Ba bài toán cơ bản về tiếp tuyến
Cho hàm số y= y(x) (1)
Các câu hỏi về phương trình tiếp tuyến thường được đặt ra dưới ba dạng cơ bản sau đây:
1) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của(1) tại điểm M(x0,y0) cho trước (nằm trên đồ thị).(Khi đó hiển nhiên M là tiếp điểm).
2) Qua điểm M(x0,y0) viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của(1).
3) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của(1) với hệ số góc cho trước (Hệ số góc này có thể cho trực tiếp hoặc gián tiếp).
I.Bài toán thứ nhất:Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của(1) tại điểm M(x0,y0)cho trước.
Giả sử rằng hs y=y(x) có đạo hàm tại x0.Khi đó phương trình tiếp tuyến với đồ thị của(1) tại điểm M(x0,y0) là:
y-y0 =y`(x0)(x-xo)
Ví dụ 1: Cho hàm số y=x3-3x2+1
a)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm U(1;-1).
b)Chứng minh rằng:Trong các tiếp tuyếp với đồ thị,tiếp tuyến tại U(1;-1) có hệ số góc nhỏ nhất.
GIảI:
a)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm U(1;-1).
Cách 1: Tính y`(x)=3x2-6x.
y`(1) =-3
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm U(1;-1) là y+1 = -3(x-1)
y = -3x + 2
Chú ý:Trong nhiều bài toán ta sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị hàm số y=f(x) và y=g(x) như sau:
Đồ thị của y=f(x) tiếp xúc với đồ thị y=g(x) khi và chỉ khi :
có nghiệm.
Giá trị x,nghiệm của hệ phương trình này chính là hoành độ các tiếp điểm.
Các đồ thị ấy cũng tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi phương trình f(x) = g(x) có nghiệm kép và nghiệm kép đó chính là hoành độ tiếp điểm.Điều kiện này thường dùng trong các bài toán mà phương trình f(x) = g(x) có nghiệm dễ tìm.
Trên cơ sở đó chúng ta có thể giải câu a của VD1 bằng cách sau đây:
Cách 2: Gọi tiếp tuyến cần tìm là y = ax +b.
Vì tiếp tuyến này đi qua điểm U(1;-1) nên y=a(x-1) -1.
Đường thẳng đó tiếp xúc với đồ thị nếu hệ sau có nghiệm:
Giải hệ phương trình ta tìm được x=1 => a= -3.Tìm được b=2
Vậy tiếp tuyến cần tìm là y = -3x + 2.
Cách 3: Gọi tiếp tuyến cần tìm tại điểm U(1;-1) là y = ax +b.vì đường thẳng này tiếp xúc với đồ thị tại U(1;-1) nên a = y`(1) =-3
Mặt khác U(1;-1) nằm trên đường thẳng nên -1= a+b hay b = - a - 1,do đó b =2.
Vậy tiếp tuyến cần tìm là y = -3x + 2.
b) Chứng minh rằng:Trong các tiếp tuyếp với đồ thị,tiếp tuyến tại U(1;-1) có hệ số góc nhỏ nhất
Tại U(1;-1) có
nguon VI OLET
