Bài 2. Tính đơn điệu của hàm số

BÀI 2. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. y f (x) đồng biến / (a, b) (x) x(a, b) đồng thời (x) 0 tại một số hữu hạn điểm (a, b).

2. y f (x) nghịch biến / (a, b) (x) 0 x(a, b) đồng thời (x) 0 tại một số hữu hạn điểm (a, b).

Chú ý: Trong chương trình phổ thông, khi sử dụng 1., 2. cho các hàm số một quy tắc có thể bỏ điều kiện (x) 0 tại một số hữu hạn điểm (a, b).

CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

Bài 1.      Tìm m để nghịch biến trên [1, )

Giải: Hàm số nghịch biến trên [1, )

. Ta có:

u(x) đồng biến trên [1, )  

Bài 2.      Tìm m để đồng biến trên (0, 3)

Giải. Hàm số tăng trên (0,3) (1)

Do liên tục tại x 0 và x 3 nên (1) y 0 x[0, 3]

. Ta có:

g(x) đồng biến trên [0, 3]

Bài 3.      Tìm m để đồng biến trên

Giải: Hàm số tăng / (1)

Ta có:

;

Từ BBT .

Bài 4. đồng biến /

Giải: Hàm số tăng trên

Ta có nên có 2 nghiệm

BPT g(x) 0 có sơ đồ miền nghiệm G là:

Ta có đúng

Bài 5. Tìm m để đồng biến trên

Giải: Hàm số đồng biến trên

 Cách 1: Phương pháp tam thức bậc 2

Ta có: suy ra g(x) 0 có 2 nghiệm .

BPT g(x) 0 có sơ đồ miền nghiệm G là:

Ta có g(x) 0 đúng x(1, )

Cách 2: Phương pháp hàm số

Ta có: g(x) 4(x m) 4(x 1) > 0  x > 1 g(x) đồng biến trên  [1, )

Do đó

Bài 6. Tìm m để giảm

Giải: Yêu cầu bài toán

. Do đồ thị là một đoạn thẳng nên ycbt

Bài 7. Tìm m để hàm số tăng với mọi

Giải: Yêu cầu bài toán

, với

Ta có

Lập BBT suy ra yêu cầu bài toán .

Bài 8. Cho hàm số .

Tìm m để khoảng nghịch biến của hàm số độ dài bằng 4

Giải. Xét . Do nên có 2 nghiệm . Khoảng nghịch biến của hàm số độ dài bằng 4 . Ta có

kết hợp với suy ra


B. ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I. DẠNG 1: ỨNG DỤNG TRONG PT, BPT, HỆ PT, HỆ BPT

Bài 1.       Giải phương trình: .

Giải. Điều kiện: . Đặt .

Ta có: f (x) đồng biến trên .

Mặt khác f (1) 0 nên phương trình f (x) 0 có nghiệm duy nhất x 1.

Bài 2.       Giải phương trình:   

Giải. Bất phương trình 0   (1).

+ Nếu thì f (x) < 0 (1) vô nghiệm.

+ Nếu thì

f (x) đồng biến trên f (1) 0 nên (1) có đúng 1 nghiệm x 1

Bài 3.       Giải bất phương trình:    (*)

Giải. Điều kiện . Đặt

Ta có:

f (x) đồng biến trên . Mà  f (3) 8 nên (*) f (x) < f (3) x < 3.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là

Bài 4.       Giải PT:    (*)

Giải. (*)

Ta có f (x) đồng biến và g(x) 6x2 10x 7 < 0  x g(x) nghịch biến.

Nghiệm của f (x) g(x) là hoành độ giao điểm của .

Do f (x) tăng; g(x) giảm nên (*) có nghiệm duy nhất x 1.

Bài 5.     Tìm số m Max để (*)

Giải. Đặt , khi đó (*)

. Do

nên f (t) đồng biến /

Bài 6.     Giải phương trình

(*)

Xét . Ta có . Suy ra đồng biến. (*)

Bài 7. Tìm thỏa mãn hệ

Giải. .

Xét hàm số đặc trưng . Ta có .

Suy ra đồng biến trên . Khi đó

Bài 8. Giải hệ phương trình (*)

Giải. Xét với f (t) tăng.

Không mất tính tổng quát giả sử x y z

x y z   1

Bài 9. Giải hệ bất phương trình

Giải. . Đặt . Ta có:

giảm và


II. DẠNG 2: ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Bài 1. Chứng minh rằng:  x > 0

Giải x > 0   x > 0

Ta có x > 0

đồng biến [0, +) x > 0

đồng biến [0, +) = 0  x > 0

đồng biến [0, + f(x) > f(0) = 0     x > 0  (đpcm)

x > 0 g(x) =   x > 0

Ta có g(x) = g(x) = = f(x) > 0  x > 0

g(x) đồng biến [0, +) g(x) > g(0) = 0  x > 0

g(x) đồng biến  [0, +)   g(x) > g (0)  = 0   x > 0  (đpcm)

Bài 2. Chứng minh rằng:   

Giải.     x . Xét biểu thức đạo hàm , ở đây kí hiệu g(x) = x cosx sinx

Ta có g(x) = cosx xsinx cosx xsinx < 0  x

g(x) giảm trên g(x) < g(0) = 0

x f (x) giảm trên

Bài 3. Chứng minh rằng:         x > y > 0

Giải. Do x > y > 0,  lnx > lny lnx lny > 0, nên biến đổi bất đẳng thức

với >1

t >1. Ta có  t >1

f(t) đồng biến [1, +) f(t) > f(1) = 0  t >1 (đpcm)

Bài 4. Chứng minh rằng:         (1)

Giải. Xét hai khả năng sau đây:

+ Nếu y > x thì (1)

+ Nếu y < x thì (1)

Xét hàm đặc trưng  f(t) = với t(0, 1).

Ta có t(0,1) f(t) đồng biến (0, 1)

f(y) > f(x) nếu y > x f(y) < f(x) nếu y < x (đpcm)

Bài 5. Chứng minh rằng:            a > b e

Giải. ab < ba    lnab < lnba     blna < alnb  .

Xét hàm đặc trưng f(x) =   x e.

Ta có   f(x) nghịch biến [e, +)

  f(a) < f(b     ab < ba

Bài 6. (Đề  TSĐH khối D, 2007)

Chứng minh rằng

Giải. Biến đổi bất đẳng thức

.

Xét hàm số đặc trưng cho hai vế với . Ta có giảm trên

Bài 7. (Bất đẳng thức Nesbitt)  

Chứng minh rằng    a, b, c > 0    (1)

Giải. Không mất tính tổng quát, giả sử a b c. Đặt x = a x b c > 0.

Ta có (1)  f (x) =    với x b c > 0

f(x) đồng biến [b, +     (2)

Đặt  x = b  x c > 0, xét hàm số g(x) =   với x c > 0

c > 0 g(x) đồng biến [c, +)   (3)

Từ (2), (3) suy ra      a, b, c > 0

Bình luận: Bất đẳng thức Nesbitt ra đời năm 1905 là một bất đẳng thức rất nổi tiếng trong suốt thế kỷ 20. Trên đây là một cách chứng minh bất đẳng thức này trong  45 cách chứng minh. Bạn đọc có thể xem tham khảo đầy đủ các cách chứng minh trong cuốn sách: “Những viên kim cương trong bất đẳng thức Toán học” của tác giả do NXB Tri thức phát hành tháng 3/2009.

1

 

nguon VI OLET