Tứ giác nội tiếp

CHƯƠNG
Chuyên đề 16. TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa.
• Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).
Hình bên: Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
2. Định lí.
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°.
3. Định lí đảo.
Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.

Một số ví dụ
Ví dụ 1. Hai đường tròn
và
cắt nhau tại M và P. Vẽ dây MA của đường tròn
là tiếp tuyến của đường tròn
. Vẽ dây MB của đường tròn
là tiếp tuyến của đường tròn
. Trên tia đối của tia PM lấy điểm H sao cho
. Chứng minh rằng tứ giác MAHP nội tiếp.
Giải
Tìm cách giải.
- Khai thác giả thiết, ta có
. Do vậy nếu I, K là trung điểm MB, MA mà MIPK là tứ giác nội tiếp thì MAHB cũng là tứ giác nội tiếp.
- Ta biết rằng tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm các đường trung trực của các cạnh và đường chéo. Dễ nhận biết đường trung trực của MB đi qua
, đường trung trực của MA đi qua
. Nếu giao điểm của hai đường trung trực này nằm trên đường trung trực của MH thì bài toán xong.
Với hai định hướng trên ta có hai cách giải sau: 
Trình bày lời giải
Cách 1. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của MB, MA.
Ta có:
;
suy ra
(g.g)



(c.g.c)


Xét



Suy ra tứ giác MIPK nội tiếp, mà IP, KP lần lượt là đường trung bình của tam giác MBH, MAH
,




Tứ giác MAHP nội tiếp
Cách 2. Dựng hình bình hành

Suy ra
,

Mà
,
nên:

,
.
Do đó
;


Gọi giao điểm
với MO; MP là I, K
Ta có
và
;

Do đó IK là đường trung bình của tam giác MOP
Suy ra
mà


OP là đường trung trực của


Từ
và



Tứ giác MAHB nội tiếp.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại C. Trên cạnh AB lấy điểm M (M khác A và B). Gọi O;
;
lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, AMC và BMC.
1) Chứng minh bốn điểm C,
, M,
cùng nằm trên một đường tròn
.
2) Chứng minh rằng đường tròn
đi qua O.
3) Xác định vị trí của M trên đoạn AB sao cho đường tròn
có bán kính nhỏ nhất.
(Tuyển sinh 10, chuyên toán ĐHSP Hà Nội, năm học 2008 - 2009)
Giải
Tìm cách giải.

,
lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp nên
;
lần lượt hai góc ở tâm của hai đường tròn tròn tương ứng. Phân tích đi lên ta có bốn điểm C,
, M,
cùng nằm trên một đường tròn

từ đó ta tìm được cách giải.
• Để chứng minh đường tròn
đi qua điểm O, ta cần chứng minh tứ giác
nội tiếp hoặc tứ giác
nội tiếp. Cả hai hướng trên đều cho lời giải đúng.
Trình bày lời giải
1) Sử dụng tính chất góc ở tâm đường tròn, ta có:

;
.
Do tam giác ABC vuông nên:

.
Suy ra
.
Vậy bốn điểm C,
, M,
cùng thuộc một đường tròn
2) Do tam giác ABC vuông tại C nên O là trung điểm của AB,
Giả sử M thuộc đoạn OA.
Do tam giác COB cân tại O nên

Vậy O thuộc đường tròn

3) Gọi R là bán kính của đường tròn
.
Do
đi qua C và O nên
hay

Dấu bằng đạt được khi M là hình chiếu của C trên AB.
Vậy bán kính của đường tròn (T) nhỏ nhất bằng
khi M là hình chiếu của C trên AB.
Ví dụ 3. Từ điểm A ở ngoài đường tròn
, kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên tia đối của tia BC lấy điểm D. Gọi E là giao điểm của DO và AC. Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn
, tiếp tuyến này cắt đường thẳng AB tại K. Chứng minh bốn điểm D, B, O, K cùng thuộc một đường tròn.
Giải
Tìm cách giải. Dựa vào hình vẽ ta có một số định hướng sau:
• Nếu gọi M là