I. PHƯƠNG TRÌNH

1. Không có tham số

Dạng 1: Biến đổi tương đương

Câu 1.           Giải phương trình

Lời giải

+Biến đổi phương trình tương đương :

Câu 2.           Giải phương trình  

Lời giải

Điều kiện:

Nhận thấy là một nghiệm của phương trình.

Xét Khi đó phương trình đã cho tương đương với

Vì nên và Suy ra vì vậy

Do đó phương trình

Vậy  phương trình đã cho có 2 nghiệm là hoặc

Câu 3.           [Đề thi hsg Bắc Sơn, Lạng Sơn] Giải phương trình sau :

Lời giải

Câu 1.           Giải phương trình: ,với .

Hướng dẫn giải.

Câu 2.           Giải phương trình .

Hướng dẫn giải.

Tìm được nghiệm duy nhất x=2/3

Câu 3.           Tìm nghiệm nguyên của phương trình .

Hướng dẫn giải

Ta có:

Vì 7 là số nguyên tố nên ta có các trường hợp sau:

; ; ;

Giải ba hệ phương trình trên ta được: .

Câu 4.           (THPT Quảng Xương 2 – Thanh Hóa, 2009-2010) Giải phương trình:

Hướng dẫn giải

Đặt ta được

Giải ta được suy ra

Dạng 2: Đặt ẩn phụ

Bài 1.              Giải phương trình trên tập số thực: (1).

Hướng dẫn giải

Điều kiện: .

không là nghiệm của phương trình.

.

Đặt .

Phương trình trở thành: .

Khi đó ta có: . Vậy .

Bài 2.              Giải phương trình sau trên tập số thực: .

Hướng dẫn giải

Phương trình (1) .

Đặt . Ta có phương trình:

   (*).

.

Phương trình (*)

 .

Vậy .

Bài 3.              Giải phương trình sau trên tập số thực: .

Hướng dẫn giải

Đặt . Điều kiện:

Ta có:

Thay vào phương trình ta được:

+) : phương trình vô nghiệm do

Vậy là nghiệm phương trình.

Bài 1.              Giải phương trình sau

Lời giải

Nhận xét rằng không là nghiệm của phương trình đã cho.

Suy ra . Chia cả hai vế của phương trình cho rồi đặt , ta có phương trình

Xét hàm số .

Ta có hàm số liên tục trên và .

Suy ra hàm số luôn đồng biến trên khoảng .

Khi đó phương trình đã cho có dạng

(do )

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là và .

Bài 2.              Giải phương trình sau :

Lời giải

Đặt .

Điều kiện xác định:

Đặt Ta có .

Phương trình đã cho trở thành

(tm đk).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

Bài 1.              Giải phương trình:    (1)

• Điều kiện:
• và do đó và .
• (1) 

          

• Đặt: a = 8 + 4 > 1, t = x2 – 2x -12. Điều kiện: t > 0.
• Do đó:  (1)  lna + 1(t + 1) = lnat

Cách 1:  (1)  lna + 1(t + 1) = lnat .

• Từ (I) ta được:
• y = 1: là nghiệm của (2).
• y < 1: ,   y < 1: .
• Nên (2) có nghiệm duy nhất: y = 1. Do đó: (1) t = a  x2 – 2x – 12 = 8 + 4  ( thỏa *)

 x2 – 2x – 20 - 4 = 0  x = 2 + 2 hoặc x = -2.

• Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 + 2 hoặc x = -2.

Cách 2:  Xét hàm số y = f(t) = lna + 1(t + 1) - lnat   (a >1

• Ta được: vì a > 1, nên hàm số giảm trên (0; +) và ta có f(t) = 0 có nghiệm t = a nên f(t) có nghiệm duy nhất t = a.

• Vậy: (1) (1)  lna + 1(t + 1) = lnat   t = a x2 – 2x – 12 = 8 + 4  ( thỏa *)

 x2 – 2x – 20 - 4 = 0  x = 2 + 2 hoặc x = -2.

• Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 + 2 hoặc x = -2.

Bài 1.              Giải phương trình:   (1).

• nên điều kiện là: x  -1.
• x2 + 2x + 2 = (x +1) + (x2 + x + 1), đặt ,
• Với điều kiện x  -1: (1) trở thành:

3(a2 + b2) = 10ab  3a2 – 10ab + 3b2 = 0  (a – 3b)(3a – b) = 0  a = 3b hay a = b/3.

• a = 3b  =3  x + 1 = 9(x2 + x + 1)  9x2 + 8x + 8 = 0 (vô nghiệm)
• a = b/3  3a = b 3 =9(x + 1) = x2 + x + 1  x2 - 8x - 8 = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm:.

Bài 2.              Giải phương trình :

Điều kiện:   x -1

+) Nếu x > 3 thì: 

     x- 3x + 2 = (x – 1) - 3(x- 1) >  4(x – 1) – 3(x – 1) = x – 1 > Chứng tỏ x > 3 không thỏa mãn

Với -1 x 3

Đặt  x = 2cost + 1      ( 0 t )

Khi đó phương trình trở thành:

      (2cost + 1) - 3(2cost + 1) + 2 =

  8cost – 6cost =

2cos3t = 2cos

cos3t = cos

Bài 1.              Giải phương trình

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định:

Đặt Ta có .

Phương trình đã cho trở thành

.

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm là

Bài 2.              [Đề chọn hsg tỉnh Trà Vinh, 2014-2015] Giải phương trình :  

Bài 3.              [Đề thi hsg tỉnh Vĩnh Long, 2015-2016] Giải phương trình

Lời giải

Phương trình tương đương với

Đặt , ta có phương trình

Vì nên

Tập nghiệm

Bài 1.              Giải phương trình: ,với

Hướng dẫn giải.

Từ pt ta thấy

(1)

Đặt:

Pt trở thành:

Giải phương trình

Bài 2.              Giải phương trình: .

Hướng dẫn giải.

Đặt từ phương trình ta có

Như vậy: ngược hướng

Suy ra: (1)

Giải (1) và thử lại ta thấy phương trình đã cho có nghiệm là

Bài 3.              Giải phương trình: ,với

Hướng dẫn giải.

Đk:

Đặt

Ta có:

Vậy phương trình có một nghiệm: ,

Giải phương trình: .

Bài 1.              Giải phương trình:

Hướng dẫn giải.

Phương trình đã cho có điều kiện

Với điều kiện trên ta có:

Đặt ta có:

Với ta có :

So với điều kiện , phương trình đã cho có nghiệm

Bài 2.              Giải phương trình sau trên tập số thực: .

Hướng dẫn giải.

Điều kiện: Đặt (),

ta thu được hệ

Suy ra

Do vậy

Thay vào, thử lại thấy thỏa mãn.

Đáp số:

Bài 1.              Giải phương trình: .

Hướng dẫn giải.

= 0

(x = 0 không là nghiệm)

Đặt ta được

So với điều kiện ta được

So với điều kiện , ta được

Bài 2.              Giải phương trình sau: với .

Hướng dẫn giải.

Đặt . Khi đó phương trình trở thành:

(*)

(*)

 Với thì có một nghiệm là