- Trang Chủ
- Không dùng thư mục này
- Tài liệu hướng dẫn ôn thi phần lượng giác chương 7
Tài liệu hướng dẫn ôn thi phần lượng giác chương 7
CHÖÔNG VII PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC CHÖÙA CAÊN VAØ PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC CHÖÙA GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI A) PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC CHÖÙA CAÊN Caùch giaûi : AÙp duïng caùc coâng thöùc ⎧ ⎨ ⎩ A ≥ 0 ⎧B ≥ 0 A = B ⇔ ⇔ ⎨ A = B A = B ⎩ ⎧ B ≥ 0 A = B ⇔ ⎨ 2 A = B ⎩ Ghi chuù : Do theo phöông trình chænh lyù ñaõ boû phaàn baát phöông trình löôïng giaùc neân ta xöû lyù ñieàu kieän B ≥ 0 baèng phöông phaùp thöû laïi vaø chuùng toâi boû caùc baøi to
Thể loại Giáo án bài giảng Không dùng thư mục này
Số trang 13
Ngày tạo 2/26/2010 6:28:44 AM +00:00
Loại tệp pdf
Kích thước 0.23 M
Tên tệp luonggiacchuong7 pdf
CHÖÔNG VII
PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC CHÖÙA CAÊN VAØ PHÖÔNG TRÌNH
LÖÔÏNG GIAÙC CHÖÙA GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI
A) PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC CHÖÙA CAÊN
Caùch giaûi :
AÙp duïng caùc coâng thöùc
⎧
⎨
⎩
A ≥ 0
⎧B ≥ 0
A = B ⇔
⇔
⎨
A = B
A = B
⎩
⎧
B ≥ 0
A = B ⇔
⎨
2
A = B
⎩
Ghi chuù : Do theo phöông trình chænh lyù ñaõ boû phaàn baát phöông trình löôïng
giaùc neân ta xöû lyù ñieàu kieän B ≥ 0 baèng phöông phaùp thöû laïi vaø chuùng toâi boû
caùc baøi toaùn quaù phöùc taïp.
( )
Baøi 138 : Giaûi phöông trình 5cosx − cos2x + 2sinx = 0 *
⇔ 5cosx − cos2x = −2sinx
( )
*
⎧
⎨
⎩
sinx ≤ 0
⇔
⇔
⇔
2
5
cosx − cos2x = 4sin x
⎧
sinx ≤ 0
⎪
⎨
2
2
5
cosx − 2cos x − 1 = 4 1 − cos x
(
)
(
)
⎪
⎩
⎧
sinx ≤ 0
⎨
⎩
2
2
cos x + 5cosx − 3 = 0
⎧
⎪
⎨
sinx ≤ 0
⇔
1
cosx = ∨ cosx = −3
(
loaïi
)
⎪
⎩
2
⎧
⎪
⎨
sin x ≤ 0
⇔
⇔
π
3
x = ± + k2π,k ∈ �
⎪
⎩
π
x = − + k2π,k ∈ �
3
Baøi 139 : Giaûi phöông trình
3
3
3
3
sin x + cos x + sin xcotgx + cos xtgx = 2sin2x
Ñieàu kieän :
⎧
⎪
⎨
cosx ≠ 0
sinx ≠ 0 ⇔
sin2x ≥ 0
⎧sin2x ≠ 0
⇔ sin2x > 0
⎨
sin2x ≥ 0
⎩
⎪
⎩
Luùc ñoù :
3
3
2
2
(
*
)
⇔ sin x + cos x + sin xcosx + cos xsinx = 2sin2x
2
2
⇔
sin x
(
sinx + cosx
)
+ cos x
(
)
cosx + sinx
)
= 2sin2x
2
2
⇔
(
sinx + cosx
)
sin x + cos x
= 2sin2x
(
⎧
sinx + cosx ≥ 0
⎪
⇔
⇔
⎨
2
⎪
(
⎩
sinx + cosx
)
= 2sin2x
⎧
⎪
⎨
⎛
⎝
π ⎞
⎧
⎛
⎝
π ⎞
2
sin x +
≥ 0
sin x +
≥ 0
⎜
⎟
⎪
⎜
⎟
4
⎠
⇔
4⎠
nhaän do sin2x > 0
⎨
⎪
⎪
⎩
1
⎩
+ sin2x = 2sin2x
sin2x = 1
(
)
⎧
⎛
⎝
π
4
π
4
π ⎞
⎟
⎧
⎛
⎝
π
4
π ⎞
⎟
sin x +
≥ 0
sin x +
≥ 0
⎪
⎪
⎜
⎪
⎪
⎜
4
⎠
4
⎠
⇔
⇔
⇔
⎨
⎪
⎨
⎪
5π
4
x = + kπ,k ∈ �
x = + m2π ∨ x =
+ m2π
(
)
loaïi ,m ∈ �
⎪
⎩
⎪
⎩
x = + m2π,m ∈ �
π ⎞
4⎠
2
⎛
⎝
Baøi 140 : Giaûi phöông trình 1 + 8sin2x.cos 2x = 2sin 3x +
(
*
)
⎜
⎟
⎧
⎛
⎝
π ⎞
4⎠
sin 3x +
≥ 0
⎪
⎪
⎜
⎟
Ta coù : (*) ⇔
⎨
⎪
⎛
⎝
π ⎞
4⎠
2
2
1
+ 8sin2xcos 2x = 4sin 3x +
⎜
⎟
⎪
⎩
⎧
⎛
⎝
π ⎞
4⎠
sin 3x +
≥ 0
⎪
⎪
⎜
⎟
⇔
⎨
⎪
⎡
π ⎤
1
+ 4sin2x
(
1 + cos4x
≥ 0
)
= 2 1 − cos(6x +
)
⎢
⎣
⎥
⎪
2
⎦
⎩
⎧
⎪
⎨
1
⎛
π ⎞
sin 3x +
⎜
⎟
⇔
⇔
⎝
4⎠
⎪
+ 4sin2x + 2
(
sin6x − sin2x
)
= 2
(
1 + sin6x
)
⎩
⎧
⎛
π ⎞
⎟
⎧
⎛
⎝
π ⎞
sin 3x +
≥ 0
sin 3x +
≥ 0
⎪
⎪
⎜
⎪
⎪
⎜
⎟
⎝
4
⎠
4
⎠
⇔
⎨
⎪
⎨
⎪
1
2
π
5π
12
sin2x =
x =
+ kπ ∨ x =
+ kπ,k ∈ �
⎪
⎩
⎪
⎩
12
⎛
⎝
π ⎞
4⎠
So laïi vôùi ñieàu kieän sin 3x +
≥ 0
⎜
⎟
π
•
Khi x =
+ kπ thì
1
2
⎛
π ⎞
⎛ π
⎞
sin 3x +
= sin
+ 3kπ = coskπ
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
4⎠
⎝ 2
⎠
⎡
1 , neáu k chaün nhaän
(
)
( )
( )
( )
−1, neáu k leû loaïi
=
⎢
⎢
⎣
5
π
•
Khi x =
+ kπ thì
1
2
⎛
π ⎞
⎛ 3π
= sin
⎜
⎝ 2
⎞
⎠
⎛ π
⎞
⎠
sin 3x +
+ 3kπ = sin − + kπ
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝ 2
⎟
⎝
4⎠
⎡
⎢
( )
−1,neáu k chaün loaïi
=
1
, neáu k leû nhaän
(
)
⎢
⎣
π
5π
Do ñoù
(
*
)
⇔ x =
+ m2π ∨ x =
+
(
2m + 1
)
π,m ∈ �
12
12
1
− sin2x + 1 + sin2x
Baøi 141 : Giaûi phöông trình
Luùc ñoù :
hieån nhieân sinx = 0 khoâng laø nghieäm , vì sinx =0 thì VT = 2, VP = 0 )
( )
= 4cosx *
sinx
( )
* ⇔ 1 − sin2x + 1 + sin2x = 2sin2x
(
2
2
⎧
⎪
2 + 2 1 − sin 2x = 4sin 2x
sin2x ≥ 0
⇔
⎨
⎪
⎩
2
2
⎧
⎪
1 − sin 2x = 2sin 2x − 1
sin2x ≥ 0
⇔
⇔
⎨
⎪
⎩
2 4 2
⎧
1 − sin 2x = 4sin 2x − 4sin 2x + 1
⎪
⎪
⎨
1
2
2
sin 2x ≥
⎪
⎪
sin2x ≥ 0
⎩
2
2
⎧
sin 2x 4sin 2x − 3 = 0
(
)
⎪
⎨
⇔
1
sin2x ≥
⎪
⎩
2
⎧
3
2
2
2
− 3
2
sin2x =
∨ sin2x =
⎪
⎪
⇔
⇔
⎨
⎪
sin2x ≥
⎪
⎩
3
2
sin2x =
π
3
2π
3
⇔
⇔
2x = + k2π ∨ 2x =
+ k2π,k ∈ �
π
π
x = + kπ ∨ x = + kπ,k ∈ �
6
3
Chuù yù : Coù theå ñöa veà phöông trình chöùa giaù trò tuyeät ñoái
⎧
sin x ≠ 0
⎪
(
*
)
⇔ ⎨
cosx − sin x + cosx + sin x = 2sin2x
⎪
⎩
⇔
cos x − sin x + cosx + sin x = 2sin2x
Baøi 142 : Giaûi phöông trình sin x + 3 cos x + sin x + 3 cosx = 2
( )
*
π
sin
3
Ñaët t = sinx + 3cosx = sinx +
cosx
π
cos
3
1
⎛
⎝
π ⎞
3⎠
⎛
⎝
π ⎞
⇔
t =
sin x +
= 2sin x +
⎜
⎟
⎜
⎟
π
3⎠
cos
3
(
*
)
thaønh t + t = 2
⇔
t = 2 − t
⎧
⎨
⎩
2 − t ≥ 0
⎧t ≤ 2
⇔
⇔
⎨
⎩
2
2
t = 4 − 4t + t
t − 5t + 4= 0
⎧
⎨
⎩
t ≤ 2
t = 1∨ t = 4
⇔
⇔ t = 1
Do ñoù
(
*
)
⎛
⎝
π ⎞
3⎠
1
2
π
3
π
6
π
3
5π
6
⇔
⇔
sin x +
=
⇔ x +
=
+ k2π hay x +
=
+ k2π,k ∈ �
⎜
⎟
π
6
π
2
x = − + k2π ∨ x = + k2π,k ∈ �
Baøi 143 : Giaûi phöông trình
tgx + 1
3
(
) (
) sin x + 2cosx = 5 sin x + 3cosx)
(
* Chia hai veá cuûa (*) cho cosx ≠ 0 ta ñöôïc
(
*
)
⇔ 3 tgx + 1
(
tgx + 2
)
( )
= 5 tgx + 3
Ñaët u = tgx + 1 vôùiu ≥ 0
2
Thì u − 1 = tgx
2
2
(
*) thaønh 3u u + 1 = 5 u + 2
(
)
(
)
3
2
⇔
⇔
3u − 5u + 3u − 10 = 0
2
(
u − 2
)
(
3u + u + 5
)
= 0
2
⇔
u = 2 ∨ 3u + u + 5 = 0
(
voâ nghieäm
)
Do ñoù
(
*
)
⇔ tgx + 1 = 2
⇔
tgx + 1 = 4
⎛
⎝
π
2
π ⎞
2⎠
⇔
tgx = 3 = tgα vôùi − < α <
⇔ x =α + k π, k ∈�
⎜
⎟
1
2
Baøi 144 : Giaûi phöông trình 1 − cosx + cosx cos2x = sin4x
(
*
)
(
)
(
*
)
⇔
(
1 − cosx + cosx
)
cos2x = sin2xcos2x
⎧
cosx≥ 0
⇔
hay 1 − cosx + cosx = sin2x
⎨
⎩
cos2x = 0
⎧
⎪
cosx≥ 0
hay sin2x≥ 0
⎧
⎪
⎨
cosx≥ 0
⇔
π
⎨
2
x = + kπ,k ∈ �
⎪
⎩
⎪
2
2
1
+ 2 (1 − cosx)cosx = sin 2x
⎩
⎧
⎪
cosx≥ 0
hay sin2x≥ 0
⎧
⎪
⎨
cos x≥ 0
⇔
⇔
π
π
2
⎨
x = + k ,k ∈ �
⎪
⎩
⎪
2
4
1
+ 2 (1 − cosx)cosx = sin 2x (VT≥1≥ VP)
⎩
⎧
cosx≥ 0
sin2x≥ 0
⎧
⎪
⎨
cosx≥ 0
⎪
⎪
⎨
hay
π
5π
4
2
x = ± + hπ hay x = ±
+ hπ,h ∈ �
sin 2x =1
1− cosx)cosx= 0
⎪
⎩
⎪
4
⎪
(
⎩
π
4
⇔
x = ± + hπ,h ∈ �
⎧
⎨
⎩
sin2x =1
cosx = 0(⇒ sin2x = 0)
⎧sin2x =1
cosx =1(⇒ sin x = 0⇒ sin2x = 0)
hay
hay
⎨
⎩
π
4
⇔
x= ± + hπ,h ∈ �
3
3
Baøi 145 : Giaûi phöông trình sin x
(
1 + cotgx
)
+ cos x
(
1 + tgx
)
= 2 sinxcosx *
( )
sinx + cosx⎞
⎛ cosx + sinx⎞
3
⎛
⎝
3
(
*
)
⇔ sin x
+ cos x
= 2 sinxcosx
⎜
⎟
⎜
⎝
⎟
sinx
⎠
cosx
⎠
2
2
⇔
⇔
(
sinx + cosx
)
sin x + cos x
= 2 sinxcosx
(
)
⎧
sinx + cosx ≥ 0
⎨
1
+ sin2x = 2sin2x
⎩
⎧
⎛
⎝
π
4
π ⎞
sin x +
≥ 0
⎪
⎪
⎜
⎟
⎧
⎨
⎩
sin x + cos x ≥ 0
sin2x = 1
4
⎠
⇔
⇔
⎨
⎪
x = + kπ,k ∈ �
⎪
⎩
⎧
⎛
⎝
π
4
π ⎞
⎟
sin x +
≥ 0
⎪
⎪
⎜
4
⎠
⇔
⎧
⎨
⎪
π
x +
=
+ kπ,k ∈ �
⎪
⎩
2
⎛
⎝
π
4
π
4
π ⎞
⎟
sin x +
≥ 0
⎪
⎪
⎜
4
⎠
⇔
⇔
⎨
⎪
π
π
4
3π
2
x +
=
+ h2π hay x +
=
+ h2π,h ∈ �
⎪
⎩
2
x = + h2π,h ∈ �
( )
Baøi 146 : Giaûi phöông trình cos2x + 1 + sin2x = 2 sinx + cosx *
⎛
⎝
π ⎞
4⎠
Ñieàu kieän cos2x ≥ 0vaø sin x +
≥ 0
⎜
⎟
2
2
2
Luùc ñoù :
(
*
)
⇔ cos x − sin x +
(
cosx + sinx
)
= 2 cosx + sinx
2
2
2
2
⇔
cos x − sin x +
(
cosx + sinx
)
+ 2 cos2x
(
cosx + sinx
)
=
4
(
sin x + cosx
)
⇔
⇔
cosx
(
cosx + sinx
)
+
(
sinx + cosx
)
cos2x = 2
(
sinx + cosx
)
⎡
⎢
⎣
sinx + cosx = 0
cosx + cos2x = 2
tgx = −1
⎡
⎢
⇔
⇔
( )
cos2x = 2 − cosx **
tgx = −1
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
2
cos2x = 4 − 4cosx + cos x
2
⇔
⇔
tgx = −1∨ cos x + 4cosx − 5 = 0
tgx = −1 ∨ cosx = 1 ∨ cosx = −5
(
loaïi
)
π
⇔
x = − + kπ ∨ x = k2π,k ∈ �
4
π
⎛ π ⎞
Thöû laïi : • x = − + kπ thì cos2x = cos −
( )
= 0 nhaän
⎜ ⎟
⎝ 2⎠
4
⎛
⎝
π ⎞
4⎠
Vaø sin x +
( )
= sinkπ = 0 nhaän
⎜
⎟
•
x = k2π thì cos2x = 1
(
nhaän
)
⎛
⎝
π ⎞
4⎠
π
4
vaø cos x +
= cos > 0
(
nhaän
)
⎜
⎟
π
4
Do ñoù (*) ⇔ x = − + kπ ∨ x = k2π,k ∈ �
Chuù yù : Taïi (**) coù theå duøng phöông trình löôïng giaùc khoâng möïc
⎧
⎪
cosx + cos2x = 2
sinx + cosx ≥ 0
(
**
)
⇔ ⎨
⎪
⎩
⎧
cosx = 1
⎪
⎨
2
⇔
cos2x = 2cos x − 1 = 1
sinx + cosx ≥ 0
⎪
⎩
⎧
⎨
⎩
cosx = 1
sin x + cosx ≥ 0
⇔
⇔ x = 2kπ,k ∈ �
Caùch khaùc
2
2
2
(
*
)
⇔ cos x − sin x +
(
cosx + sinx
)
= 2 cosx + sinx
2
⇔
(cosx + sin x).(cosx − sin x) +
(
cosx + sin x
)
= 2 cosx + sin x
⎧
⎪
cosx + sin x > 0
⇔
cosx+ sin x= 0 hay
⎨
cosx − sin x +
(
)
cosx + sin x = 2
⎪
⎩
⎧
⎪
cosx + sin x > 0
⇔
⇔
tgx = − 1 hay
⎨
⎪
⎩
2cosx + 2 cos2x = 4
cosx + sin x > 0
⎧
⎪
tgx = − 1 hay
⎨
⎪
cosx + cos2x = 2
⎧cosx=1
⎩
π
4
π
4
⇔
⇔
x = − + kπ,k ∈ � hay
⎨
⎩
cos2x=1
x = − + kπ hay x = 2kπ,k ∈ �
(
nhaän xeùt: khi cosx =1 thì sinx = 0 vaø sinx + cosx = 1 > 0 )
BAØI TAÄP
1
. Giaûi phöông trình :
a/ 1+ sinx + cosx = 0
4
3
1
x
2
cos
− cos x
b/
= 0
2
− tg x
c/ sinx + 3cosx = 2 + cos2x + 3sin2x
2
d/ sin x − 2sinx + 2 = 2sinx − 1
3
tgx
e/ 2 3sin x =
− 3
2
sin x − 1
2
4
sin 2x + cos 2x − 1
f/
= 0
sincosx
2
g/ 8cos4xcos 2x + 1 − cos3x + 1 = 0
2
h/ sinx + sinx + sin x + cosx = 1
2
k/ 5 − 3sin x − 4cosx = 1 − 2cosx
2
l/ cos2x = cos x 1 + tgx
2
3
. Cho phöông trình :
+ sinx + 1 − sinx = mcosx
a/ Giaûi phöông trình khi m = 2
b/ Giaûi vaø bieän luaän theo m phöông trình (1)
. Cho f(x) = 3cos 2x + sin 2x + cos4x – m
a/ Giaûi phöông trình f(x) = 0 khi m = 0
1
( )
1
6
4
2 2
( )
b/ Cho g x = 2cos 2x 3cos 2x + 1 . Tìm taát caû caùc giaù trò m ñeå phöông
trình f(x) = g(x) coù nghieäm.
ÑS : 1 ≤ m ≤ 0
. Tìm m ñeå phöông trình sau coù nghieäm
+ 2cosx + 1+ 2sinx = m
(
)
4
1
ÑS : 1 + 3 ≤ m ≤ 2 1 + 2
(
)
B) PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC CHÖÙA CAÙC TRÒ TUYEÄT ÑOÁI
Caùch giaûi :
1/ Môû giaù trò tuyeät ñoái baèng ñònh nghóa
/ AÙp duïng
A = B ⇔ A = ±B
2
•
⎧B ≥
0
⎧A ≥
0
⎧A <
0
⎧
⎨
⎩
B
≥
0
•
A = B ⇔
⇔
⇔
∨
⎨
⎨
⎨
2
2
A = ±B
A = B
A = B
A = −B
⎩
⎩
⎩
Baøi 147 : Giaûi phöông trình cos3x = 1 − 3sin3x
(
*
)
⎧
1
− 3sin3x ≥ 0
⎪
(
*
)
⇔ ⎨
2
2
⎪
⎩
cos 3x = 1 − 2 3sin3x + 3sin 3x
⎧
1
3
sin3x ≤
⎪
⎨
⇔
⇔
⎪
2
2
1
− sin 3x = 1 − 2 3sin3x + 3sin 3x
⎩
⎧
⎪
⎨
1
3
sin3x ≤
⎪
2
4
sin 3x − 2 3sin3x = 0
⎩
⎧
1
3
sin3x ≤
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
3
sin3x = 0 ∨ sin3x =
⎪
⎩
2
⇔
⇔
sin3x = 0
kπ
x =
,k ∈ �
3
Baøi 148 : Giaûi phöông trình 3sinx + 2 cosx − 2 = 0
( )
*
⇔ 2 cosx = 2 − 3sinx
( )
*
⎧
⎨
⎩
2 − 3sinx ≥ 0
⇔
2
2
4
cos x = 4 − 12sinx + 9sin x
⎧
2
3
sin x ≤
⎪
⎨
⇔
2
2
⎪
4
1 − sin x = 4 − 12sin x + 9sin x
(
)
⎩
⎧
⎪
⎨
2
3
sin x ≤
⇔
⇔
2
⎪
1
3sin x − 12sin x = 0
⎩
⎧
2
3
sin x ≤
⎪
⎪
⎨
1
13
2
⎪
sin x = 0 ∨ sin x =
⎪
⎩
⇔
⇔
sin x = 0
x = kπ,k ∈ �
Baøi 149 : Giaûi phöông trình sinxcosx + sinx + cosx = 1
(
*
)
⎛
⎝
π ⎞
4⎠
Ñaët t = sinx + cosx = 2 sin x +
⎜
⎟
Vôùi ñieàu kieän : 0 ≤ t ≤ 2
2
Thì t = 1+ 2sinxcosx
2
t − 1
Do ñoù (*) thaønh :
+ t = 1
2
2
⇔
⇔
t + 2t − 3 = 0
t = 1∨ t = −3
(
loaïi
)
2
Vaäy
(
*
)
⇔ 1 = 1+ 2sinxcosx
⇔
sin2x = 0
kπ
2
⇔
x =
,k ∈ �
Baøi 150 : Giaûi phöông trình sin x − cosx + 2sin2x = 1
(
*
)
Ñaët t = sinx − cosx ñieàukieän0 ≤ t ≤ 2
(
)
2
Thì t = 1− sin2x
2
(
*
)
thaønh: t + 2
(
1 − t
)
= 1
2
⇔
2t − t − 1 = 0
1
t = 1∨ t = −
2
⇔
(
loaïi doñieàukieän
)
2
khi t = 1 thì 1 = 1− sin2x
⇔
⇔
sin2x = 0
kπ
x =
,k ∈ �
2
4
4
Baøi 151 : Giaûi phuông trình sin x − cos x = sinx + cosx
( )
*
2
2
2
2
(
*
)
⇔
(
sin x + cos x)(sin x − cos x
)
= sinx + cosx
⇔
− cos2x = sinx + cosx
⎧
⎪
− cos2x ≥ 0
⇔
⇔
⎨
2
cos 2x = 1 + 2 sinx cosx
⎪
⎩
⎧
⎪
cos2x ≤ 0
⎨
2
1
− sin 2x = 1 + sin2x
⎪
⎩
⎧
⎪
cos2x ≤ 0
⇔
⇔
⎨
2
sin2x = −sin 2x
⎪
⎩
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
cos2x ≤ 0
sin2x = 0
cos2x ≤ 0
⇔
⇔
⇔ cos2x = −1
2
cos 2x = 1
π
x = + kπ,k ∈ �
2
2
Baøi 152 : Giaûi phöông trình
3sin2x − 2cos x = 2 2 + 2cos2x
(
*
)
2
2
Ta coù :
(
*
)
⇔ 2 3sinxcosx − 2cos x = 2 2 + 2 2cos x − 1
(
)
⎛
⎞
⎟
3 1
sinx − cosx = cosx
⎟
2 2
⎠
⇔
⇔
cosx
⎜
⎜
⎝
⎛
⎝
π ⎞
6⎠
cosx.sin x −
= cosx
⎜
⎟
⎧
⎪
⎨
cosx > 0
⎧cosx < 0
⎪
⇔
cosx = 0 ∨
π
∨
π
⎛
⎞
⎨
⎛
⎞
⎟
sin x −
= 1
sin x −
= −1
⎪
⎩
⎜
⎟
⎪
⎜
⎝
6⎠
⎩
⎝
6⎠
⎧
⎪
⎨
cosx > 0
⎧cosx < 0
⎪
⇔
cosx = 0 ∨
∨
π
π
⎨
π
π
2
x −
=
+ k2π,k ∈ �
x − = − + k2π,k ∈ �
⎪
⎩
⎪
⎩
6
2
6
⎧
cosx > 0
⎧cosx < 0
π
2
⎪
⎨
⎪
⇔
⇔
x = + kπ,k ∈ � ∨
∨
2π
⎨
π
x =
+ k2π,k ∈ �
x = − + k2π,k ∈ �
⎪
⎩
⎪
⎩
3
3
π
x = + kπ,k ∈ �
2
Baøi 153 : Tìm caùc nghieäm treân
(
0,2π
)
cuûa phöông trình :
( )
sin2x + cos2x *
sin3x − sinx
=
1
− cos2x
2
cos2xsinx
⎛
⎝
π ⎞
4⎠
Ta coù :
(
*
)
⇔
= 2 cos 2x −
⎜
⎟
2
sinx
Ñieàu kieän : sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ
Khix ∈ 0,π thìsinx > 0neân :
•
(
)
⎛
⎝
π ⎞
4⎠
(
*
)
⇔ 2cos2x = 2cos 2x −
⎜
⎟
⎛
⎝
π ⎞
4⎠
⇔
2x = ± 2x −
+ k2π,k ∈ �
⎜
⎟
π
4
π
6
⇔
⇔
4x = + k2π,k ∈ �
kπ
x =
+
,k ∈ �
1
2
π
hay x =
6
9π
16
Do x ∈
Khi x ∈
(
0,π
)
neân x =
1
π,2π
)
thì sinx < 0 neân :
(
⎛
π ⎞
4⎠
(
*
)
⇔ − cos2x = cos 2x −
⎜
⎟
⎝
⎛
π ⎞
⇔
cos
(
π − 2x
)
(
= cos 2x −
⎜
⎟
⎝
4⎠
π
⇔
⇔
⇔
2x − = ±
π − 2x
)
+ k2π,k ∈ �
4
5
π
4x =
+ k2π,k ∈ �
4
5
1
π
kπ
2
x =
+
,k ∈ �
6
21π
29π
16
Do x ∈
(
π,2π
)
neân x =
∨ x =
•
16
6
6
Baøi 154
Cho phöông trình : sin x + cos x = a sin2x (*)
Tìm a sao cho phöông trình coù nghieäm.
Ta coù :
6
6
2
2
4
2
2
4
sin x + cos x =
(
(
sin x + cos x)
(
sin x − sin xcos x + cos x )
2
2
2
2
2
=
sin x + cos x
)
− 3sin xcos x
3
2
=
1 − sin 2x
4
Ñaët t = sin2x ñieàu kieän 0 ≤ t ≤ 1
3
4
2
thì (*) thaønh : 1 − t = at
( )
**
1
t
3
4
⇔
− t = a (do t = 0 thì (**) voâ nghieäm)
1
t
3
4
Xeùt y = −
t
treân D =
(
0,1
]
1
3
4
thì y' = −
−
< 0
2
t
1
4
Do ñoù : (*) coù nghieäm ⇔ a ≥
•
2
Baøi 155
Cho phöông trình cos2x = mcos x 1 + tgx
( )
*
⎡
π⎤
3⎦
Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm treân 0,
⎢
⎣
⎥
Ñaët t = tgx thì
Vaäy : (*) thaønh: 1 − t = m 1 + t
2
2
(
**
)
(chia 2 veá cho cos ≠ 0)
π
3
Khi 0 ≤ x ≤
thì t ∈ 0, 3
⎡
⎤
⎦
⎣
2
1
1
− t
(
1 − t
)(
1 + t )
=
1 + t
Vaäy (**) ⇔ m =
=
+ t
(
)
)
1 − t 1 + t
⎡
Xeùt y =
( )
1 − t 1 + t treân 0, 3
⎣
⎤
⎦
Ta coù
(
2
1 − t
)
−2
=
(
1 + t
)
+
(
1 − t
y' = − 1 + t +
1 + t
2 1 + t
−
3t − 1
1 + t
⎡
⎤
⎦
⇔
y' =
< 0 ∀t ∈ 0, 3
⎣
2
⎡
π⎤
3⎦
Do ñoù : (*) coù nghieäm treân 0,
⇔ 1 − 3 1 + 3 ≤ m ≤ 1•
(
)
⎢
⎣
⎥
BAØI TAÄP
1
. Giaûi caùc phöông trình
a/ sinx − cox = 1 − 4sin2x
b/ 4sinx + 3 cosx = 3
1
c/ tgx = cotgx +
cosx
2
1
1
1
⎛1 + 3cos x⎞
d/
+
− 2 = − 2
⎜
2
⎟
⎠
sinx 1 − cosx 1 + cosx
sin x
⎝
1
e/ cotgx = tgx +
sinx
f/ 2cosx − sinx = 1
1
+ cosx + 1 − cosx
g/
h/
= 4sinx
1⎞
cosx
1
− cos2x
sinx
⎛
⎝
= 2 cosx −
⎜
⎟
2⎠
3
3
sin x + cos x
m/ cos2x + 1 + sin2x =
n/ cosx + sin3x = 0
2
1
r/ cotgx = tgx +
sinx
s/ cosx + 2sin2x − cos3x = 1 + 2sinx − cos2x
2
tg x
1
o/
= tgx + 1 +
tgx − 1
tgx − 1
p/ sinx − cosx + sinx + cosx = 2
. sinx + cosx + asin2x = 1
2
3
Tìm tham soá a döông sao cho phöông trình coù nghieäm
. Cho phöông trình: sin x − cosx + 4sin2x = m
a/ Giaûi phöông trình khi m = 0
6
5
b/ Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm
(ÑS 2 − 4 ≤ m ≤
)
16
Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi ĐH Vĩnh Viễn)
© 2024 - nslide
Website chạy thử nghiệm. Thư viện tài liệu miễn phí mục đích hỗ trợ học tập nghiên cứu , được thu thập từ các nguồn trên mạng internet ... nếu tài liệu nào vi phạm bản quyền, vi phạm pháp luật sẽ được gỡ bỏ theo yêu cầu, xin cảm ơn độc giả