CHƯƠNG I. HÀM SỐ

BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 

I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ HÀM SỐ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1. y  f (x) đồng biến / (a, b)  ta có

2. y  f (x) nghịch biến / (a, b)  ta có

3. y  f (x) đồng biến / (a, b)  (x)  0  x(a, b) đồng thời (x)  0 tại một số hữu hạn điểm  (a, b).

4. y  f (x) nghịch biến / (a, b)  (x)  0 x(a, b) đồng thời (x)  0 tại một số hữu hạn điểm  (a, b).

5. Cực trị hàm số: Hàm số đạt cực trị tại điểm đổi dấu tại điểm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

• Giả sử y  (x) liên tục trên [a, b] đồng thời đạt cực trị tại .

Khi đó:

• Nếu y  f (x) đồng biến / [a, b] thì
• Nếu y  f (x) nghịch biến / [a, b] thì
• Hàm bậc nhất trên đoạn đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút a; b

II. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1. Nghiệm của phương trình u(x)  v(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị với đồ thị .

2. Nghiệm của bất phương trình u(x)  v(x) là

phần hoành độ tương ứng với phần

đồ thị nằm ở phía trên

so với phần đồ thị .

3. Nghiệm của bất phương trình u(x)  v(x) là

phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị

nằm ở phía dưới so với phần đồ thị .

4. Nghiệm của phương trình u(x)  m là hoành độ

giao điểm của đường thẳng  y  m với đồ thị .

5. BPT  u(x)  m đúng xI 

6. BPT u(x)  m đúng xI 

7. BPT u(x)  m có nghiệm xI 

8. BPT u(x)  m có nghiệm xI 

III. Các bài toán minh họa phương pháp hàm số

Giải: a. Biến đổi phương trình (x)  0 ta có: .

Để (x)  0 có nghiệm x[1; 2] thì

b. Ta có x[1; 4] thì   .

Do  giảm trên [1; 4] nên ycbt 

c. Ta có với x thì  .

Đặt . Xét các khả năng sau đây:

+ Nếu thì bất phương trình trở thành nên vô nghiệm.

+ Nếu thì BPT có nghiệm .

Do giảm /  nên ycbt

+ Nếu thì nên BPT có nghiệm . Ta có .

Do đó nghịch biến nên ta có

Kết luận: (x)  0 có nghiệm x

Bài 2. Tìm m để bất phương trình: nghiệm đúng x  1

Giải:  BPT .

Ta có suy ra tăng.

YCBT

Bài 3. Tìm m để bất phương trình đúng

Giải: Đặt thì đúng

. Ta có nên nghịch biến trên suy ra ycbt 

Giải: Điều kiện . Biến đổi PT .

Chú ý: Nếu tính rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn.

Thủ thuật: Đặt

  

Suy ra: và tăng; > 0 và giảm hay và tăng

tăng. Suy ra có nghiệm

Bài 5. Tìm m để bất phương trình: có nghiệm.

Giải: Điều kiện . Nhân cả hai vế BPT với ta nhận được

bất phương trình .

Đặt

Ta có .

Do và tăng ; và tăng nên tăng 

Khi đó bất phương trình có nghiệm

Bài 6. Tìm m để nghiệm  đúng

Cách 1. BPT đúng

Lập bảng biến thiên suy ra Max

Cách 2. Đặt .

Ta có . Khi đó bất phương trình trở thành

. Ta có:

 tăng nên

Bài 7. Tìm m để đúng

Giải:

Đặt 



Xét

ycbt

Giải: ĐK: , biến đổi phương trình

.

Đặt .

Khi đó

Ta có . Do đó yêu cầu

Bài 9. (Đề TSĐH khối B, 2007): Chứng minh rằng: Với mọi , phương trình luôn có đúng hai nghiệm phân biệt.

Giải: Điều kiện: .

Biến đổi phương trình ta có:

.

ycbt có đúng một nghiệm thuộc khoảng . Thật vậy ta có:

. Do đó đồng biến mà liên tục và 

nên có đúng một nghiệm .

Vậy , phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bài 10. (Đề TSĐH khối A, 2008) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:

Giải: Đặt

Ta có:

Đặt 

 

 

 

 

 

 

Nhìn BBT ta có PT có 2 nghiệm phân biệt

Giải: Đặt ta có

và

Khi đó hệ trở thành

 là nghiệm của phương trình bậc hai

Hệ có nghiệm có 2 nghiệm thỏa mãn .

Lập Bảng biến thiên của hàm số với

t			– 2		2		5/2		+
		–				–	0	+
	+		22		2		7/4		+

Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm

Giải: Đặt ,

BPT

Do đồ thị là một đoạn thẳng với nên

Bài 13. Cho Chứng minh rằng:

Giải:  BĐT

trong đó .

Như thế đồ thị là một đoạn thẳng với . Ta có

nên suy ra .

Vậy . Đẳng thức xảy ra .

Giải:

Đồ thị với là một đoạn thẳng với 2 giá trị đầu mút và

Do đồ thị là một đoạn thẳng với và ; nên .  Đẳng thức xảy ra  

Bài 15. Chứng minh rằng: .

Giải: Biến đổi bất đẳng thức về hàm bậc nhất biến số a, tham số b, c ta có

Đồ thị là một đoạn thẳng với nên

Ta có

Bài 16. CMR:

Giải: Biểu diễn bất đẳng thức về hàm bậc nhất biến số a, tham số b, c, d, ta có:

Đồ thị là một đoạn thẳng nên

Ta có

Đồ thị là một đoạn thẳng nên

Ta có

 .  Vậy hay ta có (đpcm)