2018-Bài toán liên quan thực tế hình học có lời giải

Bài toán thực tế liên quan đến hình học

 A. Nội dung kiến thức.

Bài toán thực tế liên quan đến hình học thường xoay quanh một số nội dung như sau: Tính toán để đường đi được ngắn nhất, tính toán để diện tích được lớn nhất, hay cũng có thể đơn giản là tính diện tích hoặc thể tích của một vật…

Ta chú ý một số kiến thức sau:

 1. Công thức tính chu vi, diện tích của các hình, thể tích của các khối hình.

* Hình tam giác: Cho tam giác ABC đường cao AH, đặt a = BC, b = CA, c = AB, h = AH.

Chu vi tam giác là : P = a + b + c.

Diện tích tam giác là :

( với ).

* Hình quạt: Xét hình quạt OAB có bán kính R, góc ở tâm bằng (tính theo radian).

Chu vi của hình quạt là :

Diện tích của hình quạt là :

* Hình nón, khối nón:

Diện tích xuang quanh của hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng r và có độ dài đường sinh bằng l là: 

Diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay bằng diện tích xung quanh của hình nón cộng với diện tích đáy của hình nón:

Thể tích của khối nón tròn xoay có có chiều cao h và bán kính đáy bằng r là:

*Hình trụ, khối trụ:

Diện tích xuang quanh của hình trụ có bán kính đáy bằng r và có đường sinh bằng l là:

Diện tích toàn phần của hình trụ bằng diện tích xung quanh của hình trụ đó cộng với diện tích hai đáy của hình trụ:

Thể tích của khối trụ có chiều cao h và có bán kính đáy bằng r là:

Chú ý: Trường hợp hình lăng trụ đứng và khối lăng trụ đứng (như hình vẽ) thì h = l.

*Mặt cầu, khối cầu:

Mặt cầu bán kính R có diện tích là:  

Khối cầu bán kính R có thể tích là:

2. Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, khoảng, nửa đoạn, nửa khoảng.

Có lẽ đây là một bài toán khá quen thuộc với rất nhiều bạn đọc, tác giả sẽ không nhắc lại phương pháp khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Tác giả cung cấp thêm cho bạn đọc một số công thức sau:

• Cho hàm số nếu  a > 0 thì hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất trên khi
• Cho hàm số nếu a < 0 thì hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất trên khi
• Với a , b  là các số thực dương thì ta có: Đẳng thức xảy ra khi a = b.

• Vớia , b, c  là các số thực dương thì ta có: Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

Phần chứng minh xin để lại cho bạn đọc.

3. Ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích hình phẳng, tính thể tích của khối tròn xoay.

• Nếu hàm số y = f(x)  liên tục trên đoạn [ a;b] thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường : là .
• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số liên tục trên đoạn [ a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b là
• Cho hàm số y = f(x)  liên tục trên [a , b]. Thể tích V của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường  : khi quay xung quanh trục hoành được tính theo công thức :
•    Thể tích V của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường liên tục trên đoạn [a;b]), x = a, x = b , khi quay xung quanh trục Ox được tính theo công thức :

B. Ví dụ minh hoạ.

Mua bộ đề và chuyên đề file word có lời giải nhắn tin “ Tôi cần tài liệu” gửi tới 01658.719.797

Ví dụ 1. Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên bờ biển ở vị trí A đến vị trí C trên một hòn đảo. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến đất liền là đoạn BC có độ dài 1 km, khoảng cách từ A đến B là 4 km. Người ta chọn một vị trí là điểm S nằm giữa A và B để mắc đường dây điện từ A đến S, rồi từ S đến C như hình vẽ dưới đây. Chi phí mỗi km dây điện trên đất liền mất 3000USD, mỗi km dây điện đặt ngầm dưới biển mất 5000USD. Hỏi điểm

Lời giải

Giả sử

Tổng chi phí mắc đường dây điện là : .

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của trên (0;4).

Cách 1: Ta có:

So sánh với điều kiện ta có

Đáp án A.

Cách 2:

Ta có: Ta có: f (3,25) =1600; f (1) =1881,13883; f (2) =1718,033989; f (1,5) =1796,291202.

Như vậy ta cũng tìm ra A là đáp án.

Bình luận: Không ít bạn đọc cho rằng cách giải thứ hai không được khoa học và làm mất đi vẻ

đẹp của toán học. Quan điểm của tác giả về Cách 1 và Cách 2 như sau:

• Cả hai cách đều phải tìm giá trị lớn nhất của f (x) trên (0;4).
• Cách 1: Chúng ta giải quyết bằng cách khảo sát hàm số f (x) trên khoảng (0;4) để tìm ra

giá trị của x mà tại đó f (x) đạt giá trị lớn nhất; tiếp theo, so sánh kết quả tìm được với các

đáp án A, B, C, D để tìm ra câu trả lời đúng cho câu hỏi.

• Cách 2: Sau khi lập được hàm số f (x) như Cách 1, tính f (3,25), f (1), f (2), f (1,5); số

lớn nhất trong bốn số tính được sẽ là giá trị lớn nhất của f (x). Từ đó, hiển nhiên, dễ dàng

tìm ra câu trả lời đúng cho câu hỏi.

Có thể thấy, rõ ràng Cách 2 giúp ta tìm đáp án nhanh hơn cách 1. Sự khác biệt giữa Cách 1 và Cách 2 nêu trên nằm ở quan niệm về tình huống đặt ra. Với Cách 1, ta coi các phương

án A, B, C, D chỉ là các dữ liệu đưa ra để đối chiếu; với Cách 2, ta coi các phương án A, B, C, D là giả thiết của tình huống đặt ra.

• Có lẽ những bài tập trắc nghiệm có thể làm theo Cách 2 đôi phần là hạn chế của việc kiểm tra

theo hình thức trắc nghiệm, tuy nhiên trong quá trình làm bài thi mỗi câu hỏi đã được người ra đề đã ngầm ấn định khoảng thời gian làm bài, do vậy theo tác giả nếu gặp câu hỏi này trong phòng thi học sinh nên làm theo Cách 2.

Mua bộ đề và chuyên đề file word có lời giải nhắn tin “ Tôi cần tài liệu” gửi tới 01658.719.797

Lời giải

Gọi độ dài IA và AB lần lượt là a và b ( 0 < a, b < 4).

Vì chu vi của cửa sổ bằng 4m nên ta có:

Diện tích của cửa sổ là:

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của S(a)  trên (0;4).

Cách 1:

Ta có: Suy ra :

Đáp án B.

Cách 2:

Do S(a) là hàm số bậc hai có hệ số của a2 âm nên nó đạt giá trị lớn nhất khi:

Đáp án B.

Bình luận: Vì sao tại (1) chúng ta không biểu diễn a theo b mà lại biểu diễn b theo a? Đâu đó có bạn đọc nghĩ rằng việc biểu diễn a theo b hay biểu diễn b theo a thì các bước làm vẫn vậy và không ảnh hưởng đến quá trình làm bài. Liệu điều này có đúng? Câu trả lời là không? Chúng ta biết rằng cửa gồm hai bộ phận (bộ phận hình chữ nhật và bộ phận có dạng nửa đường tròn), nhưng cả hai bộ phận này khi tính diện tích đều phải tính theo a. Như vậy nếu chúng ta biểu diễn a theo b thì việc tính toán sẽ phức tạp hơn khi biểu diễn b theo a. Công việc tưởng chừng như rất đơn giản này nhưng nó có thể giúp ích rất nhiều cho bạn đọc trong khi tính toán.

Mua bộ đề và chuyên đề file word có lời giải nhắn tin “ Tôi cần tài liệu” gửi tới 01658.719.797

Ví dụ 3. Có hai cây cột dựng trên mặt đất lần lượt cao 1 m và 4 m, đỉnh của hai cây cột cách nhau 5 m. Người ta cần chọn một vị trí trên mặt đất (nằm giữa hai chân cột) và giăng dây nối đến hai đỉnh cột để trang trí như mô hình bên dưới. Tính độ dài dây ngắn nhất.

Lời giải

Kẻ

Đặt

Độ dài đoạn dây cần giăng là :

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) trên (0;4)

Ta có:

Dùng MTCT sử dụng tính năng nhẩm nghiệm ta tính được:

Đáp án A.

Lời giải

Đặt : Ta có:

Góc nhìn BOC lớn nhất khi bé nhất. cosBOC

Cách 1:

Đặt: . Xét:

Ta có:

Suy ra cos BOC lớn nhất khi

Đáp án A.

Cách 2:

Ta sẽ thử xem trong 4 đáp án đã cho đáp án nào làm nhỏ nhất thì đó là đáp án cần tìm. cosBOC

Đặt: .Ta có:

Từ đó suy ra A là đáp án.

Lời giải

Trang giấy có kích thước tối ưu khi diện tích phần trình bày nội dung là lớn nhất.

Gọi chiều dài của trang giấy là suy ra chiều rộng là 

Diện tích để trình bày nội dung là:

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của với

Ta có :

Đáp án A.

Lời giải

Thể tích của hộp là: . Ta cần tìm x để V(x) đạt giá trị lớn nhất với 0 < x < 6.

Cách 1:

Ta có: V(6) = 0; V(3) = 108; V(2) = 128; V(4) = 64.

Suy ra C là đáp án.

Cách 2:

Ta có:

Suy ra:

Mà V(6) = 0; V(2) = 128 nên x = 2 thỏa mãn đề bài.

Đáp án C.