Hàm số thuần nhất: Hàm số được gọi là hàm thuần nhất nếu
Định lý 1: Cho là hàm bậc nhất theo x.
Nếu
Định lý 2: Cho là hàm bậc nhất theo x, ta có:
Định lý 3: Nếu hàm số có đồ thị lồi trên
Định lý 4: Nếu hàm số có đồ thị lõm trên
Định lý Rolle: Giả sử rằng f : [ a, b] → R là liên tục trên [ a, b] và khả vi trên (a ; b). Nếu f (a) = f (b) thì tồn tại một số c thuộc (a ; b) sao cho f’(c) = 0.
Định lý 6: Phương pháp dồn biến: Giả sử ta cần chứng minh ,
ta có thể chứng minh , trong đó giá trị của t có thể là :
Bất đẳng thức Schur: Cho ta có:
Bài 1: Với , chứng minh:
Xét ta thấy
là hàm thuần nhất thuần nhất
Ta chuẩn hóa , khi đó ( 1) trở thành
Do (2) đối xứng nên ta giả sử với
Xét hàm
Khi
Từ (3) và (4) đúng đúng
Bài 2: Với , chứng minh:
Bài 3: Với , chứng minh:
Bài 4: Với , chứng minh rằng:
Bất đẳng thức đã cho thuần nhất và đồng thời với mong muốn biểu thức trong căn mất đi ta chuẩn hoá . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
. Dấu = xảy ra
Bài 5: Với , chứng minh:
Gợi ý: Chuẩn hoá . BĐT ở VT xảy ra tại biên. BĐT ở VP xảy ra tại tâm.
Bài 6: Với . Chứng minh rằng:
Bất đẳng thức đã cho thuần nhất và đồng thời với mong muốn biểu thức trong căn mất đi ta chuẩn hoá . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Dấu = xảy ra
Bài 7: Với . Chứng minh rằng:
Bài 8: Với . Chứng minh rằng:
Bài 9: Với . Chứng minh rằng:
Bài 10: Với . Chứng minh rằng:
Bất đẳng thức đã cho là thuần nhất
Nếu thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Nếu ta chuẩn hoá . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: . Do vai trò a và c như nhau nên
Dấu = xảy ra
Đồng thời với ý muốn làm xuất hiện nên ta phải có:
thế vào (2) thỏa (1).
Vậy . Dấu = xảy ra
Cách sử dụng đạo hàm dồn biến chứng minh:
Vì
Lập bảng biến thiên của f(b) trên ta thấy
Vậy . Dấu = xảy ra
Bài 11: Với , tìm giá trị nhỏ nhất của
Biểu thức A có tính thuần nhất nên ta chuẩn hoá (1). Bài toán qui về tìm GTNN của với
. Vậy
Bài 12: Với , tìm giá trị lớn nhất của
Biểu thức A có tính thuần nhất nên ta chuẩn hoá (1). Bài toán qui về tìm GTLN của với
Cho đồng nhất hệ số
Đặt
, ,
. Vậy
Bài 13: Với , tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài 14: Với , tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài 15: Với , tìm giá trị lớn nhất của
Bài 16: Với , chứng minh:
Dễ nhận thấy bất đẳng thức đã cho thuần nhất, ta chuẩn hoá . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Ta cần chứng minh
Thật vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 17: Với , chứng minh rằng:
Bất đẳng thức thuần nhất nên ta chuẩn hoá: . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Vì x, y, z bình đẵng nên ta giả sử
bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 18: Với , chứng minh:
Bất đẳng thức thuần nhất nên ta chuẩn hoá: . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Ta có
Vậy ta cần chứng minh
Mà
nên ta cần chứng minh
nguon VI OLET
