TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I.Định Nghĩa : Giả sử K là một khoảng , đoạn hay nửa khoảng :
.f đồng biến ( tăng ) trên K nếu với mọi 
.
.f nghịch biến ( giảm ) trên K nếu với mọi 
.
.f đồng biến hay nghịch biến trên K gọi là đơn điệu trên K .
II.Điều kiện đơn điệu : Giả sử f hàm số có đạo hàm trên khoảng K khí đó :
.f ’(x)
và f ’(x)=0 chỉ tại hữu hạn điểm của K thì f đồng biến trên K .
.f ’(x)
và f ’(x)=0 chỉ tại hữu hạn điểm của K thì f nghịch biến trên K .
.f ’(x)=0
thì f là hàm hằng trên K .
III.Nhắc lại : Cho tam thức bậc hai 
.
*f có hai nghiệm phân biệt và thỏa :
.
.
.
.
.
.
*
.
*
.
*
có hai trường hợp :
TH1: 
.
TH2: 
khi đó f(x) có hai nhiệm phân biết 
( giả sứ 
).
Nếu a>0 thì 
.
Vậy để 
.
Nếu a<0 thì 
.
Vậy để 
.
*
tương tự .
B.CÁC DẠNG TOÁN
I..Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số :
.Tìm TXD của hàm số .
.Tính f ’ và tìm các nghiệm của f ’ .
.Xét dấu f ’ , chú ý chỉ qua nghiệm bậc lẻ ( bậc 1 ,3,5, . . . ) thì f ’ mới đổi dấu còn
các nghiệm bội bậc chẵn ( 2,4,6, . . . ) thì f’ không đổi dấu .
.Kết luận về chiều biến thiên .
Ví dụ : Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số sau :
a) 
.
.TXD: D=R .
.y’=
y’=0 
.BBT
.Kết luận : Hàm số đồng biến trên các khoảng 
và 
,nghịch biến trên khoảng 
.
Chú ý :
*Do x=0 là ngiệm bổi bậc 4 của y’ lên qua x=0 y’ không đổi dấu .
*Do y’
và trong khoảng thì y’=0 chỉ có nghiệm duy nhất x=0 nên hàm số đồng biến trên .
b) 
.
.TXD : D=[0,2]
.y’=
,y’=0
.
.BBT
.Kết luận : hàm số đồng biến trên khoảng (0,1) ,nghịch biến trên khoảng (1,2) .
c) 
.TXD : D=R\{-1}.
.y’=
.BBT
.Kết luận : Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định .
d) 
.
.TXD : D=R
.y’=
y’=0
(1)
.Ta có 
.
.Nếu 
thì y’
và y’=0 có không quá một nghiệm 
hàm số ngịch biến trên R .
.Nếu 
thì (1) 
.
.BBT
Kết luận
.
thì hàm số ngịch biến trên R .
.
thì hàm số đồng biến trên khoảng 
,nghịch biến trên các khoảng 
và 
.
e) 
.TXD : D=R
.y’=
,y’=0
(1)có 
TH1 : 
(1) VN
.BBT
TH2 : 
.
.BBT
TH3 : 
(1) luôn có 2 nhiệm phân biệt 
.Nếu (1) nhận 0 làm nghiệm 
.
Khi đó y’=0 
.BBT
.Nếu (1) không nhận 0 làm nghiệm 
ta có
.m<0
BBT
.0
BBT
Kết luận :
*Nếu 
hàm số đồng biến trên khoảng 
,hàm số nghiệm biến trên khoảng 
.
*Nếu 
thi hàm số đồng biến trên các khoảng 
và
, hàm số nghịch biến trên các khoảng 
và 
.
.f ngịch biến trên K tương tự .
Ví dụ 1 : Định m để hàm số 
đồng biến trên R .
.TXD : D=R
.y’=
TH1: m=0 thì y’=1>0.
Vậy hàm số đồng biến trên R nhận m=0[/ct].
TH2:
hàm số đồng biến trên R 
.
Theo hai trường hợp hàm số đồng biến trên R 
.
Ví dụ 2 : Cho hàm số 
định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định .
.TXD : D=R\{m}
.y’=
hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi y’<0 ,
Ví dụ 3 : Cho hàm số 
định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định .
.TXD : D=R\{2m}
.y’=
hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi y’
Ví dụ 4 : Cho hàm số 
định m để hàm số :
a.Đồng biến trên khoảng ( 1,2) .
b.Nghịch biến trên khoảng .
Câu a :
Cách 1 : y’=f(x)=
Hàm số đồng biến trên (1,2) khi và chỉ khi y’
TH1 : 
y’
hàm số ngịch biến trên R hàm số nghịch biến trên (1,2) không thỏa ĐK loại TH này .
TH2 : 
khi đó y’ có hai nghiệm ( giả sử ) . ta có
Khi đó y’
.
Vậy để y’
Kết luận : Hàm số đồng biến trên (1,2) khi và chỉ khi 
.
Cách 2 : y’=
Hàm số đồng biến trên (1,2) khi và chỉ khi y’
Đặt 
nguon VI OLET
