Chuỗi số

Chủ điểm 17: Chuỗi

Mục đích: Để phát triển một chuỗi dưới dạng là các dãy của các tổng từng phần và mở rộng định lý nhị thức bất cứ chỉ số thực nào.

Yêu cầu: Lúc học xong chủ điểm này bạn sẽ có thể:

• Tính tổng từng phần của một dãy và tạo nên một chuỗi.
• Nhận biết và sử dụng ký hiệu sigma.
• Xử lý các chuỗi số học và chuỗi hình học.
• Sử dụng định lý nhị phân cho bất kỳ luỹ thừa của số thực nào.

Bài 1   Tổng từng phần và chuỗi

Tổng từng phần

Tổng từng phần của một dãy f với đầu ra f(n) là như sau:

 Tổng từng phần thứ 0 s(0) = f(0)

 Tổng từng phần thứ nhất s(1) = f(0) + f(1)

 Tổng từng phần thứ hai s(2) = f(0) + f(1) + f(2)

 Tổng từng phần thứ n s(N) = f(0) + f(1) + f(2) + … + f(N)

Tổng từng phần s(0), s(1), s(2), … xác định một dãy s. tuy nhiên vì dãy này được tạo ra từ các tổng từng phần của một dãy gốc nó được gọi là một chuỗi. Lấy ví dụ, dãy được định nghĩa bởi

có thể được dùng để xác định chuỗi:

 s(0) = 1

 s(1) = 1 +  =

 s(2) = 1 + +  =

 s(4) = 1 + + +  =

Ký hiệu Sigma

Để tránh viết ra một danh sách dài các biểu thức được nối với nhau, ký hiệu sigma được sử dụng. Ký hiệu này có dạng một ký hiệu Hylạp viết hoa (- một ký hiệu Hy Lạp tương đương như ký tự S) được theo sau bởi số hạng tổng quát của dãy gốc. chẳng hạn nếu f(n) là dãy gốc thì

 s(n) = f(0) + f(1) + f(2) + … + f(N) =

Hãy để ý đến chỉ số trên và bên dưới ký hiệu sigma rằng chúng biểu hiện phạm vi các giá trị của biến n. vì biến n không xuất hiện trong dạng cuối cùng của s(N) nó được gọi là biến giả - bất kỳ ký hiệu nào khác cũng như vậy. cũng đẻ ý rằng dãy gốc f (n) ở đây bắt đầu với n = 0 nhưng trong vài trường hợp nào khác nó có thể bắt đầu với giá trị khác nào đó của n như là 1, chẳng hạn.

Chuỗi  số học

Số hạng tổng quát của dãy số học được cho bởi tổng của N số hạng đầu tiên của dãy số học đó:

    = a + (a +d) + (a +2d) +… + [a + (N-1)d]

để ý rằng vì số hạng đầu tiên của dãy này được cho khi n = 0, số hạng thứ N đựoc cho khi n = N-1.

tổng của các số hạng này được đọc ngược thành:

 s(N-1) = [a + (N-1)d] + [a + (N-2)d] + … + a

và khi đó cả hai phương trình đựoc cộng vào để thành

 2s(N-1) = [2a + (N-1)d] + [2a + (N-1)d] + … + [2a + (N-1)d]

   = N[2a + (N-1)d]

Và có N số hạng có dạng [2a + (N-1)d]. điều này có nghĩa là chúng ta đã thu được một biểu thức đại số thay phiên với - ký hiệu cho Tổng từng phần thứ N-1:

Đây là số hạng thứ N của chuỗi số học. chú ý rằng

Vì vậy tất cả các chuỗi số phân kỳ ra + nếu d >0 và - nếu d <0.

chuỗi hình học

Số hạng tổng quát của chuỗi hình học đựoc cho bởi tổng của n số hạng đầu tiên của dãy hình học:

Nếu tổng này được nhân với tỷ số chung r thì kết quả sẽ là:

 rs(N-1) = ar + ar2 + ar3 +… + arN

Bây giờ thực hiện phép trừ:

 s(N-1) - rs(N-1) = a - arN

Nhân tử hóa cả hai vế của phương trình này cho

(1-  r)s(N-1) = a(1- rN)

vì thế

là một biểu thức đại số thay phiên với - ký hiệu cho tổng từng phần thứ N-1của dãy hình học – số hạng thứ N của chuỗi hình học. để ý rằng

Một chuỗi hình học hội tụ đến a/(1-r) chỉ khi -1< r <1.

 Để ý rằng dạng thức này cho số hạng tổng quát của một chuỗi hình học là không phù hợp nếu tỷ số chung r = 1- mẫu số là 0 khi r = 1. thật vậy, một dãy hình học với tỷ số chung bằng đơn vị là một dãy số học với sai phân chung bằng 0. Chẳng hạn,

 5 + 5 + 5 +5 +…

vừa là một chuỗi số học với sai phân chung d = 0 vừa là một chuỗi hình học với tỷ số chung r = 1.

CÁC VÍ DỤ                                                  

1. Lập bốn tổng từng phần đầu tiên của mỗi dãy sau:

 (a)

(a)

(b)

2. Tìm tổng của 10 số hạng đầu tiên của mỗi dãy sau:

(a) Dãy số học:

(b) Dãy số học: với a = 2, d = -4, N = 10 thì

(c) Dãy hình học với a = 1, r = 2, N = 10 thì

(d) Dãy hình học với a = 1, r = 1/4, N = 10 thì

    với ba chữ số thập phân

3. Nếu £ P được đầu tư với mức lãi kép hàng năm là r % thì tổng tích luỹ £ A  sau n năm được cho bởi

Tìm tổng tích luỹ sau 10 năm nếu £100 được đầu tư mỗi năm với mức lãi hàng năm là 10 %.

Sau 10 năm £100 đầu tiên tích luỹ thành 100.(1,1)10

Sau 9 năm £100 thứ hai tích luỹ thành 100.(1,1)9

Sau 8 năm £100 thứ ba tích luỹ thành 100.(1,1)8

Sau 1 năm £100 cuối cùng tích luỹ thành 100.(1,1)

Các tổng này lập nên một dãy hình học có 10 số hạng với tỷ số chung 1,1 và số hạng đầu tiên là 100.(1,1). Do đó, tổng của chúng là:

CÁC BÀI TẬP                                                

1. Lập bốn tổng từng phần đầu tiên của mỗi dãy sau:

  (a)    (b)

(a)

(b)

2. Tìm tổng của 10 số hạng đầu tiên của mỗi dãy sau:

(a) Dãy số học: với a = *, d = *, N = 10 thì

(b) Dãy *: với a = *, d = *, N = 10 thì

(c) Dãy hình học với a = *, r = *, N = 10 thì

(d) Dãy *: với a = *, r = *, N = 10 thì

3. Nếu X £ đến kỳ phải trả trong thời gian n năm, tổng số tiền đó có giá trị hiện tại là Y£  trong đó

  Y =

Và trong đó r là tỉ lệ lãi suất kép hàng năm. Tìm giá trị hiện tại của 100 £ trả cho 20 năm, phần trả góp cho năm đầu tiên được tính kể từ bây giờ. mức lãi suất hiện hành là 10%.

Phần trả góp lần đầu tiên có trị giá hiện tại là

Phần trả góp lần thứ hai có trị giá hiện tại là

Phần trả góp lần thứ ba có trị giá hiện tại là

Phần trả góp lần cuối cùng có trị giá hiện tại là

Các tổng này tạo thành một dãy có 20 số hạng với chung bằng và số hạng đầu tiên là . Do đó, tổng của chúng là

Bài 2 Giới hạn của các chuỗi

chuỗi điều hòa

các chuỗi số học và hình học có ký hiệu - tổng quát cho là có thể được viết lại như một biểu thức đại số, việc tìm giới hạn của chúng là một việc tương đối đơn giản. Tuy nhiên, hầu hết các chuỗi không thể có tổng, ký hiệu - cho là được viết l

ại như một biểu thức đại số theo nghĩa làm cho vấn đề xác định giới hạn của chúng khó khăn hơn, nếu có thể. Chẳng hạn, dãy điều hòa

là hội tụ. Số hạng tổng quát của chuỗi điều hòa được viết trong ký hiệu -là

Để ý rằng f(0) không tồn tại đối với dãy điều hòa vì tổng bắt đầu với n = 1. tổng này không thể được viết lại như một biểu thức đại số và vì vậy chúng ta phải sử dụng một phương pháp thay thế để tìm giới hạn của nó.

 để tìm giới hạn của chuỗi điều hòa chúng ta tiến hành như sau. Bằng cách nhóm các số hạng với nhau, chuỗi điều hòa có thể được viết lại như sau

Tổng của mỗi ngoặc lớn hơn 1/2 . Chẳng hạn, ngoặc đầu tiên có giá trị

 Nếu ta định nghĩa chuỗi t bởi

Trong đó các số hạng (1/2) bằng số các dấu ngoặc đơn trong chuỗi điều hóa được đặt trong ngoặc và trong đó

 S(N) > t(N)

T(N) xác định một chuỗi phân kỳ t, vì khi N tăng lên vô hạn thì số các (1/2) tăng lên không bị chặn. bất đẳng thức khẳng định rằng số hạng s(N) chuỗi điều hòa lớn hơn số hạng tương đương của một chuỗi phân kỳ. điều đó có thể được chứng minh rằng giới hạn của chuỗi đièu hòa thì lớn hơn giới hạn của một dãy phân kỳ nào đó:

Vì vậy chuỗi điều hòa phân kỳ.

Các thử nghiệm về tính hội tụ

Phương pháp này được dùng để chứng minh rằng các chuỗi điều hòa là phân kỳ được gọi là thử nghiệm hội tụ. Tên của thử nghiệm là thử nghiệm so sánh.

Thử nghiệm so sánh

Nếu mỗi số hạng s(N) của chuỗi s lớn hơn số hạng tương ứng t(N) của một chuỗi t đã biết là phân kỳ thì chuỗi s cũng phân kỳ.

 Nếu mỗi số hạng s(N) của chuỗi s bé hơn số hạng tương ứng t(N) của một chuỗi t đã biết là hội tụ thì chuỗi s cũng hội tụ.

Thử nghiệm đan dấu

Nếu một chuỗi được sinh ra từ một dãy gốc, mỗi số hạng của nó nhỏ dần và thay thế bằng dấu thì chuỗi hội tụ. lấy ví dụ, chuỗi

hội tụ theo tiêu chuẩn đan dấu. Chuỗi đặc biệt này được gọi là chuỗi điều hòa đan dấu.

Tiêu chuẩn tỷ số

Nếu và thì nếu

• L<1 chuỗi hội tụ
• L>1 chuỗi phân kỳ