CHU DE TINH CHAT CHIA HET

Chuû ñeà naâng cao:  TÍNH CHAÁT CHIA HEÁT –  ÖÔÙC VAØ BOÄI        

A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN:

B.Ví duï: 

Ví duï 1:Chöùng minh raèng:

 a) chia heát cho 11.

 b) Chia heát cho 9 vôùi a > b.

Giaûi:

a)    Ta coù  = (10a +b) + (10b + a)

                            = 11a + 11b

                             = 11(a + b) 11            Vaäy 11.

b)    Ta coù : = (10a + b) – (10b + a)

                             = 9a – 9b    = 9 (a – b) 9

Chuù yù :     Neáu 

Ví duï 2: Tìm n N ñeå:

 a) n + 4 n   b) 3n + 7 n                

Giaûi:

 a) n + 4 n ,

vì n n => 4 n

             => n Ö(4) =

     b) 3n + 7 n; 

                 vì 3n n   => 7 n

                 => n Ö(7) =   

C. BAØI TAÄP:    

1)    Cho 

2) CMR Neáu vieát theâm vaøo ñaèng sau moät soá töï nhieân coù hai chöõ soá soá goàm chính hai chöõ soá aáy vieát theo thöù töï ngöôïc laïi thì ñöôïc moät soá chia heát cho 11.

      3) Cho soá  Chöùng minh raèng soá 

  4. CMR toång cuûa ba soá töï nhieân lieân tieáp thì chia heát cho 3, coøn toång cuûa boán soá töï nhieân lieân tieáp thì khoâng chia heát cho 4.

5. CMR Toång cuûa 5 soá chaún lieân tieáp thì chia heát cho 10, coøn toång cuûa 5 soá leõ lieân tieáp thì khoâng chia heát cho 10.

6. Tìm n N ñeå:

 a) 27 – 5n n    b) n + 6 n + 2                                             c) 2n + 3 n – 2                                           d) 3n + 1 11 – 2n

7. Cmr neáu

8. Cho

9. Cho 10 k – 1 19 vôùi k > 1 CMR:  102k – 1 19

10. Cho n laø soá töï nhieân. CMR:

  a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia heát cho 2.

  b/ n(n + 1) (n + 2) chia heát cho caû 2 vaø 3.

11. Chöùng minh raèng neáu

Giaûi:

 Maø   : 7.143  vaø  

2. Goïi soá töï nhieân coù hai chöõ soá laø: .( 0 < a 9, 0 b 9, a,b N)

      Khi vieát theâm soá coù hai chöõ soá aáy vieát theo thöù töï ngöôïc laïi ta ñöôïc soá:

3. 

4. Goïi ba soá töï nhieân lieân tieáp ñoù laø: n, n + 1, n + 2 .

    Ta phaûi chöùng minh: n + (n + 1) + (n + 2) 3

Thaät vaäy ta coù: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 3

   Goïi boán soá töï nhieân lieân tieáp ñoù laø: n, n + 1, n + 2, n + 3.

Ta coù: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 khoâng chia heát cho 4 vì 4n chia heát cho 4 coøn 7 khoâng chia heát cho 4.

Vaäy toång cuûa ba soá töï nhieân lieân tieáp thì chia heát cho 3, coøn toång cuûa boán soá töï nhieân lieân tieáp thì khoâng chia heát cho 4.

5. Goïi 5 soá chaün lieân tieáp laø: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8 vôùi n laø soá töï nhieân.

Ta coù: 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n + 2) 10

Goïi 5 soá leõ lieân tieáp laø: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + 9 vôùi n laø soá töï nhieân.

Ta coù: 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 = 10n + 25 = 10(n + 2) + 5   10.

6. a) 27 – 5n n ; 5n n => 27 n => n Ö(27) = nhöng 5n < 27 neân n < 6

Vaäy n 

    b) n + 6 n + 2 => n + 2 + 4 n + 2, maø n +2 n + 2 => 4 n + 2  => n + 2  => n

   c) 2n + 3 n – 2 => 2(n – 2) + 7 n -2 => 7 n - 2  => n – 2  => n

   d*) 3n + 1 11 – 2n (n < 6) => 2(3n + 1) + 3(11 – 2n) 11 – 2n => 35 11 – 2n

 => 11 – 2n nhöng vì n < 6 neân   n

Vaäy : 

9. Ta coù: 102k – 1 = 102k – 10k + 10k -1 = 10k(10k – 1) + (10k – 1)

   Do 10k - 1 19 neân  10k(10k – 1) + (10k – 1) 19

  Vaây 102k – 1 19

10. a/  (n + 10 ) (n + 15 )

Khi n chaün => n = 2k (k N).

Ta coù: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia heát cho 2.

Khi n leõ => n = 2k + 1 (k N).

Ta coù: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 1 + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16)

                                           = 2(2k + 11 )(k + 8) chia heát cho 2.

Vaây (n + 10 ) (n + 15 ) Chia heát cho 2.

   b/ Ñaêt. A = n (n + 1)(n + 2)

+ Trong hai soá töï nhieân lieân tieáp coù moät soá chaún vaø moät soá leõ, soá chaún chia heát cho 2 neân A chia heát cho 2.

+ Tröôøng hôïp:  n = 3k  (k N) thì n chia heát cho 3 neân A chia heát cho 3.            (1)

Tröôøng hôïp: n khoâng chia heát cho 3 thì n = 3k + 1 hoaëc n = 3k + 2

Khi n = 3k + 1 => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia heát cho 3 neân A chia heát cho 3.                                                                                                                (2)

Khi n = 3k + 2 => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia heát cho 3 neân A chia heát cho 3.                                                                                                                (3)

Töø (1), (2) vaø (3) suy ra:  A chia heát cho 3.

Vaäy A chia heát cho caû 2 vaø 3.

11. Ta coù 

 Maø:       

Suy ra: 

            Vaäy:        

CAÙC DAÁU HIEÄU CHIA HEÁT

A/ LYÙ THUYEÁT:

B/ Ví du:

Ví duï1:Tìm soá töï nhieân coù 4 chöõ soá, chia heát cho 5 vaø cho 27. bieát raèng hai chöõ soá ôû giöõa cuûa noù laø 97.

Giaûi: Goïi n laø soá phaûi tìm. Vì n chia heát cho 5 vaø cho 27 neân n phaûi taän cuøng baèng 0 hoaëc 5 vaø chia heát cho 9, do ñoù ta coù soá n = .

 Khi: n = 9 => (* + 9 + 7 + 5) 9 => * = 6. Thöû laïi  6975 khoâng chia heát cho 27.

Khi: n = 9 => (* + 9 + 7 + 0) 9 => * = 2. Thöû laïi  2970 chia heát cho 27.

Vaây soá 2970 laø soá phaûi tìm.

Ví duï 2: Cho soá töï nhieân baèng ba laàn tích caùc chöõ soá cuûa noù.

1. CMR: b chia heát cho a.    b.  Giaû söû b = ka (k N) CM: k laø öôùc cuûa 10.

Giaûi:    a) Theo ñeà baøi ta coù:    = 3ab

    => 10a + b = 3ab  (1)

    => 10a + b  a =>             b a

 b) Do b = ka neân k < 10. Thay b = ka vaøo (1), ta coù:

          10a + ka = 3a.ka

    => a(10 + k) =  3ak. a

    => 10 + k = 3ak => 10 + k  k

    => 10 k                Vaäy k laø öôùc cuûa 10.

Ví duï 3:  Chöùng minh raèng: vôùi n N thì soá 92n – 1 chia heát cho caû 2 vaø 5.

Giaûi:  Coù:  92n – 1 = (92)n – 1 = 81n - 1 = ….1 -  1 = …0

         Soá naøy coù chöõ soá taän cuøng baèng 0 neân chia heát cho caû 2 vaø 5.

C/ BAØI TAÄP:

1. Thay caùc  chöõ x, y baèng chöõ soá thích hôïp ñeå cho:

 a/ Soá chia heát cho 5; cho 25; cho125.

 b/ Soá chia heát cho 2, cho4, cho 8.

2 . Cho n N, chöùng minh raèng:

  a/  5n – 1 4                        b/  n2 + n + 1 khoâng chia heát cho 4.

  c/ 10n - 1 9                      d/ 10n + 8 9

3. Chöùng minh raèng:

 a/ 1028 + 8 72                   b/ 88 + 220 17

4. CMR vôùi moïi soá töï nhieân n thì n 2 + n + 6  khoâng chia heát cho 5.

5. CMR: a/ 94260 – 35137chia heát cho 5.

    b/ 995 - 984 + 973 - 962 chia heát cho 2 vaø 5.

Giaûi:

1.  a/  5 ;    25 ;   125

              b/ ;  

2. a/     + Vôùi n = 0, ta coù: 50 – 1 = 1 – 1 = 0 4

 + Vôùi n = 1, ta coù: 51 -1 = 5 – 1 = 4 4.

 + Vôùi n > 1, ta coù: 5n = …5 neân 5n – 1 = …5 – 1 = … 4 4

 Vaäy vôùi n N, 5n – 1 4 .

   b/ Ta coù n2 + n = n( n + 1) ñaây laø tích cuûa hai soá töï nhieân lieân tieáp neân tích chaún, do ñoù n2 + n + 1 laø soá leõ neân khoâng chia heát cho 4.

  d/ Ta coù: 10n + 8 = 100…0 +  8 =  100…08 9

                               n chöõ soá 0    n-1 chöõ soá 0

3. a/ Ta coù: 1028 + 8 = 100…0 + 8    = 100……08 9                  (1)

                                      28 chöõ soá 0    27 chöõ soá 0

         Soá  1028 + 8 coù taän cuøng baèng 008 neân chia heát cho 8   (2)

        Maët khaùc (8;9) = 1. Vaäy 1028 + 8 chia heát cho 72.   

   b/ 88 + 220 = (23)8 + 220 = 2 24 + 2 20 = 220(24 + 1) = 220. 17 17

       vaây 88 + 220 chia heát cho 17.

4. Vôùi moïi soá töï nhieân n thì n 2 + n = n(n + 1) ñaây laø tích cuûa hai soá töï nhieân lieân tieáp neân taän cuøng baèng 0; 2; 6. Do ñoù n 2 + n + 6 taän cuøng baèng 6; 8; 2 neân khoâng chia heát cho 5.

5. a/ 94260 – 35137= 9424.15 – 35137= ….615 - …1 = …6 - …1 = …5 5

     b/ 995 - 984 + 973 - 962 = …9 - …6 + ….3 - …..6 =….0

      Soá naøy coù chöõ soá taän cuøng baèng 0 neân chia heát cho caû 2 vaø 5.

SOÁ NGUYEÂN TOÁ – HÔÏP SOÁ.

                 PHAÂN TÍCH MOÄT SOÁ RA THÖØA SOÁ NGUYEÂN TOÁ

A/ LYÙ THUYEÁT:

+ Soá nguyeân toá laø soá töï nhieân lôùn hôn 1 vaø chæ coù hai öôùc laø 1 vaø chính noù.

+ Hôïp soá laø soá töï nhieân lôùn hôn 1 coù nhieàu hôn hai öôùc.

+ Ñeå chöùng toû soá töï nhieân a > 1 laø hôïp soá, chæ caàn chæ ra moät öôùc khaùc 1 vaø a.

Chuù yù: 10n = 10….0 = 2n.5n

                   n chöõ soá 0

+ Caùch xaùc ñònh soá löôïng öôùc cuûa moät soá: Khi phaân tích M ra thöøa soá nguyeân toá, ta coù

M = ax.by….cz thì caùc öôùc cuûa M laø (x + 1)(y + 1)…(z + 1).

+ Neáu ab vôùi P laø soá nguyeân toá thì hoaëc a hoaëc b .

   Ñaëc bieät: Neáu an thì a

B/ VÍ DUÏ:

Ví duï 1: Cho A = 5 + 52 + 53 +……+5100

a)    Soá A laø soá nguyeân toá hay hôïp soá?

b)    Soá A coù phaûi laø soá chính phöông khoâng?

Giaûi:    a)  Coù A > 5; A 5 ( Vì moãi soá haïng ñeàu chia heát cho 5) neân A laø hôïp soá.

 b)  Coù 52 25, 53 25;…..;5100 25, nhöng 5 25 neân A 25

 Soá A 5 nhöng A 25 neân A khoâng laø soá chính phöông.

Ví duï 2: Soá 54 coù bao nhieâu öôùc.

Giaûi: Coù: 54 = 2 .33. Soá öôùc cuûa 54 laø: (1 + 1)(3 + 1) = 2.4 = 8 öôùc.

         Taäp hôïp caùc öôùc cuûa 54 laø: Ö(54) =

Ví duï 3: Tìm soá nguyeân toá p sao cho p + 2 , p + 4 cuõng laø soá nguyeân toá.

Giaûi: Vì p laø soá nguyeân toá neân p coù moät trong ba daïng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 vôùi k laø soá töï nhieân.

Neáu p = 3k thì p = 3 (Vì p laø soá nguyeân toá) => p + 2 = 5; p + 4 = 7 ñeàu laø soá nguyeân toá.

Neáu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia heát cho 3 vaø lôùn hôn 3 neân p + 2 laø hôïp soá, traùi vôùi ñeà baøi.

Neáu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia heát cho 3 vaø lôùn hôn 3 neân p + 4 laø hôïp soá, traùi vôùi ñeà baøi.

Vaäy p = 3 laø soá nguyeân toá caàn tìm.

C/ BAØI TAÄP: 

1)    Toång cuûa 3 soá nguyeân toá baèng 1012. Tìm soá nhoû nhaát trong ba soá ñoù?

2)    Toång cuûa hai soá nguyeân toá coù theå baèng 2003 hay khoâng?

3)    Tìm soá nguyeân toá p, sao cho caùc soá sau cuõng laø soá nguyeân toá.

a)    p + 2 vaø p + 10.

b)    P + 10 vaø p + 20.

      4)  Cho p laø soá nguyeân toá lôùn hôn 3. Bieát p + 2 cuõng laø soá nguyeân toá. Chöùng minh p + 1chia heát cho 6.

      5)  Cho p vaø p + 4 laø caùc soá nguyeân toá (p > 3).Chöùng minh p + 8 laø hôïp soá.

      6)  Cho a, n N*, bieát an 5. Chöùng minh: a2 + 150 25.

Giaûi:

1) Toång cuûa 3 soá nguyeân toá baèng 1012 laø soá chaún neân moät trong ba soá nguyeân toá ñoù phaûi coù moät soá chaún. Đoù laø soá 2. soá 2 laø soá nhoû nhaát trong ba soá nguyeân toá ñaõ cho.

2) Toång cuûa hai soá nguyeân toá coù theå baèng 2003 laø soá leõ neân moät trong hai soá nguyeân toá ñoù phaûi laø soá 2 khi ñoù soá thöù hai laø: 2003 – 2 = 2001 chia heát cho 3 neân laø hôïp soá.

Vaäy khoâng toàn tai hai soá nguyeân toá coù toång baèng 2003.

3) a/ Vì p laø soá nguyeân toá neân p coù moät trong ba daïng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 vôùi k laø soá töï nhieân.

Neáu p = 3k thì p = 3 (Vì p laø soá nguyeân toá) => p + 2 = 5; p + 10 = 13 ñeàu laø soá nguyeân toá.

Neáu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia heát cho 3 vaø lôùn hôn 3 neân p + 2 laø hôïp soá, traùi vôùi ñeà baøi.

Neáu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 12 chia heát cho 3 vaø lôùn hôn 3 neân p + 10 laø hôïp soá, traùi vôùi ñeà baøi.

Vaäy p = 3 laø soá nguyeân toá caàn tìm.

  b/  Vì p laø soá nguyeân toá neân p coù moät trong ba daïng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 vôùi k laø soá töï nhieân.

Neáu p = 3k thì p = 3 (Vì p laø soá nguyeân toá) => p + 10 = 13; p + 20 = 23 ñeàu laø soá nguyeân toá.

Neáu p = 3k + 1 thì p + 20 = 3k + 21 chia heát cho 3 vaø lôùn hôn 3 neân p + 20 laø hôïp soá, traùi vôùi ñeà baøi.

Neáu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 12 chia heát cho 3 vaø lôùn hôn 3 neân p + 10 laø hôïp soá, traùi vôùi ñeà baøi.

Vaäy p = 3 laø soá nguyeân toá caàn tìm.

4) Do p laø soá nguyeân toá lôùn hôn 3 neân p leõ, => p + 1 laø soá chaün neân p + 1 2      (1)

p laø soá nguyeân toá lôùn hôn 3 neân coù daïng 3k + 1 hoaëc 3k + 2. (k N)

Daïng p = 3k + 1 khoâng xaõy ra.

Daïng p = 3k + 2 cho ta p + 1 = 3k + 3 3       (2)

Töø (1) vaø (2) suy ra p + 1 6 

5) p laø soá nguyeân toá lôùn hôn 3 neân p coù daïng 3k + 1 hoaëc 3k + 2. (k N)

Neáu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia heát cho 3 neân laø hôïp soá, traùi vôùi ñeà baøi.

Vaäy p coù daïng 3k + 1 khi ñoù p + 8 = 3k + 9 chia heát cho 3 neân p + 8 laø hôïp soá.

6) Coù an 5 maø 5 laø soá nguyeân toá neân a 5 => a2 25.

    Maët khaùc 15025 neân a2 + 150 25.