Mục lục

Mục lục

I. Định nghĩa văn hóa vá  văn hóa toán học

1.  Văn hóa

2. Văn hóa toán học..........................................................2

II.Sự hình thành và phát triển của văn hóa toán học................................2

1. Vị trí của toán học .........................................................2

2. Tóan học trong nhà trường...................................................2

III. Biện pháp.................................................................4

    1. Làm rõ mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn....................................4

    2. Dạy cho học sinh kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng theo tinh thần sẵn sàng ứng dụng...4

    3. Tăng cường vận dụng và thực hành toán học.....................................4

IV. Một số yêu cầu đối với toán học nhà trường nhằm phát triển văn hoá toán học........

   1. Nhân văn hoá việc giảng dạy toán học trong nhà trường............................4

   2. Đặc biệt chú ý tới hệ thống kiến thức, kỹ năng cơ sở và phương pháp tư duy mang đặc thù của toán học......5

   3.  Phải đặc biệt chú ý tới nguồn gốc thực tiễn và phạm vi ứng dụng vô cùng rộng rãi của toán học trong giảng dạy......6

   4. Giúp học sinh nắm vững ngôn ngữ toán học như là một yếu tố quan trọng để rèn luyện tư duy, đồng thời củng cố phát triển ngôn ngữ thông thường.......6

   5. Nâng cao năng lực tưởng tượng và hình thành những cảm xúc thẩm mỹ qua học tập toán..7

V. Các tập trí toán học (Lời Bình của Nguyễn Tiến Dũng)..............................7

VI. Một số nét đẹpcủa toán học..................................................10

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số." Theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng Luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong Triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".

1. Định nghĩa văn hóa vá  văn hóa toán học

1.      Văn hóa

        Văn hóa: là tổng thể những giá trị vật chất và tinh thần do con người sánh tạo ra trong quá trình lịch sử.

Dưới đây sẽ nêu lên định nghĩa về văn hoá thuật toán (vốn đã có) để từ đó tìm cách biểu đạt khái niệm văn hoá toán học.

Văn hoá thuật toán (văn hoá angorit) là tập hợp những ý niệm, kỹ năng, thói quen cần thiết về thuật toán mà phải hình thành và phát triển trong mỗi con người để sống và làm việc trong một xã hội hiện đại.

Căn cứ vào những thuộc tính bản chất của các khái niệm văn hoá toán học, đồng thời sử dụng cách diễn đạt nói trên, có thể tạm đưa ra một định nghĩa như sau:

2.      Văn hoá toán học

        Văn hóa tóan học:là tập hợp những tri thức, kỹ năng toán học, những thói quen suy nghĩ mang đặc trưng toán học để thích ứng một cách văn hoá với các tình huống (khi cấn thiết) trong cuộc sống.

2. Sự hình thành và phát triển văn hóa tóan học

       Văn hóa toán học cùng với các thành tố khác của “vốn văn hóa chung” của mõi người đều quan hệ chặt chẽ tới hệ thống giá trị và năng lực giúp con người năng cao chất lượng cuộc sống. Có thể hình thành văn hóa toán học từ nhiều con đường, dưới nhiều hình thức, mà toán học trong nhà trường là con đường chủ yếu.

   1.Vị trí của toán học

          Toán học được xem là môn học “công cụ” trong nhà trường,bởi vì trước hết khoa học toán học đóng vai trò công cụ trong việc hình thành và phát triển khoa học kỹ thuật, đặc biệt là trong khoa học tự nhiên, là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế. Cùng với tri thức, toán học trong nhà trường còn rèn luyện những kỹ năng toán học như kỹ năng tính toán, kỹ năng vẽ hình, xây dựng thuật giái, và khả năng giải quyết vấn đề…rất cần thiết cho người lao động trong thời đại mới.

          Ngoài ra toán học còn góp phần hình thành và phát triển nhân cách, ngoài việc tạo cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện những kỹ năng toán học cần thiết, môn toán còn góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, tính sang tạo bồi dưỡng óc thẩm mĩ.

   2. Toán học trong nhà trường

       Toán học trong nhà trường là toán học dành cho tất cả mọi người, mà mục đích phải hướng tới là nhằm hình thành và phát triển trí tuệ chung, trước hết là những phẩm chất tư duy cần thiết, những kỹ năng cơ bản,chắc chắn với chức năng hoàn thiện con người, tạo sự năng động hòa nhập với xã hôi.

Truyền thụ tri thức, kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn.

Cần tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức khác nhau

Tri thức sự vật trong môn toán thường là một khái niệm, một định lí, một ứng dụng toán học..

Tri thức phương pháp với hai loại phương pháp là những giải thuật, những phương pháp có tính chất tìm tòi

Tri thức chuẩn  là những chuẩn mự nhất địng như là những qui ước, kí hiệu…

Tri thức giá trị có nội dung là những mệnh đề đánh giá

Rèn luyện cho học sinh những kỹ năng trên những bình diện khác nhau:

kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ toán học

Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn khác

Kỹ năng vận dụng toán học vào đời sống

Rèn luyện chức năng trí tuệ từ thấp đến cao:

Biết ghi nhớ và tái hiện thông tin

Thông hiểu

Vận dụng

Phân tích

Tổng hợp

Đánh giá Hệ thống lại những tri thức, kỹ năng tạo thành những mạch xuyên suốt chương trình.

Phát triển năng lực trí tuệ chung

Thứ nhất là rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác

  - Làm cho học sinh nắm vững và hiểu đúng những liên kết logic và, hoặc, nếu thì….
Ngôn ngữ như đã thừa nhận là có vị trí cực kỳ quan trọng trong vốn văn hoá của mỗi con người. Toan học trong nhà trường có điều kiện để góp phần phát triển ngôn ngữ (tiếng mẹ đẻ, tiếng nước ngoài) thông qua phát triển ngôn ngữ toán. Không nên chỉ nhìn nhận ngôn ngữ toán như những thuật ngữ, những mệnh đề được phát biểu với sự hỗ trợ của các quy tắc lôgic hoặc hệ thống các ký hiệu mà còn nên được xem xét thêm từ góc độ là một phương tiện giao tiếp với hiệu lực thông báo rất cao (độ khái quát, độ chính xác, sự gọn gàng) là cơ sở cho việc xây dựng ngôn ngữ máy. Ngôn ngữ toán giống như ngôn ngữ tự nhiên, có cả mặt cú pháp, mặt ngữ nghĩa đảm bảo cho tư duy mạch lạc, hiểu đúng vấn đề được nêu, đồng thời giúp nói đúng vấn đề cần nói (hiểu đúng thì phát biểu đúng hay nói khác đi nói sai thì sẽ hiểu sai)

Thứ hai là phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng 

  - Nâng cao năng lực tưởng tượng và hình thành những cảm xúc thẩm mỹ qua học tập toán

  - Toán học nhà trường phải góp phần hình thành và phát triển khả năng tưởng tượng; khả năng này là vô cùng cần thiết cho yêu cầu sáng tạo và làm phong phú đời sống nội tâm con người. Tưởng tượng toán học không đơn giản chỉ là trí tưởng tượng không gian trong một không gian một hoặc hai ba chiều mà là phẩm chất và khả năng cần có để học toán và sáng tạo. Vì thật ra các khái niệm toán học vốn không tồn tại trong thực tiễn, kể từ những khái niệm cơ bản nhất như số, điểm, đường thẳng, mặt phẳng… thậm chí có vô số khái niệm không thể tìm ra được một điểm tựa trực quan nào, chẳng hạn như trong không gian n chiều (n>3). Trí tưởng tưởng phong phú sẽ giúp hình dung các mối quan hệ, các cấu trúc phức tạp, giúp dự báo và hình thành con đường tìm kiếm lời giải…

-Tập luyện cho học sinh khả năng hình dung được những đối tượng quan hệ không gian và làm việc với chúng dựa trên những qui tắc, những kinh nghiệm.

Thứ ba là rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa…

Thứ tư là hình thành những phẩm chất trí tuệ như tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo…

Ngoài ra tóan học nhà trường còn góp phần  giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và thẩm mĩ, đồng thời phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu về toán.

III. Biện pháp

   Để hình thành văn hóa toán học nhiệm vụ của toán học nhà trường là phải:

1)     Làm rõ mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn:

Làm rõ nguồn gốc thực tiễn của toán học ; số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm, hình học xuất hiện do nhu cầu đo đạc ruộng đất.

Làm rõ sự phản ánh thực tiễn của toán học: khái niệm vecto phản ánh những đại lượng đặt trưng không chỉ bởi số đo mà còn bởi hướng..

Làm rõ ứng dụng thực tiễn củ toán học: ứng dụng lượng giác để đo những khoảng cách không tới được, ứng dụng tích phân để tính giải diện tích, thể tích.

2)     Dạy cho học sinh kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng theo tinh thần sẵn sàng ứng dụng

Dạy toán trong hoạt động và bằng hoạt động của học sinh góp phần thực hiện nguyên lí “học đi đôi với hành” ta cần xác định những hoạt động lien hệ với nó, phân tích thành những hoạt động thành phần rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà có cách lựa chọn hoạt động phù hợp và có thể nhằm phát triển các phẩm chất trí tuệ và tư duy cho học sinh.

3)     Tăng cường vận dụng và thực hành toán học

Cần cho học sinh vận dụng những tri thức và phương pháp toán học vào những môn học trong nhà trường, chẳng hạn như vận dụng tri thức về hình học không gian trong vẽ kỹ thuật, sử dụng bảng số, máy tính trong việc đo đạc ruộng đất

Ngoài ra cần nhấn mạnh các mục đích dạy không tách rời nhau mà quan hệ mật thiết với nhau.Tránh tình trạng một người hiểu những tri thức toán học mà không biết vận dụng chúng để làm toán

 Cần cho thấy rõ mối quan hệ mật thiết giữ toán học và cuộc sống.

VI. Một số yêu cầu đối với toán học nhà trường nhằm phát triển văn hoá toán học.

    1. Nhân văn hoá việc giảng dạy toán học trong nhà trường

        - Xây dựng vốn văn hoá toán học cho con người gắn liền với việc giảng dạy toán học trong nhà trường. Một trong những tư tưởng cơ bản của nhân văn hoá toán học nhà trường là: toán học dành cho mội người hay toán học cho mỗi người chứ không phải toán học chỉ dành cho một số người. Nhìn rộng ra việc giảng dạy toán học phải hướng tới một mục đích lớn hơn, cao cả hơn là thông qua việc dạy học toán mà hình thành và phát triển trí tuệ chung, trước hết là hình thành ở học sinh những phẩm chất tư duy cần thiết của một nền tảng kiến thức, kỹ năng cơ bản, chắc chắn với chức năng hoàn thiện con người trong một xã hội hiện đại, tạo sự năng động hoà nhập với xã hội. Đó là bản chất thực sự của việc dạy toán trong nhà trường hiện nay. Nhân văn hoá việc giảng dạy toán học phải được thể hiện trong toàn bộ hoạt động từ khâu thiết kế mục tiêu, cho đến việc xây dựng nội dung và chọn lựa phương pháp… song ở đây chỉ bàn đến yêu cầu xác định mục đích dạy, học toán.

- Từ quan điểm trên, có thể xác định mục đích dạy toán trong nhà trường là: Giúp học sinh lĩnh hội và phát triển một hệ thống kiến thức, kỹ năng, thói quen cần thiết cho:

+ Cuộc sống hàng ngày với những đòi hỏi đa dạng của cá nhân, gia đình, cộng đồng.

+ Tiếp tục học tập, tìm hiểu toán học dưới bất kỳ hình thức nào của giáo dục thường xuyên

+ Học tập, tìm hiểu các bộ môn khoa học hoặc các lĩnh vực khác.

+ Hình thành và phát triển các phẩm chất tư duy cần thiết cho một con người có học vấn trong xã hội hiện đại (Tư duy lôgic, tư duy thuật giải, tư duy hình tượng…)

+ Hình thành, phát triển vốn ngôn ngữ và nắm vững công cụ toán học trong việc giải quyết các vấn đề có yêu cầu sử dụng trực tiếp các phương pháp toán học đồng thời củng cố và nâng cao trình độ sử dụng tiếng mẹ đẻ một cách chính xác.

+ Hiện thực hoá khả năng, hình thành thế giới quan khoa học qua học toán, hiểu được bức tranh toàn cảnh của khoa học cũng như khả năng hình thành một số phẩm chất khác.

+ Hiểu rõ nguồn gốc thực tiễn của toán học và vai trò của nó trong phát triển văn hoá, văn minh nhân loại cùng với những tiến bộ của khoa học kỹ thuật.

   2. Đặc biệt chú ý tới hệ thống kiến thức, kỹ năng cơ sở và phương pháp tư duy mang đặc thù của toán học

     Một vấn đề đặt ra là đối với đa số người lao động bình thường thì cuối cùng toán học trong nhà trường mang lại những điều gì cho họ và còn lại những gì ở họ trong suốt cuộc đời. Có một sự thật là dù có được học thật kỹ lưỡng các lý thuyết, công thức, định lý mà nếu không có điều kiện thường xuyên tiếp xúc, sử dụng thì người ta dễ quên đi nhiều điều, song chắc chắn toán học nhà trường sẽ để lại yếu tố cốt lõi nào đó. Chẳng hạn:

- Những kiến thức về số tự nhiên, phân số, số thập phân và các kỹ năng tính toán cơ bản (cộng, trừ , nhân, chia, luỹ thừa, khai căn) vốn hay được sử dụng trong cuộc sống hàng ngày.

- Những kiến thức cơ bản về hình học (hình dạng, tính chất cơ bản, công thức tính độ dài, diện tích, thể tích, các đơn vị đo của các hình học quen biết).

- Ý nghĩa và cách thức ký hiệu các ẩn số, biến số và sự biến đổi theo nghĩa tương quan hàm số cùng cách đọc các đồ thị đơn giản, các phương pháp thu thập và xử lý số liệu.

- Phương pháp lập luận, chứng minh theo kiểu quy nạp hoặc suy diễn có sử dụng các quy tắc cơ bản của lôgic hình thức (phép tuyển, hội, kéo theo…)

…

Đó là phần cốt lõi của văn hoá toán học trong mỗi con người. Chúng mang tính văn hoá cơ sở và giàu khả năng ứng dụng trong cuộc sống hàng ngày mà chính vì thế được lưu giữ rất lâu cùng với cuộc sống. Ở đây muốn đặc biệt nhấn mạnh đến phương pháp tư duy toán học như một thành tố của tư duy trừu tượng với đặc điểm là tuân theo các quy tắc của logic hình thức. Phương pháp tư duy này tự nó không gắn trực tiếp với một nội dung toán học cụ thể nào mà được hình thành trong toán bộ quá trình xây dựng học vấn toán học và nói chung khôn

g có một môn học nào khác có thể thay thế toán học trong nhiệm vụ đó. Tình chính xác, sự bảo đảm chặt chẽ, tuân theo những trật tự nghiêm ngặt trong suy nghĩ là đặc trưng của lối tư duy này. Toán học nhà trường không chỉ giúp con người tư duy lôgic mà chính trong quá trình xây dựng các khái niệm và lý thuyết toán học thì những yêu cầu và cách tư duy biện chứng cũng đã được vận dụng khi xem xét các quá trình, các mối tương quan, các khái niệm trong sự vận động của chúng, trong các cặp phạm trù, mặc dầu vậy tư duy lôgic vẫn mang ý nghĩa tiêu biểu cho tư duy toán học. Đó cũng chính là điều quý giá nhất mà toán học dành cho mọi người trong cả quá trình phát triển vốn văn hoá. Cùng với những phương pháp tư duy lôgic, toán học nhà trường còn góp phần chủ yếu tạo nên những thói quen cần thiết và có ý nghĩa trong cuộc sống kể cả trong suy nghĩ và trong hành động. Đólà thói quen uớc lượng sự chính xác,mô hình hoá toán học các tình huống thực tế, thói quen xem xét các vấn đề trong một hệ ràng buộc các điều kiện, coi trọng cách làm việc tối ưu, các phương pháp lượng hoá…

   3. Phải đặc biệt chú ý tới nguồn gốc thực tiễn và phạm vi ứng dụng vô cùng rộng rãi của toán học trong giảng dạy

     Toán học được xem là môn học “công cụ” trong nhà trường. Bởi vì trước hết khoa học toán học đóng vai trò công cụ trong việc hình thành và phát triển khoa học kỹ thuật, đặc biệt là trong khoa học tự nhiên. Người ta nói toán học xâm nhập vào mọi lĩnh vực của đời sống xã hội chính là muốn đề cập tới phạm vi ứng dụng rộng rãi của toán học bằng chính cách xây dựng nó (phương pháp tiên đề cùng với các quy tắc của lôgic hình thức) là những phương pháp của chính nó. Để có thể ứng dụng toán học vào thực tiễn (khoa học, kỹ thuật, các lĩnh vực khác của cuộc sống…) nói chung là đều phải thực hiện các quy trình sau:

     Tình huống  sử dụng các phương pháp toán học để giải mô hình hoá toán họcthực tiễn   Điều chỉnh các kết quả cho phù hợp với tình huống ban đầu.

Tuỳ theo những nấc thang ngày càng cao của sự trừu tượng hoá mà các mô hình toán học được xây dựng từ đó sẽ đặc trưng cho các lớp tình huống ngày càng được mở rộng. Chẳng hạn phương trình x + y = 15 có thể là mô hình toán học chung cho không biết bao nhiêu tình huống đa dạng trong thực tế với một cách biểu đạt hết sức gọn gẽ và chính xác.

Học toán trong nhà trường phổ thông không phải chỉ để tiếp cận hàng loạt các định lý, công thức phương pháp thuần tuý mang tính lý thuyết, cũng không chỉ tiếp cận cách thức xây dựng toán học với tư duy lôgic và ngôn ngữ toán, cái đầu tiên và cái cuối cùng trong quá trình học toán phải đạt tơí là Phải hiểu được nguồn gốc thực tiễn của toán học và nâng cao khả năng ứng dụng, hình thành thói quen vận dụng toán học vào cuộc sống. Đây chính là thành phần quan trọng của vốn văn hoá toán học trong mỗi con người. Kiến thức, kỹ năng, thái độ thói quen ứng dụng mà toán học đem lại góp phần giúp con người phát triển năng lực thích ứng với những tình huống và nhiều khi mang lại niềm vui sáng tạo. Do nhiều nguyên nhân, việc dạy và học toán trong nhà trường hiện nay ở nước ta đang rơi vào tình trạng quá coi nhẹ thực hành và ứng dụng toán học vào cuộc sồng.

   4. Giúp học sinh nắm vững ngôn ngữ toán học như là một yếu tố quan trọng để rèn luyện tư duy, đồng thời củng cố phát triển ngôn ngữ thông thường

     Ngôn ngữ như đã thừa nhận là có vị trí cực kỳ quan trọng trong vốn văn hoá của mỗi con người. Toan học trong nhà trường có điều kiện để góp phần phát triển ngôn ngữ (tiếng mẹ đẻ, tiếng nước ngoài) thông qua phát triển ngôn ngữ toán. Không nên chỉ nhìn nhận ngôn ngữ toán như những thuật ngữ, những mệnh đề được phát biểu với sự hỗ trợ của các quy tắc lôgic hoặc hệ thống các ký hiệu mà còn nên được xem xét thêm từ góc độ là một phương tiện giao tiếp với hiệu lực thông báo rất cao (độ khái quát, độ chính xác, sự gọn gàng) là cơ sở cho việc xây dựng ngôn ngữ máy. Ngôn ngữ toán giống như ngôn ngữ tự nhiên, có cả mặt cú pháp, mặt ngữ nghĩa đảm bảo cho tư duy mạch lạc, hiểu đúng vấn đề được nêu, đồng thời giúp nói đúng vấn đề cần nói (hiểu đúng thì phát biểu đúng hay nói khác đi nói sai thì sẽ hiểu sai)

   5.Nâng cao năng lực tưởng tượng và hình thành những cảm xúc thẩm mỹ qua học tập toán

     Toán học nhà trường phải góp phần hình thành và phát triển khả năng tưởng tượng; khả năng này là vô cùng cần thiết cho yêu cầu sáng tạo và làm phong phú đời sống nội tâm con người. Tưởng tượng toán học không đơn giản chỉ là trí tưởng tượng không gian trong một không gian một hoặc hai ba chiều mà là phẩm chất và khả năng cần có để học toán và sáng tạo. Vì thật ra các khái niệm toán học vốn không tồn tại trong thực tiễn, kể từ những khái niệm cơ bản nhất như số, điểm, đường thẳng, mặt phẳng… thậm chí có vô số khái niệm không thể tìm ra được một điểm tựa trực quan nào, chẳng hạn như trong không gian n chiều (n>3). Trí tưởng tưởng phong phú sẽ giúp hình dung các mối quan hệ, các cấu trúc phức tạp, giúp dự báo và hình thành con đường tìm kiếm lời giải…

Ngoài ra toán học nhà trường cần lưu ý tới việc hình thành những cảm xúc thẩm mỹ chân chính khai nhận ra được vẻ đẹp của toán học qua cấu trúc, qua những lời giải tối ưu, qua những ứng dụng đáng kinh ngạc của toán học vào đời sống, qua tình lôgic hoàn hảo của các mệnh đề, các lý thuyết và qua chính vẻ đẹp của những hình hình học với sự hài hoà về tỷ lệ, kích thước với sự đối xứng… và cuối cùng là vẻ đẹp của các phát minh toán học mà thực chất là vẻ đẹp của sự sáng tạo, của sự say mê và lòng kiên nhẫn, ý chí vượt khó khăn, phương pháp tìm kiếm đúng đắn.

V.Các tạp chí toán học của Việt Nam ( Lời Bình Của Nguyễn Tiến Dũng)

      Việt Nam hiện tại có hai tạp chí nghiên cứu toán học có được phát hành ra nước ngoài, là Acta Mathematica Vietnamica (của Viện Toán) và Vietnam Journal of Mathematics (của Hội toán học Việt Nam). Các bài báo đăng chủ yếu bằng tiếng Anh. Về số lượng, có được hai tạp chí là nhiều, so với nền toán học còn bé (những nước nhỏ nhiều khi có được một tạp chí nghiên cứu toán học có phát hành trên thế giới là "vinh dự" rồi). Nhưng mặt chất lượng thì còn thấp. Tôi không có con số thống kê gì về "chỉ số ảnh hưởng" (impact factor) của hai tạp chí Việt Nam (vì hai tạp chí này ít được thế giới quan tâmquá, không ai đi làm thống kê), nhưng phỏng đoán rằng tổng số lần trung bình một bài báo đăng ở Acta Mathematica Vietnamica hay Vietnam Journal of Mathematics được trích dẫn ở nước ngoài là không quá 1-2 lần. Để so sánh, trung bình một bài báo đăng ở Annals of Mathematics (tạp chí uy tín nhất thế giới về ngành toán) được trích tổng cộng hơn 100 lần, và một bài báo đăng ở Manuscripta Math. (tạp chí loại trung bình, đứng quãng thứ 90-100 trong các tạp chí toán) được trích tổng cộng quãng 10 lần.

Có lẽ phải nhiều năm nữa (hàng thập kỷ nữa) chất lượng tạp chí của Việt Nam mới có thể lên "hàng trung bình" được bằng Manuscripta.

      Chất lượng của các tạp chí toán học của một nước phản ánh uy tín toán học của nước đó, và việc chất lượng tạp chí toán của Việt Nam còn thấp đi đôi với việc uy tín toán học của Việt Nam chưa cao. Làm sao để nâng cao chất lượng tạp chí toán học Việc Nam, và đồng thời nâng cao uy tín của nền toán học Việt Nam ? Tất nhiên, muốn phát triển thì phải có đầu tư, và muốn toán học (hay khoa học nói chung) Việt Nam phát triển thì phải đổ tiền của vào. Hiện tại tỷ lệ ngân sách chi cho khoa học ở Việt Nam còn quá ít so với các nước khác. Nếu có đầu tư nhiều hơn, thì khoa học phát triển hơn, và khi đó tạp chí khoa học cũng sẽ có chất lượng cao hơn, theo tỷ lệ thuận.

Song song với việc đầu tư tiền của nhiều hơn, có nhiều việc khác có thể làm để nâng cao uy tín tạp chí toán học Việt Nam. Một trong những việc đó là nâng cao uy tín của ban biên tập bằng cách "quốc tế hóa" nó. Lấy một ví dụ: tạp chí Journal of Operator Theory là tạp chí của Viện Toán thuộc Viện Khoa Học Rumani (Romania). Bản thân Rumani không phải là nước nổi tiếng về toán học (tuy họ vẫn hơn nhiều so với Việt Nam, và có khá nhiều nhà toán học nổi tiếng thế giới gốc Rumani), nhưng tạp chí Journal of Operator Theory thuộc loại có uy tín (đứng quãng thứ 70 trong danh sách các tạp chí toán học). Nhìn vào danh sách ban biên tập của Journal of Operator Theory thì thấy chỉ có vài người là người Rumani, còn chủ yếu là người nước ngoài, trong đó có nhiều "tên tuổi quen thuộc" như Alain Connes, Vaughan Jones, Peter Lax, v.v. Với một ban biên tập có uy tín rất cao, điều dễ hiểu là họ thu hút được nhiều bài báo chất lượng cao. Trong khi đó, ban biên tập hai tạp chí toán của Việt Nam hiện tại chủ yếu là người Việt, ít người nước ngoài (ví dụ như ban biên tập của Vietnam Journal of Mathematics có hơn 20 người Việt, 6 người nước ngoài). Những người Việt trong ban biên tập hai tạp

chí của Việt Nam hầu hết là tiến sĩ khoa học, có "trình độ cỡ quốc tế", nhưng chưa ở mức "có tiếng", và thậm chí một số người trong ban biên tập đã ngừng nghiên cứu toán học từ lâu. Một ban biên tập

"không mấy tiếng tăm" thì chỉ dễ thu hút những bài báo "khó đăng được ở nơi khác". Tạp chí của Việt Nam cần tìm cách tăng tỷ lệ các nhà khoa học nước ngoài có uy tín cao trong hội đồng biên tập. Tất nhiên, việc này không dễ, vì các nhà khoa học có uy tín cao không dễ gì nhận lời mời làm biên tập cho một tạp chí chất lượng còn thấp. Nhưng không phải là không thể làm được, vì có nhiều nhà khoa học lớn có quan hệ, cảm tình với Việt Nam, hay từng có học trò là người Việt Nam, v.v., và trong số đó có thể có những người sẽ nhận lời giúp đỡ tạp chí của Việt Nam. Vấn đề là phải tích cực tìm đến họ.

     Một tạp chí toán có uy tín thì nhận được bài gửi đăng từ khắp nơi trên thế giới. Ví dụ như tạp chí Israel Journal of Mathematics, phần lớn các bài báo đăng ở đó đến từ bên ngoài Israel, trong khi các nhà toán học Israel thì hay đăng báo ở các tạp chí khác (điều đó tạo thuận lợi cho giao lưu toán học trên thế

giới). Hiện tại, tỷ lệ các bài bào đến tử nước ngoài đăng ở hai tạp chí Việt Nam còn thấp, và chủ yếu cũng chỉ đến từ các vùng kém về toán. Điều này dễ hiểu vì tạp chí chất lượng chưa cao thì chỉ dễ thu hút các bài báo chất lượng chưa cao của các "nhà toán học" từ những nơi còn "lạc hậu". Khi họ có một

"công trình" ở dạng khó đăng ở một tạp chí nghiêm chỉnh thì có khi họ nghĩ gửi đến Việt Nam biết đâu đăng được, và nếu đăng được thì ở chỗ họ cũng được "tính điểm" về khoa học. Cách đây ít lâu tôi có

nhận làm phản biện cho một bài báo gửi từ nước ngoài đến Acta Mathematica Vietnamica. Đọc qua thì thấy bài báo đó giống như một tiểu luận của một sinh viên hơn là một công trình nghiên cứu. Tôi từng làm phản biện cho nhiều tạp chí, trong đó có cả tạp chí "top 10" như Duke Mathematical Journal và tạp

chí "khiêm tốn" như Publicationes Mathematicae Debrecen (đứng thứ 176 trong một bảng xếp hạng tạp chí toán), nhưng chưa thấy bài báo nào chất lượng kém đến vậy, trừ một bài báo khác của một người Việt Nam gửi đăng ở trong nước.

Có một điều tôi nhận thấy là có một số những nhà toán học "có cỡ" của Việt Nam (tức là có trình độ

TSKH thực sự, có làm việc nghiên cứu, có những công trình thuộc loại có thể đăng ở các tạp chí quốc tế nghiêm chỉnh) chủ yếu chỉ đăng bài ở tạp chí trong nước (tỷ lệ bài báo của họ đăng trong nước cao hơn quá nhiều so với tỷ lệ đăng ở nước ngoài, nếu không tính những bài họ đăng khi đang còn du học nước ngoài). Có người bảo là "làm như vậy vì nếu không thì tạp chí Việt Nam chẳng có gì để mà

đăng". Theo tôi thì chuyện "gà què ăn quẩn cối xay" này không có lợi. (Ý của tôi ở đây không phải là không nên đăng ở trong nước – những người trình độ cao thỉnh thoảng "ủng hộ" cho tạp chí Việt Nam những bài báo chất lượng cao là điều đáng hoan nghênh – tôi chỉ có ý rằng nếu chủ yếu đăng ở trong nước thì thành phản tác dụng). Đối với một nghiên cứu sinh trong nước, đăng ở tạp chí của Việt Nam là chuyện dễ chấp nhận. Nhưng đối với một TSKH về toán, có một công trình mà không thể đăng ở nước ngoài thì không đáng gọi là công trình khoa học. Nếu có thể đăng ở nước ngoài nhưng chỉ đăng ở trong nước là "tự mình dìm mình", bài báo đăng ở tạp chí của Việt Nam chắc chắn ít được đọc đến hơn nhiều so với đăng ở các tạp chí khác, nên dù kết quả có tốt thì cũng ít ai biết đến, tạo được ảnh hưởng rất thấp. Mà khi ảnh hưởng của mình đối với đồng nghiệp thế giới thấp, thì khó thu hút họ hợp tác, khó thu hút họ đăng báo ở Việt Nam (một vòng luẩn quẩn). Chuyện "nếu không thì tạp chí Việt Nam chẳng cógì để mà đăng" là ngụy biện.   Nếu tạp chí không tìm được đủ cái đảm bảo chất lượng để đăng thì đăng ít đi, chất lượng quan trọng hơn là số lượng. Còn nếu một tạp chí sau nhiều cố gắng vẫn không có gì đáng chú ý để mà đăng thì tạp chí đó chẳng nên tồn tại -- hy vọng hai tạp chí của Việt Nam không thuộc diện như vậy. Một điểm yếu nữa của tạp chí toán Việt Nam là vấn đề hình thức, khâu in ấn phát hành. Từ khi Vietnam Journal of Mathematics có thỏa thuận được với nhà xuất bản Springer (theo thỏa thuận thì Springer chịu trách nhiệm in ấn phát hành), về mặt hình thức có khá hẳn lên, trông không kém gì các tạp chí nghiêm chỉnh trên thế giới, và về mặt phát hành chắc cũng khá lên nhiều. Nhưng hiện tại tạp chí Acta Mathematica Vietnamica (là tạp chí từ trước đến nay có uy tín cao hơn Vietnam J. Math.) về hình thức vẫn kém hơn so với hầu hết các tạp chí toán quốc tế.  Các số báo của Acta Math. Viet. mà tôi nhìn thấy ở các thư viện trên thế giới (kể cả những số năm 2005) phần lớn bị xộc xệch và đóng bìa không chắc, có vẻ hơi thủ công. Hình thức kém làm giảm giá trị của Acta, càng khó thu hút các nhà toán học nước ngoài.

VI. Một số nét đẹp của toán học

• Nét đẹp trong các phương pháp chứng minh

      Các nhà toán học miêu tả các phương pháp chứng minh của mình một cách thanh nhã. Phụ thuộc vào nội dung của bài toán, họ có thể:

Chứng minh bằng việc sử dụng một cách ít nhất các giả thiết hay kết quả ban đầu.

Chứng minh bằng cách biến đổi một cách ngạc nhiên một kết quả từ những định lý tưởng chừng như không có mối liên hệ gì với bài toán.

 Chứng minh bằng một phương pháp hay hướng đi hoàn toàn mới mẻ.

Chứng minh theo một phương pháp tổng quát, từ đó có thể giải quyết được nhiều bài toán tương tự khác.

       Trong công việc nghiên cứu một cách chứng minh thanh nhã, các nhà toán học đi theo nhiều con đường chứng minh khác nhau để dẫn tới kết quả, cách chứng minh đầu tiên chưa chắc đã là cách chứng minh hoàn hảo nhất. Định lý Pytago, a2 = b2 + c2, là một ví dụ điển hình vì nó có rất nhiều các cách chứng minh được đưa ra.

        Một ví dụ khác là Định lý tương hỗ bậc II (quadratic reciprocity), riêng Carl Friedrich Gauss đã đưa ra trên 10 cách chứng minh khác nhau cho định lý này. Định lý tương hỗ phát biểu:

Nếu tồn tại một số nguyên hữu tỉ x và các số nguyên dương n, p, q sao cho , q được gọi là [[phần dư bậc n]] của p khi và chỉ khi  có khả năng tìm được nghiệm x.

Định lý tương hỗ (hay định lý nghịch đảo) là sự liên hệ giữa "q là phần dư bậc n của p" và "p là phần dư bậc n của q". Viết theo ký hiệu của Adrien-Marie Legendre là:  và .

Với trường hợp n = 2, gọi là Định lý tương hỗ bậc II, được Gauss đưa ra chứng minh hoàn thiện lần đầu tiên. Gauss đồng thời cũng giải quyết với trường hợp n = 3, gọi là Định lý tương hỗ bậc III, sử dụng dạng nguyên a + bβ, trong đó β là nghiệm của phương trình x2 + x + 1 = 0 và a', b là các số nguyên hữu tỉ.

Gauss có gợi ý với trường hợp n = 4 (Định lý tương hỗ bậc IV), sử dụng số nguyên Gaussian (một số nguyên Gaussian là một số phức có dạng a + bi, trong đó a và b là các số nguyên).

Phần chứng minh tổng quát, với bậc n là số nguyên tố, được đưa ra bởi Ferdinand Eisenstein trong những năm 1844–1850, và Ernst Eduard Kummer trong những năm 1850–1861. Và định lý tương hỗ dạng tổng quát với mọi n được chứng minh bởi Emil Artin vào những năm 1920, do đó, định lý này còn gọi là Định lý tương hỗ Artin.

     Nhà toán học người Hung Paul Erdos thì tưởng tượng rằng Thượng Đế có một cuốn sách chứa tất cả những các chứng minh đẹp đẽ nhất trong toán học. Mỗi khi Erdos muốn miêu tả một cách chứng minh độc đáo, ông đều nói "Cách chứng minh ấy nằm trong cuốn sách này đó".

Ngược lại, các kết quả từ suy luận lôgic, chứa các bước tính tỉ mỉ, không được xếp vào hàng các cách chứng minh thanh nhã, mà gọi là các chứng minh khó coi hay thô kệch. Ví dụ những cách chứng minh phụ thuộc vào việc giới hạn các trường hợp riêng biệt, như phương pháp vét cạn được sử dụng trong chứng minh Định lý bốn màu.

• Nét đẹp trong các kết quả tìm ra

Các nhà toán học nhận ra cái đẹp trong các kết quả của bài toán, như việc nó liên hệ giữa hai lĩnh vực toán học, mà với cái nhìn đầu tiên ta sẽ cho rằng chúng hoàn toàn không có mối liên hệ gì với nhau. Những kết quả như này được coi là độc đáo và sâu sắc.

      Một trong những kết quả sâu sắc đó chính là biểu thức Euler eix = cosx + isinx, được Richard Feynman cho là "công thức đặc biệt nhất trong toán học".

     Một ví dụ khác chính là định lý Taniyama-Shimura, định lý này được phát biểu một cách ngắn gọn như sau: "mọi đường cong ellip trên tập Q đều là modular". Nó là cầu nối quan trọng giữa đường cong ellip, một khái niệm trong hình học đại số, và các dạng modular, là những hàm holmorphic tuần hoàn được miêu tả trong lý thuyết số. Tên gọi của định lý này bắt nguồn từ giả thuyết Taniyama-Shimura, còn phần chứng minh được hoàn thành bởi Andrew Wiles, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond và Richard Taylor.

• Nét đẹp trong sự bí ẩn

Một số nhà toán học biểu lộ niềm tin về toán học như với những thuyết thần bí. Tiêu biểu là nhóm Pythagoras, họ là những nhà toán học và triết gia sống ở những năm 582–496 trước công nguyên, là những người "khai sinh ra các con số" và tin tưởng một cách xác thực về các con số này. Họ tin vào sự tuyệt đối của các con số, do đó đã không chấp nhận việc Hippasus chứng minh sự tồn tại của số vô tỉ.

Còn Galileo Galilei, một nhà vật lý nổi tiếng thì cho rằng "Toán học là ngôn ngữ mà Thượng đế đã viết lên vũ trụ".

       Một nhà vật lý khác là Johannes Kepler tin tưởng rằng tỷ số của các vòng quỹ đạo của các hành tinh trong hệ Mặt Trời đã được xắp sếp bởi bàn tay Thượng đế, để tương ứng với sự dàn xếp đồng tâm của năm khối Platonic, mỗi quỹ đạo nằm trên đường tròn ngoại tiếp của một đa diện (đa giác?), và tiếp xúc với nhau.

        Paul Erdos thì biểu lộ quan điểm của mình về sự không thể diễn tả được của toán học khi ông nói rằng "Tại sao các con số lại mang một vẻ đẹp? Nó giống như việc hỏi tại sao bản Giao hưởng số 9 của Beethoven lại đẹp. Nếu bạn không nhận ra nó thì người khác không thể nói cho bạn được. Tôi biết các con số là đẹp. Chúng mà không đẹp thì chẳng có thứ gì là đẹp nữa."