TINH DON DIEU CUA HAM SO

CHUYÊN ĐỀ 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG

VẤN ĐỀ 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

Bài 1. Xét chiều biến thiên các hàm số sau:

Bài 2. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

Bài 3. Chứng minh rằng:

a)     Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng .

b)    Hàm số   nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng .

Bài 4. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

Bài 4. Chứng minh rằng:

a)     nghịch biến trên R.

b)    đồng biến trên R.

Giải:

a) Ta có: và

Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn và có đạo hàm f’(x) < 0 với mọi .

Do đó, hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn .

Vậy hàm nghịch biến trên R.

b) Ta có: f’(x) = 1 – sin2x;

NX: Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn và có đạo hàm f’(x) > 0 với mọi .

Do đó hàm số đồng biến trên mỗi đoạn .

Vậy hàm đồng biến trên R.

VẤN ĐỀ 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MIỀN K

Bài 1

Giải:

TXĐ: R

Ta có: ,

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi .

Bài 2

Giải:

TXĐ: R

Ta có:

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi

• m = 0, khi đó f’(x) = : không thỏa .
• , khi đó  
                                                    

Vậy, với thì thỏa mãn bài toán.

Bài 3

Giải:

TXĐ:

Đạo hàm:

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi

Bài 4

Giải:

TXĐ:

Đạo hàm: . Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi

Bài 5

Giải:

Ta có:

Hàm số đồng trên

(vì x2 – 2x + 3 > 0)

Bài toán trở thành:

Tìm m để hàm số

Ta có

BBT:

Ta cần có: . Đó là các giá trị cần tìm của tham số m.

Bài 6

Giải:

Ta có:

Hàm số nghịch biến trên

Bài toán trở thành: Tìm m để hàm số  

Ta có:

Ta cần có: . Vậy là các giá trị cần tìm của m.

Bài tập tự giải:

Bài 1. Tìm các giá trị của tham số a để hàm số đồng biến trên R

Bài 2. Với giá trị nào của m, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định ?

Bài 3. Định a để hàm số luôn đồng biến trên R ?

ĐS:

Bài 4. Cho hàm số . Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

ĐS:

Bài 5. Cho hàm số . Chứng minh rằng hàm số luôn nghịch biến trên R với mọi m.

Bài 6. Tìm m để hàm số y = 3x3 – 2x2 + mx – 4 đồng biến trên khoảng .

ĐS: .

Bài 7. Tìm m để hàm số y = 4mx3 – 6x2 + (2m – 1)x + 1 tăng trên khoảng (0;2).

ĐS: .

Bài 8. Cho hàm số .

a)  Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
b)  Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng .

VẤN ĐỀ 3:

SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Bài 1

Giải:

a)     Hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng và có . Do đó, hàm số f đồng biến trên nửa khoảng (đpcm).

b)    Từ câu a) suy ra f(x) > f(0) = 0, (đpcm).

Bài 2

Giải:

a)     Hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng và có . Do đó, hàm số f đồng biến trên nửa khoảng .

b)    Từ câu a) suy ra f(x) > f(0) = 0,.
Xét hàm số trên nửa khoảng . Hàm số này liên tục trên nửa khoảng và có đạo hàm , do .
Do đó, hàm số g đồng biến trên nửa khoảng

nên g(x) > g(0) = 0 (đpcm).

Bài 3

Giải:

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

Xét hàm số . Ta có:

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng nên cũng đồng biến trên khoảng . Vậy ta luôn có f(x) > f(1) = 0 với mọi x > 1. Đó cũng là điều phải chứng minh.

Bài tập tự giải:

Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)     và

b)   

c)     và

d)   

e)    

f)      với

Bài 2. Cho hàm số .

a)     Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn .

b)    Từ đó suy ra rằng: .

Bài 3. Chứng minh rằng: với

VẤN ĐỀ 4:

SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ

CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM DUY NHẤT

Bài 1

Giải:

a)     TXĐ: .
Đạo hàm:
Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng .

b)    NX: Hàm số liên tục trên [2;3] và có f(2) = 0, f(3) = 18. Vì 0 < 11 < 18 nên sao cho f(c) = 11. Số thực c là một nghiệm của phương trình và vì f đồng biến trên nên c là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Bài 2

Giải:

a)     Hàm số đã cho liên tục trên và có đạo hàm
                       f’(x) = 2sinxcosx – sinx = sinx(2cosx – 1),
vì khi đó sinx > 0 nên
BBT:

Vậy, hàm số đồng biến trên đoạn và nghịch biến trên đoạn .

a)     Hàm số liên tục trên đoạn và . Theo định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục thì , tồn tại số sao cho f(c) = 0. Số c là nghiệm của phương trình sin2x + cosx = m. Vì hàm f nghịch biến trên nên phương trình có nghiệm duy nhất.
Lại vì ta có nên phương trình đã nêu không có nghiệm với . Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm thuộc .

Bài 3

Giải:

Đặt với

Ta có f(x) là hàm liên tục trên nửa khoảng và có đạo hàm
                               .

Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng . Mặt khác f(-1) = 0, nên x = -1 là một nghiệm của (3) và cũng là nghiệm duy nhất của phương trình này.

Bài 4

Giải:

Điều kiện xác định của phương trình :

Xét hai hàm số và xác định và liên tục trên , ta có:

                và với mọi

Như vậy f(x) là hàm số nghịch biến, còn g(x) là hàm số đồng biến trên . Mặt khác
f(3) = g(3) = 1 nên x = 3 là nghiệm của (4) và đó là nghiệm duy nhất.

Bài 5

Giải:

Điều kiện xác định của phương trình: x > 3. Khi đó:

Xét hai hàm số và là hai hàm xác định và liên tục trên khoảng , ta có:

• f(x) là tổng của hai hàm số đồng biến nên là hàm số đồng biến.
• vì nên g(x) là hàm nghịch biến.

Mặt khác ta có f(11) = g(11) = 5 nên x = 11 là nghiệm của (5) và cũng là nghiệm duy nhất.

Bài 5

Giải:

Đặt t = 5x-2 (t > 0). Khi đó:

Ta có:

• 
• Xét phương trình , ta dễ chứng minh x = 2 là nghiệm duy nhất của nó.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là .

Bài 5 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D-2006)

Giải:

Xét hệ: với điều kiện xác định

Từ (1) y = x + a, thế vào (1) ta được: (3)

Bài toán trở thành chứng minh (3) có nghiệm duy nhất trên khoảng .

Đặt trên khoảng

Ta có f(x) là hàm liên tục trên khoảng và có đạo hàm
                             

Do a > 0 nên với mọi x > -1, ta có:

Như vậy f’(x) > 0 với mọi x > -1 f(x) là hàm số đồng biến trên khoảng

Mặt khác, ta có:

Từ đó ta tính giới hạn: và

Vậy, phương trình (3) có nghiệm duy nhất trên khoảng . Từ đó suy ra đpcm.

Bài tập tự luyện:

Giải các phương trình sau:

a)           ĐS: x = 1

b)     ĐS: x = 7

VẤN ĐỀ 4:

ỨNG DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀO VIỆC BIỆN LUẬN

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1

Giải: