I. Lý do chän ®Ò tµi:

NhiÒu n¨m gÇn ®©y trong c¸c kú thi chän läc häc sinh giái c¸c cÊp bËc THCS vµ c¸c kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 THPT th­êng cã c¸c bµi to¸n yªu cÇu t×m gi¸ trÞ lín nhÊt (GTLN); gi¸ trÞ nhá nhÊt (GTNN) cña mét biÓu thøc nµo ®ã. C¸c bµi to¸n nµy lµ mét phÇn cña c¸c bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè.

C¸c bµi to¸n cùc trÞ rÊt phong phó vµ ®a d¹ng, nã t­¬ng ®èi míi vµ khã ®èi víi häc sinh THCS. §Ó gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ häc sinh ph¶i biÕt ®æi t­¬ng ®­¬ng c¸c biÓu thøc ®¹i sè, ph¶i sö dông kh¸ nhiÒu h»ng ®¼ng thøc tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p... ph¶i tæng hîp c¸c kiÕn thøc vµ kü n¨ng tÝnh to¸n, t­ duy s¸ng t¹o.

VËy lµm thÕ nµo ®Ó häc sinh cã thÓ ®Þnh h­íng ®­îc h­íng ®i, hay h¬n thÕ lµ h×nh thµnh ®­îc mét c«ng thøc "Èn tµng" nµo ®ã mçi khi gÆp mét bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè.

Lµ ng­êi trùc tiÕp gi¶ng d¹y to¸n trong tr­êng THCS, trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, ®Æc biÖt lµ d¹y häc sinh giái, t«i lu«n lu«n tr¨m trë, t×m tßi, chän läc nh÷ng ph­¬ng ph¸p hîp lý nhÊt ®Ó ®Ó dÉn d¾t, h×nh thµnh cho häc sinh mét c¸ch suy nghÜ míi lµm quen víi d¹ng to¸n nµy ®Ó dÇn dÇn c¸c em cã ®­îc mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i c¬ b¶n nhÊt. Trong khu«n khæ nhá hÑp nµy t«i xin nªu ra "Mét sè ph­¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó gi¶i bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè bËc THCS".

II. môc ®Ých vµ nhiÖm vô  cña ®Ò tµi.

1. Môc ®Ých nghiªn cøu

     Nghiªn cøu ®Ò tµi mét sè ph­¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó gi¶i bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè bËc THCS gióp gi¸o viªn vËn dông mét c¸ch tæng hîp c¸c tri thøc ®· häc, më réng ®µo s©u vµ hoµn thiÖn hiÓu biÕt. tõ ®ã cã ph­¬ng ph¸p d¹y häc phÇn nµy cho häc sinh cã hiÖu qu¶ gióp häc sinh n¾m ch¾c kiÕn thøc vµ vËn dông linh ho¹t kiÕn thøc to¸n häc ®Æc biÖt lµ kiÕn thøc vÒ "Mét sè ph­¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó gi¶i bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè bËc THCS”.

     Nghiªn cøu ®Ò tµi ®Ó l¾m ®­îc nh÷ng thuËn lîi vµ khã kh¨n khi d¹y häc phÇn gi¶i bµi to¸n t×m cùc trÞ tõ ®ã x¸c ®Þnh h­íng n©ng cao chÊt l­îng d¹y vµ häc m«n to¸n.

     Nghiªn cøu ®Ò tµi gióp gi¸o viªn cã t­ liÖu tham kh¶o vµ d¹y thµnh c«ng d¹y to¸n t×m c­c trÞ cña ®å thøc.

2. NhiÖm vô nghiªn cøu.

     §Ò tµi ®­a ra mét hÖ thèng c¸c ph­¬ng ph¸p th­êng dïng ®Ó gi¶i bµi to¸n cùc trÞ vµ mét sè bµi to¸n ¸p dông ®èi víi tõng ph­¬ng ph¸p.

     Trang bÞ cho häc sinh líp 9 hÖ thèng kiÕn thøc ®Ó gi¶ bµi to¸n cùc trÞ, tr¸nh ®­îc nh÷ng nhÇm lÉn th­êng gÆp khi gi¶i d¹ng bµi to¸n nµy.

     Th«ng qua ®Ò tµi, häc sinh cã thÓ n¾m ®­îc mét sè ph­¬ng ph¸p vµ cã thÓ vËn dông vµo gi¶i bµi tËp, rÌn kÜ n¨ng gi¶i bµi to¸n cùc trÞ, ®ång thêi gióp häc sinh thÊy ®­îc c¸i hay, c¸i ®Ñp, søc hÊp dÉn cña to¸n häc, kÝch thÝch sù tß mß kh¸m ph¸, t×m hiÓu bµi to¸n .

III. ®èi t­îng vµ ph¹m vi nghiªn cøu

     Nghiªn cøu c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ trong ch­¬ng tr×nh to¸n THCS

     Nghiªn cøu c¸c tµi liÖu cã liªn quan .

     Gi¸o viªn d¹y to¸n THCS vµ häc sinh THCS ®Æc biÖt lµ häc sinh khèi 8, 9

IV. Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu.

1. Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu lÝ luËn

§äc c¸c tµi liÖu cã liªn quan

     T¹p chÝ to¸n tuái th¬ 2

     Ph­¬ng ph¸p d¹y häc m«n to¸n

     S¸ch gi¸o khoa

     S¸ch gi¸o viªn

     S¸ch tham kh¶o

2. Ph­¬ng ph¸p ®iÒu tra

     §iÒu tra n¾m t×nh h×nh d¹y cña c¸c gi¸o  viªn trong vµ ngoµi nhµ tr­êng.

     §iÒu tra møc ®é tiÕp thu vµ vËn dông "Mét sè ph­¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó gi¶i bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè bËc THCS” cña häc sinh.

     ChÊt l­îng cña häc sinh tr­íc vµ sau khi thùc hiÖn

3. Ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch

    Ph©n tÝch yªu cÇu, kÜ n¨ng gi¶i m«t bµi tËp

4. Ph­¬ng ph¸p thùc nghiÖm

5. Ph­¬ng ph¸p tæng kÕt kinh nghiÖm

     Rót ra nh÷ng bµi häc cho b¶n th©n vµ ®ång nghiÖp ®Î d¹y tèt h¬n trong qu¸ tr×nh d¹y häc.

 

 

 

phÇn ii: néi dung

 

I . C¸c kiÕn thøc cÇn thiÕt

 

1. C¸c ®Þnh nghÜa

 

1.1. §Þnh nghÜa gi¸ trÞ lín nhÊt (GTLN) cña mét biÓu thøc ®¹i sè cho biÓu thøc f(x,y,...) x¸c ®Þnh trªn miÒn D :

M. ®­îc gäi lµ GTLN cña f(x,y,...) trªn miÒn |D nÕu 2 ®iÒu kiÖn sau ®ång thêi tho¶ m·n :

1. f(x,y,...)  M   (x,y,..)  |D

2.  (x0, y0,...)  |D sao cho f(x0, y0...) = M.

Ký hiÖu : M = Max f(x,y,..) = fmax víi (x,y,...)  |D

 

1.2. §Þnh nghÜa gi¸ trÞ nhá nhÊt (GTNN) cña mét biÓu thøc ®¹i sè cho biÓu thøc f(x,y,...) x¸c ®Þnh trªn miÒn |D :

M. ®­îc gäi lµ GTNN cña f(x,y,...) trªn miÒn |D ®Õn 2 ®iÒu kiÖn sau ®ång thêi tho¶ m·n :

1. f(x,y,...)  M   (x,y,..)  |D

2.  (x0, y0,...)  |D sao cho f(x0, y0...) = M.

Ký hiÖu : M = Min f(x,y,..) = fmin víi (x,y,...)  |D

 

2. C¸c kiÕn thøc th­êng dïng

2.1. Luü thõa :

a) x2  0  x  |R   x2k  0 x  |R, k  z     - x2k  0

Tæng qu¸t : f (x)2k  0  x  |R, k  z  - f (x)2k  0

Tõ ®ã suy ra :  f (x)2k + m  m   x  |R, k  z

M - f (x)2k   M

b)  0  x  0   ()2k  0  x0 ; k z

Tæng qu¸t : ()2k  0  A 0 (A lµ 1 biÓu thøc)

2.2 BÊt ®¼ng thøc chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi :

a) |x|  0  x|R

b) |x+y|  |x| + |y|  ; nÕu "=" x¶y ra  x.y  0

c) |x-y|  |x| - |y| ; nÕu "=" x¶y ra  x.y  0 vµ |x|  |y|

2.3. BÊt ®¼ng thøc c«si :

 ai  0  ;  i = :    nN, n 2.

dÊu "=" x¶y ra  a1  = a2 = ... = an

2.4. BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki :

Víi n cÆp sè bÊt kú a1,a2,...,an ; b1, b2, ...,bn ta cã :

(a1b1+ a2b2 +...+anbn)2   (

DÊu "=" x¶y ra  = Const  (i = )

NÕu bi = 0 xem nh­ ai = 0

2.5. BÊt ®¼ng thøc Bernonlly :

Víi a  0  : (1+a)n   1+na n N.

DÊu "=" x¶y ra  a = 0.

    Mét sè BÊt ®¼ng thøc ®¬n gi¶n th­êng gÆp ®­îc suy ra tõ bÊt ®¼ng thøc (A+B)2  0.

1. a2 + b2  2ab
2. (a + b)2  4ab
3. 2( a2 + b2 )  (a + b)2
4.  

 

e.

 

 

 

II. Mét sè ph­¬ng ph¸p c¬ b¶n

gi¶i bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè

 

Ph­¬ng ph¸p 01

( Sö dông phÐp biÕn ®æi ®ång nhÊt )

 

B»ng c¸ch nhãm, thªm, bít, t¸ch c¸c h¹ng tö mét c¸ch hîp lý, ta biÕn ®æi biÓu thøc ®· cho vÒ tæng c¸c biÓu thøc kh«ng ©m (hoÆc kh«ng d­¬ng) vµ nh÷ng h»ng sè . Tõ ®ã :

1.§Ó t×m Max f(x,y,...) trªn miÒn |D ta chØ ra :

 sao cho f(x0,y0,...) = M

2. §Ó t×m Min f(x,y,...) trªn miÒn |D ta chØ ra :

 sao cho f(x0,y0,...) = m

I. C¸c vi dô minh ho¹ :

1. VÝ dô 1 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A1 = x2 + 4x + 7

Gi¶i :

Ta cã : A1  = x2 + 4x + 7 = x2 + 4x + 4x + 3 = (x + 2)2 + 3  3 v× (x + 2)2 0.

 A1 min = 3  x + 2 = 0  x = -2

VËy A1 min = 3  x = -2

2. VÝ dô 2 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A2 = -x2 + 6x - 15

Gi¶i :

Ta cã : A2 = -x2 + 6x - 15 = - (x2- 6x + 9) - 6

A2 = - (x - 3)2 - 6  - 6  do  -(x - 3)2  0  x |R

 A2 max = - 6  x - 3 = 0  x = 3

VËy A2 max = - 6  x = 3

3. VÝ dô 3 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A3 = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002

Gi¶i :

Ta cã : A3 =  (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002

   =  (x-1) (x-8) (x-4) (x-5) + 2002

   = (x2-9x + 8) (x2 - 9x + 20) + 2002

   = {(x2-9x + 14) - 6}.{(x2-9x + 14) + 6} + 2002

   = (x2-9x + 14)2 - 36 + 2002

   = (x2-9x + 14)2 + 1966  1966 v× (x2-9x + 14)2 0 x

 A3 min = 1966  x2-9x + 14 = 0  

 

 

VËy A3 min = 1966 

4. VÝ dô 4 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A4 =

Gi¶i :

Ta cã: A4 =

      = - v×   -

 A4 Max = 3    x = -2

VËy : A4 Max = 3  x = -2

5. VÝ dô 5 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A5 = víi x,y>0

Gi¶i :

Ta cã:A5==

A5 = = 0 x,y > 0

 A5 min = 0     x = y

VËy : A5 min =  0  x = y  > 0

6. VÝ dô 6 : Cho x,y  0 vµ x + y = 1 .

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ lín nhÊt cña A6 = x2 + y2.

Gi¶i :

Do x; y  0 vµ x + y = 1  0  x;y 1  x2 x, y2 y

 A6 = x2 + y2  x + y = 1  A6 max = 1  hoÆc

MÆt kh¸c : x + y = 1  (x + y)2 = 1  1 = x2 + 2xy + y2  (x2+y2)-(x-y)2

 A6 = x2+y2 = do (x - y)2  0

 A6 min =  x - y = 0  x = y =

VËy :  A6 max = 1   

 A6 min =  x = y =

7. VÝ dô 7 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A7 = xy + yz + zx - x2-y2-z2

 

 

 

Gi¶i :

Ta cã : A7 = xy + yz + zx - x2-y2-z2 = -(2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz)

  A7 = -{(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2}  0 x,y,z

 A7 Max = 0  x = y = z

VËy : A7 Max = 0  x = y = z

II. NhËn xÐt:

      Ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ ®¹i sè b»ng c¸ch sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi ®ång nhÊt ®­îc ¸p dông cho nhiÒu bµi tËp, nhiÒu d¹ng bµi tËp kh¸c nhau. Song ®«i khi häc sinh th­êng gÆp khã kh¨n trong c«ng viÖc biÕn ®æi ®Ó ®¹t ®­îc môc ®Ých. VËy cßn nh÷ng ph­¬ng ph¸p nµo; ®Ó cïng ph­¬ng ph¸p võa nªu trªn gióp häc sinh nhanh chãng t×m ra lêi gi¶i. Tr­íc hÕt  ta gi¶i mét sè bµi to¸n sau ®Ó cïng suy ngÉm.

III. C¸c bµi tËp ®Ò nghÞ :

1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau :

a. A = x2 - 10x + 20

b. B = (x-1)2 + (x-3)2 

c. C =    (x 1)

d. D = x3 + y3 + xy  biÕt x + y = 1

e. E =  víi x,y > 0

2. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt  cña c¸c biÓu thøc :

a. A = - x4 + 2x3 - 3x2 + 4x + 2002

b. B =   ;  C =

3. T×m GTLN, GTNN  cña A =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

              Ph­¬ng ph¸p 02 :

( Sö dông c¸c bÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n )