- Trang Chủ
- Toán học 12
- Tích phân xác định nâng cao
Tích phân xác định nâng cao
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 5. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( tiết 2 ) TÍCH PHÂN CHỨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. KIẾN THỨC . Thuộc các nguyên hàm : 1 1 dx cos a sin ax+b a/ sin ax+b ax+b b/ d/ dx ln cos ax+b cos ax+b 1 cos ax+b c / cos ax+b dx sin ax+b dx ln sin ax+b a sin ax+b 2 . Đối với : I f (x)dx m n a/ Nếu f(x)= R sin x;cos x thì ta chú
Thể loại Giáo án bài giảng Toán học 12
Số trang 17
Ngày tạo 1/31/2018 10:06:31 PM +00:00
Loại tệp pdf
Kích thước 0.48 M
Tên tệp tich phan xac dinh ham luong giac pdf
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài 5. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( tiết 2 )
TÍCH PHÂN CHỨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. KIẾN THỨC
. Thuộc các nguyên hàm :
1
1
dx cos
a
sin
ax+b
a/ sin
ax+b
ax+b
b/
d/
dx ln cos
ax+b
cos
ax+b
1
cos
ax+b
c /
cos
ax+b
dx sin
ax+b
dx ln sin ax+b
a
sin
ax+b
2
. Đối với : I f (x)dx
m
n
a/ Nếu f(x)=
R
sin x;cos x
thì ta chú ý :
-
-
-
-
Nếu m lẻ , n chẵn : đặt cosx=t ( Gọi tắt là lẻ sin )
Nếu n lẻ , m chẵn : đặt sinx=t ( Gọi tắt là lẻ cos )
Nếu m,n đều lẻ thì : đặt cosx=t hoặc sinx =t đều được ( gọi tắt lẻ sin hoặc lẻ cos )
Nếu m,n đề chẵn : đặt tanx=t ( gọi tắt là chẵn sinx , cosx )
b/ Phải thuộc các công thức lượng giác và các công thức biến đổi lượng giác , các
hằng đẳng thức lượng giác , công thức hạ bậc , nhân đôi , nhân ba , tính theo tang góc
chia đôi ....
3
. Nói chung để tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác , học sinh đòi
hỏi phải có một số yếu tố sau :
-
-
Biến đổi lượng giác thuần thục
Có kỹ năng khéo léo nhận dạng được cách biến đỏi đưa về dạng đã biết trong
nguyên hàm .
II. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau :
2
sin 2x sin x
a. (ĐH, CĐ Khối A – 2005) I
dx
3cos x
1
0
2
sin 2xcos x
b.. ĐH, CĐ Khối B – 2005 .
I
dx
cos x
KQ: 2ln21
1
0
Giải
2
2
sin 2x sin x
2cos x 1 sinx
dx
a. I
dx
1
1
3cos x
13cos x
0
0
2
t 1
3
2
cosx=
;sinxdx=- tdt
3
Đặt : t 13cos x
2
x 0 t 2; x t 1
2
t 1
3
2
1
1
2
2
2
2t 1
2 1
2 34
3
Khi đó : I
tdt 2
dt
t t
t
3
9
9 3
1 27
2
1
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
2
2
2
2
2
sin 2xcos x
2sin xcos x
cos x
b. I
dx
dx 2
sinxdx
1
1
cos x
1 cos x
cosx+1
0
0
0
2
dt=-sinxdx, x=0 t=2;x= t 1
Đặt : t 1 cosx
2
t 1
1
f (x)dx
dt t 2 dt
t
t
2
1
1
t
1
2
2
1
2
Do đó : I 2 f (x)dx 2 t 2 dt 2 t 2t ln t
2ln 21
0
2
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau
2
sin2x
2
a. ĐH- CĐ Khối A – 2006 .
I
dx KQ:
2 2
cos x 4sin x
3
0
2
cos3x
b. CĐ Bến Tre – 2005 . I
dx
KQ: 23ln2
sin x 1
0
Giải
2
sin2x
2
2
2
2
2
a. I
dx . Đặt : t cos x 4sin x t cos x 4sin x
2
2
0
cos x 4sin x
2
2
tdt
2sin xcos x 8sin xcos x
dx 3sin 2xdx sin 2xdx tdt
3
Do đó :
2
x 0 t 1; x t 2
2
2
2
2
3
tdt
t
2
3
2 2 2
dt t
3 1 3
Vậy : I f (x)dx
0
1
1
2
cos3x
b. I
dx.
sin x 1
0
3
2
2
2
Ta có : cos3x=4cos x 3cos x
4cos x 3
x
cosxdx
cosx=
4-4sin x 3
cosx=
1-4sin x
cosx
2
1 4sin
cos3x
Cho nên : f (x)dx
dx
1
1
+sinx
1sinx
2
dt=cosxdx,x=0 t=1;x= t 2
Đặt : t 1sinx
2
3
dt 8 4t dt
1
4 t 1
f (x)dx
t
t
2
2
3
2
1
2
Vậy : I f (x)dx 8 4t dt
8t 2t 3ln t
23ln 2
t
0
1
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau
Trang 2
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
2
sin xdx
a. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 . I
x
2
2
0
sin x 2cos x.cos
2
2
sinx cosx
I
dx
b. CĐ Y Tế – 2006 .
KQ: ln 2
1
sin2x
4
Giải
2
2
2
sin xdx
sin xdx
1 cosx
sinx
a. I
1+cosx
0
dx ln 1 cosx 2 ln 2
2
x
2
2
sin x cos x.
0
0
sin x 2cos x.cos
0
2
2
2
2
sinx cosx
sinx cosx
sinx cosx
sinx+cosx
I
dx
dx
dx
1
b.
2
sinx+cosx
1
sin2x
4
4
4
4 4
2
2
4
4
4
Vì : sinx+cosx= 2 sin x
;
x x 3 sin x
0
Do đó : sinx+cosx sinx+cosx
Mặt khác :
d
sinx+cosx cosx-sinx dx
2
2
4
d
sinx+cosx
1
Cho nên : I
ln sinx+cosx ln1ln 2 ln 2
sinx+cosx
2
4
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau
2
cos2x
1
a. CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 .
I
dx KQ:
3
32
0
sinx cosx 3
4
cos2x
1
b. CĐ KTKT Đông Du – 2006 .
I
dx
KQ: ln3
1
2sin2x
4
0
Giải
2
cos2x
2
2
a. I
dx . Vì : cos2x cos x sin x
cosx+sinxcosx-sinx
3
0
sinx cosx 3
cos2x
cosx-sinx
3
sinx-cosx+3
Cho nên : f (x)dx
dx
cosx+sinx dx
3
sinx-cosx+3
2
dt=
cosx+sinx
dx; x 0 t 2, x t 4
Đặt : t sinx-cosx+3
t 3
1
1
3 dt
3
f (x)dx
dt
3
2
t
t
t
2
4
1
1
t
1 3 1 4
1
Vậy : I f (x)dx
3
dt
t 4 t 2 32
2
3
2
t
0
2
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
Trang 3
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
4
1
dt 4cos2xdx cos2xdx= dt
cos2x
4
b. I
dx . Đặt : t 1 2sin 2x
1
2sin2x
0
x 0 t 1; x t 3
4
4
3
cos2x
1 dt
1
3 1
ln t ln3
1 4
Vậy : I
dx
1
2sin2x
4 t
4
0
1
Ví dụ 5. Tính các tích phân sau :
2
3
sin x
dx
4
a. CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 .
I
KQ: 2
1
cosx
0
6
3
sin3x sin 3x
b. CĐ Bến Tre – 2006 . I
dx
1
cos3x
0
Giải
2
2
2
2
cos x
sinxdx=4
2
1 cosx 2 2
3
1
4
sin x
1
a. I
b. I
dx 4
1 cosx
sinxdx=4.
2
1
cosx
1 cosx
0
0
0
0
6
3
sin3x sin 3x
dx
.
1
cos3x
3
0
2
2
Ta có : sin3x sin 3x sin3x
1sin 3x
sin3x.cos 3x
.
1
dt=-3sin3xdx sin3xdx=- dt
3
Đặt : t 1 cos3x
6
x 0 t 2; x t 1
2
6
1
2
1
t 1
1
1
t
1 1
2
1
1 1
2
Vậy : f (x)dx
dt
t 2 dt
t 2t ln t
ln 2
3
t
3
3 2
6 3
0
2
1
Ví dụ 6. Tính các tích phân sau
2
3
3
sin( x)
2
4
sin x sin x
sin x
a. I =
b. I =
cotgxdx
dx
sin( x)
4
2
3
2
2
4
4
4
cos2x(sin x cos x)dx
c. I = sin xdx
d. I =
0
0
Giải
1
2
2
2
sinx
3
1
3
3
sin x sin x
sin x
sin x
sinx
a. I =
cotgxdx
cot xdx
3
3
Trang 4
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
2
2
1
sin x
3
2
3 1
cot xdx cot x cot xdx
2
3
3
sin( x)
2
2
cosx-sinx
b. I =
4
dx
dx
cosx+sinx
sin( x)
4
2
2
2
d
cosx+sinx
2
0
ln cosx+sinx
cosx+sinx
2
2
2
2
2
2
1cos2x
1
1 cos4x
4
c. I = sin xdx
dx
1 2cos2x
dx
2
4
2
0
0
0
2
3 1
1
3
1
1
0
3
16
cos2x+ cos4x dx x sin 2x sin 4x 2
8
2
8
8
4
32
0
2
4
4
1
4
4
2
cos2x(sin x cos x)dx
d. I =
. Vì : sin x cos x 1 sin 2x
2
0
Cho nên :
2
2
2
1
2
1
2
1
1
3
I 1 sin 2x cos2xdx= cos2xdx- sin 2xcos2xdx sin 2x 2 sin 2x 2 0
2
2
0
2
3
0
0
0
0
Ví dụ 7. Tính các tích phân sau
2
4
1
5
a. I = sin xdx
b. I =
dx
sin x cotgx
2
0
6
3
2
2
2
3
3
c. I = tg x cotg x 2dx
d. */I = ( cosx sin x)dx
0
6
Giải
2
2
2
2
5
2
2
4
a. I = sin xdx 1cos x sinxdx=- 1 2cos x cos x d
cosx
0
0
0
2
3
1
5
2
cosx+ cos x cos x 2
3
5
15
0
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
Trang 5
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
4
1
b. I =
dx.
2
sin x cotgx
6
1
1
2
2
tdt
dx
dx 2tdt
sin x
2
2
sin x
Đặt : t cot x t cot x
6
x t 3; x t 1
4
1
3
2
tdt
3
Vậy : I
2 dt 2t
2 3 1
t
1
3
1
3
3
3
2
2
2
c. I = tg x cotg x 2dx
tanx-cotx
dx tanx-cotx dx
6
6
6
2
2
sinx cosx sin x cos x
cosx sinx
cos2x
2cot 2x
Vì : tanx-cotx=
2
sinxcosx
sin2x
;
t anx-cotx<0;x
t anx-cotx>0;x
6 4
6 3
3 3
3
3
Cho nên : x
;
2x ;2
cot 2x
;
3
3
;
4 3
4
3
4
3
cos2x
cos2x
dx
sin2x
1
2
Vậy : I
t anx-cotx
dx
t anx-cotx
dx
dx
sin2x
6
4
6
4
4
1
3
ln sin 2x
ln sin 2x
ln 2
2
6
4
2
3
3
d. I = ( cosx sin x)dx (1)
0
2
2
2
Đặt : x t dx dt, x 0 t ;x t 0
Do đó :
0
2
2
2
2
3
3
3
3
I
3
cos
t
3
sin
t dt
sint cost dt
sin x cosx dx
2
0
0
2
Lấy (1) +(2) vế với vế : 2I 0 I 0
Ví dụ 8 . Tính các tích phân sau
3
4
2
6
cos x
dx (NNI-2001)
4
cos2x
4
a. tan xdx(Y-HN-2000) b.
dx(NT-2000) c.
sinx+cosx+2
sin x
0
4
4
Trang 6
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
4
2
2
4
2
sin x
sin 2x
1 2sin x
d.
dx ( GTVT-2000)
e.
dx
f.
dx (KB-03)
6
2
cos x
4 cos x
1sin 2x
0
0
0
Giải
3
2
2
4
1
cos x
sin x
1
1
4
4
a. tan xdx. Ta có : f (x) tan x
2
1
2
4
4
4
cos x
cos x
cos x
cos x
4
3
3
3
3
4
1
1
2
dx
cos x
Do đó : I f (x)dx
2
1 dx 1 tan x
2
2tan x x
4
2
cos x
cos x
4
4
4
1
3
3
4
3
2
2 3 2 3 2
t anx+ tan x
2 3 2
12
3
12 3 12
4
*
Chú ý : Ta còn có cách phân tích khác :
4
2
2
2
2
2
2
2
2
f (x) tan x tan x
tan x 11
tan x
1 tan x
tan x tan x
1 tan x
tan x 1
1
3
3
3
3
dx
dx
2
2
2
2
Vậy : I tan x 1 tan x tan x 1 1dx tan x.
dx
2
2
cos x
cos x
4
4
4
4
1
3
3 1
3
1
3 3
2
1
4 3 12
I tan x t anx+x
3 3 3
3
4
4
cos2x
sinx+cosx+2
b.
dx
.
0
2
2
cos x sin x
cos2x
cosx-sinxcosx+sinx
Ta có : f (x)
3
3
3
sinx+cosx+9
sinx+cosx+9
sinx+cosx+9
4
4
cosx+sinx
3
Do đó : I f (x)dx
cosx-sinx
dx
1
sinx+cosx+2
0
0
4
cosx+sinx=t-2.x=0 t=3;x= t 2 2,
Đặt : t sinx+cosx+2
t 2
1
1
2 dt
3
dt
cosx-sinx
dx f (x)dx
dt
3
2
t
t
t
Vậy :
2
2
1
1
t
1 1 2 2
1
1
1 1 2
1 2
2
I
2
dt
2
3
2
2
t
t t
3
2 2
3 9 3
3
2 2
2 2
sint cost
sint cost
sint costdt
cost sin t
dt f (x)
sint cost+9
sint cost+9
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
Trang 7
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
2
6
cos x
c.
dx
4
sin x
4
3
2
6
2
4
6
1
sin x
cos x
13sin x 3sin x sin x
1
1
3
2
2
Ta có : f (x)
3sin x
4
4
4
4
sin x
sin x
sin x
sin x
sin x
2
2
2
2
dx
dx
1cos2x
2
Vậy : I 1 cot x
3
3 dx
dx
2
2
sin x
sin x
2
4
4
4
4
1
3
1
1
2
5 23
cot x 3cot x 3x x sin 2x
3
2
4
8
12
4
4
2
4
2
4
4
4
sin x
1cos x
1
cos x cos x
1
1
1
dx
2
d.
dx
dx
dx
dx 1 tan x
6
6
6
4
4
2
2
cos x
cos x
cos x cos x
cos x
0
0
0
0
0
4
4
4
4
2
2
1
1
2
2
4
2
1 tan x
dx 1 tan x
dx 1 2tan x tan x d tan x 1 tan x d tanx
0
2
2
cos x
cos x
0
0
0
2
3
1
5
1
3
1
3
3
1
5
0
8
t anx+ tan x tan x t anx- tan x 4 tan x tan x 4
3
5
3
5
15
0
2
2
2
2
sin 2x
sin 2x
2sin 2x
d
7 cos2x
3
4
e.
dx
dx
dx
ln 7 cos2x 2 ln
2
1
cos2x
4
cos x
7 cos2x
7 cos2x
0
0
0
0
4
0
2
4
4
4
2
1
2sin x
cos2x
1 d
1sin 2x
1
1
f.
dx
dx
ln 1sin 2x 4 ln 2
1
sin 2x
1sin 2x
2
1sin 2x
2
2
0
0
0
0
Ví dụ 9. Tính các tích phân sau :
2
2
sin3x
3
4
a. sin xcos xdx
b.
dx
1
2cos3x
0
0
6
6
3
5
2
2
sin x
cos x
cos2x
c. I
dx J
dx K
3
2
dx
cosx- 3sinx
sinx+ 3cosx
sinx+ 3cosx
0
0
Giải
2
2
2
3
4
2
4
6
4
a. sin xcos xdx
1cos x
cos x.sinxdx
cos x cos x
d
cosx
0
0
0
1
7
1
7
cos x cos x 2
5
5
2
35
0
Trang 8
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
2
2
2
sin3x
1
3sin3x
1 d
1 2cos3x
1
6
1
b.
dx
dx
ln 1 2cos3x
2 ln3
1
2cos3x
6 1 2cos3x
6
1 2cos3x
6
0
0
0
0
6
2
2
6
6
sin x cos x
sinx+ 3cosx
1
1
3
1
1
c. Ta có : I J
dx
dx
dx
2 1
2
3
0
0
0
sin x
sinx+
cosx
2
2
x
2 6
d tan
1
1
1
1
Do :
.
3
x
6
x
2 6
2
x
x
tan
sin x
2sin
cos x+
tan
2cos
2 6
2 6
2 6
x
6
d tan
1
2 6
1
x
2 6
1
1
Vậy : I
ln tan
6 ln 3 ln3 (1)
0
2
x
2
2
4
0
tan
2 6
6
2
2
6
sin x 3cosx sin x 3cosx
sin x 3cos x
sinx+ 3cosx
-
Mặt khác : I 3J
dx
dx
sinx+ 3cosx
0
0
6
Do đó : I 3J sinx- 3cosx dx cosx- 3sinx 6 1 3 (2)
0
0
3
16
1
3 1
4
1
I
ln3
I J ln3
Từ (1) và (2) ta có hệ :
4
3
3 1
4
I 3J 1 3
J ln3
16
2
3
6
Để tính K ta đặt t x 3 dt dx x 3 ;t 0.x 5 t
2
6
6
cos
2t+3
cos2t
1
3 1
2
Vậy : K
dt
dt I J ln3
2
sint+ 3cost
8
0
0
cos t+3
3sin t+3
2
Ví dụ 10. Tính các tích phân sau .
4
2
1
dx
a.
dx ( CĐ-99)
b.
(ĐH-LN-2000)
1
sin 2x
2 sinx+cosx
0
0
3
2
1
1
0
10
4
4
c.
sin x cos x sin xcos x
dx (SPII-2000)d.
dx (MĐC-2000)
6
0
sinxsin x+
6
Giải
4 1
0
4
4
4
1
1
1
4
a.
dx
dx
dx tan x
2
1
sin 2x
2
4
0
0
sinx+cosx
0
2
cos x
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
Trang 9
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
2
dx
b.
.
2
sinx+cosx
0
x
1
1
2
x
2
2dt
2
2
Đặt : t tan dt
dx 1 tan
dx; dx
;x 0 t 0, x t 1
2
x
2
2
1t
2
cos
2
1
1
1
1
2
2dt
2dt
Vậy : I
.
dt
2
t 2t 3
0
2
2
2
2
2t
1t 1t
0
0
t 1 2
2
2
2
1
t 1t
1
2
dt 2
du;t 0 tanu
;t 1 tanu 2
2
cos u
2
Đặt : t 1 2 tanu
2
dt
2
2
f (t)dt
du 2du
2
2
2
2 1 tan
u c
os
u
t
1
2
u2
u2
2
arctan 2
2
Vậy : I
2du 2u 2 u2 u1
2 arxtan
u1
u
1
2
10
10
4
4
c. sin x cos x sin xcos x dx
4
0
10
10
4
2
2
4
4
6
6
Ta có : sin x cos x sin xcos x
sin x cos x
2
cos x sin x
cos x sin x 2
2
2
2
4
4
2
cos x sin x
cos x sin x
cos x sin x cos xsin x
2
1
2
2
1
2
1 cos4x 1cos8x 15 1
cos4x+ cos8x
32 2 32
1
cos 2x 1 sin 2x cos 2x sin 4x
4
16
2
32
2
15 1
1
15 1
sin 4x 2
32 2 8
1
15
64
Vậy : I
cos4x+ cos8x dx
sin8x 2
32 2
32
32.8
0
0
0
3
1
d.
dx
.
6
sinxsin x+
6
6
6
6
6
1
6 2
Ta có : x
x sin x
x sin x
cosx-sinxco x
=
*
1
sin x
cosx-sinxco x
1
6
6
2
Do đó : f (x)
2
2
6
6
sinxsin x+
sinxsin x+
sinxsin x+
6
3
3
cos x+
cos x+
cosx
6
cosx
6
3
6
I f (x)dx 2
dx 2 ln sinx ln sin x+
sinx
sinx
sin x
sin x
6
6
6
6
6
sinx
3
3
1 2
ln . 2ln
3
3
2
I 2ln
ln
6 6
2
2
sin x+
Trang 10
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
*
Chú ý : Ta còn có cách khác
1 1
2
f(x)=
2
3
1
sin x 3 cot x
sinxsin x+
sinx
sinx+ cosx
6
2
2
3
3
3
2d 3 cot x
2
1
3
2
Vậy : I
dx
2ln 3 cot x 2ln
2
3
cot x sin x
3 cot x
6
6
6
Ví dụ 11. Tính các tích phân sau
2
3
2
sinxcos x
2
2
a.
c.
dx (HVBCVT-99)
b. cos xcos 2xdx ( HVNHTPHCM-98)
0
2
1
cos x
0
4
4
sin 4x
dx
4
dx (ĐHNT-01)
d.
(ĐHTM-95)
6
6
cos x sin x
cos x
0
0
Giải
2
3
2
2
sinxcos x
1
cos x
a.
dx
(sin 2x)dx 1
2
2
1
cos x
2 1 cos x
0
0
dt 2sin xcos xdx sin 2xdx
2
Đặt : t 1 cos x
2
2
cos x t 1; x 0 t 2;x t 1
1
2
1
2
t 1
1 1
1
2
2 ln 21
Vậy : I
dt
1 dt
ln t t
t
2 t
1
2
2
1
2
2
2
b. cos xcos 2xdx
.
0
1
cos2x 1 cos4x 1
. 1cos2x+cos4x+cos4x.cos2x
2
2
Ta có : f (x) cos xcos 2x
2
2
4
1
4
1
2
1 3
cos2x+ cos4x+ cos6x
4 8
1
1
1 cos2x+cos4x+
cos6x+cos2x
4
8
2
1 3
1
1
1
4
3 1 1
x sin 2x sin 4x sin6x 2
16 16 48
8
Vậy : I
cos2x+ cos4x+ cos6x dx
4 8
4
8
0
0
4
sin 4x
6
c.
dx
.
6
cos x sin x
0
6
6
5
5
4
4
Vì :
d
sin x cos x
6sin xcos x 6cos xsin x
dx 6sin xcos x
sin x cos x
6
6
2
2
2
2
d
sin x cos x
3sin2x
sin x cos x
sin x cos x
dx 3sin2xcos2xdx
3
2
6
6
sin 4xdx sin 4xdx d
sin x cos x
2
3
4
4
6
6
d sin x cos x
sin 4x
2
2
ln
3
4
6
6
Vậy :
dx
sin x cos x
4 ln 2
6
6
6
6
cos x sin x
3
sin x cos x
3
0
0
0
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
Trang 11
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
4
4
4
dx
1
dx
2
1
4
3
2
3
d.
1 tan x d
0
t anx
t anx+ tan x 4
4
2
cos x
cos x cos x
3
0
0
0
Ví dụ 12. Tính các tích phân sau .
4
11
2
4
a. sin xdx ( HVQHQT-96)
b. sin xcos xdx (NNI-96)
0
4
0
2
c. cos xcos4xdx (NNI-98 )
d. 1 cos2xdx (ĐHTL-97 )
0
0
Giải
11
a. sin xdx
0
Ta có :
5
11
10
2
2
3
4
5
6
sin x sin x.sinx=
1-cos x
sinx=
1-5cos x 10cos x 10cos x 5cos x cos x
sinx
2
3
4
5
6
Cho nên : I 1-5cos x 10cos x 10cos x 5cos x cos x sinxdx
0
118
1
7
7
5
6
5
5
4
5
3
cos x cos x 2cos x cos x cos x cosx
0
21
6
2
3
4
2
4
b. sin xcos xdx
0
Hạ bậc :
2
1cos2x 1 cos2x
1
8
2
2
4
sin xcos x
1cos2x
1 2cos2x cos 2x
2
2
1
2 2 3
1 2cos2x cos 2x cos2x-2cos 2x cos 2x
8
1
8
1
1+cos4x
2
1+cos4x
cos2x
2
3
1 cos2x-cos 2x cos 2x
1 cos2x-
1
8
2
1
cos6x+cos2x
1 cos2x-cos4x+cos4x.cos2x
1 cos2x-cos4x+
16
16
2
1
23cos2x cos6x-cos4x
32
4
1
1
32
3
1
1
Vậy I
23cos2x cos6x-cos4x
dx
x sin 2x
sin6x
sin 4x 4
32
64
32.6
32.4
0
0
2
2
d. 1 cos2xdx 2cos xdx 2 cosx dx 2 cosxdx cosxdx
0
0
0
0
2
2 sinx 2 sinx
2
11
2 2
0
2
Trang 12
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
III. MỘT SỐ CHÚ Ý QUAN TRỌNG
1
. Trong phương pháp đổi biến số dạng 2.
b b
*
Sử dụng công thức : f (x)dx f (b x)dx
0 0
Chứng minh :
x 0 t b
Đặt : b-x=t , suy ra x=b-t và dx=-dt ,
x b t 0
b
0
b
b
Do đó : f (x)dx f (b t)(dt) f (b t)dt f (b x)dx. Vì tích phân không
0
0
b
0
phụ thuộc vào biến số
Ví dụ : Tính các tích phân sau
2
2
4
sin xdx
5cos x 4sin x
dx
3
a/
b/
3
0
sinx+cosx
0
sinx+cosx
4
2
6
sin x
c/ log2
1 t anx
dx
d/
f/
dx
6
sin x cos x
6
0
0
1
2
4
n
sin xcos x
m
e/
x
1 x
dx
dx
3
3
sin x cos x
0
0
Giải
2
4
sin xdx
3
a/ I
.(1) . Đặt :
sinx+cosx
0
2
2
dt dx, x 0 t ; x t 0
2
2
4
sin
t
t x x t
2
4cost
f (x)dx
dt
dt f (t)dt
3
3
2
t
cost+sint
sin
t cos
2
Nhưng tích phân không phụ thuộc vào biến số , cho nên :
0
2
4
cosx
3
sinx+cosx
I f (t)dt
dx 2
0
2
2
2
4
sinx+cosx
1
Lấy (1) +(2) vế với vế ta có : 2I
dx I 2
dx
3
2
sinx+cosx
0
sinx+cosx
0
2
2 2
0
1
I 2
dx tan x
4
4
2
0
2
cos x
2
5
cos x 4sin x
b/ I
dx. Tương tự như ví dụ a/ ta có kết quả sau :
3
sinx+cosx
0
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
Trang 13
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
2
0
2
5
cos x 4sin x
5sint 4cost
5sin x 4cosx
I
dx
dt
dx
2
3
3
3
sinx+cosx
cost+sint
0
sinx+cosx
0
2
2
2
1
1
1
4
1
2
Vậy : 2I
dx
dx tan x
2 1 I
0
2
4
2
0
sinx+cosx
0
2
2
cos x
4
c/ log2
1 t anx
dx . Đặt :
0
4
4
dx dt, x 0 t ; x t 0
4
4
t x x t
f (x)dx log2
1 t anx
dx log 1 tan
t
4
dt
2
1 tant
2
Hay: f (t) log 1
dt
log2
dt
log 2log t
2
2
2
1 tant
1 tant
0
4
4
4
8
Vậy : I f (t)dt dt log tdt 2I t 4 I
2
0
0
0
4
2
6
sin x
dx (1)
6
d/ I
6
sin x cos x
0
2
2
6
sin
t
0
6
cos x
6
d
t
dx I (2)
6
t
2
cos x sin x
6
6
0
sin
t cos
2
2
2
2
6
6
cos x sin x
2
4
Cộng (1) và (2) ta có : 2I
dx dx x 2 I
6
6
cos x sin x
0
0
0
1
n
m
x 1 x
dx . Đặt : t=1-x suy ra x=1-t . Khi x=0,t=1;x=1,t=0; dt=-dx
e/
0
0
1
1
m
n n m n m
1t t (dt) t (1t) dt x (1 x) dx
0 0
Do đó : I
1
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2
2
4
4
sin x
cosx+2sinx
1
.
dx
2.
dx
(XD-98 )
1
cosx
4cos x 3sin x
0
0
2
3
3
sinxcos x
x sinx
cos x
3
5
.
.
dx
4.
6.
dx ( HVNHTPHCM-2000 )
dx ( AN-97 )
0
2
0
2
1
cos x
1
6
xsin x
5
3
x
1 x
dx (ĐHKT-97 )
2
2
cos x
0
0
Trang 14
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
4
2
sinx+2cosx
1sinx
dx ( CĐSPKT-2000 )
1+cosx
7
9
.
.
dx ( CĐSPHN-2000)
8. ln
3
sin x cosx
0
0
2
4
xsin x
sin xcos x
dx (ĐHYDTPHCM-2000 )
10.
dx
3
2
3
sin x cos x
9
4cos x
0
0
asinx+bcosx+c
dx
a'sinx+b'cosx+c'
*
Dạng : I
Cách giải :
asinx+bcosx+c
B
a'cosx-b'sinx
C
Ta phân tích :
dx A
a'sinx+b'cosx+c'
a'sinx+b'cosx+c' a'sinx+b'cosx+c'
-
-
-
Sau đó : Quy đồng mẫu số
Đồng nhất hai tử số , để tìm A,B,C .
Tính I :
B
a'cosx-b'sinx
C
dx
I A
dx
Ax+Bln a'sinx+b'cosx+c'
C
a'sinx+b'cosx+c' a'sinx+b'cosx+c'
a'sinx+b'cosx+c'
VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ . Tính các tích phân sau :
2
4
sinx-cosx+1
cosx+2sinx
dx ( XD-98 )
a.
c.
dx ( Bộ đề )
b.
4cos x 3sin x
0
sinx+2cosx+3
0
2
sinx+7cosx+6
2
dx
d. I = 4cosx 3sin x 1
dx
4
sin x 3cos x 5
4sin x 3cosx 5
0
0
Giải
2
sinx-cosx+1
sinx-cosx+1
B
cosx-2sinx
C
a.
dx . Ta có : f (x)
A
1
sinx+2cosx+3
sinx+2cosx+3
sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3
0
Quy đồng mẫu số và đồng nhất hệ số hai tử số :
1
5
3
A
A 2B 1
A 2B
sinx+
2A+B
cosx+3A+C
f (x)
2A B 1 B . Thay vào (1)
sinx+2cosx+3
5
3
A C 1
4
5
C
2
2
2
1
5
3 d
sinx+2cosx+3
4
1
3
4
I
dx
dx ln sinx+2cosx+3 2 J
5
sinx+2cosx+3
5 sinx+2cosx+3
10 5
5
0
0
0
0
1
3
4 4
I ln J
0 5 5 5
2
-
Tính tích phân J :
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
Trang 15
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1 dx
2
dt
; x 0 t 0, x t 1
x
2
2
cos
1
x
2
2dt
Đặt : t tan
J
. (3)
2
2
1
2dt
2dt
2
0
t 1 2
f (x)dx
t 2t 3
2
2
2
2t
1t
1t
2
2
3
1t
1t
Tính (3) : Đặt :
t 1 2 tanu
du
2
dt 2
f (t)dt
.t 0 tanu
u ;t 1 tanu 2 u
2
1
2
cos u
2
1
2
2du
2
du
2
cos u
2
2
cos u
u2
2
2
2
3
4 4 2
I I ln
10 5 5 5 2
tanu
1
Vậy : j=u 2
du
u2 u1
u2 u1
2
2
tanu 2
2
4
cosx+2sinx
cosx+2sinx
B
3cos x 4sin x
C
b.
dx; f (x)
A
1
4
cos x 3sin x
4cos x 3sin x
4cos x 3sin x
4cos x 3sin x
0
2
1
Giống như phàn a. Ta có : A ;B ;C=0
5
5
4
2 1
3cos x 4sin x
2
1
1
4 2
7
Vậy : I
dx
x ln 4cos x 3sin x 4 ln
5
5 4cos x 3sin x
5
5
10 5
0
0
Học sinh tự áp dụng hai phần giải trên để tự luyện .
BÀI TẬP
2
3
3
2
sin x sinx cot x
3cosx 4sin x
dx
2 2
1
3
5
.
.
.
dx
2.
3
sin x
3sin x 4cos x
0
3
2
2
1
sin 2xsin x
5
5
cos x sin x
dx
4.
dx
2
sin x
0
6
2
4
sinx-cosx
4
dx
6. 15sin 3xcos3xdx
1
sin 2x
0
2
2
3
sinxcosx
6
7
9
.
.
dx
a,b 0
8. tan xdx
0
2
2
2
2
a cos x b sin x
0
3
0
ln
sinx
dx
10. cos4x.cos2x.sin2xdx
2
cos x
6
2
Trang 16
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
6
4
sin x
4
tan x
4
1
1
1
1
1
1.
dx. ( KA-08)
12.
14.
16.
18.
20.
dx . (KB-08)
cos2x
sin 2x 2
1sinx+cosx
0
0
2
4
xsin x
x 1 cosx
2
2
3. cos x 1 cos xdx . (KA-09 )
dx . (KA-2011 )
dx . (KA-06)
0
xsin x cosx
0
3
2
1
xsin x
cos x
sin 2x
5.
7.
9.
dx . (KB-2011)
0
2
2
2
0
cos x 4sin x
3
2
2
2004
x
2004
xsin x
sin
dx. CĐST-05)
dx .( CĐSPHN-05)
x
6
2
0
2004
sin 2xcos x
sin x cos
0
3
3
sin3x sin x
dx
dx . ( CĐHY-06)
. CĐSPHN-06)
1
cos3x
0
sinxsin x+
3
6
2
3
2
2
1. sin 2x 1sin x dx . ( CĐKT-06)
0
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
Trang 17
© 2024 - nslide
Website chạy thử nghiệm. Thư viện tài liệu miễn phí mục đích hỗ trợ học tập nghiên cứu , được thu thập từ các nguồn trên mạng internet ... nếu tài liệu nào vi phạm bản quyền, vi phạm pháp luật sẽ được gỡ bỏ theo yêu cầu, xin cảm ơn độc giả