Chương I. §1. Tính đơn điệu của hàm số

HOẠT ĐỘNG THẦY VÀ TRÒ

NỘI DUNG KIẾN THỨC

-Học sinh nhắc lại khái niệm tính biến thiên của hàm số đã đựoc học ở lớp 10.

-Giáo viên nhận xét và phát biểu lại định nghĩa cho học sing được rõ.

-Học sinh xét dấu :

    +

    +

    +

ứng với hai trường hợp hàm số đồng biến,nghịch biến.

-Giáo viên phát biểu các nhận xét.

I.Tính đơn diệu của hàm số.

1.Nhắc lại định nghĩa.

-Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K.

+Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu:

.

+Hàm số y = f(x) nghịch  biến trên K nếu:

.

+Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.

*Nhận xét:

+f(x) đồng biến trên K khi:

+f(x) nghịch biến trên K khi:

+Nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K thì đồ thị đi lên (đi xuống) từ trái sang phải.

-Học sinh chia nhóm thảo luận các vấn đề ở hoạt động 2 sgk,tìm mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm bậc nhất của hàm số và tính đơn điệu của hàm số tương ứng.

2.Tính đơn diệu và dấu của đạo hàm.

Ví dụ 1.(hoạt động 2 sgk)

*Định lí.Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

   + Nếu thì f(x) đồng biến trên K.

-Thông qua ví dụ này giáo viên tổng kết lại kết quả của học sinh và phát biểu định lí.

-Học sinh tính đạo hàm và xét tính biến thiên của hàm số:y = 3.

-Giáo viên phát biểu chú ý.

   + Nếu thì f(x) nghịch biến trên K.

*Chú ý: Nếu  thì hàm số không đổi trên K.

3. Hoạt động luyện tập

-Qua định lí trên giáo viên hướng dẫn học sinh lập bảng biến thiên để xét tính đơn diệu của các hàm số đã cho ở ví dụ 2.

Ví dụ 2.Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a.  b.

Giải.

a.TXĐ:

Bảng biến thiên:

Vậy,hàm số đồng biến trên và nghịch biến trên khoảng

*Chú ý: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.Nếu tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.

HOẠT ĐỘNG THẦY VÀ TRÒ

NỘI DUNG KIẾN THỨC

-Qua bài tập ở phần kiểm tra bài củ, học sinh nếu trình tự các bước xét tính đơn điệu của hàm số.

-Giáo viên nhận xét và nêu phương pháp xét tính dơn điệu của hàm số.

II.Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

1.Quy tắc:

* Tìm TXĐ.

* Tính y', giải phương trình y' = 0 tìm nghiệm và tìm các điểm  mà y' = 0 hoặc không có nghĩa.

* Lập bảng biến thiên.

* Kết kuận.

3. Hoạt động luyện tập

-Học sinh lần lượt giải quyết:

   +Tìm tập xác định.

   +Tính y'

   +Giải phương trình y' = 0 tìm các nghiệm của nó và các điểm tới hạn.

   +Lập bảng biến thiên.

   +Kết luận tính đơn điệu.

-Giáo viên nhận xét bổ sung hoàn chỉnh các bài toán.

2.Áp dụng.

Ví dụ 1: Xét tính đơn diệu của các hàm số sau:

a.         b.

Giải.

a.TXĐ:

Bảng biến thiên:

Vậy,hàm số đồng biến trên , và nghịch biến trên khoảng

b.TXĐ:

Bảng biến thiên:

Vậy,hàm số đồng biến trên (3/2; +) và nghịch biến trên khoảng (- ;3/2)

4. Hoạt động vận dụng, mở rộng:

-Hướng dẫn học sinh xét tính đơn điệu của hàm số: trên  nửa khoảng ,rối dựa vào tính đơn điệu của hàm số so sánh f(x) với f(0) từ đó suy ra điều cần chứng minh.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng:

Giải.

Xét hàm số: , ta có:

HOẠT ĐỘNG THẦY VÀ TRÒ

NỘI DUNG KIẾN THỨC

- Học sinh tư duy nhắc lại quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

- Chia học sinh thành từng nhóm thảo luận tìm phương pháp giải các bài toán.

- Đại diện các nhóm lần lượt trình bày kết quả.

- Đại diện nhóm khác nhận xét, bổ sung (nếu cần).

-Giáo viên nhận xét, hoàn chỉnh các bài toán và giải thích cho học sinh được rõ.

- Đối với hàm số trùng phương giáo viên hướng dẫn học sinh cách xác định dáu của y'.

- Học sinh tìm tập xác định của hàm số, tính y', giải phương trình y' = 0 tìm các điểm tới hạn, lập bảng biến thiên của hàm số từ đó suy ra điều cần phải chứng minh.

GV: Gọi HS làm câu c), sau đó cho HS trong lớp nhận xét.

Bài 1.Xét tính biến thiên của các hàm số:

a.

b.         c.

Giải.

a. TXĐ:

y’= x2 + 6x – 7;  y’ = 0

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên và; nghịch biến trên khoảng

b. TXĐ:

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên;và

nghịch biến trên khoảng

c. Hàm số đồng biến trênvà nghịch biến trên khoảng

GV: Hướng dẫn HS hoạt động nhóm bài 3

Bài 3. Chứng minh rằng hàm số

đồng biến trênvà nghịch biến trên khoảng

3. Hoạt động vận dụng:

- Với

Học sinh chứng tỏ hàm số này đồng biến trên khoảng đã chỉ ra từ đó chứng minh được bài toán.

-Hướng dẫn:

  * f(0) = 0

  *

Do đó cần chứng tỏ:

hay 

Bài 5.Chứng minh

Giải.

Đặt

Ta có:                             

vì: 

nên                  

HOẠT ĐỘNG THẦY VÀ TRÒ

NỘI DUNG KIẾN THỨC

-Với hàm số học sinh nhận xét giá trị của f(x) và f(-1) trên khoảng

(-2;0)

+ta nói hàm số đạt cực đại tại x = -1.

+Tương tự,học sinh nhận xét f(x) với f(1) trên khoảng (0;2).

-Giáo viên nhận xét, giải thích sau đó phát biểu khái niệm cực đại, cực tiểu.

GV:  Cho HS hoạt động nhóm hoạt động 3.

I. Khái niệm cực đại và cực tiểu.

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên (a;b).

a.Nếu ,

ta nói hàm số đạt cực đại tại x0.

b.Nếu ,

ta nói hàm số đạt cực tiểu tại x0.

*Chú ý:

+  Nếu hàm số đạt CĐ (CT)tại x0 ta nói x0 là điểm CĐ(CT), f(x0) là giá trị CĐ(CT), M0(x0;y0)  là điểm CĐ(CT) của đồ thị hàm số.

+  Điểm cực đại,cực tiểu còn được gọi chung là điểm cực trị của hàm số.

+  f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) và đạt cực trị tại x0 thì f'(x0)=0.

II.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị.

     a. Xét xem các hàm số sau có cực trị hay không? y = -2x + 1            

b. Nêu mối liên hệ giữa sự tồn tại của cực trị và dấu của đạo hàm?

*Định lí 1.(sgk)

 Quy tắc I.(sgk).

*Định lí 2.

* là điểm cực đại.

* là điểm cực tiểu.

Quy tắc II.(sgk).

3. Hoạt động luyện tập:

1a. Sử dụng đồ thị (hình 8 trang13) xét xem các hàm số sau có cực trị hay không?

-Học sinh quan sát đồ thị của hai hàm số nhận xét về điểm cực trị của hai hàm số này.

GV: Cho HS hoạt động nhóm câu b.

1b. Hàm số đạo hàm

y’ = x2 – 4x + 3 đổi dấu khi đi qua các điểm x = 1 và x = 3.

GV: Khi hàm số y = f(x) có cực trị là x0 thì đạo hàm đổi dấu khi đi qua x0.

-Qua ví dụ này giáo viên nhận xét và phát biểu định lí về điều kiện đủ để hàm số có cực trị.

-Học sinh lập bảng biến thiên của hàm số từ đó kết luận điểm cực đại, cực tiểu (nếu có)

-Học sinh chứng tỏ:

Giải:

Tập xác định: D = R\0

BBT:

CĐ(-1 ;-2)    CT(1; 2)

Ví dụ1: Tìm điểm cực trị của hàm số:

Giải.

a.TXĐ:

;   

Bảng biến thiên:

CĐ(0;2)  CT(2;-2)

Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực tiểu tại x = 0.

Ví dụ 3.Tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

BT 11(SGK).

Hướng dẫn:

Sử dụng quy tắc 1( lập bảng biến thiên).

f'(x) = 0 tại x = -1, f'(x) không tồn tại khi x = 0.

Lập bảng biến thiên ta có

yCĐ =1; yCT = 0

11) Tìm cực trị của hàm số:

BT 13(SGK).

BT 13: Tìm các hệ số a, b,c, d của hàm số

y = ax3 + bx2 +cx + d biết đồ thị có điểm cực tiểu

(0;0) và có điểm CĐ(1;1).

Hướng dẫn:

y'(0) = 0, y'(1) =0

y(0) = 0, y(1) = 1

Lập hệ phương trình

BT 14: Tìm các hệ số a, b,c của hàm số

y = x3 + ax2 +bx + c biết đồ thị qua điểm A(1;0) và đạt cực trị bằng 0 tại x = -2.

Đáp số: a=3,b=0, c= -4

HOẠT ĐỘNG THẦY VÀ TRÒ

NỘI DUNG KIẾN THỨC

2.1. Định nghĩa:

-Với hàm số học sinh xét giá trị của f(x)   với giá trị của f(0).

-Qua ví dụ này giáo viên hướng dẫn học sinh tìm hiểu khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

-Học sinh tư duy bài toán thảo luận,tìm phương pháp giải hai ví dụ này theo sự hướng dẫn của giáo viên.

-Đại diện các nhóm lần lượt trình bày kết quả

-Đại diện nhóm khác nhận xét,bổ sung hoàn chỉnh các bài toán.

3.1.Hoạt động luện tập

-Qua ví dụ trên học sinh nhận xét và nêu trình tự các bước tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số.

-Giáo viên phát biểu chú ý.

-Giáo viên phát biểu định lí.

-Học sinh tư duy và giải ví dụ 2 theo hướng dẫn của giáo viên.

-Qua ví dụ này học sinh tìm hiểu phương pháp  tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.

4.1.Hoạt động vận dụng

I.Định nghĩa.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên D

+Số M đgl gtln của hàm số y = f(x) trên D nếu:

Kí hiệu:

+Số m đgl gtnn của hàm số y = f(x) trên D nếu:

Kí hiệu:

*Ví dụ 1.Tìm gtln, gtnn của các hàm số:

a.            b.

khi x = 1.

b. khi x = 1.

*Chú ý: Phương pháp tìm gtln, gtnn của hàm số trên khoảng (a;b).

+Tính y'

+Giải y'=0

+Lập bảng biến thiên

+Kết luận.

Cho hàm số y =f(x) có đồ thị như hình vẽ

2.2. Cách tìm GTLN,GTNN:

3.2. Hoạt động luyện tập:

*Ví dụ 3.Tìm gtln,gtnn của các hàm số:

a.trên [-4; 4]

b. trên [-1; 1]

c. trên [-2; 3]

Tìm GTLN, GTNN trên [-1;3].

II.Cách tính gtln,gtnn của hàm số trên một đoạn.

1.Định lí.Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có gtln, gtnn trên đoạn đó.

*Ví dụ 2.Vẽ đồ thị hàm số . Lập bảng biến thiên trên [-1; 3]. Kết luận gtln,gtnn trên [-1; 3].

2.Quy tắc tìm gtln,gtnn của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ;b]

+Tính .

+Giải pttìm nghiệm xi thuộc (a; b)

+Tính f(a), f(b), f(xi)

+Tìm số M, m rồi kết luận.

*Chú ý: Cho D = [a; b]

+Nếu f(x) đồng biến trên D thì:

+Nếu f(x) đồng biến trên D thì:

+Hàm số liên tục trên (a;b) có thể không đạt gtln,gtnn trên đoan đó,như: y =1/x trên (0;1)