Tự luận và trắc nghiệm học kì 2

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

*ôn tập kiến thức cơ bản về giới hạn dãy số:

*Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:

 Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n và đặt nhân tử chung.

*Ví dụ:  a)   

b)

c)

 Nhân lượng liên hợp:

Dùng các hằng đẳng thức: 

*Ví dụ:  ===

 Dùng định lí kẹp: Nếu ,n  và  lim vn = 0 thì  lim un = 0

  *Ví dụ:  a) Tính . 

    Vì   0  và   nên 

    b) Tính .

    Vì

    nên  0  . 

    Mà nên

*Chú ý: Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:

   Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.

   Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.

 Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +  nếu hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫumẫu trái dấu(ta thường đặt nhân tử chung của tử, mẫu riêng).

*Các ví dụ:

           *Ví dụ1:  lim = lim =

           *Ví dụ2:  lim() = limn.() = +. (Vì limn = + và lim() = 2 > 0)

          *Ví dụ3: a)

b)  

c)

d)  .

e) 

*Ví dụ4: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội và số hạng đầu u1=1.

*Bài tập tự luận:

 Bài 1: Tính các giới hạn sau:

(Chia cả tử và mẫu cho nk với số mũ k cao nhất Hoặc đặt nhân tử chung)

1)       lim(n2  n + 1).   ĐS: +

2)       lim(n2 + n + 1).     ĐS: -

3)      lim   ĐS: +

4)       lim    ĐS: -

5)      lim(2n + cosn).   ĐS: +

6)      lim(n2  3sin2n + 5).  ĐS: +

7)      un = .   ĐS: + 

8)       un = 2n  3n.         ĐS: - 

9)            ĐS: 0  

10)                    ĐS: 0

11)                  lim    ĐS: 0

12)     ĐS: 2/3

13)    ĐS: 3 

14)   ĐS: 1

15)  lim   ĐS: -1/2

16)  lim    ĐS: 2

17)  lim   ĐS: 2

18)     ĐS: +

19)         ĐS: - 

20)      ĐS: -

 Bài 2: Tính các giới hạn sau: (Chia cho lũy thừa có cơ số lớn nhất)

   a)   ĐS: 1 

   b)  ĐS:

   c)  ĐS: 0 

d)   ĐS: 5

e)   ĐS: -1/2

f)                 ĐS: 1/3   

 Bài 3: Tính các giới hạn sau:

(Tử ở dạng vô cùng ±vô cùng; Mẫu ở dạng vô cùng + vô cùng ;

bậc của tử và mẫu bằng nhau thì ta chia cho số mũ cao nhất)

*Chú ý: có mũ  có mũ

1)                     ĐS: 2   

2)                    ĐS: 0

3)                    ĐS: 0 

4)                  ĐS: 2

5)                  ĐS: 2

6)                  ĐS: -1/()

 Bài 3: Tính các giới hạn sau:

- Nếu bài toán có dạng: Vô cùng – vô cùng hoặc cả tử và mẫu ở dạng: Vô cùng- vô cùng.

(có hệ số của bậc cao nhất giống nhau) Thì ta nhân lượng liên hợp

- Nếu bài toán có dạng: Vô cùng – vô cùng  hoặc cả tử và mẫu ở dạng: Vô cùng- vô cùng.

(có hệ số của bậc cao nhất khác nhau) ta chia hoặc đặt nhân tử chung.

                 a)   ĐS: +

                 b)  ĐS: 2012

                  c)   ĐS: -1/2

                 d)  ĐS: 5

                  e)  ĐS: 5

                  f)  ĐS: 0

                  g)  ĐS: 1/2

                  h)  ĐS: -1

k)           ĐS: -1/() 

l)                ĐS: -

m)                 ĐS: -1/2  

n)                           ĐS: 0

     i)  ĐS: 1

 Bài 4: Tính các giới hạn sau:  (Giới hạn kẹp giữa hai biểu thức có cùng kết quả)

1)       ĐS: 0  

2)      ĐS: 0 

3)       ĐS: 0 

4)       ĐS: -1/3

 Bài 5: Tính các giới hạn sau:   (Rút gọn rồi tính giới hạn)

   a)   ĐS: 1

   b)     ĐS: 1/2

   c)    ĐS: 0

   d)    với a, b < 1.  ĐS: (1-b)/(1-a)

 Bài 6: Tính tổng các cấp số nhân lùi vô hạn:

a) S = 1 + + + …       ĐS: 2 

b) S = 1 +      ĐS: 12/11

*Bài tập trắc nghiệm:

Câu 1: bằng:

a. -      b. +         c. 1          d. – 1

Câu 2: bằng:

a. -      b. +         c. 1          d. – 1

Câu 3: bằng:

a. -1/2     b. 3/2          c. -        d. +

Câu 4: bằng:

a. 2/3        b. 0           c. -         d. Đáp án khác

Câu 5: bằng:

a. 2/3        b. -2/3       c. -          d. +

Câu 6: bằng:

a. -6           b. 6          c. -          d. +

Câu 7: bằng:

a. 2            b.  1          c. -          d. +

Câu 8: bằng:

a. 0            b. 1           c. -          d. +

Câu 9: bằng:

a. 0            b. 1           c. -          d. +

Câu 10: bằng:

a. -1           b. 1           c. -          d. +

Câu 11: bằng:

a. 0            b. 1           c. -          d. +

Câu 12: bằng:

a. 1             b. 2          c. ½            d. Đáp án khác

Câu 13:  bằng:

a. 3           b. -3            c.  0             d. -

Câu 14: bằng:

a. 1           b. -1           c. -1/2            d. ½

Câu 15: bằng:

a. 0         b. -         c.  +           d. Tất cả sai

Câu 16: bằng:

a. 0        b. 1        c. -          d. +

Câu 17: bằng:

a.           b. -        c.       d. -

Câu 18: bằng:

a. – 1/9        b. 1/9            c. -1/2         d. ½

Câu 19: bằng:

a. 0           b. 13            c. 13/2            d. 13/4

Câu 20:  bằng:

a. 1          b. -1            c.   0               d. ½

Câu 21:  bằng:

a. 0        b. 1        c. -          d. +

Câu 22: bằng:

a. 2/3        b. 1/3        c. 0       d.

GIỚI HẠN HÀM SỐ

*ôn tập kiến thức cơ bản về giới hạn hàm số:

* Một số phương pháp khử dạng vô định:

1. Dạng:

a) với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0)= 0

Ta Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.

*Ví dụ1:   a)

  b)

c)    =    = 

b) với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc

Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.

*Ví dụ2:  

c) với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biểu thức chứa căn không đồng bậc

Giả sử: P(x) = .

Ta phân tích P(x) = .

*Ví dụ3:  

=

2. Dạng:

L = với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.

– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.

– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.

*Ví dụ:  a)

     b) .

3. Dạng:  –         ( Giới hạn này thường có chứa căn)

Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu.

*Ví dụ:  a)

                 b)   = = 

4. Dạng: 0.

Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.

*Các ví dụ:

*Ví dụ1:  

*Ví dụ2:  Xác định dạng vô định và tính các giới hạn sau:

a. ;    b.

c.    d.

Giải

a.  Dạng

b.  Dạng

=

c.   Dạng 0. 

d.  Dạng  - 

*Ví dụ3:  Tìm các giới hạn sau:

Giải

*Ví dụ4: Tìm các giới hạn sau: