Bài 5:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), gọi G là giao điểm của hai đường chéo AC và
BD; H là giao điểm của BA và CD. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AGD và O2
1
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BGC; N là giao điểm của OG và O O . Đường thẳng
1
2
HG cắt các đường tròn (O ) và (O ) tại điểm thứ hai là P và Q; gọi M là trung điểm của PQ.
1
2
a) Chứng minh O G BC và tứ giác O OO G là hình bình hành.
1
1
2
b) Chứng minh ON = NM.
HD:
H
P
a) O G cắt (O ) tại điểm thứ hai là I,
cắt BC tại E.
1
1
I
Xét (O ) có:
1
Góc AGI = 1/2sd cung AI
Góc ADG = ½ sd cung AG
Mà góc AGI = góc CGE (đối đỉnh)
Xét (O) có:
A
O1
D
G
Góc ADG = góc GCE (cùng chắn
cung AB)
N
Suy ra :
O
M
Góc AGI + góc ADG = góc GCE +
0
góc CGE = 90 (1/2 sd cung IAG)
C
B
E
0
O2
Góc GEC = 90
O G BC.
1
Mặt khác, ta thấy:
O) và (O ) cắt nhau tại B và C nên
(
1
OO BC
2
K
Q
Từ đó suy ra: O G // OO2
1
Chứng minh tương tự ta cũng có: O G // OO .
2
1
Suy ra O OO G là hình bình hành.
1
2
b) Gọi K là giao điểm của GO với (O ).
2
2
