1/ CẤP SỐ CỘNG:
Định nghĩa: với d là công sai.
Dãy số là cấp số cộng (hằng số)
a/ Cách tính d:
b/ Cách tính một số hạng
Ví dụ:
c/ Tính chất ba số hạng liên tiếp: .
d/ Tổng n số hạng đầu:
2/ CẤP SỐ NHÂN:
Định nghĩa: với q là công bội.
Dãy số là cấp số nhân (hằng số)
a/ Cách tính q:
b/ Cách tính một số hạng
Ví dụ: = ...
c/ Tính chất ba số hạng liên tiếp:
d/ Tổng n số hạng đầu:
e/ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
Cho cấp số nhân có công bội q thỏa . Khi đó:
Bài 1: Chứng minh dãy : (1) là một cấp số cộng.
Điều kiện cần: Giả sử là một cấp số cộng với công sai d, ta có:
(2) (3)
Từ (2) và (3)
Điều kiện đủ: Giả sử
Thay m = 1 vào ta được: thế vào (1) ta được:
. Thay m = 2 vào ta được
là một cấp số cộng.
Bài 2: Cho dãy thỏa:
Chứng minh:
(1)
và (2)
Từ (1) và (2)
Bài 3: Đề nghị Olympic 2005: Cho cấp số nhân có công bội và . Tính
Vì ,…là dãy cấp số nhân công bội (1)
,... là dãy csn công bội (2)
(3)
Lấy (1) chia (2) (4)
Từ (3) và (4) . Vì
Bài 4: Cho cấp số cộng . Chứng minh:
Bài 5: Cho cấp số cộng .
Chứng minh rằng:
Bài 6: Cho cấp số cộng .
Chứng minh rằng:
Bài 7: Chứng minh rằng trong mọi cấp số cộng ta luôn có
Bài 8: Chứng minh rằng trong mọi cấp số cộng nếu thì
Bài 9: Chứng minh rằng trong mọi cấp số cộng ta luôn có
Bài 10: Tổng n số hạng đầu của dãy là Chứng minh rằng dãy là một cấp số nhân.
Bài 11: Tìm 3 số có tổng bằng 124 là ba số hạng đầu liên tiếp của một cấp số nhân đồng thời là số hạng thứ 3, 13, 15 của một cấp số cộng.
Bài 12: Cho 4 số lập thành một cấp số nhân, nếu lấy chúng trừ tương ứng cho 2, 1, 7, 27, ta nhận được một cấp số cộng. Tìm các số đó.
Gọi các số phải tìm là . Ta có hệ
Bài 13: Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạng bằng 56. Còn tổng bình phương của các số hạng bằng 448, tìm cấp số nhân đó.
Ta có và
Bài 14: Ba số có tổng bằng 65 lập thành một cấp số nhân tăng, bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và bớt 19 đơn vị ở số hạng thứ 3 ta được một cấp số cộng. Tìm ba số đó.
Bài 15: Tổng các số hạng của một cấp số nhân bằng 26. Còn tổng bình phương của các số hạng bằng 364. Tìm ba số đó.
Bài 16: Cho cấp số nhân , chứng minh rằng
Bài 17: Cho , chứng minh rằng nếu theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.
Ta cần chứng minh :
Bài 18: Cho , chứng minh rằng nếu theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì ba cạnh a , b , c theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.
Ta cần chứng minh :
Bài 19: Cho , chứng minh rằng nếu theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì ba cạnh theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.
Ta cần chứng minh :
Bài 20: Cho hai cấp số cộng Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số có bao nhiêu số hạng chung?
Ta có
Để một số là số hạng chung, ta phải có
Vì
Ứng với 20 giá trị của t, ta tìm được 20 số hạng chung.
Bài 21: Tìm x trong cấp số cộng biết
Ta có cấp số
nguon VI OLET
