So phuc trong cac de thi dai hoc(st)

Bài tập số phức qua các đề thi đại học

1.( ĐH khối A – 2009 ) z1, z2 là nghiệm của phương trình z2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị của biểu thức A =

      Đáp án: A = 20.

2.( ĐH khối B – 2009 ) Tìm số phức z thoả mãn và

      Đáp án: z = 3 + 4i và z = 5.

3.( ĐH khối D – 2009 ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện .

    Đáp án: Đường tròn tâm I(3; -4), bán kính R= 2

4.(ĐH khối A - 2010 ) Tìm phần ảo của số phức z, biết

Đáp án: -

5.(ĐH khối A – 2010 ) Cho số phức thoả mãn . Tìm modun của .

      Đáp án: .

6.( ĐH khối B – 2010 ) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thoả mãn điều kiện .

    Đáp án: Đường tròn có phương trình x2 + (y + 1)2 = 2.

7.( ĐH khối D – 2010 ) Tìm số phức thoả mãn điều kiện và z2 là số thuần ảo.

    Đáp án: z1 = 1 + i; z2 = 1 – i; z3 = -1 –i; z4 = -1 + i.

Công thức Moivre và ứng dụng.

1. Áp dụng công thức Moavre để thực hiện các phép tính

a.Phương pháp

  Ta vận dụng công thức Moivre và các công thức lượng giác để tính toán :

.

=.

= .

.

b.Bài tập

1. Tính giá trị của số phức sau

D =. (1)

Bài giải:

Ta có

 =

= 

Thế vào (1) ta được

D =

    =

    =

2. Tính giá trị các biểu thức sau:

a)     A = (2)

b)    B = (1 + i)2008 + (1 – i) 2008

Bài giải:

a)     Ta có

= = =

=

Với phép biến đổi tương tự ta cũng có:

=

=

Thế hai đẳng thức vừa biến đổi vào (2) ta được

A =

   =    = =

  = =

   =

a)     Ta có

    1 + i =

Tương tự

   1 – i =

Vậy B =21005

c. Bài tập tham khảo

1)Tính giá trị của biểu thức: B =

                                                                         Đáp số: B = -512.

2)Tìm số phức sau: x =. Đáp số: x =

3) Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: w = biết

                                                                         Đáp số: w = 1

4) Cho z = . Tính w =

5) Cho z = . Tính C = 1 – z + z2 – z 3 + z4 + ….-z9 + z10.

2.Áp dụng công thức Moivre để chứng minh các hệ thức lượng giác

a.Phương pháp

- Tính cosnx, sinnx thao cosx va sinx:

CT Moivre (cosx + i sinx)n = cosnx + i sinnx. Với công thức trên ta khai triển nhị thức ở vế trái và đồng nhất phần thực phần ảo của hai vế ta sẽ tính được cosnx, sinnx thao cosx và sinx.

VD : Tính biểu thức sau theo sinx và cosx cos2x và sin 2x

Ta có cos2x + i sin2x = ( cosx + i sinx )2 = cos2x – sin2x + 2i sinx cosx

Vậy sin2x = 2 sinx cosx

       cos2x = cos2x – sin2x.

- Công thức rút gọn và các biểu thức lượng giác tương tự như phần 1.

b. Bài tập

1. Rút gọn các biểu thức:

A =

B =

Bài giải :

Ta xét biểu thức: A + i B = +                       

=

=

= =

= =

=

Vậy A =

       B =

c.Bài tập tham khảo

1.Chứng minh hệ thức

(1)

(2)

2.Cho z = cosx + isinx. Chứng minh:

a. .

b..

c..

Số phức và bài toán tính tổng chứa số tổ hợp

1.Lý thuyết.

*Ta dùng số phức để tính tổng của các khi tổng này có hai đặc điểm:

- Các dấu trong tổng xen kẽ đều nhau .

-  k luôn lẻ, hoặc luôn chẵn hoặc khi chia k cho một số ta luôn được cùng một số dư.

*Khai triển nhị thức Newton

 (1 + x)n = .

*Một số tính chất được sử dụng trong dạng toán:

-  Hai số phức z = x + iy, w = x/ + iy/ bằng nhau khi và chỉ khi x = x/ và y = y/

-  z = r(cos + isin)  zn = [r(cos + isin)]n = rn(cosn + isinn)

*Một số dạng khai triển thường được sử dụng

- Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i). So sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính.

- Khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉ xét các số phức có argument là , , ). Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính.

-  Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i). Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính.

Để chọn một trong cac khai triển trên ta chủ yếu dựa và số trong tổng.

2.Bài tập

1)Tính tổng sau S =

        P =

Bài giải :

Xét khai triển

 = +

Mặt khác ta tính theo dạng lượng giác của số phức và áp dụng công thức Moivre ta được :

= =

Vậy so sánh phần thực và phần ảo ta có S =

         B =  

Nhận xét : bằng việc xét khai triển ta có kết quả tổng quát sau : 

2.Tính tổng: D =

Giải:

Xét khai triển:

=

= () +

+

Mặt khác:

So sánh phần thực của trong hai cách tính trên ta có:

D = = - 219

Dạng 2: Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp

Ví dụ 1:

Tính tổng:  D =

E =

Giải:

(1 + x)30 =

Đạo hàm hai vế ta có:

30(1 + x)29 =

Cho x = i ta có:

30(1 + i)29 = () +

       + ()i

Mặt khác:

30(1 + i)29 =

So sánh phần thực và ảo của 30(1 + i)29 trong hai cách tính trên ta có:

D = = - 15.215

E = = - 15.215

2.Tính tổng S =

Giải:

Xét khai triển:

(1 + x)20 =

=

Đạo hàm hai vế ta có:

20 =

=

Cho x = i ta có: 20=

=

.

Mặt khác: 20=

So sánh phần ảo của 20trong hai cách tính trên ta có:

S = = 30.219

3.Tính các tổng sau: M =

    N =

Giải:

Xét khai triển:

(1 + x)15 =

Nhân hai vế với x ta có:

x(1 + x)15 =

Đạo hàm hai vế ta có:

(1 + x)15 + 15x(1 + x)14 =

Với x = i ta có: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 =

= +

+ i

Mặt khác:

(1 + i)15 + 15i(1 + i)14 =

So sánh phần thực và ảo của (1 + i)15 + 15i(1 + i)14  trong hai cách tính trên ta có:

M = = 7.28

N = = -27

3.Bài tập tham khảo

1) Tính các tổng sau:

Hướng dẫn: Xét khai triển: . Đạo hàm hai vế, cho x = i và so sánh phần thực, phần ảo của hai số phức.

ĐS: A1 = ; A2 = - 45.229

2) Tính các tổng sau:

Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)25. Đạo hàm hai vế hai lần, sau đó cho x = i. So sánh phần thực và phần ảo của hai số phức bằng nhau.

ĐS: B1 = 75.214 – 1; B2 = –25(1 + 3.214)

3) Tính các tổng sau:

Hướng dẫn: Xét khai triển: ( 1 + x)20. Nhân hai vế với x. Đạo hàm hai vế. Cho x = i.

ĐS: C1 = - 11.210; C2 = - 10.210

4) Tính các tổng sau:

Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)100. Đạo hàm hai vế. Nhân hai vế với x. Lại đạo hàm hai vế. Cho x = i.                             ĐS: D1 = - 50.100.250; D2 = -50.250.