TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA ĐẠO HÀM
NguyꢀnꢁPhúꢁKhánhꢁꢂðàꢁLꢃtꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁBàiꢁtꢄpꢁvꢅnꢁñꢆꢁliênꢁquanꢁHàmꢁsꢇꢁlꢈpꢁ12ꢁ ꢁ ꢁ ꢁ ÔNꢁTꢉPꢁðꢊOꢁHÀMꢁꢁ 1 ꢁ 2 a)ꢀChoꢀhàmꢀsꢁꢀy = x + cos x ;ꢀtìmꢀnghiꢂmꢀ x ∈ 1;5 cꢃaꢀphươngꢀtrìnhꢀy ' = 0 ꢀ ( ) 2 b)ꢀChoꢀhàmꢀsꢁꢀy = −x + x + 8 ;ꢀgiꢄiꢀbꢅtꢀꢀphươngꢀtrìnhꢀy ' 0 ꢀ 2 c) ꢀChoꢀhàmꢀsꢁꢀy = 2x x − 2 ;ꢀgiꢄiꢀbꢅtꢀꢀphươngꢀtrìnhꢀy ' > 21 ꢀ 2 d)ꢀChoꢀhàmꢀsꢁꢀy = sin x + cosx ;ꢀtìmꢀnghiꢂmꢀx ∈ −1;4 cꢃaꢀphươngꢀtrìnhꢀy ' = 0 ꢀ ( ) 2 ꢁ 2
Thể loại Giáo án bài giảng Toán học
Số trang 13
Ngày tạo 3/15/2011 12:06:37 PM +00:00
Loại tệp pdf
Kích thước 0.22 M
Tên tệp tinh don dieu dao ham pdf
NguyꢀnꢁPhúꢁKhánhꢁꢂðàꢁLꢃtꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁBàiꢁtꢄpꢁvꢅnꢁñꢆꢁliênꢁquanꢁHàmꢁsꢇꢁlꢈpꢁ12ꢁ
ꢁ
ꢁ
ꢁ
ÔNꢁTꢉPꢁðꢊOꢁHÀMꢁꢁ
1
ꢁ
2
a)ꢀChoꢀhàmꢀsꢁꢀy = x + cos x ;ꢀtìmꢀnghiꢂmꢀ
x
∈
1;5 cꢃaꢀphươngꢀtrìnhꢀy '
=
0
ꢀ
(
)
2
b)ꢀChoꢀhàmꢀsꢁꢀy = −x + x + 8 ;ꢀgiꢄiꢀbꢅtꢀꢀphươngꢀtrìnhꢀy ' < 0
ꢀ
2
c) ꢀChoꢀhàmꢀsꢁꢀy = 2x x − 2 ;ꢀgiꢄiꢀbꢅtꢀꢀphươngꢀtrìnhꢀy ' > 21
ꢀ
2
d)ꢀChoꢀhàmꢀsꢁꢀy = sin x + cosx ;ꢀtìmꢀnghiꢂmꢀx ∈ −1;4 cꢃaꢀphươngꢀtrìnhꢀy ' = 0
ꢀ
(
)
2
ꢁ
2
2
a)ꢀChoꢀhàmꢀsꢁꢀy = 2 − sin x − sin a + x − 2cosa.cosx.cos a + x
ꢀ
(
)
(
)
a1)Chꢆngꢀtꢇꢀrꢈngꢀy ' = 0;∀x ∈
ℝ ꢀ
a2) Tìmꢀa ∈ 2;5 ꢀñꢉꢀy = s in2a
ꢀ
)
x
π π
4 4
b)ꢀChoꢀhàmꢀsꢁꢀy = cosx + sinx.tan ,x ∈ − ;
.ꢀꢀ
2
π π
b ) Chꢆngꢀtꢇꢀy ' = 0,∀x ∈ − ;
ꢀ
1
4
4
π π
4
4
b2)Tìmꢀx ∈ − ;
ñꢉꢀy = cos x − sin x
ꢀ
4
4
ꢁ
ꢁ
QUANꢁHꢋꢁGIꢌAꢁTÍNHꢁðƠNꢁðIꢋUꢁVÀꢁðꢊOꢁHÀMꢁCꢍAꢁHÀMꢁSꢎꢁ
(
ꢁ3ꢁtiꢏtꢁ)ꢁ
ꢁ
TÓMꢁTꢐTꢁLÝꢁTHUYꢑTꢁꢁ
.ꢁðꢒnhꢁnghĩaꢁ:ꢁꢁ
làꢀmꢋtꢀkhoꢄngꢀ,ꢀmꢋtꢀñoꢌnꢀhoꢍcꢀmꢋtꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀ.ꢀHàmꢀsꢁꢀ
1
Giꢄꢀsꢊꢀ
K
f xácꢀñꢎnhꢀtrênꢀK ñưꢏcꢀgꢐiꢀlàꢀꢀ
•
•
ðꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀ
K
nꢒuꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx1
,
x2
∈
K
,
x1
<
x2
⇒
f x
<
f x
ꢀ
(
)
(
( )
1
2
Nghꢎchꢀꢀbiꢒnꢀtrênꢀ
K
nꢒuꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx1
,
x2
∈
K
,
x1
<
x2
⇒
f x
>
f x
ꢀ
)
( )
1
2
2
.ꢁðiꢆuꢁkiꢓnꢁcꢔnꢁñꢕꢁhàmꢁsꢇꢁñơnꢁñiꢓuꢁ:ꢁꢁ
Giꢄꢀsꢊꢁhàmꢀsꢁꢀ cóꢀñꢌoꢀhàmꢀtrênꢀkhoꢄngꢀI ꢁ
f
•
•
Nꢒuꢀhàmꢀsꢁꢀ
Nꢒuꢀhàmꢀsꢁꢀ
f
ꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀkhoꢄngꢀꢀ
I
thìꢀ
f
'
x
≥
0
ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx ∈ I
ꢀ
(
f
)
(
f
ꢀnghꢎchꢀꢀbiꢒnꢀtrênꢀkhoꢄngꢀꢀ
I
thìꢀ
'
x ≤
)
0
ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx ∈ I ꢀ
3
.ꢁðiꢆuꢁkiꢓnꢁñꢖꢁñꢕꢁhàmꢁsꢇꢁñơnꢁñiꢓuꢁ:ꢁꢁ
ðꢎnhꢀlýꢀ1ꢀ:ꢀðꢎnhꢀlýꢀvꢔꢀgiáꢀtrꢎꢀtrungꢀbìnhꢀcꢃaꢀphépꢀviꢀphânꢀ(ðꢎnhꢀlýꢀLagrange):ꢀ
Nꢒuꢀhàmꢀsꢁꢀ
f
liênꢀtꢕcꢀtrênꢀ a
;
b vàꢀcóꢀñꢌoꢀhàmꢀtrênꢀkhoꢄngꢀ
a
(
;
b
thìꢀtꢑnꢀtꢌiꢀítꢀnhꢅtꢀmꢋtꢀñiꢉmꢀc ∈ a
;
b
ꢀ
)
(
)
saoꢀchoꢀ f b − f a = f
'
c b − a
( )(
ꢀ
(
)
( )
)
ꢀ
ꢂ1ꢂꢁ
NguyꢀnꢁPhúꢁKhánhꢁꢂðàꢁLꢃtꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁBàiꢁtꢄpꢁvꢅnꢁñꢆꢁliênꢁquanꢁHàmꢁsꢇꢁlꢈpꢁ12ꢁ
ꢁ
ꢁ
ꢁ
ðꢎnhꢀlýꢀ2ꢀ:ꢀ
Giꢄꢀsꢊꢀ ꢀlàꢀmꢋtꢀkhoꢄngꢀhoꢍcꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀhoꢍcꢀmꢋtꢀñoꢌnꢀ,ꢀ
mꢐiꢀñiꢉmꢀtrongꢀcꢃaꢀ (ꢀtꢆcꢀlàꢀñiꢉmꢀthuꢋcꢀ ꢀnhưngꢀkhôngꢀphꢄiꢀñꢖuꢀmútꢀcꢃaꢀI
I
f
làꢀhàmꢀsꢁꢀliênꢀtꢕcꢀtrênꢀI vàꢀcóꢀñꢌoꢀhàmꢀtꢌiꢀ
)ꢀ.Khiꢀñóꢀ:ꢁ
I
I
•
•
•
Nꢒuꢀ
Nꢒuꢀ
Nꢒuꢀ
f
f
f
'
'
'
x >
0
0
0
ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx ∈ I thìꢀhàmꢀsꢁꢀ
ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx ∈ I thìꢀhàmꢀsꢁꢀ
ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx ∈ I thìꢀhàmꢀsꢁꢀ
f
f
f
ꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀkhoꢄngꢀI ꢀ
ꢀnghꢎchꢀꢀbiꢒnꢀtrênꢀkhoꢄngꢀ
ꢀkhôngꢀñꢗiꢀꢀtrênꢀkhoꢄngꢀ
(
(
(
)
x <
I
ꢀ
)
x =
I
ꢀ
)
Chúꢀýꢀ:ꢀꢀ
•
Nꢒuꢀhàmꢀsꢁꢀ
f
f
liênꢀtꢕcꢀtrênꢀ a
;
;
b vàꢀcóꢀñꢌoꢀhàmꢀ
f
f
'
'
x >
0
0
ꢀtrênꢀkhoꢄngꢀ
ꢀtrênꢀkhoꢄngꢀ
a
;
;
b
b
thìꢀhàmꢀsꢁꢀ
thìꢀhàmꢀsꢁꢀ
f
f
ñꢑngꢀbiꢒnꢀ
ꢀnghꢎchꢀꢀ
(
(
)
(
)
)
trênꢀ a b
;
ꢀ
•
Nꢒuꢀhàmꢀsꢁꢀ
liênꢀtꢕcꢀtrênꢀ a
b vàꢀcóꢀñꢌoꢀhàmꢀ
x <
)
a
(
biꢒnꢀtrênꢀ a
;
b
ꢀ
Víꢀdꢕꢀ1:ꢀꢀ
Xétꢀchiꢔuꢀbiꢒnꢀthiênꢀcꢃaꢀcácꢀhàmꢀsꢁꢀ:ꢀ
3
2
1
3
2
c) f
(
x
)
= x + 3x + 3x + 2
ꢀ
a
)
f x = x −
3
x +
8x −
2
ꢀ
(
)
3
2
x − 2x
x − 1
1
1
2
3
d) f x = x − x − 2x + 2
ꢀ
( )
b) f x =
ꢀ
3
2
(
)
Giꢄiꢀ:ꢀ
1
3
2
a) f x = x − 3x + 8x − 2
ꢀ
(
)
3
Hàmꢀsꢁꢀñãꢀchoꢀxácꢀñꢎnhꢀtrênꢀ
ℝ .ꢀ
2
Taꢀcóꢀ f ' x = x − 6x + 8
ꢀ
(
)
f ' x = 0 ⇔ x = 2,x = 4
ꢀ
(
)
Chiꢔuꢀbiꢒnꢀthiênꢀcꢃaꢀhàmꢀsꢁꢀñưꢏcꢀnêuꢀtrongꢀbꢄngꢀsauꢀ:ꢀ
x
−∞
2
4
+∞
f
'
x
+
0
−
0
+
(
)
f x
+∞
(
)
ꢀ
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ −∞
Vꢘyꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀmꢙiꢀkhoꢄngꢀ −∞;2 vàꢀ 4;+∞ ,ꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀkhoꢄngꢀ 2;4
ꢀ
(
)
(
)
(
)
2
x
−
−
2x
ꢀ
b
)
f x
(
=
)
x
1
Hàmꢀsꢁꢀñãꢀchoꢀxácꢀñꢎnhꢀtrênꢀtꢘpꢀhꢏpꢀ
ℝ
\ 1 .ꢀ
{
}
2
2
x − 1 + 1
x − 2x + 2
(
)
Taꢀcóꢀ f ' x =
=
> 0,x ≠ 1
ꢀ
(
)
2
2
x − 1
x − 1
(
)
(
)
ꢂ2ꢂꢁ
NguyꢀnꢁPhúꢁKhánhꢁꢂðàꢁLꢃtꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁBàiꢁtꢄpꢁvꢅnꢁñꢆꢁliênꢁquanꢁHàmꢁsꢇꢁlꢈpꢁ12ꢁ
ꢁ
ꢁ
ꢀ
ꢀ
ꢁ
Chiꢔuꢀbiꢒnꢀthiênꢀcꢃaꢀhàmꢀsꢁꢀñưꢏcꢀnêuꢀtrongꢀbꢄngꢀsauꢀ:ꢀ
x
−∞
1
+∞
f ' x
+
+
(
)
+
∞
+∞
f x
ꢀ
(
)
ꢀ
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ −∞ ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ −∞
ꢀ
Vꢘyꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀmꢙiꢀkhoꢄngꢀ −∞;1 vàꢀ 1;+∞
ꢀ
(
)
(
)
3
2
c) f x = x + 3x + 3x + 2
ꢀ
(
)
Hàmꢀsꢁꢀñãꢀchoꢀxácꢀñꢎnhꢀtrênꢀ
ℝ
.ꢀ
2
2
Taꢀcóꢀ f ' x = 3x = 6x + 3 = 3 x + 1
ꢀ
(
)
(
)
f ' x = 0 ⇔ x = −1ꢀvàꢀ f ' x > 0ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx ≠ −1
ꢀ
(
)
( )
Vìꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀmꢙiꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀ −∞;−1 vàꢀ −1;+∞ nênꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀ
ℝ .ꢀ
(
)
Hoꢍcꢀtaꢀcóꢀthꢉꢀdùngꢀbꢄngꢀbiꢒnꢀthiênꢀcꢃaꢀhàmꢀsꢁꢀ:ꢀ
x
−∞
−1
+∞
f ' x
+
0
+
(
)
f x
+∞
(
)
1
ꢀ
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ −∞ ꢀ
Vìꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀmꢙiꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀ −∞;−1 vàꢀ −1;+∞ nênꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀ
ℝ .ꢀ
(
)
1
1
2
3
d) f x = x − x − 2x + 2ꢀTươngꢀtꢚꢀbàiꢀa)
ꢀ
(
)
3
2
ꢀ
Víꢀdꢕꢀ2:ꢀꢀ
Xétꢀchiꢔuꢀbiꢒnꢀthiênꢀcꢃaꢀcácꢀhàmꢀsꢁꢀ:ꢀ
3
2
4
2
3
a) f x = 2x + 3x + 1
ꢀ
3
2
(
)
c) f x = − x + 6x − 9x −
ꢀ
(
)
3
4
2
b) f x = x − 2x − 5
ꢀ
(
)
2
d) f x = 2x − x
ꢀ
(
)
Giꢄiꢀ:ꢀ
3
2
a) f x = 2x + 3x + 1
ꢀ
(
)
Hàmꢀsꢁꢀñãꢀchoꢀxácꢀñꢎnhꢀtrênꢀ
ℝ .ꢀ
2
Taꢀcóꢀ f ' x = 6x + 6x
ꢀ
(
)
f ' x > 0,x ∈ −∞;−1 , 0;+∞ ⇒ f x ñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀmꢙiꢀkhoꢄngꢀ −∞;−1 ꢀvàꢀ 0;+∞ .ꢀ
(
(
)
)
(
(
) (
)
( )
(
)
(
)
f ' x < 0,x ∈ −1;0 ⇒ f x nghꢎchꢀꢀbiꢒnꢀtrênꢀkhoꢄngꢀ −1;0 .ꢀ
)
( )
(
)
ꢂ3ꢂꢁ
NguyꢀnꢁPhúꢁKhánhꢁꢂðàꢁLꢃtꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁBàiꢁtꢄpꢁvꢅnꢁñꢆꢁliênꢁquanꢁHàmꢁsꢇꢁlꢈpꢁ12ꢁ
ꢁ
ꢁ
ꢁ
Ngoàiꢀraꢀ:ꢀHꢐcꢀsinhꢀcóꢀthꢉꢀgiꢄiꢀ f ' x = 0,ꢀtìmꢀraꢀhaiꢀnghiꢂmꢀx = −1,x = 0 ,ꢀkꢛꢀbꢄngꢀbiꢒnꢀthiênꢀrꢑiꢀkꢒtꢀ
(
)
luꢘn.ꢀ
4
2
b) f x = x − 2x − 5
ꢀ
(
)
Giꢄiꢀ:ꢀ
Hàmꢀsꢁꢀñãꢀchoꢀxácꢀñꢎnhꢀtrênꢀ
ℝ .ꢀ
3
Taꢀcóꢀ f ' x = 4x − 4x
ꢀ
(
)
f ' x > 0,x ∈ −1;0 , 1;+∞ ⇒ f x ñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀmꢙiꢀkhoꢄngꢀ −1;0 ꢀvàꢀ 1;+∞ .ꢀ
(
(
)
)
(
(
) (
) (
)
)
( )
( )
)
(
)
(
)
)
f ' x < 0,x ∈ −∞;−1 , 0;1 ⇒ f x nghꢎchꢀꢀbiꢒnꢀtrênꢀmꢙiꢀkhoꢄngꢀ −∞;−1 vàꢀ 0;1 .ꢀ
(
(
)
Ngoàiꢀraꢀ:ꢀHꢐcꢀsinhꢀcóꢀthꢉꢀgiꢄiꢀ f ' x = 0,ꢀtìmꢀraꢀhaiꢀnghiꢂmꢀx = −1,x = 0,x = 1,ꢀkꢛꢀbꢄngꢀbiꢒnꢀthiênꢀrꢑiꢀ
(
kꢒtꢀluꢘn.ꢀ
4
2
3
2
c) f x = − x + 6x − 9x −
ꢀ
(
)
3
3
.ꢀ
Hàmꢀsꢁꢀñãꢀchoꢀxácꢀñꢎnhꢀtrênꢀ
ℝ
2
2
Taꢀcóꢀ f ' x = −4x + 12x − 9 = − 2x − 3
ꢀ
(
)
(
)
3
3
2
f ' x = 0 ⇔ x = ꢀvàꢀ f ' x < 0 ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx ≠
ꢀ
(
)
( )
2
3
3
Vìꢀhàmꢀsꢁꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀmꢙiꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀ −∞; vàꢀ ;+∞ nênꢀhàmꢀsꢁꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀ
ℝ .ꢀ
2
2
2
d) f x = 2x − x
ꢀ
(
)
Hàmꢀsꢁꢀñãꢀchoꢀxácꢀñꢎnhꢀtrênꢀ 0;2 .ꢀ
1
− x
Taꢀcóꢀ f ' x =
,x ∈ 0;2
ꢀ
(
)
(
)
2
2x − x
f ' x > 0,x ∈ 0;1 ⇒ f x ñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀñoꢌnꢀ 0;1
ꢀ
(
)
(
)
( )
f ' x < 0,x ∈ 1;2 ⇒ f x nghꢎchꢀꢀbiꢒnꢀtrênꢀñoꢌnꢀ 1;2
ꢀ
(
)
(
)
( )
2
Víꢀdꢕꢀ3:ꢀChꢆngꢀminhꢀrꢈngꢀhàmꢀsꢁꢀ f x = 4 − x nghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀñoꢌnꢀ 0;2
ꢀ
(
)
Giꢄiꢀ:ꢀ
−
x
Dꢜꢀthꢅyꢀhàmꢀsꢁꢀñãꢀchoꢀliênꢀtꢕcꢀtrênꢀñoꢌnꢀ 0;2 ꢀvàꢀcóꢀñꢌoꢀhàmꢀ f ' x =
< 0ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀ
2
− x
(
)
4
x ∈ 0;2 .ꢀDoꢀñóꢀhàmꢀsꢁꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀñoꢌnꢀ 0;2 .ꢀ
(
)
Víꢀdꢕꢀ4:ꢀꢀ
3
1
. Chꢆngꢀminhꢀrꢈngꢀhàmꢀsꢁꢀ f x = x + x − cosx − 4 ñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀ
ℝ
.ꢀ
.ꢀ
(
(
)
)
2
. Chꢆngꢀminhꢀrꢈngꢀhàmꢀsꢁꢀ f x = cos2x − 2x + 3 ꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀ
ℝ
Giꢄiꢀ:ꢀ
ꢂ4ꢂꢁ
NguyꢀnꢁPhúꢁKhánhꢁꢂðàꢁLꢃtꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁBàiꢁtꢄpꢁvꢅnꢁñꢆꢁliênꢁquanꢁHàmꢁsꢇꢁlꢈpꢁ12ꢁ
ꢁ
ꢁ
ꢁ
1
.ꢀHàmꢀsꢁꢀñãꢀchoꢀxácꢀñꢎnhꢀtrênꢀ
ℝ
.ꢀ
2
Taꢀcóꢀ f ' x = 3x + 1 + sinx
ꢀ
(
)
2
Vìꢀ3x ≥ 0,x ∈
ℝ
1 + sinx ≥ 0,x ∈
.ꢀ
ℝ
nênꢀ f ' x ≥ 0,x ∈
ℝ
.ꢀDoꢀñóꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀ
ℝ
ℤ
.ꢀ
(
)
2
.ꢀHàmꢀsꢁꢀñãꢀchoꢀxácꢀñꢎnhꢀtrênꢀ
ℝ
π
Taꢀcóꢀ f ' x = −2 sin2x + 1 ≤ 0,∀x ∈
ℝ
ꢀvàꢀ f ' x = 0 ⇔ sin2x = −1 ⇔ x = − + k
π
,k ∈
ꢀ
(
)
(
)
( )
4
π
4
π
4
Hàmꢀsꢁꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀmꢙiꢀñoꢌnꢀ
−
+ k
π
;− + k + 1
π
,k ∈
ℤ
.ꢀDoꢀñóꢀhàmꢀsꢁꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀ
(
)
ℝ
.ꢀꢀ
Víꢀdꢕꢀ5:ꢀTìmꢀkhoꢄngꢀñơnꢀñiꢂuꢀcꢃaꢀhàmꢀsꢁꢀ f x = sinx trênꢀkhoꢄngꢀ 0;2
π
ꢀ
(
)
(
)
Giꢄiꢀ:ꢀ
Hàmꢀsꢁꢀñãꢀchoꢀxácꢀñꢎnhꢀtrênꢀkhoꢄngꢀ 0;2
π
ꢀvàꢀcóꢀñꢌoꢀhàmꢀ f ' x = cosx,x ∈ 0;2
π
.ꢀ
(
)
( )
(
)
π
3π
ꢀ
2
f ' x = 0,x ∈ 0;2
π
⇔ x = ,x =
(
)
(
)
2
Chiꢔuꢀbiꢒnꢀthiênꢀcꢃaꢀhàmꢀsꢁꢀñưꢏcꢀnêuꢀtrongꢀbꢄngꢀsauꢀ:ꢀ
π
2
0
3π
2
x
f
0
2π
'
x
+
−
0
+
(
)
f x
1
0
(
)
ꢀ
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
0
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
−
1
π
2
3
π
π
2 2
3
π
Hàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀmꢙiꢀkhoꢄngꢀ 0;
vàꢀ
;2π
,ꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀkhoꢄngꢀ
;
.ꢀ
2
1
3
2
Víꢀdꢕꢀ6:ꢀVꢓiꢀgiáꢀtrꢎꢀnàoꢀcꢃaꢀ
Giꢄi:ꢀꢀ
a
hàmꢀsꢁꢀ f x = x + ax +
4x +
3
ꢀñꢑngꢀꢀbiꢒnꢀtrên
ℝ
.ꢀ
(
)
3
Hàmꢀsꢁꢀñãꢀchoꢀxácꢀñꢎnhꢀtrênꢀ
ℝ .ꢀ
2
Taꢀcóꢀ
f
'
x = x +
2
ax +
4
ꢀ
(
)
Cáchꢀ1ꢀ:ꢀHàmꢀsꢁꢀ f x ꢀñꢑngꢀꢀbiꢒnꢀtrên
ℝ
ꢀkhiꢀvàꢀchꢝꢀkhiꢀ
(
)
2
2
f
'
x ≥ 0,x ∈
ℝ
⇔ x +
2ax +
4
≥
0
⇔ ꢀ ≤
0
⇔ a −
4
≤
0 ⇔ a ≤ 2 hay − 2 ≤ a ≤ 2 ꢀ
(
)
2
Cáchꢀ2ꢀ:ꢀ ꢀ = a −
4
ꢀ
2
•
Nꢒuꢀa −
4
<
0
hay −
2
< a <
2
thìꢀ
f
'
x >
)
0
vꢓiꢀmꢐiꢀx ∈
ℝ
.ꢀHàmꢀsꢁꢀ f x ꢀñꢑngꢀꢀbiꢒnꢀtrên
ℝ
ꢀ
(
( )
2
•
•
Nꢒuꢀa =
2
ꢀthìꢀ
f
'
x = x +
2
>
0,x ≠ −
2
.ꢀHàmꢀsꢁꢀ f x ꢀñꢑngꢀꢀbiꢒnꢀtrên
ℝ
ꢀ
(
)
(
)
( )
Nꢒuꢀa = −
2
ꢀ.ꢀHàmꢀsꢁꢀ f x ꢀñꢑngꢀꢀbiꢒnꢀtrên
ℝ
ꢀ
(
)
ꢂ5ꢂꢁ
NguyꢀnꢁPhúꢁKhánhꢁꢂðàꢁLꢃtꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁBàiꢁtꢄpꢁvꢅnꢁñꢆꢁliênꢁquanꢁHàmꢁsꢇꢁlꢈpꢁ12ꢁ
ꢁ
ꢁ
ꢁ
•
Nꢒuꢀa < −
2
ꢀhoꢍcꢀa >
2
ꢀthìꢀ
f
'
x =
0
cóꢀhaiꢀnghiꢂmꢀphânꢀbiꢂtꢀx1,x2 .ꢀGiꢄꢀsꢊꢀx1
<
x2 .ꢀKhiꢀñóꢀhàmꢀsꢁꢀ
(
)
nghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀkhoꢄngꢀ
x
1;
x
,ñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀmꢙiꢀkhoꢄngꢀ −∞
;
x
vàꢀ
x
2;+∞ .ꢀDoꢀñóꢀa < −
2
ꢀhoꢍcꢀ
(
)
(
)
(
)
2
1
a >
2
ꢀkhôngꢀthoꢄꢀmãnꢀyêuꢀcꢖuꢀbàiꢀtoánꢀ.ꢀ
Vꢘyꢀhàmꢀsꢁꢀ f x ꢀñꢑngꢀꢀbiꢒnꢀtrên
ℝ
khiꢀvàꢀchꢝꢀkhiꢀ
−
2
≤ a ≤
2
ꢀ
(
)
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
BÀIꢁTꢉPꢁꢁTꢗꢁLUYꢋNꢁ
ꢁ
2
1
.ꢁChꢆngꢀminhꢀrꢈngꢀhàmꢀsꢁꢀ f x
=
1
−
x
nghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀñoꢌnꢀ
0;1
.ꢀ
.ꢀ
(
)
4
3
2
2
3
a
.ꢁChꢆngꢀminhꢀrꢈngꢀhàmꢀsꢁꢀ f x = x −
2
x + x −
3
ñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀ
ℝ
(
)
3
.ꢁXétꢀchiꢔuꢀbiꢒnꢀthiênꢀcꢃaꢀcácꢀꢀhàmꢀsꢁ:ꢀ
1
0
7
3
1
5
4
3
3
2
i) f x = 3x + 1
ꢀ
(
(
(
(
)
)
)
)
)
f x =
2
x +
5
x + x −
ꢀ
e
f
)
f x = x −
( )
2
x +
4x − 5 ꢀ
(
)
3
3
2
3
2
2
j) f
x
=
4x
−
x
ꢀ
b
c
)
)
f x = x −
2
x + x +
1
ꢀ
x −
8
x +
9
(
)
)
f x =
ꢀ
(
)
x −
5
k) f x = x + x
ꢀ
4
x
9
x
f x = x +
ꢀ
2
(
)
g) f x
=
x
−
2x
+ 3 ꢀ
(
)
l) f x = x − x
ꢀ
1
d
)
f x = x −
ꢀ
(
)
h
)
f x =
−
2
x
ꢀ
2x
2
x − 9
(
)
m) f x =
ꢀ
x +
1
( )
4
.ꢀXétꢀchiꢔuꢀbiꢒnꢀthiênꢀcꢃaꢀcácꢀhàmꢀsꢁꢀsauꢀ:ꢀ
1
1
1
4
3
e) y = x + x − x + 5
2
a) y =
−
x
x − 2
x + 1
3
4 3
f ) y = x − 2x + x − 6x + 11
4 2
ꢀ
3
2
b) y =
c) y =
ꢀ
3
x
x
4
5
3
3
g) y = − x + x + 8
2
5
7
x + 1
7
2
6
5
d) y = x + 2x + 3
h) y = 9x − 7x + x + 12
5
5
.ꢁChꢆngꢀminhꢀrꢈngꢀ:ꢀ
x − 2
a)ꢀHàmꢀsꢁꢀy =
ꢀñꢑngꢀꢀbiꢒnꢀtrênꢀmꢙiꢀkhoꢄngꢀxácꢀñꢎnhꢀcꢃaꢀnóꢀ.ꢀ
x + 2
2
−
x − 2x + 3
b)ꢀHàmꢀsꢁꢀy =
ꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀmꢙiꢀkhoꢄngꢀxácꢀñꢎnhꢀcꢃaꢀnóꢀ.ꢀ
x + 1
.ꢁChꢆngꢀminhꢀrꢈngꢀ:ꢀꢀ
6
ꢂ6ꢂꢁ
NguyꢀnꢁPhúꢁKhánhꢁꢂðàꢁLꢃtꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁBàiꢁtꢄpꢁvꢅnꢁñꢆꢁliênꢁquanꢁHàmꢁsꢇꢁlꢈpꢁ12ꢁ
ꢁ
ꢁ
ꢁ
3
− x
ꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀmꢙiꢀkhoꢄngꢀxácꢀñꢎnhꢀcꢃaꢀnóꢀ.ꢀ
a)ꢀHàmꢀsꢁꢀy =
b)ꢀHàmꢀsꢁꢀy =
1
+ 2x
2
2x + 3x
ꢀñꢑngꢀꢀbiꢒnꢀtrênꢀmꢙiꢀkhoꢄngꢀxácꢀñꢎnhꢀcꢃaꢀnóꢀ.ꢀ
x + 1
2
2
c) ꢀHàmꢀsꢁꢀy = −x + x + 8 ꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀ
ℝ .ꢀ
2
d)ꢀHàmꢀsꢁꢀy = x + cos x ꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀ
ℝ .ꢀ
7
.ꢁChꢆngꢀminhꢀrꢈngꢀ:ꢀꢀ
2
a)ꢀHàmꢀsꢁꢀy = 2x − x ꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀñoꢌnꢀ 1;2
ꢀ
2
b)ꢀHàmꢀsꢁꢀy = x − 9 ꢀñꢑngꢀꢀbiꢒnꢀtrênꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀ 3;+∞
ꢀ
)
4
c) ꢀHàmꢀsꢁꢀy = x + ꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀmꢙiꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀꢀ −2;0 vàꢀ 0;2
ꢀ
)
(
x
x
d)ꢀHàmꢀsꢁꢀy =
ꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀkhoꢄngꢀ −1;1 ,ꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀmꢙiꢀkhoꢄngꢀ −∞;−1 ꢀvàꢀ
(
)
(
)
2
x + 1
1
;+∞ .ꢀ
(
)
2
8
.ꢁChoꢀhàmꢀsꢁꢀy = 2x x − 2
ꢀ
a)Chꢆngꢀminhꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀ 2;+∞
ꢀ
)
2
b)Chꢆngꢀminhꢀrꢈngꢀphươngꢀtrìnhꢀ2x x − 2 = 11cóꢀnghiꢂmꢀduyꢀnhꢅtꢀ.ꢀ
Hưꢓngꢀdꢞnꢀ:ꢀ
x 5x − 8
(
)
a) y ' =
> 0,∀x ∈ 2;+∞ .ꢀDoꢀñóꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀ 2;+∞
ꢀ
(
)
)
x − 2
b)Hàmꢀsꢁꢀxácꢀñꢎnhꢀvàꢀliênꢀtꢕcꢀtrênꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀ 2;+∞ ,ꢀdoꢀñóꢀcũngꢀliênꢀtꢕcꢀtrênꢀñoꢌnꢀ 2;3,
ꢀ
)
y 0 < 11 < y 3 nênꢀtheoꢀñꢎnhꢀlýꢀgiáꢀtrꢎꢀtrungꢀgianꢀcꢃaꢀhàmꢀsꢁꢀliênꢀtꢕc,ꢀtꢑnꢀtꢌiꢀsꢁꢀthꢚcꢀc ∈ 2;3 saoꢀ
(
)
( )
(
)
choꢀy c = 11 .ꢀSꢁꢀthꢚcꢀc ∈ 2;3 làꢀ1ꢀnghiꢂmꢀcꢃaꢀphươngꢀtrìnhꢀñãꢀchoꢀvàꢀvìꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀnꢊaꢀ
(
)
(
)
khoꢄngꢀ 2;+∞ nênꢀc ∈ 2;3 ꢀlàꢀnghiꢂmꢀduyꢀnhꢅtꢀcꢃaꢀphươngꢀtrìnhꢀ.ꢀ
)
(
)
2
9
.ꢁChoꢀhàmꢀsꢁꢀy = sin x + cosx .ꢀ
π
3
π
3
a)ꢀChꢆngꢀminhꢀrꢈngꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀñoꢌnꢀ 0;
vàꢀnghꢎchꢀbiꢒtꢀtrênꢀñoꢌn
;
π
.ꢀ
2
b)Chꢆngꢀminhꢀrꢈngꢀvꢓiꢀmꢐiꢀm ∈ −1;1 ,ꢀphươngꢀtrìnhꢀ sin x + cosx = m cóꢀnghiꢂmꢀduyꢀnhꢅtꢀthuꢋcꢀ
(
)
π .ꢀ
ñoꢌnꢀ 0;
Hưꢓngꢀdꢞnꢀ:ꢀ
π
3
π
3
a)ꢀChꢆngꢀminhꢀrꢈngꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀñoꢌnꢀ 0;
vàꢀnghꢎchꢀbiꢒtꢀtrênꢀñoꢌn
;
π
.ꢀ
Hàmꢀsꢁꢀliênꢀtꢕcꢀtrênꢀñoꢌnꢀ 0;
π
ꢀvàꢀy ' = sinx 2cosx − 1 ,x ∈ 0;
π
ꢀ
(
)
(
)
ꢂ7ꢂꢁ
NguyꢀnꢁPhúꢁKhánhꢁꢂðàꢁLꢃtꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁBàiꢁtꢄpꢁvꢅnꢁñꢆꢁliênꢁquanꢁHàmꢁsꢇꢁlꢈpꢁ12ꢁ
ꢁ
ꢁ
ꢁ
1
π
3
Vìꢀx ∈ 0;
π
⇒ sinx > 0 nênꢀtrongꢀkhoꢄngꢀ 0;
π
: f ' x = 0 ⇔ cosx = ⇔ x =
ꢀ
(
)
(
)
( )
2
π
3
π
3
•
y ' > 0,∀x ∈ 0;
nênꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀñoꢌnꢀ 0;
ꢀ
ꢀ
π
3
π
•
y ' < 0,∀x ∈
;
π
ꢀnênꢀhàmꢀsꢁꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀñoꢌnꢀ
;π
3
ꢀ
2
b)Chꢆngꢀminhꢀrꢈngꢀvꢓiꢀmꢐiꢀm ∈ −1;1 ,ꢀphươngꢀtrìnhꢀ sin x + cosx = m cóꢀnghiꢂmꢀduyꢀnhꢅtꢀthuꢋcꢀ
(
)
ñoꢌnꢀ 0;
π
.ꢀ
π
3
π
3
5
•
•
x ∈ 0;
taꢀcóꢀy 0 ≤ y ≤ y
⇔ 1 ≤ y ≤ ꢀnênꢀphươngꢀtrìnhꢀchoꢀkhôngꢀcóꢀnghiꢂmꢀm ∈ −1;1
ꢀ
( )
(
)
4
π
π
5
x ∈
;
π
taꢀcóꢀ
y
π
( )
≤ y ≤ y
⇔ −1 ≤ y ≤ ꢀ.ꢀTheoꢀñꢎnhꢀlýꢀvꢔꢀgiáꢀtrꢎꢀtrungꢀgianꢀcꢃaꢀhàmꢀsꢁꢀ
3
3
4
5
π
3
liênꢀtꢕcꢀvꢓiꢀ∀m ∈ −1;1 ⊂ −1; ,ꢀtꢑnꢀtꢌiꢀmꢋtꢀsꢁꢀthꢚcꢀc ∈
;
π
saoꢀchoꢀy c = 0 .ꢀSꢁꢀ
c
làꢀnghiꢂmꢀ
(
)
( )
4
π
3
2
cꢃaꢀphươngꢀtrìnhꢀ sin x + cosx = m ꢀvàꢀvìꢀhàmꢀsꢁꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀñoꢌnꢀ
;
π
nênꢀtrênꢀñoꢌnꢀnàyꢀ,ꢀ
phươngꢀtrìnhꢀcóꢀnghiꢂmꢀduyꢀnhꢅtꢀ.ꢀ
ꢀ
Vꢘyꢀphươngꢀtrìnhꢀchoꢀcóꢀnghiꢂmꢀduyꢀnhꢅtꢀthuꢋcꢀñoꢌnꢀ 0;
π
.ꢀ
2
1
0.ꢁChoꢀA −1;1 ,B 2;4 làꢀꢀhaiꢀñiꢉmꢀcꢃaꢀparabolꢀy = x .Xácꢀñꢎnhꢀñiꢉmꢀ
C
thuꢋcꢀparabolꢀsaoꢀchoꢀtiꢒpꢀ
(
)
(
)
tuyꢒnꢀtꢌiꢀ
C
vꢓiꢀparabolꢀsongꢀsongꢀvꢓiꢀñưꢟngꢀthꢠngꢀAB .ꢁ
3
1
1
1.ꢁVꢓiꢀgiáꢀtrꢎꢀnàoꢀcꢃaꢀ
a
hàmꢀsꢁꢀ f x = −x + ax ꢀnghꢎchꢀꢀbiꢒnꢀtrên
ℝ
.ꢀ
(
)
2.ꢁVꢓiꢀgiáꢀtrꢎꢀnàoꢀcꢃaꢀ
m
,ꢀcácꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀmꢙiꢀkhoꢄngꢀxácꢀñꢎnhꢀcꢃaꢀnóꢀ?ꢀ
2
m
−2x + m + 2 x − 3m + 1
(
)
a) y = x + 2 +
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
b) y =
ꢀ
x − 1
x − 1
Hưꢓngꢀdꢞnꢀ:ꢀ
m
m
a)y = x + 2 +
⇒ y ' = 1 −
,x ≠ 1ꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
2
x − 1
x − 1
(
)
•
•
m ≤ 0 ꢀthìꢀy ' > 0;∀x ≠ 1 .ꢀDoꢀñóꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀmꢙiꢀkhoꢄngꢀ −∞;1 vàꢀ 1;+∞ .ꢀ
(
)
(
)
2
x − 1 − m
m
(
)
m > 0 ꢀthìꢀy ' = 1 −
=
,x ≠ 1ꢀvàꢀy ' = 0 ⇔ x = 1 ± m .ꢀLꢘpꢀbꢄngꢀbiꢒnꢀthiênꢀtaꢀ
2
2
x − 1
x − 1
(
)
(
)
thꢅyꢀhàmꢀsꢁꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀmꢙiꢀkhoꢄngꢀ 1 − m;1 vàꢀ 1;1 + m ;ꢀdoꢀñóꢀkhôngꢀthoꢄꢀñiꢔuꢀkiꢂnꢀ.ꢀ
(
)
(
)
Vꢘyꢀ:hàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀmꢙiꢀkhoꢄngꢀxácꢀñꢎnhꢀcꢃaꢀnóꢀkhiꢀvàꢀchꢝꢀkhiꢀm ≤ 0
ꢀ
ꢂ8ꢂꢁ
NguyꢀnꢁPhúꢁKhánhꢁꢂðàꢁLꢃtꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁBàiꢁtꢄpꢁvꢅnꢁñꢆꢁliênꢁquanꢁHàmꢁsꢇꢁlꢈpꢁ12ꢁ
ꢁ
ꢁ
ꢀ
ꢁ
Chúꢀýꢀ:ꢀBàiꢀtoánꢀtrênꢀñưꢏcꢀmꢡꢀrꢋngꢀnhưꢀsauꢀꢀ
a1)Tìmꢀgiáꢀtrꢎꢀcꢃaꢀ
m
ñꢉꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀ −∞;−1
ꢀ
(
)
ꢀ
a2) Tìmꢀgiáꢀtrꢎꢀcꢃaꢀ
a3)Tìmꢀgiáꢀtrꢎꢀcꢃaꢀ
a4 )Tìmꢀgiáꢀtrꢎꢀcꢃaꢀ
m
m
m
ñꢉꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀ 2;+∞
(
)
ñꢉꢀhàmꢀsꢁꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀtrongꢀkhoꢄngꢀcóꢀñꢋꢀdàiꢀbꢈngꢀ2.ꢀ
ñꢉꢀhàmꢀsꢁꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀmꢙiꢀkhoꢄngꢀ 0;1 vàꢀ 1;2 .ꢀ
(
)
(
)
2
a5)Gꢐiꢀꢀx1 < x2 làꢀhaiꢀnghiꢂmꢀcꢃaꢀphươngꢀtrìnhꢀꢀ x − 1 − m = 0 .ꢀTìmꢀ
m ꢀñꢉꢀ:ꢀ
(
)
a ) x = 2x
ꢀ
a ) x < 3x
ꢀ
a ) x + 3x < m + 5
ꢀ
a ) x − 5x ≥ m − 12 ꢀ
5.4 1 2
5
.1
1
2
5.2
1
2
5.3
1
2
ꢀ
2
−
2x + m + 2 x − 3m + 1
(
)
1 − 2m
x − 1
2m − 1
b) y =
= −2x + m +
⇒ y ' = −2 +
ꢀ
2
x − 1
x − 1
(
)
1
•
•
m ≤ ⇒ y ' < 0,x ≠ 1,ꢀhàmꢀsꢁꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀmꢙiꢀkhoꢄngꢀ −∞;1 và 1;+∞
ꢀ
(
)
(
)
2
1
m > ꢀphươngꢀtrìnhꢀy ' = 0 cóꢀhaiꢀnghiꢂmꢀx < 1 < x ⇒ hàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀmꢙiꢀkhoꢄngꢀ
1
2
2
x ;1 và 1;x ,ꢀtrưꢟngꢀhꢏpꢀnàyꢀkhôngꢀthꢇaꢀ.ꢀ
(
)
(
)
1
2
1
3.ꢁVꢓiꢀgiáꢀtrꢎꢀnàoꢀcꢃaꢀ
m
,ꢀcácꢀhàmꢀsꢁꢀnghꢎchꢀꢀbiꢒnꢀtrênꢀ
ℝ
ꢀ
ꢀ
1
3
2
a) y = − x + 2x + 2m + 1 x − 3m + 2 ꢀꢀ
(
)
3
Hưꢓngꢀdꢞnꢀ:ꢀ
1
3
2
2
a)y = − x + 2x + 2m + 1 x − 3m + 2 ⇒ y ' = −x + 4x + 2m + 1, ꢀ ' = 2m + 5
ꢀ
(
)
3
5
2
•
m = − ꢀthìꢀy ' = − x − 2 ≤ 0 ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx ∈
ℝ
,y ' = 0 chꢝꢀtꢌiꢀñiꢉmꢀx = 2 .ꢀDoꢀñóꢀhàmꢀsꢁꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀ
(
)
2
trênꢀ
ℝ .ꢀ
5
•
•
m < − hay ꢀ ' < 0 thìꢀy ' < 0,∀x ∈
ℝ
.ꢀDoꢀñóꢀhàmꢀsꢁꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀ
ℝ
.ꢀ
(
)
2
5
m > − hay ꢀ ' > 0 thìꢀy ' = 0 ꢀcóꢀhaiꢀnghiꢂmꢀx1,x2 x < x .ꢀHàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀkhoꢄngꢀ
(
)
(
1 )
2
2
x ;x .ꢀTrưꢟngꢀhꢏpꢀnàyꢀkhôngꢀthꢇaꢀmãnꢀ.ꢀ
(
)
1
2
ꢀ
Ngoàiꢀraꢀtaꢀcóꢀthꢉꢀtrìnhꢀbàyꢀ:ꢀHàmꢀsꢁꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀ
ℝ ꢀkhiꢀvàꢀchꢝꢀkhiꢀ
a = −1 < 0
5
2
⇔
2m + 5 ≤ 0 ⇔ m ≤ −
ꢀ
ꢀ
' ≤ 0
5
2
Vꢘyꢀhàmꢀsꢁꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀ
ℝ
ꢀkhiꢀvàꢀchꢝꢀkhiꢀ m ≤ −
ꢀ
ꢂ9ꢂꢁ
NguyꢀnꢁPhúꢁKhánhꢁꢂðàꢁLꢃtꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁBàiꢁtꢄpꢁvꢅnꢁñꢆꢁliênꢁquanꢁHàmꢁsꢇꢁlꢈpꢁ12ꢁ
ꢁ
ꢁ
ꢁ
Chúꢀýꢀ:ꢀBàiꢀtoánꢀtrênꢀñưꢏcꢀmꢡꢀrꢋngꢀnhưꢀsauꢀꢀ
a1)Tìmꢀgiáꢀtrꢎꢀcꢃaꢀ
m
ñꢉꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀ −2;−1
ꢀ
(
)
a2) Tìmꢀgiáꢀtrꢎꢀcꢃaꢀ
a3)Tìmꢀgiáꢀtrꢎꢀcꢃaꢀ
a4 )Tìmꢀgiáꢀtrꢎꢀcꢃaꢀ
m
m
m
ñꢉꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀ 0;1 vàꢀ 2;3
ꢀ
(
)
(
)
ñꢉꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀꢀbiꢒnꢀtrongꢀkhoꢄngꢀcóꢀñꢋꢀdàiꢀbꢈngꢀ1.ꢀ
ñꢉꢀhàmꢀsꢁꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀkhoꢄngꢀ 0;1 .ꢀ
(
)
1
2
3
2
1
4.ꢁChoꢀhàmꢀsꢁꢀ f x = x + m − 1 x + 2m − 3 x −
ꢀ
3
(
)
(
)
(
)
ꢀ
3
m
a) Vꢓiꢀgiáꢀtrꢎꢀnàoꢀcꢃaꢀ
,ꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀ
ℝ
b) Vꢓiꢀgiáꢀtrꢎꢀnàoꢀcꢃaꢀ
m ,ꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀ:ꢀ
b ) −∞;−1
ꢀ
b4 ) −1;0
ꢀ
b ) 1;+∞
ꢀ
b ) −1;1
ꢀ
(
)
(
)
(
1
2
3
1
5.ꢁChoꢀhàmꢀsꢁꢀ f x = 2sinx + tanx − 3x
ꢀ
(
)
π
2
a)ꢀChꢆngꢀminhꢀrꢈngꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀ 0;
.ꢀ
π
2
b)Chꢆngꢀminhꢀrꢈngꢀ2 sinx + tanx > 3x ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx ∈ 0;
.ꢀ
Hưꢓngꢀdꢞnꢀ:ꢀ
π
2
a)ꢀChꢆngꢀminhꢀrꢈngꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀnꢢaꢀkhoꢄngꢀ 0;
ꢀ
π
2
Hàmꢀsꢁꢀ f x = 2sinx + tanx − 3x liênꢀtꢕcꢀtrênꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀ 0;
ꢀvàꢀcóꢀñꢌoꢀhàmꢀ
(
)
2
3
2
1
− cosx 2cosx + 1
1
2cos x + 1 − 3cos x
(
) (
)
π
2
f ' x = 2cosx +
− 3 =
=
> 0,∀x ∈ 0;
ꢀ
(
)
2
2
2
cos x
cos x
cos x
π
2
Doꢀñóꢀhàmꢀsꢁꢀ f x = 2sinx + tanx − 3x ꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀ 0;
ꢀ
(
)
π
2
b)Chꢆngꢀminhꢀrꢈngꢀ2 sinx + tanx > 3x ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx ∈ 0;
ꢀ
π
2
Hàmꢀsꢁꢀ f x = 2sinx + tanx − 3x ꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀ 0;
ꢀvàꢀ
(
)
π
2
π
2
f x ≥ f 0 = 0,∀x ∈ 0;
;ꢀdoꢀñóꢀ2 sinx + tanx − 3x > 0 ꢀmꢐiꢀx ∈ 0;
ꢀhayꢀ
(
)
( )
π
2
2
sinx + tanx > 3x ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx ∈ 0;
ꢀ
1
6.ꢁꢁ
ꢂ10ꢂꢁ
NguyꢀnꢁPhúꢁKhánhꢁꢂðàꢁLꢃtꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁBàiꢁtꢄpꢁvꢅnꢁñꢆꢁliênꢁquanꢁHàmꢁsꢇꢁlꢈpꢁ12ꢁ
ꢁ
ꢁ
ꢁ
π
2
a)ꢀChꢆngꢀminhꢀrꢈngꢀꢀ tanx > x ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx ∈ 0;
.ꢀ
3
x
π
2
b)Chꢆngꢀminhꢀrꢈngꢀ tanx > x +
ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx ∈ 0;
.ꢀ
3
Hưꢓngꢀdꢞnꢀ:ꢀ
π
2
a)ꢀChꢆngꢀminhꢀrꢈngꢀꢀhàmꢀsꢁꢀ f x = tanx − x ñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀ 0;
.ꢀ
(
)
π
2
Hàmꢀsꢁꢀ f x = tanx − x ꢀliênꢀtꢕcꢀtrênꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀ 0;
ꢀvàꢀcóꢀñꢌoꢀhàmꢀ
(
)
1
π
2
2
f ' x =
− 1 = tan x > 0,∀x ∈ 0;
.ꢀ
(
)
2
cos x
π
2
π
2
Doꢀñóꢀhàmꢀsꢁꢀ f x = tanx − x ñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀ 0;
ꢀvàꢀ f x > f 0 = 0,∀x ∈ 0;
ꢀ
(
)
( )
( )
hayꢀ tanx > x .ꢀ
3
x
π
2
b)Chꢆngꢀminhꢀrꢈngꢀ tanx > x +
ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx ∈ 0;
.ꢀ
3
3
x
π
2
Xétꢀhàmꢀsꢁꢀg x = tanx − x −
ꢀtrênꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀ 0;
.ꢀ
(
)
3
3
x
π
Hàmꢀsꢁꢀg x = tanx − x −
ꢀliênꢀtꢕcꢀtrênꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀ 0;
ꢀvàꢀcóꢀñꢌoꢀhàmꢀ
(
)
3
2
1
π
2
2
2
2
g ' x =
− 1 − x = tan x − x = tanx − x tanx + x > 0,∀x ∈ 0;
ꢀcâuꢀa)
ꢀ
(
)
(
)(
)
2
cos x
3
x
π
2
Doꢀñóꢀhàmꢀsꢁꢀg x = tanx − x −
ñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀ 0;
ꢀvàꢀ
(
)
3
3
π
2
x
π
2
g x > g 0 = 0,∀x ∈ 0;
ꢀhayꢀ tanx > x +
ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx ∈ 0;
.ꢀ
(
)
( )
3
4
π
4
1
7.ꢁChoꢀhàmꢀsꢁꢀꢁ f x = x − tanx ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx ∈ 0;
ꢁ
(
)
π
π
4
a)ꢀXétꢀchiꢔuꢀbiꢒnꢀthiênꢀcꢃaꢀhàmꢀsꢁꢀtrênꢀñoꢌnꢀ 0;
.ꢀ
4
π
4
b)ꢀTꢣꢀñóꢀsuyꢀraꢀrꢈngꢀ x ≥ tanx ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx ∈ 0;
.ꢀ
π
Hưꢓngꢀdꢞnꢀ:ꢀ
π
4
a)ꢀXétꢀchiꢔuꢀbiꢒnꢀthiênꢀcꢃaꢀhàmꢀsꢁꢀtrênꢀñoꢌnꢀ 0;
.ꢀ
ꢂ11ꢂꢁ
NguyꢀnꢁPhúꢁKhánhꢁꢂðàꢁLꢃtꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁBàiꢁtꢄpꢁvꢅnꢁñꢆꢁliênꢁquanꢁHàmꢁsꢇꢁlꢈpꢁ12ꢁ
ꢁ
ꢁ
ꢁ
4
π
4
Hàmꢀsꢁꢀꢁ f x = x − tanx ꢀliênꢀtrꢕcꢀtrênꢀñoꢌnꢀ 0;
ꢀvàꢀcóꢀñꢌoꢀhàmꢀ
(
)
π
4
1
4 −
π
π
π
4
4 − π
π
2
f ' x =
−
=
− tan x,∀x ∈ 0;
,
f ' x = 0 ⇔ tanx =
ꢀ
(
)
( )
2
π
cos x
4
−
π
π
π
4
π
4
4 − π
π
Vìꢀ0 <
< 1 = tan ꢀnênꢀtꢑnꢀtꢌiꢀmꢋtꢀsꢁꢀduyꢀnhꢅtꢀc ∈ 0;
ꢀsaoꢀchoꢀ tanc =
ꢀ
•
•
f ' x > 0,x ∈ 0;c ⇒hàmꢀsꢁꢀ f x ñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀñoꢌnꢀx ∈ 0;c
ꢀ
(
)
(
)
( )
π
π
4
f ' x < 0,x ∈ c;
⇒
ꢀhàmꢀsꢁꢀ f x nghꢎchꢀꢀbiꢒnꢀtrênꢀñoꢌnꢀx ∈ c;
ꢀ
(
)
( )
4
π
4
4
4
π
4
b)Dꢜꢀthꢅyꢀ 0 ≤ f x ≤ f c ;∀x ∈ 0;
⇒
x − tanx ≥ 0 hay
x ≥ tanx ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx ∈ 0;
.ꢀ
(
)
( )
π
π
1
8.ꢁChꢆngꢀminhꢀrꢈngꢀcácꢀbꢅtꢀñꢠngꢀthꢆcꢀsauꢀ:ꢀ
a)
ꢀ
sinx < x ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx > 0 ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ,ꢀsinx > x ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx < 0 ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
2
x
b)
ꢀ
cosx > 1 − ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx ≠ 0
ꢀ
2
3
3
x
ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx < 0 ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
x
c) sinx > x − ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx > 0 ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ,ꢀsinx < x −
6
6
π
2
d) sinx + tanx > 2x ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx ∈ 0;
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
Hưꢓngꢀdꢞnꢀ:ꢀ
a)ꢀsinx < x ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx > 0 ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ.ꢀ
π
2
Hàmꢀsꢁꢀ f x = x − sinx liênꢀtꢕcꢀtrênꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀ 0;
ꢀvàꢀcóꢀñꢌoꢀhàmꢀ
(
)
x
π
2
π
2
2
f ' x = 1 − cosx = 2 sin
> 0,∀x ∈ 0;
.ꢀDoꢀñóꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀ 0;
vàꢀtaꢀcóꢀ
(
)
2
π
2
π
2
π
2
f x > f 0 = 0,∀x ∈ 0;
,ꢀtꢆcꢀlàꢀx − sinx > 0,∀x ∈ 0;
hay x > sinx,∀x ∈ 0;
.ꢀ
(
)
( )
2
x
b)
ꢀ
cosx > 1 − ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx ≠ 0
ꢀ
2
2
x
Hàmꢀsꢁꢀ f x = cosx − 1 +
liênꢀtꢕcꢀtrênꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀ 0;+∞ ꢀvàꢀcóꢀñꢌoꢀhàmꢀ f ' x = x − sinx > 0
ꢀ
(
)
)
( )
2
vꢓiꢀꢀmꢐiꢀx > 0 (ꢀtheoꢀcâuꢀaꢀ).ꢀDoꢀñóꢀhàmꢀsꢁꢀ f x ñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀ 0;+∞ vàꢀtaꢀcóꢀ
(
)
)
2
x
f x > f 0 = 0,∀x > 0 ,ꢀtꢆcꢀlàꢀ cosx − 1 +
> 0,∀x > 0ꢀ
(
)
( )
2
ꢂ12ꢂꢁ
NguyꢀnꢁPhúꢁKhánhꢁꢂðàꢁLꢃtꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁBàiꢁtꢄpꢁvꢅnꢁñꢆꢁliênꢁquanꢁHàmꢁsꢇꢁlꢈpꢁ12ꢁ
ꢁ
ꢁ
ꢁ
2
2
x
> 0,∀x < 0 hay cosx − 1 + > 0,∀x < 0
−
x
(
)
Vꢓiꢀmꢐiꢀx < 0 ,ꢀtaꢀcóꢀ cos −x − 1 +
ꢀ
(
)
2
2
2
x
Vꢘyꢀcosx > 1 − ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx ≠ 0
ꢀ
2
3
x
c) Hàmꢀsꢁꢀ f x = x −
− sinx .ꢀTheoꢀcâuꢀbꢀthìꢀ f ' x < 0,∀x ≠ 0.ꢀDoꢀñóꢀhàmꢀsꢁꢀnghꢎchꢀbiꢒnꢀtrênꢀ
ℝ
.ꢀ
(
)
( )
6
f x > f 0 khi x < 0
( )
( )
Vàꢀ
ꢀ
f x < f 0 khi x > 0
(
)
( )
π
2
d) sinx + tanx > 2x ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx ∈ 0;
ꢀ
π
2
Hàmꢀsꢁꢀ f x = sinx + tanx − 2x ꢀliênꢀtꢕcꢀtrênꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀ 0;
ꢀvàꢀcóꢀñꢌoꢀhàmꢀ
(
)
1
1
π
2
2
f ' x = cosx +
− 2 > cos x +
− 2 > 0,∀x ∈ 0;
.ꢀꢀDoꢀñóꢀhàmꢀsꢁꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀnꢊaꢀ
(
)
2
2
cos x
cos x
π
2
π
2
khoꢄngꢀ 0;
vàꢀtaꢀcóꢀ f x > f 0 = 0,∀x ∈ 0;
ꢀ
( )
( )
1
9.ꢀChꢆngꢀminhꢀrꢈngꢀ:ꢀx > ln 1 + x ,∀x > 0
ꢀ
(
)
Hưꢓngꢀdꢞnꢀ:ꢀ
Hàmꢀsꢁꢀ f x = x − ln 1 + x ꢀxácꢀñꢎnhꢀvàꢀliênꢀtꢕcꢀtrênꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀ 0;+∞ ꢀvàꢀcóꢀñꢌoꢀhàmꢀ
(
)
(
)
)
1
f ' x = 1 −
> 0ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx > 0 ꢀ.ꢀDoꢀñóꢀhàmꢀsꢁꢀ f x ꢀñꢑngꢀbiꢒnꢀtrênꢀnꢊaꢀkhoꢄngꢀ 0;+∞ ,ꢀhơnꢀ
(
)
( )
)
x + 1
nꢢaꢀ f x > f 0 = 0 ꢀvꢓiꢀmꢐiꢀx > 0
ꢀ
(
)
( )
Hayꢀx > ln 1 + x ,∀x > 0
ꢀ
(
)
ꢀ
ꢂ13ꢂꢁ
© 2024 - nslide
Website chạy thử nghiệm. Thư viện tài liệu miễn phí mục đích hỗ trợ học tập nghiên cứu , được thu thập từ các nguồn trên mạng internet ... nếu tài liệu nào vi phạm bản quyền, vi phạm pháp luật sẽ được gỡ bỏ theo yêu cầu, xin cảm ơn độc giả