BÀI TẬP CHIỀU BIẾN THIÊN, CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ
Bài 1: a) Cho hàm số: 
. Với giá trị nào của a thì hàm số đã cho: đồng biến, nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
b) Cũng câu hỏi như trên với hàm số 
Giải: Tập xác định 
i) Xét trường hợp a > 0:
-
Nếu x1; x2 < 2:
< 0 hàm nghịch biến trên 
-
Nếu x1; x2 > 2: < 0 hàm nghịch biến trên
ii) Xét trường hợp a < 0:
-
Nếu x1; x2 < 2: > 0 hàm đồng biến trên
-
Nếu x1; x2 > 2: > 0 hàm đồng biến trên
Tóm tại: nếu a > 0 thì hàm nghịch biến trên từng khoảng xác định
nếu a < 0 thì hàm đồng biến trên từng khoảng xác định
Bài 2: Giả sử hàm số y = f(x) tăng trên khoảng E, còn hàm số y = g(x) giảm trên khoảng E. Chứng minh rằng: nếu x0 là nghiệm của phương trình y = f(x) = g(x) thì x0 là nghiệm duy nhất.
Áp dụng: Giải phương trình: 
Giải: x0 là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) f(x0) = g(x0)
-
Nếu x < x0 thì: f(x) < f(x0) ( do f tăng trên E) và g(x) > g(x0) (do g giảm trên E)
Vậy f(x) < f(x0) = g(x0) > g(x). Do đó mọi x < x0 đều không là nghiệm của p. trình
-
Tương tự: nếu x > x0; ta có: f(x) > f(x0) = g(x0) < g(x) . Do đó mọi x > x0 đều không là nghiệm của phương trình
-
Tóm lại: x0 là nghiệm duy nhất.
*Áp dụng: Hàm số: 
xác định trên 
và là hàm số tăng trên khoảng này.. Hàm số y = g(x) = 12 – x giảm trên R.
Mặt khác ta có: f(3) = g(3) = 9 nên phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất x = 3
Bài 3: Cho hàm số: y = x3 – 3x + 1 có đồ thị (C). Chứng minh rằng (C) có tâm đối xứng. Xác định tọa độ tâm đối xứng đó.
Giải: Giả sử I(a; b) là tâm đối xứng của (C). Tịnh tiến hệ trục tọa độ Oxy theo 
ta được hệ trục IXY.
Công thức chuyển trục: 
Thay (1) vào hàm số, ta có: 
I là tâm đối xứng của (C) hàm số Y là hàm số lẻ ( bậc chẵn = 0 )
; Vậy (C) có tâm đối xứng I(0; 1)
Bài 4: Chứng tỏ đồ thị (C) của hàm số y = x4 – 4x3 – 2x2 + 12x – 1 nhận đường thẳng (d): x = 1 làm trục đối xứng. Từ đó tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục hoành.
Giải : Gọi I(1 ; 0) là giao điểm của (d) với Ox. Tịnh tiến hệ trục tọa độ theo phương 
ta được hệ trục tọa độ mới IXY.
Công thức chuyển trục :
.
Phương trình (C) đối với hệ IXY : Y = (X+1)4 – 4(X+1)3 – (X+1)2 + 12(X+1) – 1
. Hàm số chẵn nên đối xứng qua trục IY là đường thẳng (d) : x = 1.
-
Ta có : Y = 0 X4 – 8X2 + 6 = 0
Suy ra (C) cắt Ox tại 4 điểm có hoành độ 
Bài 5: Giải hệ phương trình: 
Giải: Xét hàm số f(t): t3 + t2 + t – 2 . Ta chứng minh hàm f(t) đồng biến trên R
. Ta có: 
Nên hàm số f(t) đồng biến trên R
Hệ đã cho có dạng: 
. Giả sử (x; y; z) là nghiệm của hệ, không mất tính tổng quát, giả sử 
.
Vậy 
. Với t là nghiệm phương trình: t3 + t2 – 2 = 0
(t – 1)(t2 + 2t +2) = 0 => t = 1. Hệ có nghiệm duy nhất x = y = z = 1
