Bài tập tam giác đồng dạng

BÀI TÂP CHƯƠNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Bài 1: Cho ABC vuông tại A, Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của Ac và BF.
Chứng minh rằng:
a) AH = AK b) AH2 = BH. CK
Giải : Đặt AB = c, AC = b.
BD // AC (cùng vuông góc với AB)
nên

Hay
(1)
AB // CF (cùng vuông góc với AC) nên

Hay
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK
b) Từ
và
suy ra
(Vì AH = AK)

AH2 = BH . KC
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự tại E, K, G. Chứng minh rằng:
a) AE2 = EK. EG b)

c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí nhưng vẫn qua A thì tích BK. DG có giá trị không đổi
Giải
a) Vì ABCD là hình bình hành và K
BC nên
AD // BK, theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:


b) Ta có:
;
nên



(đpcm)
c) Ta có:
(1);
(2)
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có:
không đổi
(Vì a = AB; b = AD là độ dài hai cạnh của hình bình hành ABCD không đổi)
Bài 3: Cho tứ giác ABCD, các điểm E, F, G, H theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1:2. Chứng minh rằng:
a) EG = FH b) EG vuông góc với FH
Giải Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của CF, DG
Ta có CM =
CF =
BC





EM // AC

(1)
Tương tự, ta có: NF // BD

(2)
mà AC = BD (3) Từ (1), (2), (3) suy ra : EM = NF (a)
Tương tự như trên ta có: MG // BD, NH // AC và MG = NH =
AC (b)
Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC
BD
EM
MG

(4)
Tương tự, ta có:
(5) Từ (4) và (5) suy ra
(c)
Từ (a), (b), (c) suy ra
EMG =
FNH (c.g.c)
EG = FH
b) Gọi giao điểm của EG và FH là O; của EM và FH là P; của EM và FN là Q thì



mà
(đối đỉnh),
(
EMG =
FNH)
Suy ra

EO
OP
EG
FH
Bài 4: Cho
ABC ( AB < AC)
các phân giác BD, CE
a) Đường thẳng qua D và song song với BC
cắt AB ở K, chứng minh E nằm giữa B và K
b) Chứng minh: CD > DE > BE
Giải a) BD là phân giác nên

(1)
Mặt khác KD // BC nên
(2)
Từ (1) và (2) suy ra




E nằm giữa K và B
b) Gọi M là giao điểm của DE và CB.
Ta có
(Góc so le trong)


mà E nằm giữa K và B nên
>


>


>

EB < DE
Ta lại có


>


>
(Vì
=
)
Suy ra CD > ED
CD > ED > BE
Bài 5: Cho
ABC có
, AB = 8 cm, BC = 10 cm.
a)Tính AC
b)Nếu ba cạnh của tam giác trên là ba số tự nhiên liên tiếp thì mỗi cạnh là bao nhiêu?
Giải
Cách 1: Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho:BD = BC

ACD

ABC (g.g)



= AB(AB + BC)
= 8(10 + 8) = 144
AC = 12 cm
Cách 2: Vẽ tia phân giác BE của


ABE

ACB

= 8(8 + 10) = 144

AC = 12 cm
b) Gọi AC = b, AB = a, BC = c thì từ câu a ta có b2 = a(a + c) (1)
Vì b > anên có thể b = a + 1 hoặc b = a + 2
+ Nếu b = a + 1 thì (a + 1)2= a2 + ac
2a + 1 = ac
a(c