BĐT (Thầy : Trần Sỹ Tùng)

Chứng minh Bất đẳng thức có chứa biến ở mẫu

Nguyễn Minh Nhiên - THPT Quế Võ 1 - Bắc Ninh

I. Một số phương pháp
1. Sử dụng hai bất đẳng thức cơ bản sau:
Với a, b, c là ba số thực dương tuỳ ý, ta có:

(1)
(2)

Ví dụ 1: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

(*)
( Áp dụng (1) ta có:
.
Đẳng thức xảy ra (
.

Ví dụ 2: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c ( 3. Chứng minh rằng:

.
( Áp dụng (2), ta có:


Mặt khác, ta có:
(
(4)
Từ (3) và (4) suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra (
.

2. Đặt mẫu là các biến mới
Ví dụ 3: Cho ba số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:
(*)
( Đặt
(với a > 0, b > 0, c > 0).
Suy ra:
.
Ta có: VT (*) =

=
( 10 + 15 + 6 – 19 = 12.
Đẳng thức xảy ra (
(
( x = 0 (vô lí). Vậy BĐT (*) đúng.

3. Đánh giá nghịch đảo
Ví dụ 4: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

.
( Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
(
.
Tương tự:

Ta chỉ cần chứng minh:
là xong.



4. Đưa về đồng bậc
Ví dụ 5: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn:
. Chứng minh rằng:

.
( Ta có:
.
Tương tự:
,
.
Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta được đpcm. Đẳng thức xảy ra (
.



5. Thêm bớt biểu thức để khử mẫu
Ví dụ 6: Cho ba số thực dương x, y, z thoả mãn
. Chứng minh rằng:

. (*)
( Ta có:
(
.
Tương tự:
;
.
Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta có:
VT (*) (
=
=
=
=
(đpcm).
Đẳng thức xảy ra (
.


Ví dụ 7: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn
. Chứng minh rằng:

. (*)
( Ta có:
.
Tương tự:
.
Do đó, ta chỉ cần chứng minh:
.
Từ BĐT
suy ra
.
Do đó:
. Đẳng thức xảy ra (
.



6. Đánh giá mẫu
Ví dụ 8: Cho ba số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng:

(*)
( Ta có:
.
Tương tự với các mẫu số còn lại. Từ đó:
VT (*) (
(đpcm).
Đẳng thức xảy ra (
.

Ví dụ 9: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn
. Chứng minh rằng:

. (*)
( Trước hết ta chứng minh BĐT:
(1) với mọi x > 0, y > 0.
Ta có: (1) (
(

(
(luôn đúng với mọi x > 0, y > 0).
Do đó:
.
Tương tự:
;
.
Suy ra: VT (*) (
. (đpcm)
Đẳng thức xảy ra (
.




II. Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

.
Bài 2: Cho ba số thực dương x, y, z thảo mãn
. Chứng minh rằng:

.
Bài 3: Cho hai số a, b dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P