Ba bai toan co ban ve tiep tuyen

Ba bµi to¸n c¬ b¶n vÒ tiÕp tuyÕn

Cho hµm sè y= y(x)                         (1)

C¸c c©u hái vÒ ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn th­êng ®­îc ®Æt ra d­íi ba d¹ng c¬ b¶n sau ®©y:

1) ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ cña(1) t¹i ®iÓm M(x0,y0) cho tr­íc (n»m trªn ®å thÞ).(Khi ®ã hiÓn nhiªn M lµ tiÕp ®iÓm).

2) Qua ®iÓm M(x0,y0) viÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ cña(1).

3) ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ cña(1) víi hÖ sè gãc cho tr­íc (HÖ sè gãc nµy cã thÓ cho trùc tiÕp hoÆc gi¸n tiÕp).

I.Bµi to¸n thø nhÊt:ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ cña(1) t¹i ®iÓm M(x0,y0)cho tr­íc.

Gi¶ sö r»ng hs y=y(x) cã ®¹o hµm t¹i x0.Khi ®ã ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ cña(1) t¹i ®iÓm M(x0,y0) lµ:

                                  y-y0 =y'(x0)(x-xo)

VÝ dô 1: Cho hµm sè y=x3-3x2+1

a)ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ t¹i ®iÓm U(1;-1).

b)Chøng minh r»ng:Trong c¸c tiÕp tuyÕp víi ®å thÞ,tiÕp tuyÕn t¹i U(1;-1) cã hÖ sè gãc nhá nhÊt.

GI¶I:

a)ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ t¹i ®iÓm U(1;-1).

 C¸ch 1: TÝnh y'(x)=3x2-6x.

                           y'(1) =-3 

Ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ t¹i ®iÓm U(1;-1) lµ            y+1 = -3(x-1)

                                                                                          y = -3x + 2

Chó ý:Trong nhiÒu bµi to¸n ta sö dông ®iÒu kiÖn tiÕp xóc cña hai ®å thÞ hµm sè y=f(x) vµ y=g(x) nh­ sau:

§å thÞ cña y=f(x) tiÕp xóc víi ®å thÞ y=g(x) khi vµ chØ khi :

                                          cã nghiÖm.

Gi¸ trÞ x,nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh nµy chÝnh lµ hoµnh ®é c¸c tiÕp ®iÓm.

C¸c ®å thÞ Êy còng tiÕp xóc víi nhau khi vµ chØ khi ph­¬ng tr×nh f(x) = g(x) cã nghiÖm kÐp vµ nghiÖm kÐp ®ã chÝnh lµ hoµnh ®é tiÕp ®iÓm.§iÒu kiÖn nµy th­êng dïng trong c¸c bµi to¸n mµ ph­¬ng tr×nh  f(x) = g(x) cã nghiÖm dÔ t×m.

Trªn c¬ së ®ã chóng ta cã thÓ gi¶i c©u a cña VD1 b»ng c¸ch sau ®©y:

C¸ch 2: Gäi tiÕp tuyÕn cÇn t×m lµ y = ax +b.

V× tiÕp tuyÕn nµy ®i qua ®iÓm U(1;-1)  nªn y=a(x-1) -1.

§­êng th¼ng ®ã tiÕp xóc víi ®å thÞ nÕu hÖ sau cã nghiÖm:                 

Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh ta t×m ®­îc x=1 => a= -3.T×m ®­îc b=2

VËy tiÕp tuyÕn cÇn t×m lµ y = -3x + 2.

C¸ch 3: Gäi tiÕp tuyÕn cÇn t×m t¹i ®iÓm U(1;-1)  lµ  y = ax +b.v× ®­êng th¼ng nµy tiÕp xóc víi ®å thÞ t¹i U(1;-1)  nªn  a =  y'(1) =-3 

MÆt kh¸c U(1;-1)  n»m trªn ®­êng th¼ng  nªn  -1= a+b hay b = - a - 1,do ®ã b =2.

VËy tiÕp tuyÕn cÇn t×m lµ y = -3x + 2.

b) Chøng minh r»ng:Trong c¸c tiÕp tuyÕp víi ®å thÞ,tiÕp tuyÕn t¹i U(1;-1) cã hÖ sè gãc nhá nhÊt

T¹i U(1;-1) cã y'(1) =-3

XÐt y'(x)=3x2-6x =3(x-1)2 -3 -3  () .VËy y'(x) y'(1)  ()

Do ®ã tiÕp tuyÕn t¹i U(1;-1) cã hÖ sè gãc nhá nhÊt.

II.Bµi to¸n thø  hai: ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ  y=y(x) biÕt r»ng tiÕp tuyÕn ®ã ®i qua M(x0,y0) cho tr­íc.

Cã nhiÒu c¸ch gi¶i bµi to¸n nµy,trong ®ã cã hai c¸ch c¬ b¶n sau:

C¸ch thø nhÊt : Néi dung c¬ b¶n lµ x¸c ®Þnh hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn 

*)ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua M(x0,y0) cho tr­íc cã hÖ sè gãc k : y -y0 = k(x-x0)   (*)

*)Tõ ®iÒu kiÖn ®­êng th¼ng (*) tiÕp xóc víi ®å thÞ hµm sè y= y(x) sÏ t×m ®­îc gi¸ trÞ k thÝch hîp råi thay vµo (*).Cã bao nhiªu gi¸ trÞ k thÝch hîp t×m ®­îc th× qua M(x0,y0) cã thÓ kÎ ®­îc bÊy nhiªu tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ hµm sè ®· cho.                                           

C¸ch thø hai:  Néi dung c¬ b¶n lµ x¸c ®Þnh tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕnvíi ®å thÞ

*)Gäi (x1 , y1) lµ tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕn cÇn t×m ®èi víi ®å thÞ..Khi ®ã tiÕp tuyÕn t¹i (x1 , y1)  lµ

                                      y - y(x1) = y'(x1) (x-x1)                      (**)

*) V× tiÕp tuyÕn nµy ®i qua M(x0,y0)  nªn : y0 - y(x1)  = y'(x1) (x0-x1)            (***)

Chóng ta gi¶i ®­îc ph­¬ng tr×nh víi Èn sè x1 (hoµnh ®é tiÕp ®iÓm).Gi¶i ph­¬ng tr×nh (***) sÏ t×m ®­îc x1 råi thay vµo (**) sÏ ®­îc ph­¬ng tr×nh tiÕp tuýen cÇn t×m.(Ph­¬ng tr×nh  (***) cho bao nhiªu nghiÖm th×  qua M(x0,y0) cã thÓ kÎ ®­îc kh«ng qu¸ bÊy nhiªu tiÕp tuyÕn víi ®­êng cong ®· cho).

NhËn xÐt:trong hai c¸ch gi¶i trªn th×  c¸ch thø nhÊt rÊt thuËn lîi trong viÖc gi¶i  c¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi nhau..

VÝ dô 2: Qua ®iÓm (0 ; -) h·y viÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ hµm sè y = x3 - 2x2 + 3x -

Gi¶i:

C¸ch 1: Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua (0 ; -) víi hÖ sè gãc k lµ y =kx - .

§­êng th¼ng nµy ph¶i tiÕp xóc víi ®å thÞ hµm sè ®· cho nªn ph­¬ng tr×nh:

              x3 - 2x2 + 3x - = kx -    ph¶i cã nghiÖm kÐp.

          x  cã nghiÖm kÐp.

Suy ra =3k =  0 hay k = 0 hoÆc ph­¬ng tr×nh x2 - 6x + 3(3-k) = 0 ph¶i cã nghiÖm x = 0 k=3.

VËy qua (0 ; -)  cã hai tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ lµ y = - vµ y = 3x -

C¸ch 2: Gäi hoµnh ®é tiÕp ®iÓm lµ x1 .Khi ®ã tung ®é : y1 = x - 2x + 3x1 - .

Ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn  t¹i (x1 , y1) lµ

                         y - (x - 2x + 3x1 - ) = (x - 4x1 + 3)(x- x1)

V× tiÕp tuyÕn nµy ®i qua (0 ; -)  nªn

                       - - (x - 2x + 3x1 - ) = (x - 4x1 + 3)(- x1)

Gi¶i ph­¬ng tr×nh ta ®­îc : x1 = 0 vµ x1 = 3.

VËy qua (0 ; -)  cã hai tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ lµ y = - vµ y = 3x -

VÝ dô 3: Cho hs  y = x4 - 2x2 .ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ,biÕt r»ng tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm (0 , -1)

Gi¶i:

Gi¶ sö (x1 , y1) lµ tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ khi ®ã ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i (x1 , y1) lµ:

                        y - (x - 2x ) = (4 - 4x1)(x-x1)                      (*)

V× tiÕp tuyÕn nµy ®i qua ®iªmt (0;-1) nªn:

                       -1 -  (x - 2x ) = (4 - 4x1)(-x1)      

Gi¶i ph­¬ng tr×nh nµy ta ®­îc: x1 = 1 vµ    x1 = - 1.

Thay c¸c gi¸ trÞ nµy vµo  (*) ta sÏ t×m ®­îc tiÕp tuyÕn lµ y = -1 (Hai tiÕp tuyÕn trïng nhau).

Chó ý: Ta cã thÓ dïng ph­¬ng ph¸p thø nhÊt :

§­êng th¼ng ®i qua (0 , -1) lµ y = kx -1, khi ®ã .

Gi¶i hÖ nµy sÏ ®­îc x = vµ k = 0.VËy chØ cã mét tiÕp tuyÕn qua (0 , -1) lµ y= -1

III.Bµi to¸n thø ba: ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ y = y(x) víi hÖ sè gãc k cho tr­íc.

Gäi hoµnh ®é tiÕp ®iÓm lµ x1 .Theo ý nghÜa h×nh  häc cña tiÕp tuyÕn ta cã :  y'(x1) = k

§©y lµ ph­¬ng tr×nh víi Èn sè x1 .Sau khi gi¶i ph­¬ng tr×nh nµy,ta t×m ®­îc x­1 ,råi tÝnh y1 = y(x1).

Ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ y -y1 = k(x - x1) hay y = k(x - x1) + y1 .

Chó ý: ViÖc cho hÖ sè gãc k cã thÓ cho theo hai c¸ch:

a)C¸ch cho trùc tiÕp: C¸c kh¸i niÖm sau ®©y t­¬ng ®­¬ng:

*)HÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn.

*)§é dèc ( ®é nghiªng ) cña tiÕp tuyÕn.

*)Tg,trong ®ã lµ gãc mµ tiÕp tuyÕn lËp víi chiÒu d­¬ng cña trôc hoµnh.

b)C¸ch cho gi¸n tiÕp:

*)ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn  víi ®å thÞ hµm sè y = y(x) biÕt r»ng tiÕp tuyÕn nµy song song víi ®­êng th¼ng y = ax + b.trong tr­êng hîp nµy hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn sÏ lµ k = a.

*)ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn  víi ®å thÞ hµm sè y = y(x) biÕt r»ng tiÕp tuyÕn nµy vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng y = ax + b (a 0).trong tr­êng hîp nµy hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn sÏ lµ k = -

VÝ dô 4: Cho hµm sè y =

a)ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ,biÕt r»ng tiÕp tuyÕn cã hÖ sè gãc b»ng 2.

b)ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ,biÕt r»ng tiÕp tuyÕn ®ã song song víi ®­êng th¼ng y = x -1.

c)ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ,biÕt r»ng tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng  y = - x + 7

Gi¶i: Ta viÕt hµm sè d­íi d¹ng : y = x - 1 - .

a) TÝnh y'(x) = 1 +

C¸ch 1: Gäi x1 lµ hoµnh ®é tiÕp  ®iÓm,khi ®ã :  y'(x) = 1 + = 2 hay (x1 - 2)2 = 1 .

Tõ ®©y ta ®­îc x1 = 3 vµ x1 = 1.

Víi  x1 = 3 y1 = 1 , tiÕp tuyÕn lµ y = 2x - 5

Víi  x1 = 1 y1 = 1 , tiÕp tuyÕn lµ y = 2x - 1.

C¸ch 2: TiÕp tuyÕn cÇn t×m cã d¹ng y = 2x +b.

§­êng th¼ng nµy ph¶i tiÕp xóc víi ®å thÞ hµm sè ®· cho

                                = 2x +b                 ph¶i cã nghiÖm kÐp  x2

                                x2 +  (b - 1)x -(2b + 1) = 0         ph¶i cã nghiÖm kÐp  x2

VËy cã hai tiÕp tuyÕn tho¶ m·n ®Çu bµi lµ y = 2x - 5 vµ y = 2x - 1.

b) TiÕp tuyÕn cÇn t×m song song víi ®­êng th¼ng y = x -1 vËy nã cã hÖ sè gãc k =1.

C¸ch 1: Gäi x1 lµ hoµnh ®é tiÕp  ®iÓm, khi ®ã  y'(x) = 1 + = 1 hay  = 0

Ph­¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm.VËy kh«ng cã tiÕp tuyÕn  nµo song song víi ®­êng th¼ng y = x -1 .

C¸ch 2: TiÕp tuyÕn cÇn t×m cã d¹ng y = x +b.

§­êng th¼ng nµy ph¶i tiÕp xóc víi ®å thÞ hµm sè ®· cho

                                = x +b                 ph¶i cã nghiÖm kÐp  x2

                                (b + 1)x - (2b + 1) =  0             ph¶i cã nghiÖm kÐp  x2

§iÒu nµy lµ kh«ng thÓ x¶y ra v× ®©y lµ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt nªn kh«ng thÓ cã nghiÖm kÐp.

VËy kh«ng cã tiÕp tuyÕn  nµo song song víi ®­êng th¼ng y = x -1 .

c) TiÕp tuyÕn cÇn t×m vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng  y = - x + 7 .VËy nã cã hÖ sè gãc k =.

Cã thÓ ¸p dông 1 trong 2 ph­¬ng ph¸p tr×nh bµy ë trªn.Chóng ta t×m ®­îc hai tiÕp tuyÕn lµ

                         y = x -     vµ  y = x -    

Bµi TËp:

Bµi 1: Cho hµm sè y =.ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ,biÕt tiÕp tuyÕn Êy ®i qua (4;3)

Bµi 2: ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ y = , biÕt tt ®ã vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng y = x+ 2.

Bµi 3: ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ y = 4x3 -3x,biÕt tiÕp tuyÕn Êy ®i qua (3;99)

Bµi 4: Cho hµm sè y = x4 - 2x2 + 2.Chøng minh r»ng: Qua ®iÓm (0;2) ta cã thÓ kÎ ®­îc 3 tiÕp tuyÕn tíi ®å thÞ.ViÕt pt tíi ®å thÞ.ViÕt ph­¬ng tr×nh c¸c tiÕp tuyÕn  ®ã.

Bµi 5: ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ hµm sè y = ,biÕt tiÕp tuyÕn ®ã song song víi ®­êng th¼ng y = - 2x + 1.