng minh.

D¹ng 5

C¸c bµi to¸n

Liªn quan ®Õn sè nguyªn tè

Bµi tËp sè 1:

T×m 3 sè nguyªn tè sao cho tÝch cña chóng gÊp 5 lÇn tæng cña chóng

Gi¶i:

Gäi 3 sè nguyªn tè ph¶i t×m lµ; a, b, c ta cã:

a.b.c = 5(a+b+c) => abc 5

V× a, b, c  cã vai trß b×nh ®¼ng

Gi¶ sö:  a 5, v× a  P    => a = 5

Khi ®ã:  5bc = 5(5+b+c)   <=>  5+b+c = bc <=> bc-b-c +1 = 6

<=> b(c-1) – (c-1) = 6

(c-1)(b-1) = 6

Do vËy:  b-1 = 1 => b = 2

 Vµ c-1 = 6 vµ c = 7 

  b-1 = 2 => b = 3   (lo¹i v× c = 4  P)

vµ  c-1 = 3 vµ c = 4

 Vai trß a, b, c, b×nh ®¼ng

VËy bé sè (a ;b ;c) cÇn t×m lµ (2 ;5 ;7)

Bµi tËp sè 2:

T×m p, q P    sao cho p2 = 8q + 1

Gi¶i:

Ta cã: p2 = 8q + 1 => 8q = p2 – 1 <=> 8q = (p+1)(p-1) (1)

Do p2 = 8q + 1 lÎ => p2  lÎ => p  lÎ

§Æt p = 2k + 1       (2)

Thay (2) vµo (1) ta cã: 8q = 2k(2k + 2)

2q = k(k + 1)   (3)

NÕu q = 2 =>  4 = k(k+1) => kh«ng t×m ®­îc k

VËy q  2, v× q P  , q   2 => (2,q) = 1

Tõ (3) ta cã:  k = 2 vµ  q = k + 1 => k = 2 vµ q = 3

Thay kÕt qu¶ trªn vµo (2) ta cã:

p = 2.2 + 1 = 5

HoÆc

q = k vµ 2 = k + 1 

   q = 1

                    (kh«ng tho¶ m·n)

   k = 1   

VËy cÆp sè (q,p) lµ (5;3) lµ cÆp sè cÇn t×m.

Tãm l¹i:

Ngoµi c¸c d¹ng bµi tËp c¬ b¶n vÒ sè nguyªn tè. PhÇn sè nguyªn tè cßn cã nhiÒu bµi tËp ë c¸c d¹ng kh¸c mµ khi gi¶i chóng häc sinh cÇn ph¶i vËn dông mét c¸ch linh ho¹t c¸c kiÕn thøc cã liªn quan: ­íc sè, béi sè, chia hÕt vµ vÉn ph¶i lÇn l­ît xÐt c¸c kh¶ n¨ng cã thÓ xÈy ra. Khi gi¶ng d¹y gi¸o viªn cÇn gióp häc sinh gi¶i quyÕt theo tõng d¹ng bµi ®Ó cñng cè vµ kh¾c s©u kü n¨ng gi¶i tõng lo¹i bµi.

 

bµi tËp ®Ò nghÞ

I. C¸c bµi tËp cã h­íng dÉn:

Bµi 1: Ta biÕt r»ng cã 25 sè nguyªn tè nhá h¬n 100. Tæng cña 25 sè nguyªn tè nhá h¬n 100 lµ sè ch½n hay sè lÎ.

HD: Trong 25 sè nguyªn tè nhá h¬n 100 cã chøa mét sè nguyªn tè ch½n duy nhÊt lµ 2, cßn 24 sè nguyªn tè cßn l¹i lµ sè lÎ. Do ®ã tæng cña 25 sè nguyªn tè lµ sè ch½n.

Bµi 2: Tæng cña 3 sè nguyªn tè b»ng 1012. T×m sè nguyªn tè nhá nhÊt trong ba sè nguyªn tè ®ã.

HD: V× tæng cña 3 sè nguyªn tè b»ng 1012, nªn trong 3 sè nguyªn tè ®ã tån t¹i Ýt nhÊt mét sè nguyªn tè ch½n. Mµ sè nguyªn tè ch½n duy nhÊt lµ 2 vµ lµ sè nguyªn tè nhá nhÊt. VËy sè nguyªn tè nhá nhÊt trong 3 sè nguyªn tè ®ã lµ 2.

Bµi 3: Tæng cña 2 sè nguyªn tè cã thÓ b»ng 2003 hay kh«ng? V× sao?

HD: V× tæng cña 2 sè nguyªn tè b»ng 2003, nªn trong 2 sè nguyªn tè ®ã tån t¹i 1 sè nguyªn tè ch½n. Mµ sè nguyªn tè ch½n duy nhÊt lµ 2. Do ®ã sè nguyªn tè cßn l¹i lµ 2001. Do 2001 chia hÕt cho 3 vµ 2001 > 3. Suy ra 2001 kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè.

Bµi 4: T×m sè nguyªn tè p, sao cho p + 2 vµ p + 4 còng lµ c¸c sè nguyªn tè.

HD: Gi¶ sö p lµ sè nguyªn tè.

-         NÕu p = 2 th× p + 2 = 4 vµ p + 4 = 6 ®Òu kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè.

-         NÕu p 3 th× sè nguyªn tè p cã 1 trong 3 d¹ng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 víi k N*.

+) NÕu p = 3k p = 3 p + 2 = 5 vµ p + 4 = 7 ®Òu lµ c¸c sè nguyªn tè.

+) NÕu p = 3k +1 th× p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) p + 2 3 vµ p + 2 > 3. Do ®ã  p + 2 lµ hîp sè.

+) NÕu p = 3k + 2 th× p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) p + 4 3 vµ p + 4 > 3. Do ®ã p + 4 lµ hîp sè.

VËy víi p = 3 th× p + 2 vµ p + 4 còng lµ c¸c sè nguyªn tè.

Bµi 5: Cho p vµ p + 4 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng p + 8 lµ hîp sè.

HD: V× p lµ sè nguyªn tè vµ p > 3, nªn sè nguyªn tè p cã 1 trong 2 d¹ng: 3k + 1,   3k + 2 víi k N*.

- NÕu p = 3k + 2 th× p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) p + 4 3 vµ p + 4 > 3. Do ®ã   p + 4 lµ hîp sè ( Tr¸i víi ®Ò bµi p + 4 lµ sè nguyªn tè).

- NÕu p = 3k + 1 th× p + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) p + 8 3 vµ p + 8 > 3. Do ®ã   p + 8 lµ hîp sè.

VËy sè nguyªn tè p cã d¹ng: p = 3k + 1 th× p + 8 lµ hîp sè.

Bµi 6: Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn tè lín h¬n 2 ®Òu cã d¹ng 4n +1 hoÆc 4n – 1

HD: Mçi sè tù nhiªn n khi chia cho 4 cã thÓ cã 1 trong c¸c sè d­: 0; 1; 2; 3. Do ®ã mäi sè tù nhiªn n ®Òu cã thÓ viÕt ®­îc d­íi 1 trong 4 d¹ng: 4k, 4k + 1, 4k + 2,4k +3

 víi k N*.

-         NÕu n = 4k n4 n lµ hîp sè.

-         NÕu n = 4k + 2 n2 n lµ hîp sè.

VËy mäi sè nguyªn tè lín h¬n 2 ®Òu cã d¹ng 4k + 1 hoÆc 4k – 1. Hay mäi sè nguyªn tè lín h¬n 2 ®Òu cã d¹ng 4n + 1 hoÆc 4n – 1 víi n N*.

Bµi 7: T×m số nguyªn tè, biÕt r»ng sè ®ã b»ng tæng cña hai sè nguyªn tè vµ b»ng hiÖu cña hai sè nguyªn tè.

HD:

Bµi 8: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: x2 – 6y2 = 1.

HD:

Bµi 9: Cho p vµ p + 2 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng p + 1 6.

HD: V× p lµ sè nguyªn tè vµ p > 3, nªn sè nguyªn tè p cã 1 trong 2 d¹ng: 3k + 1, 3k + 2 víi k N*.

- NÕu p = 3k + 1 th× p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) p + 2 3 vµ p + 2 > 3. Do ®ã

p + 2 lµ hîp sè ( Tr¸i víi ®Ò bµi p + 2 lµ sè nguyªn tè).

- NÕu p = 3k + 2 th× p + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1)  (1).

Do p lµ sè nguyªn tè vµ p > 3 p lÎ k lÎ k + 1 ch½n k + 12  (2)

Tõ (1) vµ (2) p + 16.

II. Bµi tËp vËn dông:

Bµi 1: T×m sè nguyªn tè p sao cho c¸c sè sau còng lµ sè nguyªn tè:

a)     p + 2 vµ p + 10.

b)    p + 10 vµ p + 20.

c)     p + 10 vµ p + 14.

d)    p + 14 vµ p + 20.

e)     p + 2vµ p + 8.

f)      p + 2 vµ p + 14.

g)    p + 4 vµ p + 10.

h)    p + 8 vµ p + 10.

Bµi 2: T×m sè nguyªn tè p sao cho c¸c sè sau còng lµ sè nguyªn tè:

a)     p + 2, p + 8, p + 12, p + 14.

b)    p + 2, p + 6, p + 8, p + 14.

c)     p + 6, p + 8, p + 12, p + 14.

d)    p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14.

e)     p + 6, p + 12, p + 18, p + 24.

f)      p + 18, p + 24, p + 26, p + 32.

g)    p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p+16.

Bµi 3:

a)     Cho p vµ p + 4 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: p + 8 lµ hîp sè.

b)    Cho p vµ 2p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 4p + 1 lµ hîp sè.

c)     Cho p vµ 10p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). C minh r»ng: 5p + 1 lµ hîp sè.

d)    Cho p vµ p + 8 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: p + 4 lµ hîp sè.

e)     Cho p vµ 4p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 2p + 1 lµ hîp sè.

f)      Cho p vµ 5p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). C minh r»ng: 10p + 1 lµ hîp sè.

g)    Cho p vµ 8p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p - 1 lµ hîp sè.

h)    Cho p vµ 8p - 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p + 1 lµ hîp sè.

i)      Cho p vµ 8p2 - 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p2 + 1 lµ hîp sè.

j)      Cho p vµ 8p2 + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p2 - 1 lµ hîp sè.

Bµi 4: Chøng minh r»ng:

a)     NÕu p vµ q lµ hai sè nguyªn tè lín h¬n 3 th× p2 – q2 24.

b)    NÕu a, a + k, a + 2k (a, k N*) lµ c¸c sè nguyªn tè lín h¬n 3 th× k 6.

Bµi 5:

a)     Mét sè nguyªn tè chia cho 42 cã sè d­ r lµ hîp sè. T×m sè d­ r.

b)    Mét sè nguyªn tè chia cho 30 cã sè d­ r. T×m sè d­ r biÕt r»ng r kh«ng lµ sè nguyªn tè.

Bµi 6: Hai sè nguyªn tè gäi lµ sinh ®«i nÕu chóng lµ hai sè nguyªn tè lÎ liªn tiÕp. Chøng minh r»ng mét sè tù nhiªn lín h¬n 3 n»m gi÷a hai sè nguyªn tè sinh ®«i th× chia hÕt cho 6.

Bµi 7: Cho 3 sè nguyªn tè lín h¬n 3, trong ®ã sè sau lín h¬n sè tr­íc lµ d ®¬n vÞ. Chøng minh r»ng d chia hÕt cho 6.

Bµi 8: T×m sè nguyªn tè cã ba ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu viÕt sè ®ã theo thø tù ng­îc l¹i th× ta ®­îc mét sè lµ lËp ph­¬ng cña mét sè tù nhiªn.

Bµi 9: T×m sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè, ch÷ sè hµng ngh×n b»ng ch÷ sè hµng ®¬n vÞ, ch÷ sè hµng tr¨m b»ng ch÷ sè hµng chôc vµ sè ®ã viÕt ®­îc d­íi d¹ng tÝch cña 3 sè nguyªn tè liªn tiÕp.

Bµi 10: T×m 3 sè nguyªn tè lÎ liªn tiÕp ®Òu lµ c¸c sè nguyªn tè.

Bµi 11: T×m 3 sè nguyªn tè liªn tiÕp p, q, r sao cho p2 + q2 + r2 còng lµ sè nguyªn tè.

Bµi 12: T×m tÊt c¶ c¸c bé ba sè nguyªn tè a, b, c sao cho a.b.c < a.b + b.c + c.a.

Bµi 13: T×m 3 sè nguyªn tè p, q, r sao cho pq + qp = r.

Bµi 14: T×m c¸c sè nguyªn tè x, y, z tho¶ m·n xy + 1 = z.

Bµi 15: T×m sè nguyªn tè

Bài 16: Cho c¸c sè p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b (a, b, c N*) lµ c¸c sè nguyªn tè. Chøng minh r»ng 3 sè p, q, r cã Ýt nhÊt hai sè b»ng nhau.

Bµi 17: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho:

a)     x2 – 12y2 = 1.

b)    3x2 + 1 = 19y2.

c)     5x2 – 11y2 = 1.

d)    7x2 – 3y2 = 1.

e)     13x2 – y2 = 3.

f)      x2 = 8y + 1.

Bµi 18: T×m 3 sè nguyªn tè sao cho tÝch cña chóng gÊp 5 lÇn tæng cña chóng.

Bµi 19: Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó p vµ 8p2 + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè lµ

p = 3.

Bµi 20: Chøng minh r»ng: NÕu a2 – b2 lµ mét sè nguyªn tè th× a2 – b2 = a + b.

Bµi 21: Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn tè lín h¬n 3 ®Òu cã d¹ng 6n + 1 hoÆc

6n – 1.

Bµi 22: Chøng minh r»ng tæng b×nh ph­¬ng cña 3 sè nguyªn tè lín h¬n 3 kh«ng thÓ lµ mét sè nguyªn tè.

Bµi 23: Cho sè tù nhiªn n2. Gäi p1, p2, ..., pn lµ nh÷ng sè nguyªn tè sao cho

pn n + 1. §Æt A = p1.p2 ...pn. Chøng minh r»ng trong d·y sè c¸c sè tù nhiªn liªn tiÕp: A + 2, A + 3, ..., A + (n + 1). Kh«ng chøa mét sè nguyªn tè nµo.

Bµi 24: Chøng minh r»ng: NÕu p lµ sè nguyªn tè th×  2.3.4...(p – 3)(p – 2) - 1p.

Bµi 25: Chøng minh r»ng: NÕu p lµ sè nguyªn tè th×  2.3.4...(p – 2)(p – 1) + 1p.