Chương I. §3. Phép vị tự và sự đồng dạng của các khối đa diện.Các khối đa diện đều

Giải bài tập trang 28, 29 SGK Giải tích 11: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1: (Trang 28 SGK Giải tích lớp 11)

Giải các phương trình sau:

a) sin (x + 2) = 1/3

b) sin 3x = 1

c) sin (2x/3 - π/3) = 0

d) sin (2x + 200) = (-√3)/2

Hướng dẫn giải bài 1:

a)  sin (x + 2) = 1/3

b) sin 3x = 1 ⇔ 3x = π/2 + k2π

⇔ x = π/6 + k(2π/3), (k ∈ Z).

c) sin (2x/3 - π/3) = 0

⇔ 2x/3 - π/3 = kπ

⇔ x = π/2 + k(3π/2), (k ∈ Z).

d) Vì -√3/2 = sin(-600) nên phương trình đã cho tương đương với sin (2x + 200) = sin(-600)

⇔⇔ 

Bài 2: (Trang 28 SGK Giải tích lớp 11)

Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sinx bằng nhau?

Hướng dẫn giải bài 2:

x thỏa mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi

⇔

⇔

Bài 3: (Trang 28 SGK Giải tích lớp 11)

Giải các phương trình sau:

a) cos (x – 1) = 2/3 

b) cos 3x = cos 120

c) cos (3x/2 – π/4) = -1/2 

d) cos22x = 1/4

Hướng dẫn giải bài 3:

a)  cos(x - 1) = 2/3 ⇔ x - 1 = ±arccos2/3 + k2π

               ⇔ x = 1 ± arccos2/3 + k2π, (k ∈Z)

 b) cos 3x = cos 120 ⇔ 3x = ±120 + k3600 ⇔ x = ±40 + k1200, (k ∈ Z).

c) Vì -1/2 = cos 2π/3 nên cos(3x/2 - π/4) = -1/2 ⇔ cos(3x/2 - π/4) = cos2/3 ⇔3x/2 - π/4 = ±2π/3 + k2π ⇔ x = 2/3(π/4 + 2π/3) + 4kπ/3

d) Sử dụng công thức hạ bậc  (suy ra trực tiếp từ công thức nhan đôi) ta có

 ⇔  ⇔  

⇔  ⇔ 

Bài 4: (Trang 29 SGK Giải tích 11)

Giải phương trình  = 0.

Hướng dẫn giải bài 4

Ta có   = 0

⇔ 

⇔ sin2x = -1 ⇔ 2x = -π/2 + k2π ⇔ x = -π/4 + kπ, (k ∈ Z).

Bài 5: (Trang 29 SGK Giải tích lớp 11)

Giải các phương trình sau:

a) tan (x – 150) = (√3)/3            b) cot (3x – 1) = -√3 ;

c) cos 2x . tan x = 0 ;              d) sin 3x . cot x = 0 .

Đáp án và hướng dẫn giải Bài 5:

a) Vì = tan 300 nên tan (x – 150) =  ⇔ tan (x – 150) = tan 300 ⇔ x – 150 = 300 + k1800 ⇔ x = 450 + k1800, (k ∈ Z).

b) Vì -√3 = cot(-π/6) nên cot (3x – 1) = -√3 ⇔ cot (3x – 1) = cot(-π/6)

⇔ 3x – 1 = -π/6 + kπ  ⇔ x = -π/18 + 1/3 + k(π/3), (k ∈ Z)

c) Đặt t = tan x thì cos2x =  , phương trình đã cho trở thành

 . t = 0 ⇔ t ∈ {0; 1; -1} .

Vì vậy phương trình đã cho tương đương với

d) sin 3x . cot x = 0

⇔ Với điều kiện sinx # 0, phương trình tương đương với

sin 3x . cot x = 0  ⇔ 

Với cos x = 0 ⇔ x = π/2 + kπ, k ∈ Z thì sin2x = 1 – cos2x = 1 – 0 = 1 => sinx # 0, điều kiện được thỏa mãn.

Với sin 3x = 0 ⇔ 3x = kπ ⇔ x = k (π/3), (k ∈ Z). Ta còn phải tìm các k nguyên để x = k (π/3) vi phạm điều kiện (để loại bỏ), tức là phải tìm k nguyên sao cho sin k (π/3) = 0, giải ph

ương trình này (với ẩn k nguyên), ta có sin k (π/3) = 0 ⇔ k (π/3)= lπ, (l ∈Z) ⇔ k = 3l ⇔ k : 3.

Do đó phương trình đã cho có nghiệm là x = π/2 + kπ, (k ∈Z) và x = k (π/3) (với k nguyên không chia hết cho 3).

Nhận xét : Các em hãy suy nghĩ và giải thích tại sao trong các phần a), b), c) không phải đặt điều kiện có nghĩa và cũng không phải tìm nghiệm ngoại lai.

Bài 6: (Trang 29 SGK Giải tích lớp 11)

Với những giá trị nào của x thì gia trị của các hàm số y = tan (π/4 - x) và y = tan2x bằng nhau?

Đáp án và hướng dẫn giải bài 6:

Các giá trị cần tìm của x là các nghiệm của phương trình

tan 2x = tan (π/4 – x) , giải phương trình này các em có thể xem trong Ví dụ 3b).

Đáp số:  π/2 ( k ∈ Z, k – 2 không chia hết cho 3).

Bài 7: (Trang 29 SGK Giải tích lớp 11)

Giải các phương trình sau:

a) sin 3x – cos 5x = 0             b) tan 3x . tan x = 1.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 7:

a) sin 3x – cos 5x = 0 ⇔ cos 5x = sin 3x ⇔ cos 5x = cos (π/2 – 3x) ⇔

b) tan 3x . tan x = 1 ⇔  Điều kiện: cos 3x . cos x # 0.

Với điều kiện này phương trình tương đương với cos 3x . cos x = sin 3x . sinx ⇔ cos 3x . cos x – sin 3x . sinx = 0 ⇔ cos 4x = 0.

Do đó

tan 3x . tan x = 1 ⇔ 

⇔ cos 2x =   ⇔ cos 4x = 0

⇔