Bổ đề : Cho ba số x, y, z tùy ý, ta có
Bài 1: Biết . Tìm GTNN của
Ta có
Đặt
Bài 2: Với thỏa :
Chứng minh rằng:
Vậy ta cần cm
(luôn đúng)
Dấu = xảy ra khi
Bài 3: Với thỏa : Chứng minh rằng:
...
Bài 4: Với Chứng minh rằng:
Giã sử
Ta cần chứng minh
Bài 5: Với Chứng minh rằng:
Bài 6: Với . Chứng minh :
Nếu đpcm
Nếu Xét
Nếu
Nếu hoặc
Bài 7: Với . Chứng minh :
Ta có
Ta cần cm:
Bài 8: Cho .
Chứng minh :
Do BĐT có tính hoán vị vòng quanh nên ta giả sử
Nếu
Nếu
Bài 9: Cho . Chứng minh :
Do BĐT có tính hoán vị vòng quanh nên ta giả sử
Bất đẳng thức
Nếu đúng
Nếu
Như vậy ta cần chứng minh bất đẳng thức
đúng
Bài 10: Cho . Chứng minh :
Do BĐT có tính hoán vị vòng quanh nên ta giả sử
Bất đẳng thức
Bài 11: Cho
Chứng minh :
Đặt Khi đó (1) trở thành:
Giả sử
thế vào
Ta chứng minh
Bài 12: Cho
Chứng minh :
Áp dụng ta có: ...
Bài 13: Cho . Chứng minh :
Đặt với . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Vì đúng (đpcm)
Bài 14: Cho là độ dài các cạnh của một tam giác.
Chứng minh :
Bài 15: Cho . Chứng minh :
Ta có ...
Dấu = xảy ra vô lí
Vậy
Bài 16: Cho là độ dài các cạnh của một tam giác.
Chứng minh :
Ta có nên
Mà . Tương tự ta có:
,
Bài 17: Cho . Chứng minh :
Xét
Dấu = xảy ra
Xét
Dấu = xảy ra
Bài 18: Cho .
Chứng minh :
Bài 19: Cho . Chứng minh :
Xét
Xét
Bài 20: Cho . Chứng minh :
. Dấu = xảy ra
Bài 21: Cho . Chứng minh :
Bài 22: Gọi R và r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp . Chứng minh rắng :
. Đặt
Khi đó ta cần chứng minh :
Bài 23: Cho . Chứng minh :
Đặt với bất đẳng thức trở thành:
Bài 24: Với là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh :
Bài 25: Cho . Chứng minh rằng :
Ta đưa bất đẳng thức đã cho về dạng thuần nhất:
Bài 26: Cho .
Chứng minh :
Vậy ta chỉ cần chứng minh
Bài 27: Cho .
Chứng minh :
Ta có
Bài 27: Cho .
Chứng minh :
Ta có
Bài 28: Cho . Chứng minh :
Ta có
Bài 29: Cho . Chứng minh :
Ta có
Bài 30: Cho . Chứng minh : (1)
Bài 31: Cho . Chứng minh :
Bài 32: Cho . Chứng minh :
Bài 33: Cho .
Chứng minh : (1)
Bài 34: Cho . Chứng minh :
Bài 35: Cho . Chứng minh :
Đặt ta cần chứng minh:
Bài 36: Cho . Chứng minh :
Bài 37: Cho . Chứng minh :
Vì nên ta đặt . Lúc đó
Bài 38: Cho . Chứng minh :
Bài 39: Cho . Chứng minh :
Bài 40:
nguon VI OLET
