I. Hàm số đơn điệu : 1. Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập (D là khoảng, đoạn, nửa khoảng trong R) + f(x) gọi là đồng biến trên D nếu : thì + f(x) gọi là nghịch biến trên D nếu : thì + Hàm số f(x) đồng biến hay nghịch biến trên D gọi chung là ĐƠN ĐIỆU trên D.
2. Điều kiện cho hàm số đơn điệu a. Điều kiện cần : Cho y = f(x) có đạo hàm trên miền D. + Nếu f(x) đồng biến trên D thì : + Nếu f(x) nghịch biến trên D thì : b. Điều kiện đủ : Cho y = f(x) khả vi (có đạo hàm) trên miền D. + Nếu và f’(x) = 0 tại hữu hạn điểm trên D thì f(x) đồng biến trên D + Nếu và f’(x) = 0 tại hữu hạn điểm trên D thì f(x) nghịch biến trên D
* Nhận xét: + Các hàm số đa thức, phân thức và hàm số chứa căn mà ta xét thường chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm nên ta chỉ quan tâm đến dấu của đạo hàm là chủ yếu. + Các hàm số lượng giác tuần hoàn nên chỉ cần xét dấu đạo hàm trên một chu kì.
II. Vận dụng hai định lý trên xét tính đơn điệu của hàm số 1. Dạng 1. Xét tính đơn điệu Các bước thực hiện : + Tìm tập xác định của hàm số + Tính đạo hàm f’(x), giải phương trình f’(x) = 0 và tìm các giá trị của x mà f’(x) không xác định + Lập bảng biến thiên (xét dấu đạo hàm) rồi kết luận
Ví dụ 1. Xét sự biến thiên của các hàm số sau : a. b. c. Lời giải a. Tập xác định R + + bảng biến thiên :
Suy ra Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và ; nghịch biến trên các khoảng và (0; 1). b. Tập xác định + + Bảng biến thiên :
Suy ra Hàm số đồng biến trên D. c. Tập xác định R; hàm số tuần hoàn với chu kỳ , chỉ cần xét trên đoạn có độ dài bằng , chẳng hạn + ; + Bảng biến thiên : Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng và ; đồng biến trên các khoảng và
Bài tập áp dụng : Bài 1. Xét sự biến thiên của các hàm số sau : a. c. d. Bài 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau : a. b. c.
2. Dạng 2. Các bài toán chứa tham số
* Lưu ý : Với các bài toán tìm tham số, thường đòi hỏi tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng nào đó. Thông thường có thể vận dụng điều kiện tam thức bậc hai để giải quyết. Tuy nhiên, hiện nay định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2 không còn được trình bày trong chương trình phổ thông, do vậy, để xử lý trường hợp trên ta có thể vận dụng các hướng sau :
Hướng 1. Đạo hàm thu được chứa tham số chỉ có một bậc, ta có thể cô lập tham số về một vế trong bất phương trình : hoặc , để đưa được về dạng : hoặc . Tiếp đó lập bảng biến thiên của g(x) và tìm điều kiện tương ứng.
Hướng 2. Thông thường các bất phương trình : hoặc là bậc 2, ta có thể sử dụng tính chất min, max của hàm số bậc 2 như sau : Cho hàm số , trên . Khi đó ta có :
+ Nếu thì
+ Nếu thì Ví dụ 1. Tìm m để hàm số : đồng biến trên R Lời giải + ta có ; hàm số đồng biến trên R khi (1) + f’(x) là tam thức bậc 2 với hệ số a = 1 > 0 nên điều kiện (1) tương đương với ; giải điều kiện ta được . * Nhận xét : Có thể thấy điều kiện (1) tương đương với : , điều này có được do tính chất của hàm số bậc 2 với hệ số a = 1 > 0, trên R thì đạt min tại đỉnh, mà điều kiện (1) cho thấy min của f’(x) phải không âm. Ví dụ 2. Tìm m để hàm số : đồng biến trên (0; 3) Lời giải + Chú ý rằng f(x
nguon VI OLET
