Bài tập ròng rọc

I. Lời nói đầu

Trong cơ học ta thường bắt gặp các bài toán chủ yếu liên quan đến các máy cơ đơn giản, mặt phẳng nghiêng, chuyển động tròn…Vì đây là những dạng toán phức tạp nhiều phương pháp giải khác nhau. Ở đây tôi chỉ dừng lại ở việc đề xuất một số phương pháp và cách giải các bài toán liên quan đến ròng rọc. Các bài toán về ròng rọc thường phức tạp và nhiều cách giải; có thể giải theo phương pháp động lực học chất điểm, theo phương pháp năng lượng hoặc là theo phương pháp động lực học vật rắn tuỳ theo điều kiện cụ thể của ròng rọc. Để giải được dạng bài tập này học sinh cần phải nắm chắc các kiến thức liên quan đến các định luật Newton, các công thức tính công, năng lượng, định luật bảo toàn cơ năng, mô men quán tính….

Vì vậy, qua chủ đề này, tôi hi vọng sẽ giúp các bạn biết áp dụng những công thức mình đã học vào việc giải bài tập, và qua đó ta hiểu vật lý sâu hơn.

Trong quá trình trình bày phương pháp và tiến hành giải không tránh khỏi thiếu sót kính mong quý thầy cô đóng góp thêm để đề tài được hoàn chỉnh hơn.

II. Một số phương pháp giải và bài tập mẫu về ròng rọc

  1. Phương pháp động lực học

- Phương pháp động lực học là phương pháp vận dụng các kiến thức động học (ba định luật Niuton và các lực cơ học) để giải các bài toán cơ học.

Các bước khảo sát chuyển động như sau:

-         Xác định vật cần khảo sát.

-         Chọn hệ quy chiếu thích hợp để khảo sát.

-         Phân tích các lực tác dụng lên vật, vẽ giản đồ vectơ lực.

-         Viết biểu thức định luật II Niu ton dưới dạng véc tơ:

                                (*)

-         Chiếu các vectơ của phương trình (*) lên hệ toạ độ xOy tìm ra các phương trình đại số dưới dạng:

Ox:

Oy:

     Trong đó F­­x và Fy là các giá trị đại số của hình chiếu của hợp lực , ax và ay là các giá trị đại số của hình chiếu của véc tơ gia tốc xuống các trục Ox và Oy.

-         Giải các hệ phương trình đại số đó.

Đối các bài tập về ròng rọc người ta thường chọn khối lượng ròng rọc không đáng kể và dây không giãn, bỏ qua ma sát.

1.1. Các dạng bài tâp liên qua đến ròng rọc

*Loại 1: Hệ vật chuyển động qua ròng rọc cố định và ròng rọc động

1. Phương pháp:

Cách 1: Đề bài tìm gia tốc

 + Đưa hệ vật về một vật m = m1+ m2 +……

 + Áp dụng định luật II Niuton cho vật m:

Cách 2: Đề bài tìm lực căng của sợi dây

 + Xét từng vật riêng biệt. Áp dụng định luật II Niuton cho từng vật.

 + Có bao nhiêu vật thì lấy bấy nhiêu phương trình. Giải hệ phương trình đó, tìm kết quả.

1. Bài tập mẫu

Bài tập 1: Cho cơ hệ như hình vẽ. Biết m1=1,5 kg; m­­­­­2= 1kg, khối lượng ròng rọc và dây treo không đáng kể, bỏ qua ma sát. Hãy tìm:

a, Gia tốc chuyển động của hệ.

b, Sức căng của dây nối các vật m1 và m2. Lấy g =10m/s2.

Giải

1. Tìm gia tốc

    Cách 1:

+ Lực tác dụng vào hệ vật: , .

+ Chọn chiều dương là chiều chuyển động của hệ vật.

+ Áp dụng định luật II Niuton, với: m = m1 +m2=2,5kg

(1)

Chiếu (1) xuống phương ta chọn:    P1+ P2= ma

Suy ra:

a= 10.(1,5-1)/2,5=2m/s2

Cách 2:

Chọn trục Ox làm chiều dương

+ Xét vật m1: chịu tác dụng của trọng lực ; sức căng của sợi dây

Áp dụng định luật II Newton vào m1:

(1)

Chiếu (1) lên trục Ox:

+ Xét vật m2: Chịu tác dụng của ,

Áp dụng định luật II Newton vào vật m2 :

(2)

Chiếu (2) lên trục Ox:

Dây không dãn nên: a1= -a2

Bỏ qua khối lượng ròng rọc và dây nên T=T’

Suy ra:

Viết lại:

Suy ra:

b) Tìm lực căng của sợi dây

Ta có: T = m2a2 + P2 =m2(a2+g)=1(2+10)=12N

Bài tập 2:   Hai vật có khối lượng m1 và m2 được nối qua hệ hai ròng rọc như hình vẽ. Bỏ qua ma sát, khối lượng dây nối và khối kượng rò1ng rọc, dây không dãn.

Tính gia tốc chuyển động và sức căng dây khi thả cho hệ chuyển động. Áp dụng m1=m2=1kg. Lấy g=10m/s2. 

Giải:

Ta chưa thể biết chiều chuyển động của mỗi vật. Ta chọn chiều dương cho mỗi vật như hình vẽ.

Khi thả hệ chuyển động, sau thời gian t vật m1 sẻ chuyển động được quảng đường S1 và m2 chuyển động quảng đường S2 mà: S1 =2S2

Với     Nên: a1 = 2a2

Xét vật m1: áp dụng định luật II Newton: (1)

Chiếu (1) lên chiều dương đã chọn:

Xét vật m2: áp dụng định luật II Newton: (2)

Chiếu (2) lên chiều dương đã chọn:

Mặt khác T’ = 2T nên:

Viết lại:

  a1 = 2a2

giải hệ ta được

+ Nếu m1>m2/2 thì các vật chuyển động theo chiều dương.

+ Nếu m1 = m2/2. Khi thả không vận tốc đầu, các vật đứng yên.

Từ hệ trên ta suy ra:

- Áp dụng cho trường hợp m1 =m2:

Suy ra: a1 = 0,4.g = 4m/s2

 a2 = 2m/s2

Và T = 0,6mg = 6N

T’ = 2T = 12N

*Loại 2: Hệ vật chuyển động trên mặt phẳng nghiêng có ròng rọc

a) Phương pháp

+ Xét từng vật riêng biệt

+ Phân tích lực tác dụng lên từng vật

+ Áp dụng định luật II Newton cho từng vật

Chú ý: Fms = kN= kPcosα

b) Bài tập mẫu

Cho một hệ như hình vẽ, m1= 6kg; m2=5kg, hệ số ma sát k= 0,3 và α= 30­0. Tìm:

1. Gia tốc của chuyển động
2. Lực căng của sợi dây. Lấy g=10m/s2.

Giải:

a. Tìm gia tốc a

Chọn chiều dương là chiều chuyển động

Xét vật m1:

Lực tác dụng vào vật m1: trọng lực , phản lực , lực căng của sợi dây , lực ma sát.

Áp dụng định lật II Newton: (1)

Chiếu (1) lên phương chuyển động:

-P1sinα + T – Fms = m1a  (a)

Xét vật m2:

Lực tác dụng vào vật m2: trọng lực , lực căng của sợi dây.

Áp dụng định luật II Newton: (2)

Chiếu (2) lên phương chuyển động: P2 – T = m2a (b)

Từ (a) và (b) suy ra:

Với Fms = kN= kP1cosα =km1gcosα

Nên

Vậy a= 0,4m/s2

b. Tìm sức căng của sợi dây

Từ (b) suy ra: T= P2- m2a=m2(g-a) = 5(10 -0,4)=48N

Trong các bài tập ở trên người ta thường cho dây không dãn, bây giờ ta xét cho trường hợp dây có thể co giãn như là lò xo.

Loại 3: Hệ ròng rọc nối lò xo

a) Phương pháp

Ta vẫn tiến hành giải theo từng bước như bài toán ở trên

+ Xét từng vật riêng biệt

+ Phân tích lực tác dụng lên từng vật

+ Áp dụng định luật II Newton cho từng vật

Chú ý: Độ lớn của lực căng dây bằng với lực đàn hồi của lò xo

b) Bài tập mẫu:

Vật B kéo vật A qua một sợi dây vắt qua ròng rọc và một lò xo. Cho biết vật A chuyển động đều trên mặt bàn nằm ngang, và lò xo bị dãn 1cm so với khi không biến dạng. Khối lượng của vật A là 1,5kg, độ cứng của lò xo là 60N/m, gia tốc rơi tự do g=10m/s2.

1. Hãy tính hệ số ma sát giữa vật A và mặt bàn.
2. Tính khối lượng của vật B. Ròng rọc và lò xo co khối lượng không đáng kể.

Giải:

1. Tính hệ số ma sát

Chọn chiều dương là chiều chuyển động.

Xét vật A: Áp dụng định luật II Newton:

(1)

Chiếu (1) lên phương chuyển động: -Fms + T=0 (vì a=0)

    Fms = T = k.∆l = 60.0,01=0,6N

    Mặt khác: Fms = µN =µP

Suy ra: µ =Fms/P =0,6/15= 0,04

2. Tính mB

Xét vật B: Áp dụng định luật II Newton:

(2)

Chiếu (2) lên phương chuyển động: PB – T = mBa

Vì B chuyển động đều a = 0 suy ra: PB = T = 0,6N

Mặt khác PB= mBg =0,6N

Suy ra: mB = 0,6/g = 0,06kg

Ngoài các bài tập giải theo phương pháp động lực học chất điểm như ở trên ta còn bắt gặp một số bài toán trong phần tĩnh học vật rắn.

2. Phương pháp giải các bài toán cân bằng vật rắn

a. Phương pháp

+ Chọn hệ quy chiếu thích hợp để khảo sát.

+ Phân tích các lực tác dụng lên vật, vẽ giản đồ vectơ lực 

+ Sử dụng điều kiện cân bằng của vật rắn, viết biểu thức véc tơ cho từng vật:

                                (*)

+ Chiếu các vectơ của phương trình (*) lên hệ toạ độ xOy tìm ra các phương trình đại số dưới dạng:

Ox:

           Oy:     

+ Giải hệ các phương trình đại số đó ta được đại lượng cần tìm.

b. Bài tập mẫu

     Hai vật m1 và m2 được nối với nhau qua ròng rọc như hình vẽ. Hệ số ma sát giữa vật m1 và mặt phẳng nghiêng là µ. Bỏ qua khối lượng ròng rọc và dây nối. Dây nối không co dãn. Tính tỉ số giữa m2 và m1 để vật m1:

1. Đi lên đều
2. Đi xuống thẳng đều
3. Đứng yên( lúc đầu vật đứng yên)

Giải:

1. m1 đi lên thẳng đều

• Các lực tác dụng vào m1:

+ Trọng lực

+ Phản lực

+ Lực căng có độ lớn T = P2

+ Lực ma sát hướng xuống dọc theo mặt phẳng nghiêng.

• Vì vật chuyển động thẳng đều:

• Chiếu xuống Ox: P1sinα – T + fms = 0

Hay:                     P1sinα – P2 + µN1= 0 (1)

Chiếu xuống Oy: N1 – P1cosα = 0

          N1 = P1cosα                (2)

Từ (1) và (2) : P1sinα – P2 + µ P1cosα = 0

     P1 (sinα + µcosα) = P2

    P1/P2 = sinα + µcosα

Hay m1/m2 = sinα + µcosα  (3)

2. m1 đi xuống thẳng đều:

Trường hợp này lực ma sát hướng lên.

Lý luận tương tự như trên ta có:

P1sinα – P2 - µN = 0

N = P1cosα

=> P1sinα – P2 - µ P1cosα = 0

=> P2/P1 = sinα - µcosα

Hay : m2/m1 = sinα - µcosα (4)

3. m1 đứng yên:

Lúc ban đầu vật đứng yên:

• Biểu thức (3) cũng là giá trị lớn nhất của m2/m1 để vật m1 còn đứng yên (để chuẩn bị chạy lên).
• Biểu thức (4) cũng là giá trị bé nhất của m2/m1 để vật m1 còn đứng yên (để chuẩn bị chạy xuống).

Vậy để vật m1 đứng yên thì: sinα - µcosα ≤ m2/m1 ≤ sinα + µcosα 

Bên cạnh sử dụng phương pháp động lực học để giải bài boán về ròng rọc ta có thể dùng phương pháp năng lượng để giải.

3. Phương pháp giải bài toán theo năng lượng