Các dạng toán về phép biến hình

PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH PHÉP TỊNH TIẾN

Hä vµ tªn:   Trịnh Kiều Linh

Líp:    11BD9-K52

Tr­êng: THPT Nguyễn Thị Minh Khai

I.Tóm tắt lý thuyết :

1. Định nghĩa : Trong mặt phẳng , cho véc tơ . Phép tịnh tiến theo véc tơ là phép biến hình , biến một điểm M thành một điểm M’  sao cho

Ký hiệu : .

2.Các tính chất của phép tịnh tiến :

a/ Tính chất 1:

*Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ thì MN=M’N’.

b/ Tính chất 2:

* Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó .

HỆ QUẢ :

Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng , biến một tia thành một tia , biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó , biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính , biến một góc thành một góc bằng nó .

3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

- Giả sử cho và một điểm M(x;y) . Phép tịnh tiến theo véc tơ v biến điểm M thành điểm M’ thì M’ có tọa độ là :

4. Ứng dụng của phép tịnh tiến

BÀI TOÁN 1: TÌM QUỸ TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM

Bài toán : Cho một hình H , trên hình H có một điểm M . Tìm quỹ tích của điểm M khi trên hình H có một điểm A thay đổi . ( Thường điểm A chạy trên một đường (C ) cho sẵn ).

Cách giải :

- Dựa vào các tính chất đã biết , ta tìm ra một véc tơ cố dịnh nằm trên hình H ( Với điều kiện : véc tơ này có phương song song với đường thẳng kẻ qua A ).

- Sau đó dựa vào định nghĩa về phép tịnh tiến ta suy ra M là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo véc tơ cố định .

- Dựa vào tính chất thay đổi của A  ta suy ra giới hạn quỹ tích .

Ví dụ 1: Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó . Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định .

Giải

- Kẻ đường kính BB’ .Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì AH=B’C. Do C,B’ cố định , cho nên B’C là một véc tơ cố định . Theo định nghĩa về phép tịnh tiến điểm A đã biến thành điểm H . Nhưng A lại chạy trên (O;R) cho nên H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo

- Cách xác định đường tròn (O’;R) . Từ O kẻ đường thẳng song song với B’C . Sau đó dựng véc tơ : . Cuối cùng từ O’ quay đường tròn bán kính R từ tâm O’ ta được đường tròn cần tìm .

Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A,B cố định , còn đỉnh C chạy trên một đường tròn (O;R). Tìm quỹ tích đỉnh D khi C thay đổi .

Giải :

- Theo tính chất hình bình hành : BA=DC . Nhưng theo giả thiết A,B cố định , cho nên cố định . Ví C chạy trên (O;R) , D là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo , cho nên D chạy trên đường tròn O’ là ảnh của đường tròn O

- Cách xác định (O’) : Từ O kẻ đường thẳng // với AB , sau đó dựng véc tơ . Từ O’ quay đường tròn bán kính R , đó chính là đường tròn quỹ tích của D.

Ví dụ 3. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cùng với hai điẻm A,B . Tìm điểm M trên (O;R) và điểm M’ trên (O’R’) sao cho .

Giải

a. Giả sử ta lấy điểm M trên (O;R). Theo giả thiết , thì M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véc tơ . Nhưng do M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến . Mặt khác M’ chạy trên (O’;R’) vì thế M’ là giao của đường tròn ảnh với đường tròn (O’;R’).

b/ Tương tự : Nếu lấy M’ thuộc đường tròn (O’;R’) thì ta tìm được N trên (O;R) là giao của (O;R) với đường tròn ảnh của (O’;R’) qua phép tịnh tiến theo véc tơ AB

c/ Số nghiệm hình bằng số các giao điểm của hai đường tròn ảnh với hai đường tròn đã cho .

Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định . Một đường kính MN thay đổi . Các đường thẳng AM và AN cắt các tiếp tuyến tại B lần lượt là P,Q . Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ ?

Giải

- Tam giác MPQ có QA là một đường cao , vì vậy nếu ta kẻ MM’ vuông góc với PQ thì MM’ cắt QA tại trực tâm H . OA là đường trung bình của tam giác MNH suy ra : . Vậy phép tịnh tiến theo biến điểm M thành điểm H . Nhưng M chạy trên (O;AB) cho nên H chạy trên đường tròn ảnh của (O;AB) qua phép tịnh tiến .

- Tương tự đối với tam giác NPQ .

- Giới hạn quỹ tích . Do M không trùng với A,B cho nên trên đường tròn ảnh bỏ đi hai điểm ảnh của A,B .

BÀI TOÁN 2: TÌM ĐIỂM M TRÊN ĐƯỜNG THẲNG D SAO CHO KHOẢNG CÁCH MA+MB NGẮN NHẤT ( A,B CỐ ĐỊNH CHO TRƯỚC )

Cách giải

• Bước 1: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d . ( Khi đó đường thẳng d là đường trung trực của AB , suy ra M thuộc d thì MA=MA’ ).
• Bước 2: Kẻ đường thẳng A’B , thì đường thằng này cắt d tại M . M sẽ là điểm duy nhất
• Bước 3: Chứng minh nhận xét trên : Vì MA+MB=MA’+MB=A’B ( không đổi) do A cố dịnh , thì A’ cố định , suy ra A’B không đổi

Chú ý : Trường hợp trên xảy ra khi A,B nằm trái phía với d .

Ngoài ra : Có trường hợp biến thể là thay đường thẳng d bằng hai đường thẳng // cách nhau một đoạn cho trước không đổi .

Ví dụ 1. Hai thôn nằm ở hai vị trí A,B cách nhau một con sông ( Xem hai bờ sống là hai đường thẳng song song ) . Người ta dự kién xây một cây cầu bắc qua sông (MN) và làm hai đoạn thẳng AM và BN .Tìm vị trí M,N sao cho AM+BN là ngắn nhất .

Giải

- Vì khoảng cách giữa hai bờ sống là không đổi , cho nên .

- Tìm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo . Khi đó AMNA’ là hình bình hành : A’N=AM .

- Do đó : MA+NB ngắn nhất Vì : MA+NB=A’N+NB

Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD . Trên tia đối của tia AB lấy điểm P , trên tia đối của tia CD lấy điểm Q . Hãy xác định điểm M trên BC và điểm N trên AD sao cho MN//CD và PN+QM nhỏ nhất .

Giải

- Giống bài toán trên là khoảng cách giữa hai cạnh của hình chữ nhật không đổi . cho nên ta thực hiện theo cách của bài toán trên như sau :

- Tìm ảnh của điểm Q qua phép tịnh tiến theo .Khi đó MN=QQ’ , suy ra MQ=NQ’ . Cho nên PN+MQ=PN+NQ’ ngắn nhất khi P,N,Q’ thẳng hàng .

- Các bước thực hiện :

 +/ Tìm Q’ sao cho :

 +/ Nối PQ’ cắt AD tại điểm N

 +/ Kẻ NM //CD cắt BC tại M . Vậy tìm được M,N thỏa mãn yêu cầu bài toán .

BÀI TOÁN 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG ( C ‘) QUA PHÉP TỊNH TIẾN THEO KHI BIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG (C ).

Cách giải :

• Bước 1: lấy một điểm M(x;y=f(x) ) trên (C )

• Bước 2: Thay x,y vào công thức tọ độ của phép tịnh tiến
• Bước 3: Rút gọn ta có phương trình F(x;y)=0 . Đó chính là phương trình của (C’ ) cần tìm .

Giải

a/ Gọi M(x;y) thuộc các đường đã cho và M’(x’;y’) thuộc các đường ảnh của chúng. Theo công thức tọa độ của phép tịnh tiến ta có :

Thay x,y vào phương trình các đường ta có :

-         Đường thẳng a’ : 3(x’-1)-5(y’+2)+1=0 3x’-5y’-12=0

-         Đường thẳng b’ : 2(x’-1)+(y’+2)+100=0 hay : 2x’+y’+100=0

b/ Đường tròn (C’) : hay :

c/ Đường (E’) :

d/ Đường (H’):

Bài tập về nhà :

Bài 1. Cho hai đường tròn không đồng tâm (O;R) và (O’;R’) và một điểm A trên (O;R) . Xác định điểm M trên (O;R) và diểm N trên (O’;R’) sao cho .

Bài 2. ( Làm bài tập 4;5;6 – HH11NC-trang 9)

Bài 3. ( Làm bài tập : 2;3- HH11CB-trang 7 )

Gợi ý

Bài 1. Vì : . Do đó N nằm trên đường tròn ảnh của (O;R) . Mặt khác N lại nằm trên (O’;R’) do đó N là giao của đường tròn ảnh với với (O’;R’) . Từ đó suy ra cách tìm :

- Vè đường tròn tâm A bán kính R , đường tròn náy cắt (O’;R’) tại N

- Kẻ đường thẳng d qua N và song song với OA , suy ra d cắt (O;R) tại M

Bài 2.

a/ Bài 4-trang 9-HH11NC.

- Vì A,B cố định suy ra : .

- Từ giả thiết : . Chứng tỏ : .

- Nhưng M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) .

b/ Bài 5.

- Tọa độ của M’ và N’ là :

- Khoảng cách d giữa M,N và khoảng cách d’ giữa M’N’ .

Ta có :

- Phép F là phép dời hình

- Khi : . Đây là công thức của phép tịnh tiến .

c/ Bài 6.

- Nếu thì khoảng cách giữa hai điểm MN và M’N’ là : . Chứng tỏ MN=M’N’cho nên đó chính là phép dời hình .

- Nếu : . Khi đó khoảng cách hai điểm là : .

- Rõ ràng : MN< M’N’ : Do đó đây không phải là phép dời hình vì theo định nghĩa : Phép dời hình là phép biến hình biến hai điểm thành hai điểm mà không làm thay đổi khoảng cách giữa chúng .

Bài 3.

a/ Bài 2- trang 7.

- Từ B và C kẻ các đường thẳng // với AG . Sau đó đặt BB’=CC’=AG ( Tứ giác BCC’B’ là hình bình hành )

- A’ sẽ trùng với G . Tam giác GB’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo véc tơ AG .

- Nếu D là ảnh của phép tịnh tiến theo véc tơ AG thì : phải trùng với G .

b/ Bài 3-trang 7.

- Theo công thức tọa độ của phép tịnh tiến : và tọa độ của điểm .

- Nếu gọi M(x;y) thuộc đường thẳng d và M’(x’;y’) thuộc đường thẳng d’ : là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo véc tơ v thì theo công thức tọa độ củ phép tịnh tiến ta có :

. Thay vào phương trình của d : (x’+1)-2(y’-2)+3=0 . Hay d’: x’-2y’+8=0 .

Bài 3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

1. ĐỊNH NGHĨA  :

* Cho đường thẳng d . Phép biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó . Biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của MM’ , được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d ( hay là phép đối xứng trục ) . Đường thẳng d gọi là trục đối xứng

2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

Ta chọn đường thẳng d trùng với trục Ox . Với mỗi điểm M(x;y) , gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng trục thì : ( Đó chính là biểu thức tọa độ )

3. TÍNH CHẤT

a/ Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ .

b/ Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng , biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó , biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính .

4. TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH

Định nghĩa :

* Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép dối xứng qua d biến hình H thành chính nó .

5. ỨNG DỤNG

BÀI TOÁN 1. TÌM QUỸ TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM

Bài toán :

Cho hình H và một điểm A thuộc hình H thay đổi . Tìm quỹ tích của điểm M khi A thay đổi .

Cách giải .

• Bước 1: Xét một vị trí bất kỳ của A và M . Sau dó tìm trên H có một đường thẳng cố định là trung trực của đoạn thẳng AM ( Chính là trục đối xứng ).
• Nếu A chạy trên một đường (C ) nào đó , theo tính chất của phép dối xứng trục , thì M chạy trên đường (C’) là ảnh của (C ) qua phép đối xứng trục .

Ví dụ 1. ( Bài 10-tr13-HH11NC ) .

Cho hai điểm B,C cố định nằm trên đường tròn (O;R) và điểm A thay đổi trên đường tròn đó . Hãy dùng phép đối xứng trục để chứng minh rằng trực tâm H nằm trên một đường tròn cố định .

Giải

- Vẽ hình . Gọi H là giao ba đường cao của tam giác ABC . Kéo dài AH cắt (O;R) tại H’ . Nối CH’

- Chứng minh IH=IH’ . Thật vậy

 Ta có : ( Góc nội tiếp chẵn cung BH’ ).(1)

Mặt khác : . Từ (1) và (2) suy ra :

Chứng tỏ tam giác HCH’ là tam giác cân . Do BC vuông góc với HH’ , chứng tỏ BC là đường trung trực của HH’ . Hay H và H’ đối xứng nhau qua BC . Cho nên khi A chạy trên đường tròn (O;R) thì H’ cũng chạy trên (O;R) và H sẽ chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của đường tròn (O;R) qua phép đối xứng trục BC

- Giới hạn quỹ tích : Khi A trùng với B và C thì tam giác ABC suy biến thành đường thẳng . Vì thế trên đường tròn (O’;R) bỏ đi 2 điểm là ảnh của B,C .

* Chú ý : Ta còn có cách khác chứng minh H và H’ đối xứng nhau qua BC .

- Kẻ AA’ ( là đường kính của (O) ) suy ra BHCA’ là hình bình hành , cho nên BC đi qua trung điểm I của A’H .

- A’H’ song song với BC ( vì cùng vuông góc với AH )

- Từ đó suy ra BC là đường trung bình của tam giác AHH’ – Có nghĩa là BC đi qua trung điểm của HH’ . Mặt khác AH vuông góc với BC suy ra BC là trục đối xứng của HH’ , hay H và H’ đối xứng nhau qua BC.

Giải .

a/ Giả sử là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC , thì theo bài taons của ví dụ 1 chính là ảnh của (O) qua phép đối xứng trục BC . Cho nên bán kính của chúng bằng nhau . Tương tự hai đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác còn lại có bán kính bằng bán kính của (O) .

b/ Ta hoàn toàn chứng minh được là các ảnh của O qua phép đối xứng trục BC,CA,AB . Vì vậy bán kính các đường tròn này bằng nhau . Mặt khác ta chứng minh tam giác ABC bằng tam giác .

BÀI TOÁN 2.TÌM ĐIỂM CHO (d) VÀ HAI ĐIỂM A,B . TÌM ĐIỂM M THUỘC d SAO CHO MA+MB MIN . (Khi A,B là hai điểm nằm về một phía của d ) , ĐẠT GIÁ TRỊ MAX (A,B nằm về hai phía của d)

Cách giải :

• Bước 1: Tìm điẻm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d
• Bước 2: Nối A’B , đường thẳng này cắt d tại M . Là điểm cần tìm .
• Bước 3: Chứng minh M là điểm duy nhất .

Giải .

- Tìm A’ đối xứng với A qua Oy , B’ đối xứng với A qua Ox

- Nối A’B’ cắt Ox tại B , cắt Oy tại C . Đó chính là hai điểm cần tìm

- Chứng minh B,C là hai điểm duy nhất cần tìm .

Thật vậy : Do A’ đối xứng với A qua Oy , cho nên CA=CA’ (1) . Mặt khác : B’ đối xứng với A qua Ox cho nên ta có BA=BB’ (2) . Gọi P là chu vi tam giác ABC thì P=CA+CB+BA =CA’+CB+BB’=A’B’ ( do từ (1) và (2) ).

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm cùng phía với d . Tìm điểm M trên d sao cho MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất ?

Giải

- Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d

- Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm .

- Thật vậy : Vì A’ đối xứng với A qua d cho nên MA=MA’ (1). Do đó : MA+MB=MA’+MB=A’B .

- Giả sử tồn tại M’ khác M thuộc d thì : M’A+M’B=M’A’+M’B. Dấu bằng chỉ xảy ra khi A’M’B thẳng hàng . Nghĩa là M trùng với M’ .

Ví dụ 3. Cho đường thẳng d và hai điểm A,B ( nằm về hai phía của d ). Tìm điểm M trên d sao cho đạt GTLN .

Giải .

- Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d

- Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm .

- Thật vậy : . Giả sử tồn tại một điểm M’ khác với M trên d , khi đó : . Dấu bằng chỉ xảy ra khi M’A’B thẳng hàng , nghĩa là M trùng với M’.

b/ Hãy xác định điểm I trên d sao cho tiếp tuyến IT với (O;R) và tiếp tuyến IT’ với (O’;R’) tạo thành một góc TIT’ nhận đường thẳng d là đường phân giác trong hoặc ngoài .

Giải

Vẽ hình :

a/ Giả sử M nằm trên (O;R) và M’ nằm trên (O’;R’) tỏa mãn yêu cầu bài toán

- Vì d là trung trực của MM’ cho nên M’ nằm trên đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (O;R) qua phép đối xứng trục d . Mặt khác M’ lại nằm trên (O’;R’) do vậy M’ là giao của (C’) với (O’;R’)

- Từ đó suy ra cách tìm :

• Tìm hai đường tròn ảnh của hai đường tròn đã cho qua phép đối xứng trục d ( Lần lượt là (C’) và (C’’)
• Hai đường tròn này cắt hai đường tròn đã cho tại . Sau đó kẻ hai đường thẳng d’’ và d’’’ qua cắt (O;R) và (O’;R’) tại
• Các điểm cần tìm là và

b/ Nếu MT và MT’ nhận d là phân giác trong hoặc ngoài của góc TIT’ thì MT và MT’ đối xứng nhau qua d . Từ đó suy ra cách tìm :

- Gọi d’ là ảnh của MT qua phép đối xứng d  nghĩa là d’ là tiếp tuyến của đường tròn (C ) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng trục d. Mặt khác d’ là tiếp tuyến của (O’;R’) . Cho d’ là tiếp tuyến chung của (C ) với (O’;R’) . Từ đó ta suy ra cách tìm M :

• Tìm (C ) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng trục d
• Kẻ d’ là tiếp tuyến chung của (C ) và (O’;R’) . Khi đó d’ cắt d tại M . Chính là điểm cần tìm .
• Tương tự áp dụng cho (O’;R’)

-         Số nghiệm hình bằng số giao điểm của các tiếp tuyến chung cắt d .

BÀI TOÁN 3:TÌM ĐIỂM ĐỐI XỨNG VỚI ĐIỂM QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Bài toán : Cho điểm A(x;y) và một đường thẳng d : ax+by+c=0 . Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm A qua đường thẳng d ?

Cách giải :

• Bước 1: Gọi B(x’;y’) là điểm đối xứng với A qua d và H là trung điểm của AB thì điều kiện :
• Bước 2: Giải hai điều kiện (1) và (2) suy ra tọa độ của B

Giải

- Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MN thì M,N đối xứng nhau qua d thì điều kiện là :

- Ta có : .

- Điều kiện (*)

Giải

- Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MN thì M,N đối xứng nhau qua d thì điều kiện là :

- Ta có : .

- Điều kiện (*)

BÀI TOÁN 4:CHO (C ) VÀ (d) HÃY VIẾT PHƯƠNG TRÌNH (C’) LÀ ẢNH CỦA (C ) QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC d

CÁCH GIẢI

• Bước 1: Trên đường (C ) lấy hai điểm A,B 
• Bước 2: Tìm hai điểm A’,B’ đối xứng với A,B qua phép đối xứng trục d 
• Bước 3: Viết phương trình đường (C’) đi qua A’,B’

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d : x-2y-2=0 và đường thẳng d’: y=x . Lập phương trình đường thẳng (m) đối xứng với đường thẳng d’ qua đường thẳng d .

Giải