24 ĐỀ THI VÀO 10

ÑEÀ 01

Baøi 1: ( 1,5 điểm) Cho x < 1,5 ; ruùt goïn bieåu thöùc:  A = 3x - 1 -

Baøi 2: ( 3,5 điểm) Giaûi baøi toaùn sau baèng caùch laäp heä phöông trình.

      Moät ca noâ döï ñònh ñi töø A ñeán B trong moät khoaûng thôøi gian ñaõ ñònh . Neáu vaän toác ca noâ taêng theâm 3 km/h thì ca noâ ñeán B sôùm hôn döï ñònh 2h . Neáu vaän toác ca noâ giaûm ñi 3 km/h thì ca noâ ñeán B chaäm hôn döï ñònh 3h . Tìm vaän toác vaø thôøi gian maø ca noâ döï ñònh ñi luùc ñaàu .

Baøi 3: ( 5 điểm) Cho △ABC caân taïi A . Goïi M laø ñieåm naèm giöõa A vaø B ; N laø ñieåm naèm giöõa A vaø C sao cho MN = BM + CN . Tia phaân giaùc goùc caét caïnh BC taïi I . Treân ñoaïn MN laáy dieåm K sao cho NK = NC . CMR:

     a) △BMI = △KMI .

     b) Töù giaùc CNKI noäi tieáp.

     c) MI ⊥ IN .

ÑEÀ 02

Baøi 1: ( 1,5 điểm) Ruùt goïn bieåu thöùc: B = (x >0 ;x )

Baøi 2: ( 3,5 điểm) Giaûi baøi toaùn sau baèng caùch laäp heä phöông trình .

    Quaõng ñöôøng töø A ñeán B goàm moät ñoaïn leân doác daøi 4 km vaø moät ñoaïn xuoáng doác daøi 5 km .  Moät ngöôøi ñi xe ñaïp töø A ñeán B heát 40 phuùt vaø ñi töø B veà A heát 41 phuùt (vaän toác khi leân doác vaø xuoáng doác caû ñi vaø veà nhö nhau). Tìm vaän toác khi leân doác vaø khi xuoáng doác.

(g/yù: Laäp heä    )

Baøi 3: ( 5 điểm) Cho AB vaø CD laø hai ñöôøng kính vuoâng goùc cuûa ñöôøng troøn (O). Goïi E laø ñieåm tuøy yù treân cung nhoû AC (E khoâng truøng vôùi caùc ñieåm A vaø C). Caùc daây AC vaø BE caét nhau taïi F ; Caùc daây AB vaø DE caét nhau taïi K . CMR:

      a) Töù giaùc AEFK noäi tieáp. (g/yù: A vaø E cuøng nhìn ñoaïn FK döôùi   goùc khoâng ñoåi )

      b) FK // CD.

ÑEÀ 3

Baøi 1: ( 1,5 điểm) Ruùt goïn bieåu thöùc:   .

Baøi 2: ( 2,5 điểm) Cho A = : ( vôùi x > 0 ; x ; x 4)

a) Ruùt goïn A    ;    b) Tìm x ñeå A = .

Baøi 3: ( 1điểm) Giaûi heä phöông trình:

Baøi 4: ( 5 điểm) Cho △ABC nhoïn, coù AB khoâng baèng AC vaø noäi tieáp ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính AD . Ñöôøng cao AM cuûa tam giaùc caét (O) laàn nöõa taïi E .

a) CMR:   DE // BC vaø CE = BD.

b) Goïi H laø ñieåm ñoái xöùng vôùi E qua M . CMR:    BH ⊥ AC.

c) CMR:    HD ñi qua trung ñieåm ñoaïn BC .

ÑEÀ 4

Baøi 1: ( 1,5 điểm) Ruùt goïn bieåu thöùc: .

Baøi 2: ( 1,5 điểm)

Chöùng minh ñaúng thöùc:           ( vôùi x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x y )

Baøi 3: ( 2 điểm) Giaûi baøi toaùn sau baèng caùch laäp heä phöông trình

    Hai oâ toâ khôûi haønh cuøng moät luùc töø hai tænh A vaø B caùch nhau 150 km , ñi ngöôïc chieàu vaø gaëp nhau sau 2h . Bieát 2 laàn vaän toác oâ toâ ñi töø A lôùn hôn vaän toác oâ toâ ñi töø B laø 15 km/h . Tìm vaän toác cuûa moãi oâ toâ .

Baøi 4: ( 5 điểm) Cho AB laø ñöôøng kính cuûa ñöôøng troøn (O). Veõ daây CD vuoâng goùc vôùi AB. Goïi E laø ñieåm tuøy yù treân cung nhoû BC (E khoâng truøng caùc ñieåm B vaø C). Caùc daây AE vaø BC caét nhau taïi M ; caùc daây DE vaø AB caét nhau taïi N. CMR:

     a) Töù giaùc BEMN noäi tieáp.

     b) MN // CD.

     c) AE caét CD taïi K. CMR: AD laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp △EDK . (G/yù: Duøng ñònh lí ñaûo veà goùc taïo bôõi tia tieáp tuyeán vaø daây cung)

ÑEÀ 5

Baøi 1: ( 1,5 điểm) Cho hai haøm soá y = 0,25 . x2  vaø y = x - 1 coù ñoà thò laàn löôït laø ( P ) vaø ( d ).

    a) Veõ ( P ) vaø ( d ) treân cuøng moät heä toïa ñoä Oxy .

    b) Tìm toïa ñoä giao ñieåm giöõa ( d ) vaø ( P ) baèng pheùp tính .

Baøi 2: ( 3,5 điểm) Giaûi baøi toaùn sau baèng caùch laäp phöông trình

   Hai ñòa ñieåm A vaø B caùch nhau 120 km ; trong ñoù 2/3 quaõng ñöôøng ñaàu laø ñöôøng baèng phaúng ,coøn laïi laø ñöôøng leân doác . Luùc 7h saùng , moät oâ toâ khôûi haønh töø A ñeå ñi ñeán B . Sau khi ñi heát ñoaïn ñöôøng baèng phaúng , oâ toâ döøng laïi nghæ heát 20’ roài laïi tieáp tuïc ñi vôùi vaän toác nhoû hôn vaän toác luùc ñaàu laø 8km/h . OÂ toâ ñeán B luùc 10h . Tính vaän toác cuûa oâ toâ treân ñoaïn ñöôøng baèng phaúng .

Baøi 3: ( 5 điểm) Cho △ABC coù AI laø ñöôøng phaân giaùc trong ( I  [ BC ]). Veõ ñöôøng troøn (O) ngoaïi tieáp △ABI vaø ñöôøng troøn (O') ngoaïi tieáp △ACI . Tieáp tuyeán taïi B cuûa (O) vaø tieáp tuyeán taïi C cuûa (O') caét nhau taïi K. CMR:

a) Töù giaùc ABKC noäi tieáp .

b) A , I , K thaúng haøng .  

ÑEÀ 6

Baøi 1: ( 1,5 điểm) Thöïc hieän caùc pheùp tính :

a)     (1+ )(1 + )   ;    b)  (2 ) :

Baøi 2:   ( 2,5 điểm) Hai ngöôøi cuøng laøm chung moät coâng vieäc thì xong trong 4 ngaøy. Cuõng coâng vieäc ñoù, neáu ñeå ngöôøi I laøm rieâng ñöôïc nöûa coâng vieäc , sau ñoù ngöôøi II laøm rieâng nöûa coâng vieäc coøn laïi thì maát toång coäng heát 9 ngaøy. Tìm thôøi gian ñeå ngöôøi I laøm rieâng xong coâng vieäc? Bieát naêng suaát ngöôøi thöù I lôùn hôn naêng suaát ngöôøi thöù II.

Baøi 3: ( 1 điểm) Giaûi phöông trình .

(g/yù: ÑKXÑ: 2x - 3 ≥ 0 ; bình phöông hai veá ñöa veà p/t baäc hai ) 

Baøi 4: ( 5 điểm) Cho △ABC vuoâng taïi A ( AB < AC ) .  Goïi I laø ñieåm naèm giöõa A vaø C sao cho . Veõ ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính IC . Caùc ñöôøng thaúng BC vaø BI laàn löôït caét (O) taïi caùc ñieåm khaùc laø M vaø D .

CMR: a) IM = ID.

            b) DA laø tieáp tuyeán cuûa (O).

 

ÑEÀ 7

Baøi 1: ( 2 điểm) Giaûi caùc phöông trình sau :

a) (2x-1)(x + 4) = (x + 1)2      ;      b)   +=

Baøi 2: ( 2,5 điểm) Giaûi baøi toaùn sau baèng caùch laäp phöông trình

   Hai ñòa ñieåm A vaø B caùch nhau 120km . Cuøng luùc, coù hai  OÂ toâ khôûi haønh töø A ñeå ñi ñeán B . Bieát vaän toác OÂ toâ thöù II lôùn hôn vaän toác OÂ toâ thöù I laø 10km/h ; do ñoù OÂ toâ thöù II ñeán B tröôùc OÂ toâ thöù I laø 24’. Tìm vaän toác cuûa moãi OÂ toâ ?

Baøi 3:  ( 5 điểm) Cho △ABC caân taïi A ; M laø ñieåm naèm beân trong tam giaùc sao cho . Goïi I ; K ; L laàn löôït laø chaân caùc ñöôøng vuoâng goùc keû töø M ñeán caùc caïnh BC ; AB ; AC .

   a)CMR: BIMK noäi tieáp vaø LI laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp △BIK .

  b)CMR: MI2 = MK . ML

   c)Goïi P laø giao ñieåm cuûa BM vaø IK ; Q laø giao ñieåm  CM vaø IL .

      CMR: IPMQ noäi tieáp vaø PQ ⊥  IM .

 

ÑEÀ 8

Baøi 1: ( 1,5 điểm) Cho haøm soá y= a.x2 coù ñoà thò laø (P) ñi qua M(-; 1) . Tìm a ; veõ (P) öùng vôùi a vöøa tìm .

Baøi 2: ( 2 điểm) Cho phöông trình aån x :  4x2 +2(2m+1)x + m = 0

    a) Giaûi phöông trình ñaõ cho öùng vôùi m = - 3.

    b) C/toû phöông trình coù hai nghieäm ph/bieät x1 vaø x2 vôùi moïi m  R.

Baøi 3: ( 2,5 điểm) Hai ñòa ñieåm A vaø B caùch nhau 50km . Moät ngöôøi ñi xe ñaïp töø A ñeán B , sau ñoù 1h30’ moät ngöôøi ñi xe maùy cuõng ñi töø A ñeán B vôùi vaän toác lôùn hôn vaän toác xe ñaïp laø 18km/h . Xe maùy ñeán B tröôùc xe ñaïp 1h . Tìm vaän toác cuûa moãi xe ?

Baøi 4: ( 4 điểm) Cho △ABC vuoâng taïi A ; veõ vaøo beân trong tam giaùc nöûa ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính AB. Caïnh BC caét nöûa (O) taïi ñieåm khaùc laø Q; goïi E laø ñieåm tuøy yù treân cung ( E khoâng truøng A vaø Q). Tia BE caét caïnh AC taïi F .

    a) CMR: töø ñoù suy ra töù giaùc CQEF noäi tieáp.

    b) Tia QE caét caïnh AC taïi K ; phaân giaùc laàn löôït caét EF vaø CQ taïi M vaø N; phaân giaùc caét EQ vaø FC laàn löôït taïi P vaø D. Töù giaùc MPND laø hình gì? ( g/yù : Duøng goùc ngoaøi tam giaùc => △KPD caân vì coù hai goùc baèng nhau => MPND laø hình thoi).

 

ÑEÀ 9

Baøi 1: ( 1,5 điểm) Cho     (vôùi x ≥ 0 ; x  4 )

     a) Ruùt goïn P .

     b) Tìm x ñeå P = - 2  .

Baøi 2: ( 2 điểm) Giaûi caùc phöông trình sau:

a) x2 + 200x - 2100 = 0                 ;    b) 

Baøi 3: ( 2,5 điểm) Giaûi baøi toaùn sau baèng caùch laäp phöông trình

Hai ngöôøi cuøng laøm chung moät coâng vieäc thì xong trong 4h48,. Cuõng coâng vieäc ñoù neáu ñeå töøng ngöôøi laøm rieâng thì ngöôøi I laøm xong tröôùc ngöôøi II 4h . Tìm thôøi gian ñeå moãi ngöôøi laøm rieâng xong coâng vieäc.

Baøi 4: ( 4 điểm) Cho töù giaùc ABCD coù AB = BD vaø noäi tieáp nöûa ñöôøng troøn (O) . Caùc ñöôøng thaúng AB vaø CD caét nhau taïi E . Tieáp tuyeán taïi A cuûa nöûa (O) caét ñöôøng thaúng BC taïi Q . CMR:

    a) Töù giaùc ACEQ noäi tieáp .

    b) QE // AD .

 

ÑEÀ 10

Baøi 1: ( 1,5 điểm) Chöùng minh ñaúng thöùc sau:

                   ( vôùi a ≥ 0 ; b≥ 0 ; a b )

Baøi 2: ( 2 điểm) Giaûi caùc phöông trình sau:

a) x - = 2             ;            b)  -2x =  0

Baøi 3: ( 2,5 điểm) Hai ngöôøi cuøng laøm chung moät coâng vieäc thì xong trong 2h55'. Cuõng coâng vieäc ñoù neáu ñeå töøng ngöôøi laøm rieâng cho ñeán khi xong coâng vieäc thì toång coäng heát 12h . Tìm thôøi gian ñeå moãi ngöôøi laøm rieâng xong coâng vieäc ñoù ? Bieát naêng suaát ngöôøi I lôùn hôn naêng suaát ngöôøi thöù II .

Baøi 4: ( 4 điểm) Cho ñöôøng troøn (O) vaø BC laø daây khoâng qua taâm. Tieáp tuyeán taïi B vaø taïi C caét nhau ôû A . Goïi M laø ñieåm thay ñoåi treân cung nhoû ( M khoâng truøng caùc ñieåm B vaø C ) . Goïi H ; I ; K laàn löôït laø hình chieáu cuûa M leân BC ; CA ; AB . Caùc ñöôøng thaúng BM vaø HK caét nhau taïi P ; CM vaø HI caét nhau taïi Q.

a) CMR: Caùc töù giaùc BHMK ; MPHQ noäi tieáp .

b) CMR: PQ // BC .

 

ÑEÀ 11

Baøi 1: ( 2,5 điểm) Bieát phöông trình baäc hai:     x2 - 12x - 160 = 0 coù hai nghieäm phaân bieät x1 vaø x2 ; khoâng giaûi phöông trình ñeå tìm x1 vaø x2 ; haõy tính giaù trò cuûa caùc bieåu thöùc sau theo caùch hôïp lyù:

A =   ;      ;       ;     

Baøi 2: ( 1 điểm) Tìm x vaø y bieát:   x + y = 14 vaø xy = - 120 .

Baøi 3: ( 2,5 điểm) Luùc 8h saùng , moät OÂ-toâ ñi töø A ñeán B , ñöôøng daøi 150km . Ñi ñöôïc 2 / 3 quaõng ñöôøng , xe bò hoûng maùy phaûi döøng laïi söûa heát 15' roài ñi tieáp ñeán B vôùi vaän toác nhoû hôn luùc ñaàu laø 10km/h . OÂ-toâ ñeán B luùc 11h30'. Tìm vaän toác cuûa OÂ-toâ treân 2 / 3 quaõng ñöôøng ñaàu töø ñoù cho bieát OÂ-toâ bò hoûng maùy luùc maáy giôø .

Baøi 4: ( 4 điểm) Cho ñöôøng troøn ( O;R) vaø daây BC sao cho .Tieáp tuyeán taïi B vaø taïi C cuûa ñöôøng troøn caét nhau ôû A . Goïi M laø ñieåm treân cung nhoû (M khoâng truøng vôùi B vaø C ). Tieáp tuyeán taïi M cuûa ñöôøng troøn laàn löôït caét AB vaø AC taïi E vaø F .

a)Tính soá ño goùc .

b) Chöùng toû △ABC ñeàu vaø tính theo R chu vi △AEF.

c) OE caét BC taïi I ; OF caét BC taïi K . CMR: Töù giaùc OIFC noäi tieáp.

d) CMR: OM ; EK ; FI ñoàng quy vaø EF = 2 . KI .

ÑEÀ 12

Baøi 1: ( 1,5 điểm) Cho hai haøm soá: y= -x2 vaø y = mx + 2m - 4 coù ñoà thò  (P) vaø (d).

Veõ (P) ; chöùng toû raèng (d) vaø (P) luoân coù ñieåm chung .

Baøi 2: ( 2,5 điểm) Hai ñòa ñieåm A vaø B caùch nhau 160km . Luùc 7h saùng , moät oâ-toâ khôûi haønh töø A ñeå ñi ñeán B ; sau khi ñi ñöôïc 60km oâ-toâ ñeán ñòa ñieåm C vaø döøng laïi nghæ heát 15' sau ñoù ñi tieáp quaõng ñöôøng CB coøn laïi vôùi vaän toác lôùn hôn vaän toác luùc ñaàu laø 10km/h . OÂ-toâ ñeán B luùc 11h45'. Tính vaän toác cuûa oâ-toâ treân quaõng ñöôøng AC .

Baøi 3: ( 2 điểm) Cho phöông trình aån x : x2 -2mx + m2 - 6m  +10 = 0

a) Giaûi phöông trình ñaõ cho öùng vôùi m =  -3

b)Tìm m ñeå phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät ñeàu döông .

Baøi 4: ( 4 điểm) Cho nöûa  (O) ñöôøng kính AB . Veõ ñöôøng troøn (O’) tieáp xuùc vôùi baùn kính OA taïi I vaø tieáp xuùc trong vôùi nöûa (O) taïi C . Caùc tia CA vaø CB laàn löôït caét (O’) taïi caùc ñieåm khaùc laø D vaø E .

a)CMR: D , O’, E thaúng haønh ; DE // AB vaø CI laø phaân giaùc .

b)Tieáp tuyeán taïi E cuûa (O’) caét AB taïi K vaø caét nöûa (O) taïi F . CMR: Töù giaùc ACEK noäi tieáp vaø BF = BI .

 

ÑEÀ 13

Baøi 1: ( 2 điểm) Giaûi caùc phöông trình sau:

a) 3x2 + 92x - 703 = 0        ;       b)    + =

Baøi 2: ( 1,5 điểm) Tìm x vaø y bieát x - y = 59 vaø xy = -364

Baøi 3: ( 2,5 điểm) Moät ngöôøi ñi xe ñaïp töø A ñeán B , ñöôøng daøi 78 km. Sau ñoù 1 h , ngöôøi thöù hai baét ñaàu ñi töø B veà A vôùi vaän toác lôùn hôn vaän toác ngöôøi thöù nhaát laø 4 km / h . Hai ngöôøi gaëp nhau taïi ñòa ñieåm C caùch B laø 36 km. Tính vaän toác cuûa moãi ngöôøi .

Baøi 4: ( 4 điểm) Cho (O) vaø (O’) caét nhau taïi A vaø B, ( O vaø O’naèm khaùc phía ñoái vôùi ñöôøng thaúng AB) . Goïi CD laø moät tieáp tuyeán chung ( C  (O), D (O’); ngoaøi ra C; A; D cuøng thuoäc nöûa maët phaúng bôø laø OO’). Qua B  keõ ñöôøng thaúng song song vôùi CD,  ñöôøng thaúng naøy laàn löôït caét (O) vaø (O’) taïi caùc ñieåm khaùc laø P vaø K .  Caùc tia PC vaø KD caét nhau taïi F . CMR:

a) Töù giaùc ACFD noäi tieáp .

b) PK = 2.CD vaø BF ⊥ PK .

ÑEÀ 14

Baøi 1: ( 2 điểm) Cho phöông trình aån x :  .

a) Giaûi phöông trình ñaõ cho khi m = 7 .

b)Chöùng toû phöông trình ñaõ cho luoân coù nghieäm vôùi moïi m  R .

c)Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm naøy gaáp 2 laàn nghieäm kia .

Baøi 2 : ( 3 điểm) Moät xí nghieäp , theo keá hoaïch phaûi hoaøn thaønh 400 saûn phaåm trong moät khoaûng thôøi gian nhaát ñònh . Trong thöïc teá khi laøm, nhôø caûi tieán kyû thuaät neân moãi ngaøy xí nghieäp ñaõ laøm nhieàu hôn döï ñònh 20 saûn phaåm ; do ñoù xí nghieäp ñaõ hoaøn thaønh coâng vieäc sôùm hôn döï ñònh 1 ngaøy . Tính thôøi gian maø xí nghieäp döï ñònh laøm .

Baøi 3: ( 5 điểm) Cho ñöôøng troøn (O;R) ñöôøng kính AB coá ñònh . Goïi CD laø daây thay ñoåi luoân caét ñoaïn AB . Tieáp tuyeán taïi B cuûa ñöôøng troøn laàn löôït caét caùc tia AC vaø AD taïi M vaø N .

a)  CMR: AC . AM = AD . AN

b)  CMR: Töù giaùc MCDN noäi tieáp .

c)   Goïi I laø trung ñieåm cuûa BM . CMR: IC laø tieáp tuyeán cuûa (O;R) .    d)   Vôùi vò trí naøo cuûa daây CD thì △AMN ñeàu .

ÑEÀ 15

Baøi 1: ( 1,5 điểm) Ruùt goïn bieåu thöùc :

Baøi 2: ( 2 điểm) Cho heä phöông trình:

a)Giaûi heä ñaõ cho vaø minh hoïa taäp nghieäm cuûa noù baèng ñoà thò.

b)Tính khoaûng caùch töø  goác toïa ñoä O ñeán ñöôøng thaúng 2x - y = 4.

Baøi 3: ( 2,5 điểm) Moät xí nghieäp vaän taûi döï ñònh cuøng luùc chuyeân chôû 120 taán haøng (soá haøng treân caùc xe laø nhö nhau ) . Khi thöïc teá chuyeân chôû thì coù 4 xe phaûi ñieàu ñi nôi khaùc , do ñoù moãi xe coøn laïi phaûi chôû nhieàu hôn döï ñònh 1 taán . Tính soá xe ban ñaàu cuûa xí nghieäp .

Baøi 4: ( 4 điểm) Cho nöûa ñ. troøn (O), ñöôøng kính AB = 2.R coá ñònh . Qua trung ñieåm C cuûa OA veõ ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi OA , ñöôøng thaúng naøy caét nöûa ñöôøng troøn ôû I . Goïi M laø ñieåm thay ñoåi luoân naèm giöõa C vaø I ; tia AM caét nöûa ñöôøng troøn taïi ñieåm khaùc laø D . Tieáp tuyeán taïi D caét tia CI ôû E ; tia BD caét tia CI ôû P . CMR:

a)Töù giaùc BCMD noäi tieáp vaø △DME caân .

b) Tính S theo R khi M laø trung ñieåm ñoaïn CI .

c) Khi M thay ñoåi thì taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp △AMP luoân naèm treân moät ñöôøng coá ñònh .

ÑEÀ 16

Baøi 1: ( 1 điểm) Ruùt goïn bieåu thöùc :     (vôùi 0 < a < 2 )

Baøi 2: ( 2,5 điểm) Moät ñaùm ñaát hình chöõ nhaät coù chu vi 152m. Neáu taêng chieàu daøi theâm 5m, taêng chieàu roäng theâm 4m thì dieän tích taêng theâm 360m2. Tính chieàu daøi vaø chieàu roäng luùc ñaàu .

Baøi 3: ( 2,5 điểm) Cho phöông trình aån x : x2 -2(m + 1)x + 2m +10 = 0

a) Giaûi phöông trình ñaõ cho khi m =  - 6

b) Tìm m ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm x1 , x2 . ( G/yù: ▲  0 )

c) Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm naøy gaáp 5 laàn nghieäm kia.

Baøi 4: ( 4 điểm) Cho nöûa ñ.troøn (O) ñöôøng kính AB . Veõ ñöôøng troøn (S) tieáp xuùc vôùi baùn kính OA taïi M vaø tieáp xuùc trong vôùi nöûa (O) taïi C . Caùc tia CA vaø CB laàn löôït caét (S) taïi caùc ñieåm khaùc laø D vaø E .

   a)CMR: D , S , E thaúng haøng ; DE // AB vaø CM laø phaân giaùc .

   b) Tieáp tuyeán taïi E cuûa (S) caét AB taïi K vaø caét nöûa (O) taïi F .

       CMR: ACEK noäi tieáp vaø BF = BM .

 

ÑEÀ 17

Baøi 1: ( 2 điểm) R.goïn:A =;B =: (a > 0,a 4)

Baøi 2: ( 2 điểm) Giaûi caùc phöông trình vaø heä phöông trình sau:

a) 13x2 + 393x - 310 = 0    ;  b) 

Baøi 3: ( 2,5 điểm) Moät phoøng hoïp  ñöôïc keâ thaønh caùc daõy gheá (soá choã ngoài treân caùc daõy gheá nhö nhau) vaø caû thaûy 500 choã ngoài . Trong moät buoåi hoïp coù 616 ngöôøi ñeán hoïp neân phaûi keâ theâm 3 daõy gheá nöõa vaø moãi daõy xeáp theâm 2 choã ngoài nöõa môùi ñuû . Hoûi ban ñaàu coù bao nhieâu daõy gheá.

Baøi 4: ( 3,5 điểm) Cho (O;R) vaø (O’;r) vôùi R > r tieáp xuùc ngoaøi taïi P. Ñöôøng noái taâm OO’ laàn löôït caét (O) vaø (O’) taïi caùc ñieåm khaùc laø M vaø N. Qua trung ñieåm H cuûa MN veõ daây QS cuûa(O) sao cho QS ⊥ MN. Tia QP caét (O’) taïi ñieåm khaùc laø K.

a)Töù giaùc MQNS laø hình gì ;chöùng toû N ; K ; S thaúng haøng .

b) QN caét (O’) taïi ñieåm khaùc laø I . CMR: MN ; QK ; SI ñoàng quy .

c)Chöùng toû KH laø tieáp tuyeán cuûa (O’).

ÑEÀ 18

Baøi 1: ( 2 điểm)

a) Ruùt goïn bieåu thöùc A =

b) Chöùng minh ñaúng thöùc:

              ( vôùi a ≥ 0 ; b≥ 0 ; a b )

Baøi 2: ( 1,5 điểm) Cho phöông trình aån x :  x2 + mx +2m – 4 = 0

a) Giaûi phöông trình ñaõ cho öùng vôùi = - 48 .

b) Chöùng toû phöông trình ñaõ cho luoân coù nghieäm vôùi moïi m  R

Baøi 3: ( 2,5 điểm) Hai ñoäi laøm ñöôøng, moãi ñoäi phaûi laøm rieâng phaàn vieäc cuûa mình laø 10 km ñöôøng. Trong 1 ngaøy caû hai ñoäi laøm ñöôïc toång coäng 4,5 km ñöôøng . Hoûi trong 1 ngaøy moãi ñoäi laøm ñöôïc bao nhieâu km ; bieát raèng ñoäi I laøm xong phaàn vieäc cuûa mình tröôùc ñoäi II laø 1 ngaøy.

Baøi 4: ( 4 điểm) Cho DE laø daây khoâng qua taâm cuûa (O) ; A laø ñieåm thay ñoåi treân tia ñoái cuûa tia DE ( A khaùc D). Töø A keõ caùc tieáp tuyeán AB , AC vôùi (O) ( B vaø C laø caùc tieáp ñieåm).

a) CMR: Khi A thay ñoåi thì ñöôøng troøn ngoaïi tieáp △ABC  luoân ñi qua hai ñieåm coá ñònh.

b) Ñöôøng thaúng qua D vaø vuoâng goùc OB laàn löôït caét BC vaø BE taïi H vaø K . CMR: DH = HK.

ÑEÀ 19

Baøi 1: ( 1 điểm) Ruùt goïn bieåu thöùc:   A =

Baøi 2: ( 2,5 điểm) Cho phöông trình:    (m laø tham soá )

a) Giaûi phöông trình ñaõ cho khi m = - 1.

b) Ch.toû ph.trình ñaõ cho coù hai nghieäm ph.bieät x1 vaø x2 vôùi moïi m R

c) Tìm m ñeå bieåu thöùc B = ñaït giaù trò nhoû nhaát .

Baøi 3: ( 2,5 điểm) Hai voøi cuøng chaûy vaøo moät beå khoâng coù nöôùc thì sau 6h40' ñaày beå . Neáu ñeå töøng voøi chaûy rieâng cho ñeán khi ñaày beå thì maát toång coäng heát 27h . Tìm thôøi gian ñeå moãi voøi chaûy rieâng ñaày beå ? Bieát naêng suaát voøi I lôùn hôn naêng suaát voøi II .

Baøi 4: ( 4 điểm) Cho nöûa (O), ñöôøng kính AB = 2R coá ñònh. Goïi P laø ñieåm chính giöõa cuûa ; M laø ñieåm thay ñoåi treân . Treân tia AM xaùc ñònh ñieåm K sao cho AK = BM .

a) Xaùc ñònh hình daïng △PMK .

b) Tính theo R dieän tích hình vieân phaân giôùi haïn bôõi vaø daây AP.

c) Tia BP caét tieáp tuyeán taïi A ôû ñieåm C . CMR: CK ⊥ AM ; töø ñoù suy ra raèng khi M thay ñoåi thì K luoân chaïy treân moät ñöôøng coá ñònh.

ÑEÀ 20

Baøi 1:  ( 1,5 điểm) Cho B = -

a) Tìm x ñeå B xaùc ñònh ; ruùt goïn B    ;     b) Tìm x ñeå B = 1

Baøi 2: ( 1,5 điểm) Giaûi caùc phöông trình:

a)                     ;        b)

Baøi 3: ( 2,5 điểm) Hai ngöôøi cuøng laøm chung moät coâng vieäc thì xong trong 6 ngaøy . Cuõng coâng vieäc ñoù neáu ñeå töøng ngöôøi laøm rieâng cho ñeán khi xong coâng vieäc thì toång coäng heát 25 ngaøy . Tìm thôøi gian ñeå moãi ngöôøi laøm rieâng xong coâng vieäc? Bieát naêng suaát ngöôøi I nhoû hôn naêng suaát ngöôøi II .

Baøi 4: ( 4,5 điểm) Cho △ABC nhoïn ( AB khoâng baèng AC) vaø noäi tieáp (O). Goïi H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc, I laø trung ñieåm BC ; D laø ñieåm ñoái xöùng vôùi H qua I.

a) CMR: D  (O) vaø A , O , D thaúng haøng.

b) Goïi S laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp △BHC . CMR: AS ñi qua trung ñieåm ñoaïn OI .

ÑEÀ 21

Baøi 1: ( 1,5 điểm) Cho J = :    ( vôùi x > 0 ; x ; x 4)

a) Ruùt goïn J             ;         b) Tìm x ñeå J = .

Baøi 2: ( 1,5 điểm) Giaûi caùc phöông trình:

a)                   ;        b) 

Baøi 3: ( 2,5 điểm) Moät phoøng hoïp  ñöôïc keâ thaønh caùc daõy gheá (soá choã ngoài treân caùc daõy gheá nhö nhau) vaø caû thaûy 40 choã ngoài . Trong moät buoåi hoïp coù 55 ngöôøi ñeán hoïp neân phaûi keâ theâm 1 daõy gheá nöõa vaø moãi daõy xeáp theâm 1 choã ngoài nöõa môùi ñuû . Hoûi ban ñaàu coù bao nhieâu daõy gheá.

Baøi 4: ( 4,5 điểm) Cho AB laø daây coá ñònh vaø khoâng qua taâm cuûa (O) . Goïi M laø ñieåm thay ñoåi treân ñöôøng thaúng AB ( M naèm beân ngoaøi (O)) . Töø M keõ caùc tieáp tuyeán MC vaø MD vôùi (O) ( C vaø D laø caùc tieáp ñieåm) . Ñoaïn thaúng MO caét (O) taïi I .

a) CMR: I laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp △MCD vaø AC.BD = AD.BC .

b) Ñöôøng thaúng qua O vaø song song vôùi CD caét tia MC taïi K . Xaùc ñònh vò trí M treân ñöôøng thaúng AB ñeå SOMK nhoû nhaát.

ÑEÀ 22

Baøi 1: ( 1,5 điểm) Ruùt goïn b.thöùc: K =

Baøi 2: ( 1,5 điểm) Cho heä phöông trình:

a) Giaûi heä ñaõ cho khi m = 3 .

b)Tìm m ñeå heä ñaõ cho coù nghieäm (x0 ; y0) thỏa: x0 > 0 vaø y0 < 0.

Baøi 3: ( 2,5 điểm) Moät ca noâ xuoâi doøng 144 km roài ngöôïc doøng 80 km.Bieát thôøi gian xuoâi doøng nhieàu hôn thôøi gian ngöôïc doøng laø 1 h . Tìm vaän toác cuûa ca noâ trong nöôùc yeân laëng ; bieát vaän toác doøng nöôùc laø 4 km/ h .

Baøi 4: ( 4,5 điểm) Cho ñöôøng troøn (O; R) coù hai ñöôøng kính AB vaø CD coá ñònh , vuoâng goùc nhau . Goïi M laø ñieåm thay ñoåi treân cung nhoû   (M khoâng truøng B vaø C ) . Daây MA laàn löôït caét  ñöôøng kính CD vaø daây BC taïi P vaø Q daây MD caét ñöôøng kính AB taïi E.

a)     CMR: Töù giaùc BMQE noäi tieáp vaø QE // CD .

b)     Tìm vò trí M treân cung nhoû BC ñeå tích p = MA.MB.MC.MD lôùn nhaát.

     c)   Tính theo R  dieän tích S.

ÑEÀ 23

Baøi 1: ( 1điểm) Giaûi heä phöông trình:

Baøi 2: ( 2 điểm) (Giaûi baøi toaùn sau baèng caùch laäp heä phöông trình)

    Hai voøi cuøng chaûy vaøo moät beå trong 1h thì ñöôïc 0,3 beå . Neáu voøi I chaûy trong 3h vaø voøi II chaûy trong 2h thì toång coäng môùi ñöôïc 0,8 beå. Tìm thôøi gian ñeå moãi voøi chaûy rieâng ñaày beå.

Baøi 3: ( 2 điểm) (Laäp heä) Tìm soá töï nhieân coù hai chöõ soá, bieát tæ soá giöõa chöõ soá haøng ñôn vò vaø chöõ soá haøng chuïc laø 1 / 3 . Neáu ñoåi choã hai chöõ soá roài vieát theâm chöõ soá 5 vaøo giöõa hai chöõ soá cuûa soá môùi naøy ñöôïc soá coù ba chöõ soá lôùn hôn soá caàn tìm laø 194 .

Baøi 4: ( 4 điểm) Cho AB ; CD laø hai ñöôøng kính vuoâng goùc cuûa ñöôøng troøn  (O;R). Goïi I laø trunh ñieåm cuûa OB. Tia CI caét ñöôøng troøn laàn nöõa taïi E. Tia AE caét CD taïi K .

a) Chöùng toû EI laø tia phaân giaùc goùc AEB vaø EA = 3.EB .

b) CMR: △AOK ∽ △AEB

c) Tính ñoä daøi ñoaïn DK theo baùn kính R.

Baøi 5*: ( 1 điểm) Cho a , b laø caùc soá khoâng aâm. CMR: .

ÑEÀ 02

Baøi 1: Trong heä toïa ñoä Oxy cho ba ñöôøng thaúng:

2x + 3y = 7 (d1) ; 3x + 2y = 13 (d2) vaø ( 2m - 1)x + my = 5 (d3).

a) Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa (d1) vaø (d2) baèng pheùp tính.

b) Tìm m ñeå ba ñöôøng thaúng ñaõ cho ñoàng quy.

Baøi 2: (Laäp heä) Moät hình chöõ nhaät coù chu vi laø 34 cm. Tính ñoä daøi ñöôøng cheùo cuûa noù?  Bieát theâm raèng 2 laàn chieàu daøi lôùn hôn 3 laàn chieàu roäng laø 9cm.

Baøi 3: (Laäp heä) Hai voøi cuøng chaûy vaøo moät beå (khoâng coù nöôùc) thì sau 4h ñaày beå . Trong thöïc teá ngöôøi ta môû rieâng voøi I  chaûy trong 9h roài môû tieáp voøi II cuøng chaûy thì sau 1h nöõa ñaày beå. Tìm thôøi gian moãi voøi chaûy rieâng ñaày beå.

Baøi 4: Treân nöûa ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính BC , laáy M vaø N sao cho ba cung BM, MN , NC baèng nhau. Treân ñoaïn BC laáy D vaø E sao cho BD = DE = EC, caùc tia MD vaø NE caét nhau taïi A.

a) Töù giaùc MOCN laø hình gì?

b) CMR: AD = 2. DM.

c) CMR: △ADC ∽ △MDB töø ñoù suy ra △ABC ñeàu.

Baøi 5*: Cho a > 0, b > 0. CMR:  .          

 

ÑEÀ 03

Baøi 1: Giaûi heä phöông trình:

Baøi 2: Tìm soá töï nhieân coù hai chöõ soá , bieát raèng chöõ soá haøng chuïc lôùn hôn chöõ soá haøng ñôn vò laø 2 . Neáu vieát theâm chöõ soá baèng chöõ soá  haøng chuïc vaøo beân phaûi cuûa soá caàn tìm thì ñöôïc soá môùi (coù ba chöõ soá) lôùn hôn soá caàn tìm laø 682.

Baøi 3: Hai ngöôøi cuøng laøm chung moät coâng vieäc thì xong trong 20 ngaøy. Thöïc teá khi laøm chung ñöôïc 12 ngaøy thì ngöôøi thöù I chuyeån ñi laøm vieäc nôi khaùc coøn ngöôøi thöù II vaãn tieáp tuïc laøm. Sau khi ngöôøi thöù I ñi ñöôïc 12 ngaøy thì quay veà ; luùc ñoù ngöôøi thöù II ñöôïc nghæ coøn ngöôøi thöù I tieáp tuïc laøm moät mình coâng vieäc coøn laïi heát 6 ngaøy nöõa môùi xong.Tìm t.gian moãi ngöôøi laøm rieâng xong coâng vieäc.

Baøi 4: Cho (O) vaø (O') ôû ngoaøi nhau ; ñoaïn noái taâm caét (O) vaø (O') laàn löôït taïi B vaø C . Goïi BA vaø CD laø caùc ñöôøng kính cuûa (O) vaø (O') . Veõ EF laø tieáp tuyeán chung ngoaøi ( E  (O) ; F  (O') ) . Caùc tia AE vaø DF caét nhau taïi M ; caùc tia EB vaø FC caét nhau taïi N . CMR:

a)  MENF laø hình chöõ nhaät. (gôïi yù: OE // O'F vaø BAE = 1/2 . EOB )

b) MN ⊥ AD

c)  ME . MA = MF . MD.

Baøi 5*: Cho a , b , c > 0 . CMR: .

ÑEÀ 04

Baøi 1: Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua A(-3 ; 2) vaø B(5 ; -4) .

Baøi 2: Moät thöûa ruoäng hình chöõ nhaät , neáu taêng chieàu daøi theâm 2m vaø taêng chieàu roäng theâm 3m thì dieän tích taêng theâm 100m2. Neáu giaûm caû chieàu daøi laãn chieàu roäng ñi 2m thì dieän tích giaûm ñi 68m2. Tính dieän tích cuûa thöûa ruoäng ñoù.

Baøi 3: Hai ngöôøi cuøng laøm chung moät coâng vieäc thì xong trong 10 ngaøy. Trong thöïc teá hai ngöôøi môùi laøm chung ñöôïc 3 ngaøy thì ngöôøi thöù nhaát laïi chuyeån ñi nôi khaùc ; moät mình ngöôøi thöù hai laøm theâm 3 ngaøy nöõa thì toång coäng môùi ñöôïc 2/5 coâng vieäc. Tìm thôøi gian ñeå moãi ngöôøi laøm rieâng xong coâng vieäc.

Baøi 4: Cho △ABC noäi tieáp ñöôøng troøn (O) . Goïi M ; N ; P laàn löôït laø ñieåm chính giöõa cuûa caùc cung AB ; BC ; CA.

a) CMR: Ba ñöôøng thaúng AN ; BP ; CM ñoàng quy taïi moät ñieåm goïi laø I .

b) CMR: NB = NI = NC.

c) MN caét AB taïi D ; PN caét AC taïi E . CMR: D ; I ; E thaúng haøng.

Baøi 5*: Cho a ≥ 1 ; b ≥ 1 . CMR: .

 

ÑEÀ 05

Baøi 1: Giaûi heä phöông trình :

Baøi 2: Hai thöûa ruoäng hình chöõ nhaät; thöûa thöù I coù chu vi laø 240m; thöûa thöù II coù chieàu daøi vaø chieàu roäng laàn löôït hôn chieàu daøi vaø chieàu roäng thöûa thöù I laø 15m . Tính dieän tích thöûa thöù I ; bieát tæ soá dieän tích cuûa chuùng laø 5 / 8.

Baøi 3: Cho △ABC vuoâng taïi A ; AB < AC ; AH laø ñöôøng cao . Goïi D laø ñieåm ñoái xöùng vôùi B qua H . Töø C , keõ CE ⊥ AD taïi E . CMR:

a) A , C , E , H cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn .

b) HA = HE .

Baøi 4: Cho △ABC vuoâng taïi A vaø M laø ñieåm tuøy yù naèm giöõa A vaø C . Veõ ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính MC . Ñöôøng thaúng BC caét (O) taïi ñieåm khaùc laø N ; BM caét (O) taïi ñieåm khaùc laø D ; AD caét (O) taïi ñieåm khaùc laø S . CMR:

a) A , B , C , D cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn .

b) CA laø tia phaân giaùc goùc  SCB .

c) SN // AB .

Baøi 5*: Cho a , b, c, d  R . CMR:   .

 

 

ÑEÀ 06

Baøi 1: Giaûi heä phöông trình :     (coù hai nghieäm ?)

Baøi 2: Hai voøi cuøng chaûy vaøo moät beå (khoâng coù nöôùc) thì sau 12h ñaày beå . Trong thöïc teá ngöôøi ta cho hai voøi cuøng chaûy ñöôïc 8h sau ñoù taéc voøi I chæ ñeå rieâng voøi II chaûy tieáp 5h nöõa ñaày beå . Tìm thôøi gian ñeå moãi voøi chaûy rieâng ñaày beå .

Baøi 3: Cho △ABC noäi tieáp ñöôøng troøn (O) ; tia phaân giaùc goùc BAC caét (O) laàn nöõa taïi M . Tieáp tuyeán taïi M cuûa (O) laàn löôït caét caùc tia AB ; AC taïi D vaø E .

CMR: a) BC // DE .

            b) △AMB ∽ △MEC ; töø ñoù suy ra MB laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp △AME .    

Baøi 4: Cho AB laø ñöôøng kính cuûa (O) ; veõ daây CD ⊥ AB ; treân tia ñoái cuûa tia CD laáy M (M khaùc C) . Töø M keõ caùc tieáp tuyeán ME ; MF vôùi (O) (E ; F laàn löôït thuoäc caùc cung nhoû AC ; BC) ; BE caét CD taïi K . CMR:

            a) EB laø tia phaân giaùc goùc CED .

            b) M laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp △EFK .

            c*)  A , K , F thaúng haøng .

Baøi 5*: Cho a > 0 ; b > 0 vaø a + b = 1 . CMR: .

 

ÑEÀ 07

Baøi 1: Ruùt goïn bieåu thöùc:  A =     (vôùi x ≥ 0 ; x )

Baøi 2: Giaûi heä phöông trình:

Baøi 3: Cho M naèm beân ngoaøi ñöôøng troøn (O) . Töø M keõ caùc tieáp tuyeán MA ; MB vôùi (O) (A vaø B laø caùc tieáp ñieåm). Veõ daây AC cuûa (O) sao cho AC // MB . Ñöôøng thaúng MC caét (O) taïi ñieåm khaùc laø E ; AE caét MB taïi K . CMR:

    a) MK2 = KE . KA .

    b) K laø trung ñieåm BM .

Baøi 4: Cho töù giaùc ABCD noäi tieáp ñöôøng troøn (O) (AB < CD) . Goïi M laø ñieåm chính giöõa cuûa cung nhoû AB . Ñöôøng thaúng CM laàn löôït caét caùc ñöôøng thaúng AB ; AD taïi E vaø I . Ñöôøng thaúng DM laàn löôït caét caùc ñöôøng thaúng AB ; BC taïi F vaø K . CMR:

    a) Töù giaùc CDFE noäi tieáp .

    b) Töù giaùc CDIK noäi tieáp .

    c) IK // AB .

Baøi 5*: Cho a > 0 , b > 0 .C/m baát ñaúng thöùc:  a5 + b5 ≥ a2b2(a + b) .

 

 

ÑEÀ 08

Baøi 1: Ruùt goïn bieåu thöùc:  B = +   (vôùi x ≥ 0 ; x )

Baøi 2: Giaûi caùc phöông trình sau:

a)     ;     b)

Baøi 3: Cho hình vuoâng ABCD ; M laø ñieåm tuøy yù naèm giöõa B vaø C . Treân tia ñoái cuûa tia DC laáy ñieåm N sao cho MAN = 1v. Goïi O laø trung ñieåm MN . CMR:

a) Töù giaùc ABMO noäi tieáp.

b) Ba ñieåm B , O , D thaúng haøng.

Baøi 4: Cho △ABC caân taïi A vaø noäi tieáp ñöôøng troøn (O) . Goïi E laø ñieåm tuøy yù naèm giöõa A vaø B . Treân tia ñoái cuûa tia CA laáy ñieåm F sao cho BE = CF . Goïi AA' laø ñöôøng kính cuûa (O) ; I laø giao ñieåm cuûa EF vaø BC . CMR:

a) △A'EF caân vaø töù giaùc AEA'F noäi tieáp.

b) Töù giaùc A'ICF noäi tieáp vaø IE = IF.

Baøi 5*: Cho a > b vaø ab = 1 . CMR:  .

 

ÑEÀ 9

Baøi 1: Thöïc hieän pheùp tính:

Baøi 2: Ruùt goïn bieåu thöùc: C = (vôùi x ≥ 0)

Baøi 3: Cho △ABC noäi tieáp ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính AB . Goïi M laø ñieåm tuøy yù naèm giöõa A vaø B . Keõ MD ⊥ AC taïi D ; tia phaân giaùc goùc caét ñoaïn MD taïi E vaø caét (O) laàn nöõa taïi K . Tia CE caét (O) laàn nöõa taïi F . CMR:

      a) Töù giaùc AEMF noäi tieáp .

      b) F , M , K thaúng haøng .

Baøi 4: Cho △ABC caân taïi A ; M laø ñieåm tuøy yù naèm giöõa B vaø C . Veõ ñöôøng troøn (O) ñi qua M vaø tieáp xuùc AB taïi B ; veõ (O') ñi qua M vaø tieáp xuùc AC taïi C . Goïi D laø giao ñieåm thöù hai cuûa (O) vaø (O') . CMR:

     a) Töù giaùc ABDC noäi tieáp .

     b) A , M , D thaúng haøng .

Baøi 5*: Giaûi phöông trình:  (G/yù: Ñaët )

ÑEÀ 10

Baøi 1: Chöùng minh ñaúng thöùc:

  (vôùi x > 1 )

Baøi 2: Töø ñieåm A ôû beân ngoaøi ñöôøng troøn (O) ; keõ hai tieáp tuyeán AB vaø AC vôùi (O) (B vaø C laø caùc tieáp ñieåm) . Moät caùt tuyeán qua A caét (O) taïi E vaø F ( E naèm giöõa A vaø F) . Ñöôøng thaúng qua E vaø song song AB laàn löôït caét BC vaø BF taïi M vaø N . Goïi I laø trung ñieåm cuûa EF . CMR:

a) Töù giaùc MECI noäi tieáp .                          (g/yù: C/m  )

b) ME = MN .      (g/yù: c/m )

Baøi 3: Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB . Treân tia ñoái cuûa tia BA laáy ñieåm C . Töø C keõ tieáp tuyeán CE vôùi nöûa (O) (E laø tieáp ñieåm) . Moät caùt tuyeán qua C caét nöûa (O) taïi M vaø N . Goïi I laø hình chieáu cuûa E leân AB . CMR:

a) CI . CO = CM . CN .

b)  △CIM ∽ △CNO .

c) Töù giaùc MNOI noäi tieáp .

Baøi 4*: Giaûi phöông trình :

(g/yù: ÑKXÑ (?) ; ñaët )

 

ÑEÀ 11

Baøi 1: Giaûi phöông trình: (x - 3) (x + 4) + (x - 2) (x + 2)  = 2 (x + 1)2

Baøi 2: Ruùt goïn bieåu thöùc: N = (vôùi x )

Baøi 3: Cho M naèm beân ngoaøi ñöôøng troøn (O) ; töø M keõ caùc tieáp tuyeán MC vaø MD vôùi (O) (C vaø D laø caùc tieáp ñieåm) . Moät caùt tuyeán qua M caét (O) taïi A vaø B (B naèm giöõa A vaø M) . Phaân giaùc goùc caét AB ôû E . Goïi I laø trung ñieåm AB .

     a) C/m MC = ME .

     b) C/m DE laø tia phaân giaùc goùc .

     c) C/m  .

Baøi 4: Cho △ABC caân taïi A vaø noäi tieáp ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính AA'. Goïi E laø ñieåm tuøy yù naèm giöõa A vaø B . Treân tia ñoái cuûa tia CA laáy ñieåm F sao cho BE baèng CF . Goïi I laø giao ñieåm EF vaø BC . CMR:

     a) △A'EF caân vaø töù giaùc AEA'F noäi tieáp.

     b) Töù giaùc A'ICF noäi tieáp vaø IE = IF .

Baøi 5*: Cho a , b , c > 0 vaø a + b + c = 1 . CMR:

(g/yù: 12 = [(a + b ) + c ]2 ≥ 4(a + b) c ; sau ñoù nhaân hai veá cho soá döông a + b )

ÑEÀ 12

Baøi 1: C/minh ñaúng thöùc: ( x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x y )

Baøi 2: Giaûi heä phöông trình:

Baøi 3: Cho ñöôøng troøn (O) noäi tieáp △ABC vaø tieáp xuùc caùc caïnh BC ; CA laàn löôït taïi D vaø E . Goïi M ; N laàn löôït laø hình chieáu cuûa A vaø B xuoáng caùc ñöôøng thaúng BO vaø AO . CMR:

a) Caùc töù giaùc AEMO ; ABNM noäi tieáp.

b) D , N , M , E thaúng haøng .

Baøi 4: Cho △ABC ngoaïi tieáp ñöôøng troøn (O) ; caùc caïnh AB ; BC ; CA laàn löôït tieáp xuùc (O) taïi D ; I ; E . Goïi P ; Q ; R laàn löôït laø hình chieáu cuûa B ; I ; C leân ñöôøng thaúng DE . CMR:

a) △BPD ∽ △CRE .

b) △BPQ ∽ △CRQ töø ñoù suy ra raèng QI laø tia phaân giaùc goùc .

Baøi 5*: Giaûi phöông trình: x3 - 3x2 + 9x - 9 = 0    

 

ÑEÀ 13

Baøi 1: Cho bieåu thöùc  Q = (vôùi a > 0; a 1 ; 4)

a)     Ruùt goïn Q .                 b)  Tìm a ñeå  Q = 4 .

Baøi 2: Cho △ABC coù AB AC vaø AD laø ñöôøng phaân giaùc trong , AM laø ñöôøng trung tuyeán ( D, M  BC ) . Veõ ñöôøng troøn (O) ngoaïi tieáp △ADM . Caùc ñöôøng thaúng AB vaø AC laàn löôït caét (O) taïi caùc ñieåm khaùc laø E vaø F . CMR:

      a)  △BAD ∽ △BME töø ñoù suy ra .

      b)  BE = CF   (g/yù: Duøng theâm t/c ñöôøng phaân giaùc L8 )

Baøi 3: Cho △ABC nhoïn vaø noäi tieáp ñöôøng troøn (O) . Caùc tieáp tuyeán taïi B vaø taïi C caét nhau ôû D . Caùt tuyeán qua D vaø song song vôùi AB caét ñöôøng troøn taïi E vaø F; caùc daây AC vaø EF caét nhau taïi I . CMR:

     a) D , O , I , C cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn.

     b) IE = IF.

Baøi 4: Tìm  GTNN bieåu thöùc T = ; trong ñoù x , y , z laø caùc soá döông thoaõ maõn x2 + y2 + z2 = 1.

HD: Aùp duïng BÑT Cau chy cho ba soá döông 2x2; 1-x2; 1-x2 töø ñoù suy ra:

x(1-x2). Suy ra ;……..

ÑEÀ 14

Baøi 1: Cho A = (vôùi x ; y > 0 ; x y)

     a) Chöùng toû A khoâng phuï thuoäc vaøo y     ;      b) Tìm x ñeå A = 2 .

Baøi 2: Cho △ABC vuoâng taïi A ( AB khoâng baèng AC ) vaø AH laø ñöôøng cao . Veõ ñöôøng troøn taâm H baùn kính HA . Caùc ñöôøng thaúng AB vaø AC laàn löôït caét ñöôøng troøn (H) taïi caùc ñieåm khaùc laø D vaø E . Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC . CMR:

      a) D , H , E thaúng haøng .

      b)  B , D , C , E cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn ( g/yù: Duøng cung chöùa goùc )

      c)  AM ⊥ DE .

Baøi 3: Cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O') caét nhau taïi A vaø B . Moät caùt tuyeán qua A caét (O) vaø (O')  taïi C vaø D sao cho A naèm giöõa C vaø D ngoaøi ra nhoïn . Moät caùt tuyeán thöù hai ñi qua A caét (O) vaø (O') taïi E vaø F sao cho . Tieáp tuyeán taïi C cuûa (O) vaø tieáp tuyeán taïi D cuûa (O') caét nhau taïi K . CMR:

      a) Töù giaùc BCKD noäi tieáp .

      b)  CD = EF (g/yù: Keõ caùc ñöôøng vuoâng goùc töø B ñeán CD vaø EF )

Baøi 4: Giaûi PT: ; HD: ÑKXÑ: (?) – nhaân hai veá cho 2 – Duøng Cau-Chy cho 2x2 –x vaø 1 ; t/töï => VT ≤ 4 ; VP ≥ 4 (daáu “=”  x = 1) ; thöû laïi (?)

ÑEÀ 15

Baøi 1: Trong mpOxy, cho Pa rabol (P): y= 0,5.x2 vaø ñöôøng thaúng (d): y= mx +n .

    a)Veõ (P) .

    b)Tìm m vaø n ñeå (d) ñi qua ñoàng thôøi (d) tieáp xuùc vôùi (P) .

Baøi 2: Cho phöông trình aån x :    x- 3x - m + m + 2 = 0 .

    a) Giaûi phöông trình ñaõ cho khi m =  -3 .

    b) Chöùng toû phöông trình ñaõ cho luoân coù nghieäm vôùi moïi m  R .

Baøi 3: Hai ñòa ñieåm A vaø B caùch nhau 60km . Moät  OÂ toâ döï ñònh ñi töø A ñeán B trong moät khoaûng thôøi gian nhaát ñònh .Trong thöïc teá, nöûa quaõng ñöôøng ñaàu OÂtoâ ñi vôùi vaän toác lôùn hôn vaän toác döï ñònh laø 10km/h ; nöûa quaõng ñöôøng sau OÂ toâ ñi vôùi vaän toác nhoû hôn vaän toác döï ñònh laø 6km/h . OÂ toâ vaãn ñeán B ñuùng thôøi gian döï ñònh . Tìm vaän toác maø  OÂ toâ döï ñònh ñi luùc ñaàu ?

Baøi 4: Cho △ABC coù AD laø ñöôøng phaân giaùc trong (D  [ BC ]) .Veõ ñöôøng troøn (O) ngoaïi tieáp △ABD vaø ñöôøng troøn (O’) ngoaïi tieáp △ACD. Tieáp tuyeán taïi B cuûa ñöôøng troøn (O) vaø tieáp tuyeán taïi C cuaû ñöôøng troøn (O’) caét nhau ôû K.                         

    a) CMR: KB = KC .

    b) CMR: Töù giaùc ABKC noäi tieáp vaø ba ñieåm A ; D ; K thaúng haøng. 

     c) Goïi EF laø moät tieáp tuyeán chung ngoaøi cuûa (O) vaø (O’) ; E  (O) , F  (O’) .

        Ñöôøng thaúng AD caét ñoaïn EF taïi M. CMR: M  laø trung ñieåm cuûa EF.

 

ÑEÀ 16

Baøi 1: Cho bieåu thöùc A =  :

      a)Tìm a ñeå A xaùc ñònh ; ruùt goïn A.

      b)Tìm a  Z ñeå A nhaän giaù trò nguyeân .

Baøi 2: Trong mpOxy cho Parabol (P) : y= -x2 vaø ñöôøng thaúng (d) :y= mx +2m – 4

a) Veõ (P).

b) Chöùng toû raèng (d) vaø (P) luoân coù ñieåm chung vôùi moïi m thuoäc R .

c)Tìm m ñeå (d) luoân caét (P) taïi hai ñieåm phaân bieät .

Baøi 3: Cho töù giaùc ABCD coù nhoïn vaø noäi tieáp (O) ñöôøng kính AC . Treân tia ñoái cuûa tia AC xaùc ñònh ñieåm E sao cho DA laø tia phaân giaùc .

      a) CMR: Töù giaùc BODE noäi tieáp vaø A laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp △BDE .

      b) Ñöôøng thaúng qua E vaø vuoâng goùc vôùi EC caét tia BA ôû F . CMR: Töù giaùc

          AEFD noäi tieáp vaø ba ñieåm F ; D ;C thaúng haøng .

      c) Goïi M laø ñieåm tuøy yù naèm giöõa D vaø E ;treân tia ñoái cuûa tia BE xaùc ñònh

         ñieåm N sao cho . CMR: MC laø tia phaân giaùc .

Baøi 4: Cho x > 0 . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc :

                  K = 27x +      ( g/yù: Ch/veá ; B/phöông => ▲x ≥ 0 )

 

ÑEÀ 17

Baøi 1: Giaûi phöông trình: + 3 = 2x  

Baøi 2: Trong heä toïa ñoä Oxy cho Pa-rabol (P) : y = . x vaø ñöôøng thaúng (d) :

 y = 0,5.x – 1 .

    a) Veõ (P) vaø (d) .

    b) Tìm toïa ñoä caùc giao ñieåm Avaø B cuûa (d) vaø (P) baèng pheùp tính .

Baøi 3: Hai ngöôøi ñi xe ñaïp , khôûi haønh cuøng luùc töø moät ñòa ñieåm A , ñi theo hai phöông vuoâng goùc nhau . Sau 2h , khoaûng caùch giöõa hoï laø 60km ( tính theo ñöôøng chim bay) . Tìm vaän toác moãi ngöôøi ; bieát vaän toác ngöôøi thöù II lôùn hôn vaän toác ngöôøi thöù I laø 6km/h .

Baøi 4: Cho AB laø ñöôøng kính cuûa (O) ; I laø ñieåm naèm giöõa O vaø A ; qua I veõ daây CD vuoâng goùc vôùi AB taïi I . Goïi M laø ñieåm thay ñoåi treân cung lôùn CD ( M khoâng truøng caùc ñieåm C ; B ; D) ; daây AM vaø daây CD caét nhau taïi E .

    a) CMR: Töù giaùc BIEM noäi tieáp vaø AC2 = AE . AM .

    b) Xaùc ñònh vò trí cuûa M ñeå khoaûng caùch töø D ñeán taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp

      △CME nhoû nhaát.

Baøi 5*: Tìm taát caû caùc caëp soá nguyeân döông (a;b) sao cho:  (a+b2) (a2b - 1)

 

ÑEÀ 18

Baøi 1:

Trong mpOxy cho Pa-rabol (P): y = x2 vaø ñöôøng thaúng (d): y = (2m+1)x - m.

Chöùng toû raèng (d) luoân caét (P) vôùi moïi m  R.

Baøi 2: Cho phöông trình aån x :    x2 -2(m+1)x + m2 + 3 = 0 .

    a) Tìm m ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm x1 , x2 .     (g/yù: ▲x ≥ 0)

    b) Tìm m ñeå nghieäm x1 , x2 thoõa ñieàu kieän x.

Baøi 3: Hai ngöôøi cuøng laøm chung moät coâng vieäc thì xong trong 2h55'. Cuõng coâng vieäc ñoù neáu ñeå töøng ngöôøi laøm rieâng thì ngöôøi thöù nhaát laøm xong tröôùc ngöôøi thöù hai laø 2h . Tìm thôøi gian ñeå moãi ngöôøi laøm rieâng xong coâng vieäc ñoù .

Baøi 4: Cho hình vuoâng ABCD ; treân caùc caïnh BC vaø CD laàn löôït laáy E vaø K sao cho . Ñöôøng cheùo BD laàn löôït caét caùc tia AE vaø AK taïi P vaø Q .

    a) CMR: E ; P ; Q ; K ; C cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn.

    b) CMR: SAEK = 2. SAPQ .

    c) Ñöôøng trung tröïc caïnh CD caét AE taïi M . Giaû söû , khi ñoù tính

      ( G/yù: △ADM caân vaø = 300 ) .

Baøi 5*: Bieát soá töï nhieân coù öôùc nguyeân toá lôùn hôn 1998 . Hoûi phöông trình 

        a.x2 + .x + = 0  (aån x ) coù theå coù nghieäm höõu tyû khoâng ?

 

ÑEÀ 19

Baøi 1: Cho phöông trình aån x :  4x2 +2(2m+1)x + m = 0

a) Giaûi phöông trình ñaõ cho khi m =  -5 .

b) Chöùng toû phöông trình luoân coù hai nghieäm phaân bieät x1 vaø x2 vôùi moïi m  R.

c) Tính x theo m .

Baøi 2: Tính dieän tích cuûa moät hình chöõ nhaät; bieát ñoä daøi ñöôøng cheùo laø 13cm vaø chieàu daøi lôùn hôn chieàu roäng laø 7cm .

Baøi 3: Cho △ABC nhoïn vaø noäi tieáp (O) . Goïi I laø trung ñieåm BC ; veõ ñöôøng troøn (K) ñi qua A vaø (K) tieáp xuùc vôùi BC taïi B . Tia AI caét (K) taïi ñieåm khaùc laø E .

   a) CMR: IB2 = IE . IA ;

   b) Goïi D laø ñieåm ñoái xöùng vôùi E qua I . Chöùng toû raèng D  (O) .

   c) Caùc tia CA vaø CE laàn löôït caét (K) taïi M vaø N . CMR: NM // BC .

Baøi 4*: Tìm nghieäm nguyeân döông cuûa phöông trình:

x3 - (x + y + z)2 = (y + z)3 + 34 .

ÑEÀ 20

Baøi 1: Giaûi phöông trình: x2 + 2x - 2 = .

Baøi 2: Tìm x vaø y bieát: x - y = 3 vaø x2 + y2 = 65 .

Baøi 3: Cho phöông trình aån x : x2 -2(m + 1)x + 2m +10 = 0

    a) Tìm m ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm x1 , x2 . ( G/yù: ▲  0 )

    b) Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc A =  x+ x + 10x1x2 .

Baøi 4: Cho AB laø daây coá ñònh vaø khoâng qua taâm cuûa (O) ; M laø ñieåm chính giöõa cuûa cung nhoû AB . Goïi C vaø D laø hai ñieåm phaân bieät luoân di ñoäng naèm giöõa A vaø B . Caùc tia MC vaø MD laàn löôït caét (O) taïi caùc ñieåm khaùc laø E vaø F .

a) CMR: Töù giaùc CDFE noäi tieáp vaø MB laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp △BFD .

b) Goïi O1 vaø O2 laàn löôït laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp △ACE & △BDF.  Chöùng toû raèng caùc ñöôøng thaúng AO1 vaø BO2 luoân caét nhau taïi moät ñieåm coá ñònh .

Baøi 5*: Cho n laø soá töï nhieân khaùc 0 . Chöùng toû raèng luoân toàn taïi soá töï nhieân A thoõa maõn ñoàng thôøi caùc ñieàu kieän sau:

i) A coù n chöõ soá.

ii) A khoâng chöùa chöõ soá naøo khaùc 2 vaø 5.

iii) A .

ÑEÀ 21

Baøi 1: Cho bieåu thöùc:    

a)Tìm x ñeå A xaùc ñònh;ruùt goïn A .    ;       b) Tìm x ñeå:  2.A + .      

Baøi 2: Cho phöông trình aån x:     x2 - 2x -m(m - 3) - 1 = 0 . Tìm giaù trò cuûa m ñeå

           phöông trình ñaõ cho coù nghieäm keùp ?

Baøi 3: Giaûi heä phöông trình sau:

  (G/yù:  Ñaët t = xy =>  t2 - 8t +15 = 0 ; giaûi tìm t sau ñoù duøng Vi-et)

Baøi 4: Cho △ABC nhoïn vaø noäi tieáp ñöôøng troøn (O) . Goïi AA' ;  BB' ; CC' laø caùc ñöôøng cao cuûa tam giaùc (A'  [BC]; B'  [AC]; C'  [AB])  vaø H laø tröïc taâm .

a) C/m:A'A laø tia ph/giaùc cuûa .

b) Bieát theâm . C/m: △AOH caân 

Baøi 5*: Tìm GTNN cuûa bieåu thöùc: ; trong ñoù a,b,c laø caùc soá thöïc döông thoõa maõn a + b + c = 6 . ( Duøng BÑT Cau chy ta coù:

)

ÑEÀ 22

Baøi 1: Cho ;    

a) Tìm x ñeå A coù nghóa ; ruùt goïn A .             b) Tìm x ñeå :    x + A = 8 .

Baøi 2: Cho heä phöông trình:    (a laø tham soá )

a) Giaûi heä khi a = -2 .

b) Tìm a ñeå heä coù nghieäm duy nhaát (x0 ; y0 ) thoõa maõn x0 + y0 > 0 .

(G/yù: ) .

Baøi 3: Cho phöông trình aån x :   mx2 -5x - (m+5) = 0

a) Giaûi phöông trình khi m = 5 .

b) Chöùng toû phöông trình luoân coù nghieäm vôùi moïi m  R.

c) Tìm m ñeå phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät x1 ; x2 thoõa:

       10x1x2 - 3() = 0 

Baøi 4:  Cho △ABC nhoïn vaø noäi tieáp ñöôøng troøn (O) ; H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc  ; bieát theâm raèng boán ñieåm B ; H ; O ; C cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn .

a) Tính soá ño cuûa .

b) CMR: AH = AO. 

Baøi 5*: Giaûi phöông trình: . ( HD: ÑKXÑ: (?)  Ñaët y =   vôùi y > 0 ; suy ra xy = 1 hoaëc xy = -1/2 ; PT coù hai nghieäm )

ÑEÀ 23

Baøi 1: Cho     (vôùi x ≥ 0 ; x  1 )

      a) Ruùt goïn P.             b) Chöùng minh P < 1 / 3 .

Baøi 2: Cho phöông trình aån x:    x2  - 2(m-1)x + m2 - 3 = 0

      a) Tìm m ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm x1; x2 .

      b) Tìm m ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm naøy gaáp 3 laàn nghieäm kia .

(G/yù:  (x1 - 3x2)(x2 - 3x1) = 0 - Duøng Vi-et; KQ: )

Baøi 3: Cho △ABC caân taïi A ( AB > BC ) . Goïi D laø ñieåm di ñoäng treân caïnh AB ( D khoâng truøng caùc ñieåm A vaø B ) . Veõ ñöôøng troøn (O) ngoaïi tieáp △BCD . Tieáp tuyeán taïi C vaø D cuûa (O) caét nhau taïi K .

a) CMR: Töù giaùc ADCK noäi tieáp . (G/yù: cm )

b) Töù giaùc ABCK laø hình gì ? (G/yù: cm AK // BC => ABCK laø hình thang )

c) Xaùc ñònh vò trí ñieåm D ñeå töù giaùc ABCK laø hình bình haønh .(gyù: )

Baøi 4*: Cho a ; b ; c laø caùc soá thöïc thoõa maõn:    ; tìm GTLN vaø GTNN cuûa bieåu thöùc Q = 6a + 7b + 2006c . 

(G/yù: =>   )

ÑEÀ 24

Baøi 1: Giaûi phöông trình: (Gyù: ÑKXÑ: ? B/phöông hai laàn )

Baøi 2:  Ngöôøi ta hoøa 8kg chaát loûng loaïi I vôùi 6kg chaát loûng loaïi II (cuûa cuøng moät chaát) ñöôïc hoãn hôïp coù khoái löôïng rieâng laø 700kg/m3. Tìm khoái löôïng rieâng cuûa chaát loûng loaïi I ; bieát chaát loûng loaïi II coù khoái löôïng rieâng nhoû hôn khoái löôïng rieâng chaát loûng loaïi I laø 200kg/m3.

Baøi 3: Cho phöông trình aån x:     x2 -2(m+1)x + m2 +2m - 3 = 0

a) C/toû phöông trình ñaõ cho luoân coù hai nghieäm phaân bieät x1; x2 vôùi moïi m  R.

b) Tìm m ñeå x1 ; x2 laø ñoä daøi hai caïnh goùc vuoâng cuûa t.g.vuoâng ; c.huyeàn .

Baøi 4: Cho ñöôøng troøn (O;R) vaø BC laø daây khoâng qua taâm. Tieáp tuyeán taïi B vaø taïi C caét nhau ôû A . Goïi M laø ñieåm thay ñoåi treân cung nhoû ( M khoâng truøng caùc ñieåm B vaø C ) . Goïi H ; I ; K laàn löôït laø hình chieáu cuûa M leân BC ; CA ; AB . Caùc ñöôøng thaúng BM vaø HK caét nhau taïi P ; CM vaø HI caét nhau taïi Q.

a) CMR: Töù giaùc MPHQ noäi tieáp .

b) CMR: PQ // BC .

c) Xaùc ñònh vò trí ñieåm M treân cung nhoû ñeå tích P = MH . MI . MK lôùn nhaát.

Baøi 5*: Cho x , y , z , t laø caùc soá thöïc döông . Tìm GTNN bieåu thöùc:

A =