TÓM TẮT LÝ THUYẾT PTLG

LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
1) Công thức cơ bản:

;
















2) Hai góc liên quan đặc biệt( ‘sin bù’, ‘cos đối’, ‘phụ chéo’, ‘hơn nhau pi tang, côtang)
Bù nhau:

và x
Hơn nhau
:

và x
Đối nhau:

và

Phụ nhau:

và x
Hơn nhau
:

và x














3) Công thức cộng (‘cos .cos +-sin sin => cos-+; sin cos +- cos sin=>sin+-; .)










Hệ quả:

Công thức nhân đôi:
,

Công thức nhân ba:

Công thức hạ bậc:
,


Đẳng thức
;

4) Công thức biến đổi tích thành tổng:





5) Công thức biến đổi tổng thành tích:





Hệ quả:



B. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC:
I.Phương trình lượng giác cơ bản
1)
(1) ( Bấm
)
+)|m|>1 (1) vô nghiệm vì |sinx|
1 với
x
R.
+)|m|
1, (1) có nghiệm nếu có
đẹp sao cho m=sin
, thì

(k
Z).
Nếu
-lẻ thì ta dùng hàm ngược arcsin(m)


.
3 trường hợp đặc biệt (cho 1 họ nghiệm)

, k
Z;

, k
Z;

, k
Z.
 Với
.

(a)










2)
(2) ( Bấm
)
+)|m|>1 (1) vô nghiệm vì |cosx|
1 với
x
R.
+)|m|
1, nếu có
đẹp sao cho
, thì

(k
Z).
Nếu
-lẻ thì dùng hàm ngược arccos(m)


Trường hợp đặc biệt (cho 1 họ nghiệm)

, k
Z;

, k
Z;

, k
Z.



(b)





3) tanx=m (3) ( Bấm
)
Với mọi m thì phương trình (3) luôn có nghiệm
Nếu
- đẹp sao cho
thì

, k
Z.
Nếu
- lẻ thì
.


(c)





4) cotx=m (4) ( Bấm
)
Với mọi m thì phương trình (4) luôn có nghiệm:
Nếu
- đẹp sao cho
thì

, k
Z.
Nếu
-lẻ thì
(
).
Đặc biệt:
.


(d)



Lưu ý: Trong công thức nghiệm đối với sin và côsin thường được 2 họ nghiệm cộng với
hoặc
; còn trong công thức nghiệm đối với tang và côtang thường ta được 1 họ nghiệm cộng với
hoặc

-Đối với phương trình k phải cơ bản chứa tang, côtang hoặc h/s lượng giác ở mẫu cần đặt điều kiện

II. Phương trình bậc nhất đối với 1 HSLG:
Dạng:
với
là 1 hàm số lượng giác. Giải tiếp tìm x
III. Phương trình bậc hai đối với 1 HSLG
Dạng:
trong đó u là 1 HSLG
Cách giải: - Tìm u
Giải tiếp tìm x

IV.Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Dạng:
(1) hoặc
(2).
Điều kiện có nghiệm: phương trình (1) hoặc (2) có nghiệm
.
Cách giải:
Ta chia các số hạng của 2 vế cho
để đưa phương trình đã cho về phương trình cơ bản
hoặc
với
.
* Một số phương trình có cùng cách giải
1/
(3) hoặc
(4)
2/
(5).
Phương pháp giải: Chia các số hạng của 2 vế cho
đưa phương trình về dạng

hoặc
.

Công thức cộng cần nhớ:



V. Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx
Dạng:
(1)
Cách giải:
+)Xét phương trình khi


thay vào phương trình
Nếu đúng thì pt có nghiệm

Nếu sai thì pt vô nghiệm.
+)Xét
, chia cả hai vế của phương trình cho


. Giải tiếp tìm x
+) Kết luận.
VI.Phương trình đối