- Trang Chủ
- Toán học 11
- So phuc
So phuc
www.MATHVN.com MꢀT Sꢁ DꢂNG TOÁN Vꢃ Sꢁ PHꢄC Biên soꢅn: NGUYꢆN TRUNG KIÊN 0988844088 I) DꢂNG ĐꢂI Sꢁ CꢇA Sꢁ PHꢄC Dꢅng 1) Bài toán liên quan ñꢈn biꢈn ñꢉi sꢊ phꢋc 3 Ví dꢌ 1) Tìm sꢊ nguyên x, y sao cho sꢊ phꢋc z=x+yi thoꢍ mãn z =18 + 26i Giꢍi: 3 2 x −3xy =18 ⇔ 18 3 3 2 3 3 2 z =18+ 26i ⇔ ( x + yi ) =18+ 26i ⇔ ( 3x y − y ) = 26 ( x −3xy ) 2 3 3x y − y = 26 1 Gi i phương trình b ꢀ ꢁng cách ñꢂt y=tx ta ñưꢃ c t = ⇒ x = 3, y =1. Vꢄy z=3+i
Thể loại Giáo án bài giảng Toán học 11
Số trang 12
Ngày tạo 3/1/2013 8:01:02 PM +00:00
Loại tệp pdf
Kích thước 0.33 M
Tên tệp so phuc va cac bai toan lien quan2 pdf
www.MATHVN.com
MꢀT Sꢁ DꢂNG TOÁN Vꢃ Sꢁ PHꢄC
Biên soꢅn: NGUYꢆN TRUNG KIÊN 0988844088
I) DꢂNG ĐꢂI Sꢁ CꢇA Sꢁ PHꢄC
Dꢅng 1) Bài toán liên quan ñꢈn biꢈn ñꢉi sꢊ phꢋc
3
Ví dꢌ 1) Tìm sꢊ nguyên x, y sao cho sꢊ phꢋc z=x+yi thoꢍ mãn z =18 + 26i
Giꢍi:
3 2
x −3xy =18
⇔ 18
3
3
2
3
3
2
z =18+ 26i
⇔
(
x + yi
)
=18+ 26i ⇔
(
3x y − y
)
= 26
(
x −3xy
)
2
3
3x y − y = 26
1
Gi i phương trình b
ꢀ
ꢁng cách ñꢂt y=tx ta ñưꢃ
c
t = ⇒ x = 3, y =1. Vꢄy z=3+i
3
Ví dꢌ 2) Cho hai sꢊ phꢋc z ; z thoꢍ mãn z = z ; z + z = 3 Tính z1 − z2
1
2
1
2
1
2
Giꢍi:
2
1
2
1
2
2
2
2
a +b = a + b =1
Đꢂt z = a +b i; z = a + b i . Tꢅ giꢀ thiꢆt ta có
1
1
1
2
2
2
2
2
b2 = 3
(
a1
+
a2
)
+
(
b1
+
)
2
2
=1⇒ z − z =1
⇒
2
(
a b + a b
)
=1⇒
(
a1 − a2
)
+
(
b1 −b2
)
1
1
2
2
1
2
Dꢅng 2) Bài toán liên quan ñꢈn nghiꢎm phꢋc
2
Ví dꢌ 1) Giꢍi phương trình sau: z −8(1−i)z + 63−16i = 0
2
2
Giꢍi: Ta có ∆' =16(1−i) − (63−16i) = −63−16i =
(
1−8i
)
Tꢅ ñó tìm ra 2 nghiꢇm là
z = 5−12i, z = 3+ 4i
1
2
2
Ví dꢌ 2) Giꢍi phương trình sau: 2(1+ i)z − 4(2 −i)z −5−3i = 0
2
Giꢍi: Ta có ∆ ’ = 4(2 – i) + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. Vꢄy phương trình cho hai nghiꢇm là:
2
(2 − i) + 4 4 − i (4 − i)(1− i)
3
5
z1 =
=
=
=
− i
2
(1+ i)
1+ i
2
2
1
2
1
2(2 − i) − 4 − i (−i)(1− i)
z
2
=
=
=
= − − i
2
(1+ i)
1+ i
2
3
2
2
2
Ví dꢌ 3) Giꢍi phương trình z −9z +14z −5 = 0
2
Giꢍi: Ta có phương trình tương ñương v
ꢈ
i
(
2z −1
)
z − 4z +5 = 0. Tꢅ ñó ta suy ra
(
)
1
phương trình có 3 nghi
ꢇ
m là z = ; z = 2 −i; z = 2 +i
1
2
3
2
3
2
Ví dꢌ 4) Giꢍi phương trình: 2z −5z +3z +3+ (2z +1)i = 0 biꢈt phương trình có
nghiꢎm thꢏc
3
2
2z −5z + 3z + 3 = 0
−1
Giꢍi: Vì phương trình có nghi
ꢇ
m th
ꢉc nên
⇒ z =
thoꢀ mãn cꢀ
2
z +1= 0
2
hai phương trình cꢊa hꢇ:Phương trình ñã cho tương ñương vꢈi
1
2
(
2z +1
)
(
z −3z +3+i
)
= 0. Giꢀi phương trình ta tìm ñưꢃc z = − ; z = 2 −i; z =1+i
2
www.MATHVN.com
1
www.MATHVN.com
3
2
Ví dꢌ 5) Giꢍi phương trình: z + (1− 2i)z + (1−i)z − 2i = 0 biꢈt phương trình có
nghiꢎm thuꢐn ꢍo:
Giꢍi: Giꢀ sꢋ nghiꢇm thuꢌn ꢀo cꢊa phương trình là z=bi thay vào phương trình ta có
3
2
+ (1−i)(bi) − 2i = 0 ⇔ (b −b ) + (−b + 2b +b − 2)i = 0
m, tꢅ ñó ta có phương trình tương
2
3
2
(
bi
)
+ (1− 2i)
(
bi
)
2
b −b = 0
⇔
⇒ b =1⇒ z = i là nghi
ꢇ
3
2
−b + 2b + b − 2 = 0
2
ñương v
ꢈi
(
z −i z + (1−i)z + 2 = 0. Giꢀi pt này ta sꢍ tìm ñưꢃc các nghiꢇm
)
(
)
2
Ví dꢌ 6) Tìm nghiꢎm cꢑa phương trình sau: z = z .
2
)
a + bi = a + bi
Giꢍi: Giꢀ sꢋ phương trình có nghiꢇm: z=a+bi thay vào ta có
(
2
2
a −b = a
1
3
⇔
Giꢀi hꢇ trên ta tìm ñưꢃc (a,b) = (0;0),(1;0),(− ;± ) . Vꢄy phương
2
ab = −b
2
2
1
3
i
trình có 4 nghiꢇm là z = 0; z =1; z = − ±
2
2
Dꢅng 3) Các bài toán liên quan ñꢈn modun cꢑa sꢊ phꢋc:
Ví dꢌ 1) Tìm các sꢊ phꢋc z thoꢍ mãn ñꢒng thꢓi các ñiꢔu kiꢎn sau:
z +1− 2i = z − 2 + i và z −i = 5
Giꢍi:
x
+1+ (
y
− 2)i = x − 2 + (1− y)i
Giꢀ sꢋ z=x+yi (x,y là sꢎ thꢉc) .Tꢅ giꢀ thiꢆt ta có
x + (y −1)i |= 5
2
2
2
2
(
x +1
)
+ (y − 2) = (x − 2) + (1− y)
y = 3x
⇔
⇔
⇔ x =1, y = 3 hoꢂc
2
2
2
1
0x − 6x − 4 = 0
x +
(
y −1
)
= 5
2
6
x = − , y = − . Vꢄy có 2 sꢎ phꢏc thoꢀ mãn ñiꢐu kiꢇn.
5
5
i − m
Ví dꢌ 2) Xét sꢊ phꢋc z thoꢍ mãn z =
;m∈ R
1
− m(m − 2i)
1
a) Tìm m ñꢕ z.z =
2
1
b)Tìm m ñꢕ z
−
i
≤
4
c) Tìm sꢊ phꢋc z có modun lꢖn nhꢗt.
Giꢍi:
a) Ta có
2
2
2
2
(
i − m
2
)
(
1− m − 2mi
)
i − m
−m(1− m ) + 2m + (1− m + 2m )
z =
=
=
2
2
2
2
2
1
− m + 2mi 1− m + 2mi 1− m − 2mi
(
)(
)
(
1− m + 4m
)
www.MATHVN.com
2
www.MATHVN.com
2
2
m(1+ m ) + i(1+ m )
m
1
m
1
2
=
=
+
i ⇒ z =
−
i
1+ m 1+ m
⇔ m +1= 2 ⇔ m = ±1
2
2
2
2
2
1
+ m 1+ m
(
1+ m
)
2
1
2
m +1
1
=
2
⇒
z.z =
⇔
2
2
2
(
m +1
)
2
1
4
m
1
1
4
m
m
i ≤
2
1+ m 1+ m
1
4
b) Ta có z −i ≤
⇔
+
−1 i ≤
⇔
−
⇔
2
2
2
1+ m 1+ m
2
4
2
m
m
1
m
1
1
1
2
2
⇔
+
≤
⇔
≤ ⇔ 16m ≤1+ m ⇔ −
≤ m ≤
2
2
2
2
2
(
1+ m ) (1+ m ) 16
1+ m
6
15
15
2
m +1
1
2
c) Ta có z =
=
≤1⇒| z |max =1⇔ m = 0
2
2
m +1
(
m +1
)
Ví dꢌ 3) Trong các sꢊ phꢋc z thoꢍ mãn ñiꢔu kiꢎn z − 2− 4i = 5 Tìm sꢊ phꢋc z có
modun lꢖn nhꢗt, nhꢘ nhꢗt.
2
2
= 5 Suy ra tꢄp hꢃp
Giꢍi: Xét sꢎ phꢏc z = x+yi . Tꢅ giꢀ thiꢆt suy ra
(
x − 2
)
+
(
y − 4
)
ñiꢑm M(x;y) biꢑu diꢒn sꢎ phꢏc z là ñưꢓng tròn tâm I(2;4) bán kính R = 5
Dꢒ dàng có ñưꢃc M (2+ 5 sin
α
;4 + 5 cos
α
). Modun sꢎ phꢏc z chính là ñꢔ dài véc tơ
OM.
2
2
2
2
Ta có |z| =OM = (2 + 5 sin
α
) + (4 + 5 cos
α
) = 25+ 4 5(sin
α
+ 2cosα )
2
2
2
Theo BDT Bunhiacopxki ta có (sin
α
+ 2cos
α
) ≤ (1+ 4) sin
α
+ cos
α
)
= 5
(
⇒
− 5 ≤ sin
α
+ 2cos
α
≤ 5 ⇒ 5 ≤ z ≤ 3 5 . Vꢄy
−
1
−
2
|
|
z | = 5 ⇒ sin
α
+ 2cos
α
= − 5 ⇔ sin
α
α
=
=
;cos
α
α
=
=
⇔ x =1, y = 2 ⇒ z =1+ 2i
⇔ x = 3, y = 6 ⇒ z = 3+ 6i
min
5
1
5
2
z |max = 3 5 ⇔ sinα + 2cosα = 5 ⇔ sin
;cos
5
5
Ví dꢌ 4) Trong các sꢊ phꢋc thoꢍ mãn ñiꢔu kiꢎn z − 2 − 4i = z − 2i .Tìm sꢊ phꢋc z có
moodun nhꢘ nhꢗt.
Giꢍi: Xét sꢎ phꢏc z = x+yi . Tꢅ giꢀ thiꢆt suy ra
2
2
2
⇔
2
(
x
− 2
)
+
(
y
− 4
)
=
x
+
(
y
− 2
)
x + y − 4 = 0 Suy ra tꢄp hꢃp ñiꢑm M(x;y) biꢑu diꢒn
sꢎ phꢏc z là ñưꢓng thꢕng y=-x+4
2
2
2
2
2
2
Ta có z = x + y = x + (4 − x) = 2x −8x +16 = 2(x − 2) +8 ≥ 2 2 . Tꢅ ñó suy
z min = 2 2 ⇔ x = 2 ⇒ y = 2 ⇒ z = 2 + 2i
Dꢅng 4) Tìm tꢙp hꢚp ñiꢕm biꢕu diꢛn sꢊ phꢋc
Ví dꢌ 1) Tìm tꢙp hꢚp các ñiꢕm M trong mꢜt phꢝng phꢋc biꢕu diꢛn sꢊ phꢋc z biꢈt:
z
a)
=
3
b) z = z −3+ 4i
c) z −i + z + i = 4
z −i
www.MATHVN.com
3
www.MATHVN.com
Giꢍi:
Gꢖi z=x+yi
9
2
9
2
2
2
2
2
a) Tꢅ giꢀ thiꢆt ta có z = 3 z −i ⇔ x + y = 9(x + (y −1) ) ⇔ x + (y − ) =
8
64
9
3
8
Vꢄy tꢄp hꢃp ñiꢑm M là ñưꢓng tròn tâm I(0; ), R
=
8
2
2
2
2
b) Tꢅ giꢀ thiꢆt ta có x
+
y
=
(
x
−3
)
+ (4−
y
) ⇔ 6
x
+8
y
= 25 . Vꢄy tꢄp hꢃp các ñiꢑm
M là ñưꢓng thꢕng 6x+8y-25=0
2
2
= 4 ⇔
2
2
c) Giꢀ sꢋ z =x+yi thì z −i + z + i = 4
⇔
x +
(
y −1
)
+ x +
(
y +1
)
2
2
2
2
x + y +1 ≤ 4
(
)
x + y +1 ≤16
(
2
)
⇔
⇔
2
2
2
2
( )
+ x + y +1
2
2
2
2 x +
(
y −1
)
= y + 4
x +
(
y −1
)
=16 −8 x +
(
y +1
)
2
2
2
x +
(
≤16(1)
2
y
=1(2)
y +1
)
2
x +
(
y +1
)
≤16
2
x
2
2
2
⇔
4x + 4y +8y + 4 = y +8y +16 ⇔
y ≥ −4
+
3
4
y ≥ −4(3)
Ta th
ꢗ
y các
ñ
i
ꢑ
m n
ꢁ
m trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung ñꢔ các
ñ
i
ꢑ
m n
ꢁ
m trên (Elip)
2
2
x
y
luôn tho
ꢀ
mãn
ñ
i
ꢐu ki
ꢇ
n y >-4. V
ꢄ
y t
ꢄp h
ꢃp
ñi
ꢑ
m M là Elip có pt
+
=1.
3
4
Ví dꢌ 2) Tìm tꢙp hꢚp các ñiꢕm biꢕu diꢛn trong mꢜt phꢝng phꢋc sꢊ
phꢋc
ω
= 1+i 3 z + 2 biꢈt rꢞng sꢊ phꢋc z thoꢍ mãn: z −1 ≤ 2.
(
)
Giꢍi: Đꢂ
t
z = a +bi
(
a,b∈ R
)
2
2
Ta có z −
Tꢅ
1
≤ 2 ⇔
(
a −1
)
+b ≤ 4 (1)
x −3 = a −1+ b 3
x = a −b 3 + 2
⇔
y = 3a + b
ω
= 1+ i 3 z + 2 ⇒ x + yi = 1+ i 3 a + bi + 2 ⇔
(
)
(
)
(
)
y − 3 = 3(a −1) + b
2
2
2
2
≤16 do (1)
Tꢅ ñó
(
x
−3
)
+
y
− 3 ≤ 4
(
a
−1
)
+
b
(
)
2
2
Vꢄy tꢄp hꢃp các ñiꢑm cꢌn tìm là hình tròn
(
x
−3
)
+
y
− 3 ≤16; tâm I 3; 3 , bán
(
)
(
)
kính R=4.
Ví dꢌ 3) Xác ñꢟnh tꢙp hꢚp các ñiꢕm M(z) trong mꢜt phꢝng phꢋc biꢕu diꢛn các sꢊ
z
−
2
π
phꢋc z sao cho sꢊ
Giꢍi:
có acgumen bꢞng .
z +
2
3
www.MATHVN.com
4
www.MATHVN.com
x
−
2
)
)
+
yi
(
=
+ yi
x
−
2
)
(
+ yi
( )
x
+ 2
+ yi
z
−
2
(
(
Giꢀ sꢋ z=x+yi, thì
=
2
2
)
x + 2 + y
z + 2
x + 2
2
2
2
2
x − 4 + y + yi
(
x + 2 − x + 2
)
x + y − 4
4y
=
=
+
i (1)
2
2
2
2
2
2
(
x + 2
)
+ y
(
x − 2
)
+ y
(
x − 2
)
+ y
> 0
z − 2
π
Vì s
ꢎ
ph
ꢏ
c
có acgumen bꢁng , nên ta có:
z + 2
3
2
2
x + y − 4
4y
π
π
+
i =
2
τ
cos +isin
vꢈi
τ
2
2
2
3
3
(
x − 2
)
+
y
(
x − 2
)
+ y
2
2
x + y − 4
τ
=
2
2
2
(
(
x − 2
)
+ y
⇒
4
y
τ 3
=
2
2
x − 2 + y
)
2
Tꢅ ñó suy ra y>0 (1) và
2
2
4
y
4y
2 4
(2) .Tꢅ (1) và (2) suy ra
2
2
2
=
3 ⇔ x + y − 4 =
⇔ x + y −
=
2
2
3
x + y − 4
3
3
tꢄp hꢃp các ñiꢑm M là ñưꢓng tròn tâm nꢁm phía trên trꢘc thꢉc(Trên trꢘc Ox).
Dꢅng 5) Chꢋng minh bꢗt ñꢝng thꢋc:
2
2
z −1
+ iz
Ví dꢌ 1) Chꢋng minh rꢞng nꢈu z ≤
1
thì
≤1
Giꢍi:
2
2
2
2
+b
Gi
ꢀ
sꢋ
z =a+bi (a, b
∈
R) thì
z
=
a
+
b
≤1⇔
a
≤1. Ta có
2
2
2
2
z −1 2a + (2b −1)i
4a + (2b −1)
=
=
.Bꢗt ñꢕng thꢏc cꢌn chꢏng minh tương ñương
2
2
+ iz
(2 −b) + ai
(
2 −b) + a
2
2
4
a + (2b −1)
2
2
2
2
2
2
vꢈi
≤1⇔ 4a + (2b −1) ≤ (2 −b) + a ⇔ a + b ≤1⇒ dpcm
2 2
2 −b) + a
(
1
3
Ví dꢌ 2) Cho sꢊ phꢋc z khác không thoꢍ mãn ñiꢔu kiꢎn z +
≤ 2 . Chꢋng minh
3
z
1
rꢞng: z + ≤ 2
z
Giꢍi: Dꢒ dàng chꢏng minh ñưꢃc vꢈi 2 sꢎ phꢏc z , z bꢗt kỳ ta có z1
+
z2
1
≤ z + + 3 z + ≤ 2 +3 z +
3
z
≤
z1
+
z2
1
2
3
3
1
z
3
1
1
z
1
3
1
1
Ta có z +
= z + + 3 z + ⇒ z +
3
z
z
z
z
1
2
3
Đꢂt z
+
=a ta có
a
−3a
− 2 ≤ 0 ⇔
(
a
− 2)(
a
+1
)
≤ 0 ⇒ dpcm
z
www.MATHVN.com
5
www.MATHVN.com
II) DꢂNG LƯꢠNG GIÁC CꢇA Sꢁ PHꢄC
Dꢅng 1: VIꢡT DꢂNG LƯꢠNG GIÁC
Ví dꢌ 1) Viꢈt dưꢖi dꢅng lưꢚng giác cꢑa các sꢊ phꢋc:
1
−
(
+
cos
ϕ
+isin
ϕ
)
)
a)
b)
1
−
(
cos
ϕ
) (
)
+
+ isinϕ 1 cosϕ + isinϕ
1
cos
ϕ
+isin
ϕ
Giꢍi:
1
−
(
cos
ϕ
ϕ
+isin
+ isin
ϕ
ϕ
(
1− cos
=
(
1+ cos
ϕ
ϕ
)
)
−isin
+ isin
ϕ
ϕ
ϕ
a)
1
+ cos
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
2
2
2
sin
− 2isin cos
sin −icos
ϕ
ϕ
= −i tan
2
2
2
ϕ
2
ϕ
2
ϕ
2
ϕ
=
= tan
ϕ
2
2
cos + 2isin cos
cos + isin
2
2
2
2
2
ϕ
ϕ
π
π
-
Khi tan > 0
d
ꢙng lưꢃng giác là: tan cos −
+ isin −
2
2
2
2
ϕ
ϕ
π π
+ isin
2 2
-
-
Khi tan < 0 dꢙng lưꢃng giác là: − tan cos
2
2
ϕ
Khi tan = 0 thì không có dꢙng lưꢃng giác.
2
b)1−
(
cos
ϕ
) (
)
+ isinϕ 1+ cosϕ +isinϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
2sin
sin −icos .cos cos +isin
2
2
2
2
2
2
π
π
=
2sin
ϕ
cos
ϕ
−
+ isin
ϕ
−
2
2
-
Khi sin
Khi sin
ϕ
ϕ
= 0 thì d
ꢙ
ng lưꢃng giác không xác ñꢚnh.
π
+isin ϕ −
π
-
> 0 thì d
ꢙ
ng lưꢃng giác là: 2sin
ϕ
cos
ϕ
−
2
2
π
+isin ϕ
π
-
Khi sin
ϕ
< 0 thì d
ꢙng lưꢃng giác là: (−2sin
ϕ
) cos
ϕ
+
+
2
2
Ví dꢌ 2): Viꢈt dưꢖi dꢅng lưꢚng giác cꢑa các sꢊ phꢋc:
1
−
(
cos
+ cos
Giꢍi:
ϕ
+isin
ϕ
)
a)
b)
[
1−(cos
ϕ
+ isin
ϕ
)
][
1+ cos ϕ
+isinϕ
]
1
ϕ
+isin
ϕ
ϕ
ϕ
sin −icos
1
−
(
cos
cos
ϕ
ϕ
+ isin
+isin
ϕ
ϕ
)
1−cos
ϕ
−isin
ϕ
ϕ
ϕ
2
2
ϕ
a)
=
=
tan
= −i tan
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
1
+
2
2
2
2
cos + 2isin .cos
cos −isin
2
2
ϕ
2
2
2
2
ϕ
π
π
Khi tan >0 thì dꢙng lưꢃng giác là tan
cos −
+isin −
2
2
2
TEL:0988844088
www.MATHVN.com
6
www.MATHVN.com
ϕ
ϕ
π π
+ isin
2 2
Khi tan <0 thì dꢙng lưꢃng giác là - tan
cos
2
2
ϕ
Khi tan =0 thì không tꢛn tꢙi dꢙng lưꢃng giác.
2
b)
[
1− (cos
ϕ
+ isinϕ )
][
1+ cosϕ + isinϕ ]
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
2sin
sin −icos .2cos
cos + isin
2
2
2
2
2
2
π
π
=
2sin
ϕ
cos
ϕ
−
+ isin
ϕ
−
2
2
-
Khi sin
ϕ
= 0 thì d
ꢙng lưꢃng giác không xác ñꢚnh
π
π
-
-
Khi sin
Khi sin
ϕ
> 0 thì d
ꢙ
ng lưꢃng giác là: 2sin
ϕ
cos
ϕ
−
+
i
sin
ϕ
−
2
2
π
+ isin ϕ +
2
π
ϕ
< 0 thì d
ꢙ
ng lưꢃng giác là:
(
−2sin
ϕ
)
cos
ϕ
+
2
Dꢅng 2: MÔĐUN VÀ ACGUMEN
2
Ví dꢌ 1) Tìm phꢐn thꢏc và phꢐn ꢍo cꢑa sꢊ phꢋc z, biꢈt
z
= −2 + 2 3i
2
π
2
π
Giꢍi: Ta có: z
2
2
= −2 + 2
3i ⇔
z
= 4 cos
+ i sin
3
3
2
π
2
π
2
2
Do
ñ
ó: z = −2+ 2 3i ⇔ z = 4 cos
+ isin
3
3
2
π
2
π
z = 2 cos
+ isin
3
3
π
z =1+ i 3
⇔
⇔
π
z = −1−i 3
z = −2 cos + isin
3
3
Tꢅ ñó suy ra phꢌn th
ꢉ
c và phꢌn ꢀo cꢊa z tương ꢏng là 1 và 3 hoꢂc -1 và − 3
Ví dꢌ 2) Tìm mꢢt acgumen cꢑa sꢊ phꢋc: z − 1+ i 3 biꢈt mꢢt acgumen cꢑa z
(
)
π
bꢞng
3
π
1
2
3
Giꢍi: z có mꢔt acgumen b
ꢁng
nên z = z
+
i
2
3
1
3
i
Do
ñ
ó: z − 1+ i 3
=
( z − 2)
+
(
)
2
2
π
-
-
Khi z
Khi
>
2, m
ꢔ
t aacgumen c
ꢊ
a
z − 1+ i 3 là
(
)
3
4π
0
< z <
2
, mꢔt acgumen cꢊa z − 1+i 3 là
(
)
3
TEL:0988844088
www.MATHVN.com
7
www.MATHVN.com
-
Khi
z
=
2
thì z − 1+ i 3 =0 nên acgumen không xác ñꢚnh.
(
)
Ví dꢌ 3) Cho sꢊ phꢋc z có môñun bꢞng 1. Biꢈt mꢢt acgumen cꢑa z là
ϕ
, tìm mꢢt
acgumen cꢑa:
1
2
2
d) z + z
a) 2z
b)
−
c) z + z
2
z
Giꢍi:
z =1, z có m
ꢔ
t acgumen là
ϕ
. Do
ñó z = cos
ϕ
+ isin
ϕ
2
2
a) z = cos2
ϕ
+ isin 2
ϕ
⇒ 2z = 2
(
cos2 + isin 2
ϕ
ϕ
)
⇒ 2z = 2
(
cos
ϕ
−isinϕ
)
2
Vꢄy 2z có mꢔt acgumen là 2
ϕ
b) z = cos
ϕ
+ isin
ϕ
⇒ z = cos
ϕ
−isin
ϕ
⇒ 2z = 2
(
cos
ϕ
−isin
ϕ
)
1
1
2
1
⇒
⇒
=
(
cos
(
−
ϕ
)
−isin
−isin
(
−
ϕ
)
)
=
(
cos
ϕ
+ isin
ϕ
)
2
z
2
1
1
1
(
= cos
−
=
(
−cos
ϕ
ϕ
)
(
ϕ
+
π
)
+ isin
ϕ
(
ϕ
+
π
)
)
2
z
2
2
1
Vꢄ
y
−
có mꢔ
t acgumen là
ϕ
+
π
2
z
c) Ta có: z + z = 2cos
ϕ
Nꢆu cos
Nꢆu cos
Nꢆu cos
ϕ
ϕ
ϕ
> 0 thì có mꢔt acgumen là 0
< 0 thì có mꢔt acgumen là
= 0 thì acgumen không xác ñꢚnh.
+ isin 2 , z = cos −isinϕ
π
2
d) z + z = cos2
ϕ
ϕ
ϕ
3
ϕ
ϕ
3
ϕ
ϕ
2
⇒
z + z = cos2
ϕ
+ cos + i sin 2 −sin
ϕ
(
ϕ
ϕ
)
= 2cos cos + i.2cos sin
2
2
2
2
3
ϕ
ϕ
ϕ
=
2cos
cos + isin
2
2
2
ϕ
3
ϕ
ϕ
3ϕ
nꢆu cos < 0 và không xác ñꢚnh
2
Vꢄy acgumen z + z là
nꢆu cos
> 0 , là
+
π
2
2
2
2
3
ϕ
nꢆu cos
= 0
2
π
π
Ví dꢌ 4) Cho sꢊ phꢋc z =1−cos −isin . Tính môñun, acgumen và viꢈt z dưꢖi
7
7
dꢅng lưꢚng giác.
Giꢍi:
2
π
2
π
π
8
π
4π
2cos
Ta có: z =
1
−
cos
+
sin
=
2 1
−
cos
=
2 1
+
cos
=
7
7
7
7
7
π
8
π
−
sin
sin
4
π
π
7
7
Đꢂt
ϕ
= arg
(
z
)
thì tan
ϕ
=
=
= cot
= tan −
π
4
π
2
7
14
1
− cos
2sin
7
7
www.MATHVN.com
8
www.MATHVN.com
π
ϕ π
= − + k ,k ∈ z
14
Suy ra:
π
π
π
Vì phꢌn thꢉc 1− cos > 0 , phꢌn ꢀo −sin < 0 nên chꢖn mꢔt acgumen là −
7
7
14
4
π
π
π
Vꢄy z = 2cos
cos −
+ isin −
7
14
14
1
Ví dꢌ 5) Viꢈt dưꢖi dꢅng lưꢚng giác cꢑa mꢢt sꢊ phꢋc z sao cho z = và mꢢt
3
z
3π
là −
acgumen cꢑa
Giꢍi:
1
+ i
4
1
3
1
3
Theo giꢀ thiꢆt z
=
thì z =
(
cos
ϕ
+ isin
ϕ
)
1
1
⇒
z =
(
cos
ϕ
−isin
ϕ
)
=
(
cos
(
−ϕ
)
+ isin
(
−ϕ
)
)
3
3
1
2
π
π
Vì 1+ i = 2
+ i
= 2 cos + isin
2
2
4
4
z
1
π
ϕ
π
Nên
=
cos −
ϕ
−
+ isin −
−
1
+ i 3 2
4
4
π
3
π
π
1
π
π
Do
ñ
ó: −
ϕ
−
= −
+ 2k
π
⇔
ϕ
=
+ 2k
π
,k ∈ Ζ. v
ꢄ
y
z =
c
os + isin
.
4
4
2
3
2
2
z + 3i
z + i
π
Ví dꢌ 6) Tìm sꢊ phꢋc z sao cho:
=1 và z+1 có mꢢt ácgumen là
−
6
Giꢍi:
T
ꢅ
gi
ꢀ
thi
ꢆ
t
2
2
( )
+ y +1
2
2
z + 3i
z + i
⇒
⇒
z
+ 3
i
=
z
+
−
i
⇔
x
+ (
y
+ 3)
i
=
x
+ (
y
+1)
i
⇔
x
+
(
y
+ 3
)
=
x
=
1
y = −2
π
π
π
τ
] =
z+1 có 1 acgumen b
ꢁng
t
ꢏ
c là z +
1
=
τ
[
cos
−
+ isin
−
3
−i
v
ꢈi r>0.
(
)
6
6
6
2
τ
τ
3
x +1=
τ = 4
2
Ta có z+1=x+1-2i suy ra
⇔
⇒ z = 2 3 −1− 2i
x = 2 3 −1
−2 = −
2
Dꢅng 3) ꢄNG DꢣNG Sꢁ PHꢄC TRONG BÀI TOÁN Tꢤ HꢠP
Ví dꢌ 1) Tính các tꢉng sau khi n=4k+1
0
2
4
2n−2
2n
2n+1
a) S = C2 −C + C −.......+ C2n+1 −C
n+1
2n+1
2n+1
1
3
5
2n−1
2n+1
b) S = C2 −C + C −.......+ C2n+1 −C2n+1
n+1
2n+1
2n+1
Giꢍi:
www.MATHVN.com
9
www.MATHVN.com
Xét
1+i
Mꢂt khác ta lꢙi có:
2
n+1
= C2 +iC +i C +.....+i
0
n+1
1
2
2
2n+1 2n+1
0
2
2n
2n+1
1
3
2n+1
(
)
C
= C −C +...−C + i(C −C +..−C2n+1 )
2n+1
2n+1
2n+1
2n+1
2n+1
2n+1
2n+1
π
π
2
n+1
= 2
2n+1
(2n +1)
π
(2n +1)
π
1
+ i = 2 cos + isin
⇒
(
1+ i
)
cos
+ isin
4
4
4
4
(2n +1)
π
(2n +1)
π
(8k + 3)
π
(8k + 3)
π
n
n
=
2
2 cos
+ isin
= 2 2 cos
+ isin
4
4
4
4
3
π
3
π
n
n
= −2 + i2
n
=
2
2 cos
+isin
4
4
Tꢅ ñó ta có
n
a) S=-2
b) S=2
n
Ví dꢌ 2) Tính các tꢉng hꢥu hꢅn sau:
2
n
4
n
6
n
a) S =1−C + C −C +..........
1
n
3
n
5
n
7
n
b) S = C −C + C −C +..........
Giꢍi:
Xét 1+ i
n
0
n
1
n
2
2
n
n
n
n
2
n
4
n
1
n
3
n
5
n
7
n
(
)
= C + iC + i C +.....+ i C =1−C + C −...+ i(C −C + C −C +....)
π
π
n
n
n
π
n
π
1
+ i = 2 cos + isin
⇒
(
1+ i
)
= 2 cos
+ isin
4
4
4
4
Tꢅ ñó ta có kꢆt quꢀ
n
nπ
n
nπ
a) S = 2 cos
b) S = 2 sin
4
4
1
n
nπ
3
3
n
6
n
Ví dꢌ 3) Chꢋng minh rꢞng: 1+ C + C +... = 2 + 2cos
3
n
0
1
2
3
n
Giꢍi: Ta có 2 = C + C + C + C +....C (1)
n
n
n
n
n
2
π
2
π
3
=1
Xét
ε
= cos
+ isin
⇒
ε
3
3
Ta có
n
0
n
1
n
2
2
n
n
n
n
0
n
1
n
2
2
n
3
n
4
n
(
1+
ε
ε
)
2
= C +
ε
C +
ε
C +......
ε
C = C +
ε
C +
ε
C + C +
ε
C +..... (2)
n
0
2
1
4
2
n
2n
n
0
2
1
n
2
3
2
4
(
1+
)
= C +
ε
C +
ε
ε
C +......
ε
C = C +
ε
C +
ε
C + C +
ε
C +.....(3)
n
n
n
n
n
n
n
π
π
π
π
2
2
Ta có 1+
ε
+
ε
= 0;1+
= cos −isin ;1+
ε
= cos +isin
3
3
3
3
C
2
ꢔ
ng (1) (2) (3) theo v
ꢆ
ta có
n
nπ
⇔ 2 + 2cos = 3
n
n
2
0
n
3
n
6
n
n
0 3 6
( )
C +C +C +...
n n n
+
(
1+
ε
)
+
(
1+
ε
)
= 3
(
C + C + C +...
)
3
1
n
n
π
3
n
6
n
⇔
1+C + C +... = 2 + 2cos
3
3
TEL:0988844088
www.MATHVN.com
10
www.MATHVN.com
MꢀT Sꢁ BÀI TꢦP Tꢧ LUYꢨN
) Giꢍi phương trình sau trên tꢙp sꢊ phꢋc:
2
3
2
1
2
d)z + 2z +1−i = 0
a)z = z
b) z + z = 3+ 4i
c)z −
(
z
)
= 4i 3
2
2
2
e)z + 4z + 5 = 0 f )(1+i)z + 2 +11i = 0
g)z − 2(z + z) + 4 = 0
2
) Tìm sꢊ thꢏc x thoꢍ mãn bꢗt phương trình:
1
+ i 7
x +1+ 2i − 2
−
x
≤
a
) 1
+
4
i −
2
5
b)
−log x ≤1
c)1− log2
≥ 0
2
4
2 −1
3
4
5
) Tìm sꢊ phꢋc z sao cho A = (z − 2)(z + i) là sꢊ thꢏc
z + 7i
) Tìm sꢊ phꢋc z thoꢍ mãn ñiꢔu kiꢎn z = 5;
là sꢊ thꢏc
z +1
) Tìm tꢙp hꢚp các ñiꢕm M trong mꢜt phꢝng phꢋc biꢕu diꢛn các sꢊ phꢋc z thoꢍ mãn
ñiꢔu kiꢎn
2
z − 2i
z + 2i
z − 2i
z + 2i
2
a) z −
(
z
)
= 9
b
)
= 4 c)3 z + i = z + z −3i
d
)
z
+
3
i
−
4
=
2
e) z +1 ≥ z + i
) >1
z − 2 + 2
f ) z = z + 4 −3i g)
>1 h)2 z −i = z − z + 2i k)log1 (
4 z − 2 −1
3
3
6
) Trong các sꢊ phꢋc thoꢍ mãn ñiꢔu kiꢎn z
−
2
+
3i
=
. Tìm sꢊ phꢋc z có modun lꢖn
2
nhꢗt,nhꢘ nhꢗt.
7
8
( )
) Tìm sꢊ phꢋc z thoꢍ mãn ñiꢔu kiꢎn z −1
)(
z + 2i là sꢊ thꢏc và z nhꢘ nhꢗt. ) Tìm mꢢt acgumen cꢑa sꢊ phꢋc z khác 0 biꢈt z + z i = z
2
9
1
) Tìm sꢊ phꢋc z thoꢍ mãn
z
+
z
= 2 và
z
=
2
0) Giꢍi hꢎ pt sau trong tꢙp sꢊ phꢋc:
z −12
z −8i
z − 4
z −8
5
3
z + z =
3
−i
=
1
2
2
2 z −i = z − z + 2i
z1
−
−
z2 +1= 0
z1 +1= 0
a)
b)
1
1
3+ i
c)
d)
2
2
2
z2
+
=
z − z = 4
z1 z2
5
=1
3
2
2
+ 2
z
z
+ 2
010
z
z
+1= 0
e)
2011
+ z
+
1= 0
3
2
1
1) Cho phương trình 2z −(2i +1)z + (9i −1)z + 5i = 0có nghiꢎm
thꢏc. Hãy tìm tꢗt cꢍ các nghiꢎm cꢑa phương trình.
1
1
2
011
1
1
2) Tìm phꢐn thꢏc phꢐn ꢍo cꢑa z =
+ w
biꢈt
+ w =1
2011
w
w
3) Tìm n nguyên dương ñꢕ các sꢊ phꢋc sau là sꢊ thꢏc, sꢊ ꢍo:
n
n
n
−
2 +i 6
4 + 6i
−1+ 5i
7 + 4i
3− 3
i
a)z =
b)z =
c)z =
d)z =
3
+3i
4
−
3i
3 −3i
www.MATHVN.com
11
www.MATHVN.com
1
4) Cho n nguyên dương, chꢋng minh rꢞng
n
2n 2n
( )
C −3C + 9C − 27C +.....+ −3 C = 2 cos
2n
3
2nπ
0
2
2n
4
2n
6
2n
2
n
1
5) Tìm sꢊ phꢋc z sao cho z = z − 2 và mꢢt acgumen cꢑa z-2 bꢞng mꢢt acgumen
π
cꢑa z+2 cꢢng vꢖi
2
1
6) Giꢍi phương trình
2
z
2z
2
2
0
2
2
0
a)
= z + tan 10 + 4i − 2
b)
= z + cot 12 + 6i − 7
0
0
cos10
sin12
Mꢩi thꢪc mꢪc xin vui lòng liên hꢎ thꢐy Nguyꢛn Trung Kiên 0988844088
www.MATHVN.com
12
© 2024 - nslide
Website chạy thử nghiệm. Thư viện tài liệu miễn phí mục đích hỗ trợ học tập nghiên cứu , được thu thập từ các nguồn trên mạng internet ... nếu tài liệu nào vi phạm bản quyền, vi phạm pháp luật sẽ được gỡ bỏ theo yêu cầu, xin cảm ơn độc giả