BT HINH KG 11CB Diep

BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN 11

 BT1.Trong mặt phẳng () cho tứ giác  

có các cặp cạnh đối không song song và  điểm .

a.  Xác định  giao tuyến của và  (SBD)

 b.  Xác định  giao tuyến của (SAB) và  (SCD)

 c.  Xác định  giao tuyến của (SAD) và  (SBC)

   Giải

 a.  Xác định  giao tuyến của (SAC) và  (SBD)

 Ta có : S là  điểm chung của  (SAC) và  (SBD)

 Trong  (), gọi O = AC   BD

    O  AC    mà    AC   (SAC)  O  (SAC)     

    O  BD    mà     BD   (SBD)  O  (SBD)       

   O   là điểm chung của (SAC) và  (SBD) 

 Vậy : SO  là  giao tuyến của (SAC) và  (SBD)                        

 b.  Xác định  giao tuyến của (SAB) và  (SCD)

 Ta có:  S là  điểm chung của  (SAC) và  (SBD)

 Trong () , AB không song song với CD

  Gọi I = AB   CD  

    I  AB    mà     AB   (SAB)  I  (SAB)                                                                

    I  CD   mà    CD   (SCD)  I  (SCD)

   I   là điểm chung của (SAB) và  (SCD)

 Vậy : SI   là  giao tuyến của (SAB) và  (SCD)

 c. Tương tự câu a, b

 2. Cho bốn điểm A,B,C,D  không  cùng thuộc một mặt phẳng .

 Trên các đoạn thẳng AB, AC, BD

 lần lượt lấy các điểm  M, N, P sao cho MN không song

 song với BC. Tìm giao tuyến của ( BCD) và ( MNP)    

     Giải        

   P  BD    mà  BD   ( BCD)  P  ( BCD)     

   P   ( MNP)

  P là điểm chung của ( BCD) và  ( MNP) 

 Trong  mp (ABC) , gọi E = MN  BC                                    E  BC    mà      BC   ( BCD)  E  ( BCD)                                                                 

   E  MN  mà      MN   ( MNP)  E   ( MNP)                                              

  E   là điểm chung của ( BCD) và  ( MNP)

 Vậy : PE   là  giao tuyến của ( BCD) và  ( MNP)    

 3. Cho tam giác ABC và một điểm S không thuộc mp (ABC ) , một điểm I thuộc đoạn  SA .

 Một đường thẳng  a  không song song với AC cắt các cạnh AB, BC theo thứ tự  tại J , K.           

 Tìm giao tuyến của các cặp mp sau :

 a. mp ( I,a) và mp (SAC )

 b. mp ( I,a) và  mp (SAB )

 c. mp ( I,a) và  mp (SBC )

     Giải

 a. Tìm giao tuyến của mp ( I,a) với mp (SAC ) :   

 Ta có:  I SA   mà  SA  (SAC )   I   (SAC )

    I( I,a) 

  I là điểm chung của hai mp ( I,a) và  (SAC  )                                                                                                                          

 Trong (ABC ),   a  không song song với AC

  Gọi O = a  AC                    

    O  AC  mà    AC  (SAC )   O  (SAC )        

    O  ( I,a)                                                                      

  O   là điểm chung của hai mp ( I,a) và  (SAC )                

 Vậy : IO   là giao tuyến của hai mp ( I,a) và (SAC )   

 b. Tìm giao tuyến của mp ( I,a) với mp (SAB) : là  JI

 c. Tìm giao tuyến của mp ( I,a) với mp (SBC )

 Ta có : K là  điểm chung  của hai mp ( I,a) và  mp (SBC ) 

 Trong mp (SAC) , gọi  L  = IO  SC

   L  SC  mà      SC  (SBC )   L  (SBC )

   L  IO    mà      IO   ( I,a)     L  ( I,a )

  L là điểm chung của hai mp ( I,a) và  (SBC )  

 Vậy: KL là giao tuyến của hai mp ( I,a) và (SBC )

 4. Cho bốn điểm A ,B ,C , D không cùng nằm trong  một mp

 a. Chứng minh AB và CD chéo nhau

 b. Trên các đoạn thẳng AB và CD lần lượt lấy các điểm

 M, N sao cho đường thẳng MN cắt đường

 thẳng BD tại I . Hỏi điểm I thuộc những mp nào .

Xđ giao tuyến của hai mp (CMN) và ( BCD)

     Giải

 a. Chứng minh AB và CD chéo nhau :

 Giả sử AB và CD không chéo nhau 

 Do đó  có mp ()  chứa AB và CD

  A ,B ,C , D   nằm trong mp () mâu thuẩn giả thuyết  

 Vậy : AB và CD chéo nhau 

 b. Điểm I thuộc những mp :  

  I   MN     mà      MN  (ABD )    I  (ABD )

  I   MN      mà     MN  (CMN )   I  (CMN )

  I   BD       mà    BD  (BCD )      I  (BCD )    

 Xđ giao tuyến của hai mp (CMN) và ( BCD) là CI

 5. Cho  tam giác ABC nằm trong mp ( P)  và  a  là mộtđường thẳng nằm trong  mp ( P)  và không

 song song với  AB và  AC  . S là một điểm ở ngoài mặt phẳng ( P)  và A’ là một điểm thuộc SA .

 Xđ giao tuyến của các cặp mp sau 

 a.  mp (A’,a) và (SAB)

 b.  mp (A’,a) và (SAC)

 c.  mp (A’,a) và (SBC)                                                          

     Giải

 a.  Xđ giao tuyến của mp (A’,a) và (SAB) 

  A’  SA   mà     SA   ( SAB)  A’ ( SAB)                 

  A’   ( A’,a)                                                                                   

  A’ là điểm chung của ( A’,a) và  (SAB )        

 Trong ( P) , ta có  a   không song song với AB                

  Gọi E = a  AB       

    E  AB   mà   AB  (SAB )   E  (SAB ) 

    E  ( A’,a)   

   E là điểm chung của ( A’,a) và  (SAB )

 Vậy: A’E là giao tuyến của ( A’,a) và (SAB )

 b.  Xđ giao tuyến của mp (A’,a) và (SAC)

  A’  SA   mà     SA   ( SAC)  A’ ( SAC)

  A’   ( A’,a)

  A’ là điểm chung của ( A’,a) và  (SAC )   

 Trong ( P) , ta có a không song song với AC 

  Gọi F = a  AC

    F AC   mà     AC  (SAC )   F  (SAC )

    E  ( A’,a)

   F là điểm chung của ( A’,a) và  (SAC )

 Vậy: A’F là giao tuyến của ( A’,a) và (SAC )

 c.  Xđ giao tuyến của (A’,a) và (SBC)

 Trong (SAB ) , gọi M = SB  A’E

    M  SB     mà      SB   ( SBC)  M ( SBC)

    M  A’E   mà      A’E  ( A’,a)  M ( A’,a)

   M  là điểm chung của mp ( A’,a) và  (SBC )

 Trong (SAC ) , gọi N = SC  A’F

    N  SC     mà      SC   ( SBC)  N ( SBC)

    N  A’F   mà     A’F  ( A’,a)  N ( A’,a)

   N   là điểm chung của mp ( A’,a) và  (SBC )

 Vậy: MN là giao tuyến của ( A’,a) và (SBC )

 6. Cho tứ diện ABCD , M   là một điểm bên trong tam giác ABD , N  là một điểm bên trong tam

 giác ACD . Tìm giao tuyến của các cặp mp sau

 a. (AMN)  và (BCD)

 b. (DMN)  và  (ABC )

    Giải

 a. Tìm giao tuyến của (AMN)  và (BCD) 

 Trong (ABD ) , gọi  E = AM  BD

    E  AM   mà    AM   ( AMN)  E ( AMN)

    E  BD   mà     BD  ( BCD)  E ( BCD) 

   E  là điểm chung của mp ( AMN) và  (BCD )  

 Trong (ACD ) , gọi F = AN  CD 

    F  AN     mà       AN   ( AMN)  F ( AMN) 

    F  CD    mà       CD  ( BCD)    F ( BCD)             

   F là điểm chung của mp ( AMN) và  (BCD )  

 Vậy: EF là giao tuyến của mp ( AMN) và  (BCD )

 b. Tìm giao tuyến của (DMN)  và (ABC) 

 Trong (ABD ) , gọi   P = DM  AB

    P  DM     mà     DM   ( DMN)  P (DMN ) 

    P  AB     mà      AB  ( ABC)     P (ABC)

   P  là điểm chung của mp ( DMN) và  (ABC )

 Trong (ACD) , gọi Q = DN  AC

    Q  DN   mà      DN   ( DMN)  Q ( DMN)

    Q  AC    mà    AC  ( ABC)    Q ( ABCA)

   Q   là điểm chung của mp ( DMN) và  (ABC )   

 Vậy: PQ là giao tuyến của mp ( DMN) và  (ABC )

Dạng 2   : Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng  ()   

 Phương pháp  :   Tìm đường thẳng b nằm trong mặt phẳng  ()

       Giao điểm của  a  và b là giao đt a và mặt phẳng  ()

  Chú ý  : Đường thẳng b thường là giao tuyến của mp () và mp ()  a

     Cần chọn mp () chứa đường thẳng a sao cho giao tuyến của

     mp () và mp () dể  xác định và  giao tuyến  không song song với đường thẳng a

 Bài tập  :

 1. Trong  mp () cho tam giác ABC . Một điểm S không thuộc () . Trên cạnh AB lấy một điểm P

 và  trên các đoạn thẳng  SA, SB ta lấy lần lượt hai điểm M, N sao cho MN không song song với AB .

 a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC )

 b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng  ()

    Giải

 a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC )

 Cách 1 : Trong (SAB) , gọi E = SP  MN

     E  SP mà SP  (SPC)  E (SPC)

     E  MN

 Vậy : E = MN   (SPC )

 Cách 2 :   Chọn mp phụ (SAB)  MN 

      ( SAB)  (SPC ) = SP

      Trong  (SAB), gọi E = MN   SP 

      E  MN        

      E  SP mà SP  (SPC)          

 Vậy : E = MN   (SPC )        

 b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp  ()                                          

 Cách 1: Trong (SAB) , MN không song song với AB   

  Gọi D = AB  MN   

     D  AB mà AB  ()  D ()                                                                             D  MN                                                                     

     Vậy: D = MN   ()      

 Cách 2 :   Chọn mp phụ (SAB)  MN 

      ( SAB)  () = AB

      Trong (SAB) , MN không song song với AB

      Gọi D = MN   AB

       D  AB mà AB  ()  D ()

       D  MN 

 Vậy : D = MN   ()

 2. Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mp (ABCD ).

 Trên  đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C .

 Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM )

      Giải  

  Chọn mp phụ (SBD)  SD  

   Tìm  giao tuyến của hai mp ( SBD) và (ABM )  

   Ta có B là điểm chung  của ( SBD) và (ABM )

   Tìm  điểm chung thứ hai  của ( SBD) và (ABM )

   Trong (ABCD ) , gọi O = AC  BD  

   Trong  (SAC ) , gọi K = AM  SO  

     K SO  mà SO  (SBD)  K ( SBD)

     K AM  mà AM  (ABM )  K ( ABM )

      K là điểm chung  của ( SBD) và (ABM )   

    ( SBD)  (ABM ) = BK      

  Trong (SBD) , gọi  N = SD   BK                                                      N BK mà BK  (AMB)  N (ABM)                                                                                   

   N  SD    

 Vậy :  N = SD   (ABM)

 3.  Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mp (ABCD ). Trên  đoạn AB lấy một điểm M ,

 Trên  đoạn SC lấy một điểm N ( M , N không trùng với các đầu mút ) .       

 a. Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng  (SBD)                           

 b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng  (SBD)

      Giải

 a. Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng  (SBD)    

  Chọn mp phụ (SAC)  AN                            

   Tìm  giao tuyến của ( SAC) và (SBD)                                                                                                  Trong (ABCD) , gọi P = AC  BD                                                                                                                   ( SAC)  (SBD)              = SP                                           

  Trong (SAC), gọi  I = AN  SP                                                                                                      I  AN                                                                                                                                                                                     I  SP mà SP  (SBD)    I  (SBD)                                                            

 Vậy :  I = AN   (SBD)

 b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng  (SBD)

  Chọn mp phụ (SMC)  MN

   Tìm  giao tuyến của ( SMC ) và (SBD)

  Trong (ABCD) , gọi Q = MC  BD

     ( SAC)  (SBD) = SQ

  Trong (SMC), gọi  J = MN  SQ  

    J MN         

    J  SQ mà SQ  (SBD)    J  (SBD)

 Vậy: J = MN   (SBD)

 4. Cho một mặt phẳng ()  và một đường thẳng m cắt mặt phẳng ()  tại C . Trên m ta lấy hai điểm

 A, B và một điểm S trong không gian . Biết giao điểm  của  đường thẳng  SA với  mặt phẳng () 

 là điểm A’ . Hãy xác định giao điểm của đường thẳng SB và mặt phẳng () 

     Giải     

  Chọn mp phụ (SA’C)  SB 

   Tìm  giao tuyến của ( SA’C ) và ()         

  Ta có ( SA’C )  () = A’C  

  Trong (SA’C ), gọi  B’ = SB  A’C  

   B’ SB   mà SB  (SA’C )    B’  (SA’C)       

   B’  A’C mà A’C  ()    B’  ()                       

 Vậy : B’= SB  ()  

5. Cho bốn điểm A, B , C, S không cùng ở trong một mặt phẳng . Gọi I, H lần lượt là trung điểm

 của  SA, AB .Trên SC lấy điểm K sao cho : CK = 3KS.

 Tìm giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng  ( IHK )

       Giải

  Chọn mp phụ (ABC)  BC

   Tìm  giao tuyến của ( ABC ) và (IHK)

  Trong (SAC) ,có IK không song song với AC

    Gọi E’ = AC  IK 

      ( ABC )  ( IHK) = HE’ 

  Trong (ABC ), gọi  E = BC  HE’   

   E  BC   mà BC  ( ABC)    E  ( ABC)       

   E  HE’ mà HE’  ( IHK)    E  ( IHK) 

 Vậy: E = BC   ( IHK)

 6. Cho tứ diện SABC  .Gọi D là điểm trên SA ,

 E là điểm trên SB  và F là điểm trên AC ( DE và AB

 không song song ) .

 a. Xđ giao tuyến của hai mp (DEF) và ( ABC )

 b. Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng  ( DEF )

 c. Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng  ( DEF ) 

     Giải

 a. Xđ giao tuyến của hai mp (DEF) và ( ABC )

 Ta có :  F là  điểm chung của  hai mặt phẳng (ABC) và  (DEF)

 Trong (SAB) , AB  không song song với DE

  Gọi M = AB   DE                    

    M  AB mà  AB   (ABC)  M  (ABC)                                                                

    M  DE mà  DE   (DEF)  M  (DEF)

   M là điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và  (DEF)       

Vậy: FM là  giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và  (DEF)   

 b. Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng  ( DEF ) 

  Chọn mp phụ (ABC)  BC  

   Tìm  giao tuyến của ( ABC ) và (DEF) 

   Ta có  (ABC)  (DEF) = FM  hình 1 

  Trong (ABC), gọi  N = FM  BC  

    N BC            

    N  FM mà FM  (DEF)    N  (DEF)

 Vậy: N = BC   (DEF)

 c. Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng  ( DEF )

  Chọn mp phụ (SBC)  SC

   Tìm  giao tuyến của ( SBC ) và (DEF)

  Ta có:  E là  điểm chung của  ( SBC ) và (DEF)

     N  BC mà  BC   (SBC)  N  (SBC)                                                                

     N  FM mà  FM   (DEF)  N  (DEF)

    N là điểm chung của ( SBC ) và (DEF)

  Ta có  (SBC)  (DEF) = EN

  Trong (SBC), gọi  K = EN  SC  

    K SC         

    K  EN mà EN  (DEF)    K  (DEF) hình 2

 Vậy: K = SC   (DEF)

 7. Cho hình chóp S.ABCD .Gọi O là giao điểm của AC và BD . M, N, P lần lượt là các điểm trên

 SA, SB ,SD.

 a. Tìm giao điểm I của SO với mặt phẳng  ( MNP ) 

 b. Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng  ( MNP )

     Giải

 a. Tìm giao điểm I của SO với mặt phẳng  ( MNP )

  Chọn mp phụ (SBD)  SO 

   Tìm  giao tuyến của ( SBD ) và (MNP) 

  Ta có  N  MN   mà MN  (MNP)    N  (MNP)          

     N  SB    mà SB  (SBD)    N  (SBD) 

    N là điểm chung của ( SBD ) và (MNP) 

     P  MP   mà MN  (MNP)    P  (MNP)           

     P  SD    mà SD  (SBD)    P  (SBD)  

     P là điểm chung của ( SBD ) và (MNP)                                  (MNP)  (SBD) = NP                           

  Trong (SBD), gọi  I = SO  NP   

    I  SO

    I  NP    mà NP  (MNP)    I  (MNP) 

 Vậy: I = SO   (MNP)

 b. Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng  ( MNP )

  Chọn mp phụ (SAC)  SC

   Tìm  giao tuyến của ( SAC ) và (MNP)

  Ta có  M  MN   mà MN  (MNP)    M  (MNP)       

     M  SA     mà SA  (SAC)    M  (SAC)

   M là điểm chung của ( SAC ) và (MNP)

    I  MI   mà MI  (MNP)    I  (MNP)       

    I  SO    mà SO  (SAC)    I  (SAC)

   I là điểm chung của ( SAC ) và (MNP)

     ( SAC)  (SBD) = MI 

  Trong (SAC), gọi  Q = SC  MI  

    Q SC

    Q MI   mà MI  (MNP)    Q  (MNP)

 Vậy: Q = SC   (MNP)

 8.  Cho tứ diện ABCD  .Gọi M,N lần lượt là

trung điểm AC và BC . K là điểm trên BD  và

 không trùng với trung điểm BD . 

 a. Tìm giao điểm của CD và (MNK ) 

 b. Tìm giao điểm của AD và (MNK )

    Giải

 a. Tìm giao điểm của CD và (MNK ) :

  Chọn mp phụ (BCD)  SC 

   Tìm  giao tuyến của ( BCD ) và (MNK) 

  Ta có  N  (MNK)         

     N  BC     mà BC  (BCD)    N  (BCD)   

    N là điểm chung của (BCD ) và (MNK)

     K  (MNK)         

     K  BD    mà BD  (BCD)    K  (BCD) 

    K là điểm chung của (BCD ) và (MNK) 

     (BCD)  (MNK) = NK

  Trong (BCD), gọi  I = CD  NK  

     I CD

     I NK   mà NK  (MNK)    I  (MNK)

 Vậy: I = CD   (MNK)

 b. Tìm giao điểm của AD và (MNK )

  Chọn mp phụ (ACD)  AD

   Tìm  giao tuyến của (ACD ) và (MNK)

  Ta có:  M  (MNK)       

     M  AC    mà   AC  (ACD)    M  (ACD)

    M là điểm chung của (ACD ) và (MNK)

     I NK      mà NK  (MNK)    I  (MNK)

     I  CD    mà CD  (ACD)    I  (ACD)

    I là điểm chung của (ACD ) và (MNK)

     (ACD)  (MNK) = MI

  Trong (BCD), gọi  J = AD  MI  

     J AD

     J MI   mà MI  (MNK)    J  (MNK)

 Vậy: J = AD   (MNK)

 9. Cho tứ diện ABCD  .Gọi M,N là hai điểm trên AC và AD . O là điểm bên trong tamgiác BCD.

 Tìm giao điểm của :

 a. MN và (ABO ) 

 b. AO và (BMN )

     Giải

 a. Tìm giao điểm của MN và (ABO ): 

  Chọn mp phụ (ACD)  MN

   Tìm  giao tuyến của (ACD ) và (ABO)   

  Ta có : A là điểm chung của (ACD ) và (ABO) 

  Trong (BCD), gọi  P = BO  DC   

     P BO      mà BO  (ABO)    P  (ABO)                               

     P CD    mà CD  (ACD)    P  (ACD) 

    P là điểm chung của (ACD ) và (ABO) 

     (ACD)  (ABO) = AP      

  Trong (ACD), gọi  Q = AP  MN   

     Q MN

     Q AP   mà AP  (ABO)    Q  (ABO)

 Vậy: Q = MN   (ABO)

 b. Tìm giao điểm của AO và (BMN ) :

  Chọn mp (ABP)  AO

   Tìm  giao tuyến của (ABP ) và (BMN)

  Ta có : B là điểm chung của (ABP ) và (BMN)

     Q  MN    mà MN  (BMN)    Q  (BMN)

     Q  AP     mà AP  (ABP)    Q  (ABP)

    Q là điểm chung của (ABP ) và (BMN)

     (ABP)  (BMN) = BQ

  Trong (ABP), gọi  I = BQ  AO  

     I AO

     I BQ   mà BQ  (BMN)    I  (BMN)

 Vậy: I = AO   (BMN)

 10. Trong mp () cho hình thang ABCD , đáy lớn AB . Gọi I ,J, K lần lượt là các điểm trên SA, AB,

 BC ( K không là trung điểm BC) . Tìm giao điểm của :

 a. IK và (SBD)

 b.  SD và (IJK )

 c. SC và  (IJK )

     Giải

 a. Tìm giao điểm của IK và (SBD)

  Chọn mp phụ (SAK)  IK

   Tìm  giao tuyến của (SAK ) và (SBD)

  Ta có :  S  là điểm chung của (SAK ) và (SBD)

  Trong (ABCD), gọi  P = AK  BD

     P  AK      mà AK  (SAK)    P  (SAK)

     P  BD      mà BD  (SBD)    P  (SBD)

     P là điểm chung của (SAK ) và (SBD)

     (SAK)  (SBD) = SP

  Trong (SAK), gọi  Q = IK  SP  

     Q  IK

     Q  SP   mà SP  (SBD)    Q  (SBD)

 Vậy: Q = IK   (SBD)

 b. Tìm giao điểm của SD và (IJK ) :

  Chọn mp phụ (SBD)  SD

   Tìm  giao tuyến của (SBD ) và (IJK)

  Ta có :  Q  là điểm chung của (IJK ) và (SBD)

  Trong (ABCD), gọi  M = JK  BD

     M  JK      mà JK   ( IJK)    M  (IJK)

     M  BD      mà BD  (SBD)    M  (SBD)

     M  là điểm chung của (IJK ) và (SBD)

     (IJK)  (SBD) = QM

  Trong (SBD), gọi  N = QM  SD  

     N  SD

     N  QM   mà QM  (IJK)    N  (IJK)

 Vậy:  N = SD   (IJK)

 c. Tìm giao điểm của SC và  (IJK ) :

  Chọn mp phụ (SAC)  SC

   Tìm  giao tuyến của (SAC ) và (IJK)

  Ta có :  I  là điểm chung của (IJK ) và (SAC)

  Trong (ABCD), gọi  E = AC  JK

     E  JK      mà JK   ( IJK)     E  ( IJK)

     E  AC     mà AC  (SAC)    E  (SAC)

     E  là điểm chung của (IJK ) và (SAC)

     ( IJK)  (SAC) = IE

  Trong (SAC), gọi  F = IE  SC  

     F  SC

     F  IE   mà IE  ( IJK)    F  ( IJK)

 Vậy : F  = SC   ( IJK )

 11.Cho tứ diện ABCD  . Trên AC và AD lấy hai điểm  M,N  sao cho MN không song song với CD.

 Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD.

 a. Tìm giao tuyến của (OMN ) và (BCD )

 b. Tìm giao điểm của BC với (OMN)

 c. Tìm giao điểm của BD với (OMN)

     Giải

 a. Tìm giao tuyến của (OMN ) và (BCD ):

 Ta có : O là điểm chung của (OMN ) và (BCD )

 Trong (ACD) , MN không song song CD

    Gọi  I = MN  CD

    I  là điểm chung của (OMN ) và (BCD )

 Vậy : OI  = (OMN )  (BCD ) 

 b. Tìm giao điểm của BC với (OMN):

 Trong (BCD), gọi  P = BC  OI

 Vậy : P  = BC   ( OMN )

 c. Tìm giao điểm của BD với (OMN):

 Trong (BCD), gọi  Q = BD  OI

 Vậy : Q  = BD   ( OMN )

12.Cho hình chóp S.ABCD  .  Trong tam giác SBC lấy điểm M trong tam giác SCD lấy điểm N

 a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng  (SAC)

 b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) 

     Giải

 a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) :

  Chọn mp phụ (SMN)  MN

   Tìm  giao tuyến của (SAC ) và (SMN)

  Ta có :  S  là điểm chung của (SAC ) và (SMN)

  Trong (SBC), gọi   M’ = SM  BC

  Trong (SCD), gọi  N’ = SN  CD

  Trong (ABCD), gọi   I = M’N’  AC

     I  M’N’      mà  M’N’   (SMN)     I  ( SMN)

     I  AC         mà  AC  (SAC)    I  (SAC)

    I  là điểm chung của (SMN ) và (SAC)

     ( SMN)  (SAC) = SI

  Trong (SMN), gọi  O = MN  SI  

     O  MN

     O  SI   mà SI   ( SAC)    O  ( SAC)

 Vậy : O  = MN   ( SAC )

 b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) :

  Chọn mp phụ (SAC)  SC

   Tìm  giao tuyến của (SAC ) và (AMN)

  Ta có :    ( SAC)  (AMN) = AO

  Trong (SAC), gọi  E = AO  SC  

     E  SC

     E  AO   mà AO  ( AMN)    E  ( AMN)

 Vậy : E  = SC   ( AMN )

Dạng 3 : Chứng minh ba điểm thẳng hàng

 Phương pháp  :   Chứng minh ba điểm đó cùng thuộc hai mp phân biệt  

       Khi đó ba điểm thuộc đường thẳng giao tuyến của hai mp

Bài tập :

 1. Cho hình bình hành ABCD . S là điểm không thuộc (ABCD) ,M và N lần lượt là trung điểm của

 đoạn AB và SC .

 a. Xác định giao điểm I = AN  (SBD)

 b. Xác định  giao điểm J = MN  (SBD)

 c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng

     Giải

 a. Xác định giao điểm I = AN  (SBD )

  Chọn mp phụ (SAC)  AN

   Tìm  giao tuyến của (SAC ) và (SBD)

     ( SAC)  (SBD) = SO

  Trong (SAC), gọi  I = AN  SO  

     I  AN

     I  SO  mà  SO  ( SBD)    I  ( SBD)

 Vậy:  I = AN  ( SBD)

 b. Xác định  giao điểm J = MN  (SBD)

  Chọn mp phụ (SMC)  MN

   Tìm  giao tuyến của (SMC ) và (SBD)

     S là điểm chung của (SMC ) và (SBD)

  Trong (ABCD) , gọi E = MC  BD

     ( SAC)  (SBD) = SE

  Trong (SMC), gọi  J = MN  SE  

     J MN

     J SE  mà  SE  ( SBD)    J  ( SBD)

 Vậy  J = MN  ( SBD)

 c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng

 Ta có : B là điểm chung của (ANB) và ( SBD) 

      I  SO mà  SO  ( SBD)    I  ( SBD)

      I  AN  mà  AN  (ANB)    I  (ANB)

    I  là điểm chung của (ANB) và ( SBD)

      J  SE  mà  SE  ( SBD)    J ( SBD)

      J  MN  mà  MN  (ANB)    J  (ANB)

    J  là điểm chung của (ANB) và ( SBD)

 Vậy  : B , I , J  thẳng hàng

 2. Cho tứ giác ABCD và S  (ABCD). Gọi I , J là hai điểm trên AD và SB ,  AD cắt BC tại O và

 OJ cắt SC  tại M .

 a. Tìm  giao điểm K = IJ  (SAC)

 b. Xác định  giao điểm L = DJ  (SAC)

 c. Chứng minh A ,K ,L ,M  thẳng hàng

    Giải

 a. Tìm  giao điểm K = IJ  (SAC)

  Chọn mp phụ (SIB)  IJ