- Trang Chủ
- Giải tích 12 nâng cao
- Chương I. §8. Một số bài toán thường gặp về đồ thị
Chương I. §8. Một số bài toán thường gặp về đồ thị
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CÁC DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÂU HỎI PHỤ LIÊN QUAN vansanh.math@gmail.com 1 CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Mục lục DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN ............................................................... 3 DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ....................................................................... 5 DẠN
Thể loại Giáo án bài giảng Giải tích 12 nâng cao
Số trang 35
Ngày tạo 6/7/2018 9:46:22 AM +00:00
Loại tệp pdf
Kích thước 1.06 M
Tên tệp tong hop kien thuc ham so do thi ham so pdf
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
CÁC DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ
CÂU HỎI PHỤ LIÊN QUAN
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN ............................................................... 3
DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ....................................................................... 5
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN
*
Kiến thức cơ bản:
Cho hàm số y=f(x) (C).
Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:
Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm
M x0 ; y0 C
.
Tính đạo hàm y'=f'(x) và giá trị f ' .
Phương trình tiếp tuyến có dạng: y f '
x0
x0 x x0
y0
.
Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm
M
x0 ; y0
C
có hệ số góc k f '
x0
Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là
k
.
Giải phương trình: f '
x
k , tìm nghiệm x0 y0 .
Phương trình tiếp tuyến dạng: y k
x x0 y0
.
Chú ý: Cho đường thẳng : Ax By C 0 , khi đó:
Nếu d//
d
: y ax b hệ số góc k = a.
Nếu d
d
: y ax b hệ số góc k 1
.
a
-
Nếu d tạo ∆ góc α: tan(α - α ) = tan α hay
1 2
-
Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(x ; y ) .
A
A
Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó
d : y k x xA yA
và
Điều kiện tiếp xúc của là hệ phương trình sau phải có nghiệm:
d
C
x xA yA
f x k
f '
x
k
Tổng quát: Cho hai đường cong
C
: y f
g
g '
x
và
C '
: y g x
. Điều kiện để hai đường cong tiếp
f
x
x
xúc với nhau là hệ sau có nghiệm:
.
f '
x
x
3
2
Ví dụ 1: (ĐHQGHCM-96): Cho hàm số y = x + mx + 1 có đồ thị (C ). Tìm m để (C ) cắt đường
m
m
thẳng (d): y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (C ) tại B và C
m
vuông góc với nhau.
Lời giải:
2
.
y'=3x +2mx
3 2
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C ) là: x + mx + 1 = – x + 1 (1)
m
.
x 0
2
x(x + mx + 1) = 0
2
g(x) x mx 1 0(2)
.
0
d cắt (C ) tại ba điểm phân biệt
(1) có 3 nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt khác
m
.
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
2
g m 4 0
m 2
(*)
m 2
g 0 1 0
x x m
1 2
.
Khi đó (2) có 2 nghiệm x ; x
1 2
x .x 1
1
2
hay (d) cắt (C ) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B(x ; -x +1), C(x ; -x +1).
m
1
1
2
2
.
Tiếp tuyến của (C ) tại B và C vuông góc với nhau
f '(x ). f '(x ) 1
1 2
2
2
m
2
2
(3x 2mx )(3x 2mx ) 1 x x
9
x1x2
6m(x x ) 4m
1
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2m 10 m 5(t / m(*))
.
Đ/S: Giá trị m cần tìm là: m= 5
.
2
x
(C). Gọi M là điểm trên (C ), I là giao 2 tiệm cận. Tiếp tuyến của (C )
Ví dụ 2: Cho hàm số y
x 2
tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B
a. CMR: Tam giác IAB có diện tích không đổi.
b. CMR: M là trung điểm của đoạn AB.
c. Tìm M sao cho tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất.
d. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C)
đến tiếp tuyến là lớn nhất.
LG:
4
y'
(x 2)
Giả sử tiếp điểm M( a;
2
2
a
),a 2
.
a 2
Tiếp tuyến (
4
) của đồ thị (C) tại M có phương trình:
2a
2
2
y
(x a)
4x (a 2) y 2a 0
2
(
a 2)
a 2
Giao 2 tiệm cận là I(-2; 2).
2
2
(
a 8
a. + (
) cắt TCĐ: x=-2 tại A(-2;
)
2
a 2)
+
(
) cắt TCN: y=2 tại B(2a+2; 2)
1
1
8a 16
(a 2)
+
Diện tích tam giác IAB: SIAB IA.IB 2a 4
8 (Đpcm)
2
2
2
x x 2a x
A B
M
b. Ta có:
. Vậy M là trung điểm của AB (Đpcm).
4a
y y
2yM
A
B
a 2
2
2
c. Chu vi tam giác IAB là: p= IA IB IA IB 2 IA.IB 2IA.IB 8 4 2
a 0
.
a 4
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi IA=IB
2a 4 4
Vậy có 2 điểm cần tìm là: O(0; 0) và M(-4; 4).
d. Khoảng cách từ I đến ( ) là:
a 2
8
8a 2
8a 2
2 2
2 a 2
d(I;)
2
4
2
16 (a 2)
2.4(a 2)
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
a 0
2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi (a 2) 4
.
a 4
*
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y=x; y=x+8.
x 2
2
Ví dụ 3 (ĐH-A-2009): Cho hàm số y
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết tiếp
x 3
tuyến đó cắt 2 trục toạ độ tại A, B sao cho tam giác OAB cân tại O.
LG:
.
Giả sử tiếp tuyến (d) của (C ) tại M(x ; y ) thoả mãn bài toán.
0 0
Tam giác OAB cân tại O
(d) có hệ số góc: k= 1
1
x0
0
x 1 y 1
2
y0
2
y'(x ) 1
1
2x 3)
1
0
2
0
1
2x 3)
0
0
0
Ta có tiếp điểm M (-2; 0) và M (-1; 1)
2
.
Phương trình tiếp tuyến tại M (-2; 0): y=-x+2( t/m)
1
Phương trình tiếp tuyến tại M (-1; 1): y=-x (loại)
2
*
KL: Tiếp tuyến cần tìm: (d): y=-x+2
x
y
*
NX: Ở bài toán trên ta có thể giả sử A(a; 0), B(0; b). Khi đó tiếp tuyến (d) có PTĐC:
1 (d)
a
b
(
.
a,b
0)
Sử dụng điều kiện tiếp xúc của (d) và (C) ta tìm được a, b => (d)
*
Bài tập tự luyện
x
1
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y
cho tam giác OAB có diện tích bằng 1/4.
biết tiếp tuyến đó cắt 2 trục toạ độ tại A, B sao
x 1
2
x
biết tiếp tuyến đó cắt 2 trục toạ độ
2
3
4
. (ĐH-D-2007)Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y
x 1
tại A, B sao cho tam giác OAB cân.
x 1
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y
biết tiếp tuyến đó cắt 2 tiệm cận đứng, tiệm cận
x 1
ngang lần lượt tại A, B sao cho tam giác IAB cân với I là giao 2 tiệm cận.
x 1
2
. Giả sử () là tiếp tuyến tại M(0; 1) của đồ thị (C): y
. Tìm trên (C) những điểm có hoành
x
1
độ lớn hơn 1 mà khoảng cách từ đó đến () là ngắn nhất.
1
3
2
5
. (HVQHQT-2001): Cho đồ thị (C): y x mx x m 1. Tìm tiếp tuyến của (C) có hệ số
3
góc nhỏ nhất.
m
6
7
. Cho đồ thị (Cm): y x 1
. Tìm m để đồ thị (C ) có điểm cực đại A sao cho tiếp tuyến
m
2
x
tại A của (C ) cắt trục Oy tại B thoả mãn tam giác OAB vuông cân.
m
4
2
. Cho hàm số: y=x -2x -1 (C). Tìm các điểm trên Oy sao cho từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến tới (C)
DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
*
Kiến thức cơ bản:
Cho hàm số y f x (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ:
Điều kiện cẩn: Nghiệm của phương trình f '
x
0 là hoành độ của điểm cực trị.
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Định lý 1: Nếu f’(x ) đổi dấu từ (+) sang (-) khi x tăng qua x thì x là điểm cực đại
0
0
0
Nếu f’(x ) đổi dấu từ (-) sang (+) khi x tăng qua x thì x là điểm cực tiểu
0
0
0
Định lý 2:
f '
x0
x0
x0
x0
0
0
0
0
Nếu
thì hàm số đạt cực đại tại x x0 .
f ''
f '
Nếu
thì hàm số đạt cực tiểu tại x x0
.
f ''
Một số dạng bài tập về cực trị thƣờng gặp
Để hàm số y f
Để hàm số y f
x
x
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung
y .y 0
.
CĐ CT
x .x 0
.
CĐ CT
yCĐ yCT 0
Để hàm số y f
x
x
có hai cực trị nằm phía trên trục hoành
có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành
.
.
y .y 0
CĐ CT
yCĐ yCT 0
Để hàm số y f
Để hàm số y f
y .y 0
CĐ CT
-
x
có hoành độ hai cực trị nằm về phía trái đường x= a x x a
1
2
0
y'
I trung điem AB
-
-
Để hàm số y =f(x) có 2 cực trị đối xứng qua y =ax+b
AB
I d
4
2
Đối với hàm trùng phương : y =ax +bx +c
Để ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân tại A : Cân (AB =AC), vuông ( AB.AC 0
Để ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều (AB =BC) do là hàm chẵn nên AB =AC
Để ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích cho trước : sử dụng công thức tính điện tích
+
+
+
)
Chú ý : Để tìm tung độ điểm cực trị trong các dạng hàm bậc 3 hay dạng hữu tỉ cần xác định đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị và thế vào đường thẳng này.
Cách viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị.
3
2
Dạng 1: hàm số y ax bx cx d
Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm
cực trị.
2
ax bx c
Dạng 2: Hàm số y
dx e
2
ax bx c '
2a
x
d
b
d
Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng y
dx e
'
Chú ý: Khi viết cần chứng minh điều này, dựa vào hàm f’(x ) =0.
CT
3
2
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y= x -3x -3m(m+2)x-1 có 2 cực trị cùng dấu. Viết phương trình đường
thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
LG:
2
.
y'= 3x -6x-3m(m+2);
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
x m
y'=0
x m 2
2
y(m) (m 1) (1 2m)
x 1
3
2
.
Ta có: y=y'
-(m+1) (2x+1)
(*)
2
y(m 2) (m 1) (2m 5)
.
Hàm số có 2 cực trị cùng dấu
m
1
4
m 2
m
5
2
1
m
y(m).y(m 2) 0
(m 1) (1 2m)(2m 5) 0
2
2
*
Từ (*) ta có phương trình đường thẳng qua các điểm CĐ, CT là: y=-(m+1) (2x+1).
*
NX: Ở bài toán này ta dễ xác định được toạ độ các điểm cực trị nên có thể viết trực tiếp phương
trình đường thẳng qua 2 điểm đó. Tuy nhiên, với đa số các bài toán khác ta cần dùng kỹ thuật chia y
cho y' như trên vì không xác định được toạ độ các điểm cực trị.
Đặc biệt với hàm phân thức hữu tỉ, ta phải vận dụng bổ đề sau:
u(x)
v(x)
y'(x ) 0
0
thì y(x0) =
u'(x0 )
v'(x0 )
Cho hàm y
thoả mãn:
v(x ) 0
0
2
x mx m 8
x 1
Ví dụ 2 (ĐH An ninh-A-99): Cho hàm số y
.Tìm m để đồ thị hàm số có điểm
cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía của đường thẳng (d): 9x-7y-1=0.
LG:
.
TXĐ: D=R\{1}
2
x 2x 8
.
y'
2
x 1
x 2
x 4
2
y'=0
x 2x 8 0, x 1
Đồ thị hàm số có 2 điểm CĐ, CT là: A(-2; m-4); B(4; m+8).
A, B nằm về 2 phía (d)
.
9
7
(9x 7y 1)(9x 7y 1) 0 (9 7m)(21 7m) 0 3 m
A A B B
*
Đ/s: Giá trị m cần tìm là: -3
2
2
3
mx (m 1)x 4m m
x m
Ví dụ 3: Cho hàm số y
.Tìm m để hàm số có 1 điểm cực trị thuộc góc
phần tư thứ (II) và một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (IV).
LG:
.
TXĐ: D=R\{-m}.
2 2
3
mx 2m x 3m
.
y'
2
x m
4
' 0
4m 0
2
2
3
y'=0
f (x) mx 2m x 3m 0, x m
m 0 (1)
3
f (m) 0
m 0
2
2
Khi đó (1) có 2 nghiệm x =m
y =3m +1; x =-3m
y =5m -1
2
1
1
2
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
2
2
=
> đồ thị hàm số có các điểm CĐ, CT là: A(m; 3m +1), B(-3m; 5m -1) thoả mãn yêu cầu bài toán
xA 0
m 0
A(II)
1
2
(vì y =3m +1>0) x 0 3m 0
m 0
(2)
A
B
B (IV)
5
2
yB 0
5m 1 0
1
*
Từ (1) và (2) ta có m cần tìm là:
m 0
5
*
Bài tập tự luyện
3
2
2
2
1
2
3
4
. (ĐH-B-2007): Tìm m để đồ thị hàm số: y x 3x 3(m 1)x 3m 1 có cực đại, cực tiểu
và các điểm cực trị cách đều gốc toạ độ O.
. (HVQHQT-96): Tìm m để đồ thị hàm số: y x 2mx 2m m có điểm cực đại, cực tiểu lập
thành tam giác đều.
. Tìm m để đồ thị hàm số: y x 6x 4x 6 có 3 điểm cực trị, đồng thời góc toạ độ O là trọng
tâm tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm cực trị đó.
. Cho hàm số y x 3mx 3(m 1)x m m .Tìm m để hàm số có 1 điểm cực trị thuộc góc
4
2
4
4
2
3
2
2
3
2
phần tư thứ (II) và một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (IV).
2
2
x 2mx 3m
5
. Cho hàm số y
.Tìm m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía của
x 2m
trục Ox.
DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
*
Kiến thức cơ bản:
Cho hàm số y=f(x) có tập xác định D.
+
+
f(x) đồng biến trên D f '
f(x) nghịch biến trên D f ' x 0,xD (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên D)
x
0,xD
.
Trong phần này chú ý xét dấu của tam thức bậc hai
Cho f(x) = ax + bx +c. Khi đó
2
-
-
-
Nếu ∆<0 thì a.f(x) >0 với mọi x
Nếu ∆ = 0 thì a.f(x) ≥ 0 với mọi x
Nếu ∆ >0 thì:
o a.f(x) >0 với S = (-∞,x ), (x ;+∞)
1
2
o a.f(x)<0 với S = (x ;x )
1
2
So sánh nghiệm của tam thức với số 0
0
0
*
x x 0 P 0
*
0 x x P 0
*
x 0 x P 0
1 2
1
2
1
2
S 0
S 0
Chú ý: so sánh nghiệm với một số α x x x 0 x (x )(x ) 0
1
2
1
2
1
2
2
x 8x
8
Ví dụ 1(ĐHMĐC-2001): Tìm các giá trị của m sao cho hàm số y
đồng biến trên
(x m)
khoảng [1;
LG:
)
.
TXĐ: D=R\{-m}
2
x 2mx 8m
.
y'=
2
(
x m)
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
.
Hàm số đồng biến trên [1;
)
y' 0,x[1;)
m 1
m[1;)
2
2
x 2mx 8m 0,x [1;)
f (x) x 2mx 8m 0,x [1;)
2
.
Xét f(x)= x 2mx8m
,
x[1;) có:
+f'(x)=2x+2m
f'(x)=0 khi x=-m<1 do đó dựa vào bbt ta có f(x) luôn đồng biến trên khoảng [1;)
=>f(x) f(1)=1-6m
1
6
2
Do đó f (x) x 2mx 8m 0,x[1;) 1 6m 0 m
1
*
Đ/s: Giá trị m cần tìm là: 1 m
6
3
2
Ví dụ 2( ĐHQGHN_2000): Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x 3x mx m
nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
LG:
.
.
TXĐ: D=R
2
y'= 3x +6x+m là tam thức bậc hai có ' 9 3m
+
Nếu ' 93m 0 m 3 thì y' 0,x Hàm số đồng biến trên R => m
3 không thoả
mãn.
+
Nếu m<3: y' có 2 nghiệm phân biệt x < x . Dựa vào bảng biến thiên có hàm số chỉ nghịch biến
1
2
trong khoảng (x1 ; x ). Do đó để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng
2
3 ' 3 '
9
4
1
x x 1
1 2 ' 3 4(9 3m) 9 m
kết hợp với
2
1
3
3
9
4
m<3 ta được giá trị m cần tìm là: m
.
*
Bài tập tự luyện:
3
2
1
.Cho hàm số y x 3
m 1
x 3
m 1
x 1. Tìm m để:
a. Hàm số luôn đồng biến trên R.
b. Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 1.
3
2
x
mx
2
. Xác định m để hàm số y
2x 1
.
3
2
a. Đồng biến trên R.
b. Đồng biến trên
1;
.
3
2
3
. Cho hàm số y x 3
2m 1
x
12m 5 x 2.Tìm m để
2;
;1
a. Hàm số đồng biến trên khoảng
.
b. Hàm số nghịch biến trên khoảng
.
2
mx 6x 2
4
. Cho hàm số y
. Tìm m để hàm số nghịch biến trên
1;
.
x 2
DẠNG 4: CÁC DẠNG TOÁN VỀ TIỆM CẬN HÀM SỐ
Kiến thức cơ sở
1
.Đường tiệm cận đứng .
Đường thẳng (d): x x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị (C) của hàm số
y f (x) nếu
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
lim f (x) hoặc lim f (x)
0
xx
0
xx
Hoặc lim f (x) hoặc lim f (x)
0
xx
0
xx
2
.Đường tiệm cận ngang .
Đường thẳng (d): y y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị (C) của hàm số
y f (x) nếu
lim f (x) y0 hoặc lim f (x) y
0
x
x
3
.Đường tiệm cận xiên .
Đường thẳng (d) y ax b(a 0) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị (C) của đồ thị
hàm số y f (x) nếu
lim f (x) (ax b) 0 hoặc lim f (x) (ax b) 0
x x
Chú ý: Cách tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y f (x)
Đường thẳng (d) y ax b(a 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y f (x) khi và
chỉ khi
f (x)
f (x)
a lim
;b lim
f (x) ax
hoặc a lim
;b lim f (x) ax
x
x
x
x
x
x
Bài tập ứng dụng:
Bài 1: Tìm các tiệm cận đứng và tiềm cận ngang (Nếu có) của các hàm số sau:
2
x 1
3 4x
2x 1
1 x
2
1
/
y
2/ y
3/ y
x 2
x 1
2x 3
2
2
4
x 3x
x x 1
x 3x 2
4
/
y
5/ y
6/ y
7/ y
2
2
2
4 x
x 4
Bài 2:
mx 1
x m
1
/ Xác định tham số m để tiệm cận đứng của đồ thị y
đi qua điểm M(-1;2)
x m
2
2
/ Xác định tham số m để tiệm cận đứng của đồ thị hs y
đi qua N(-1;0)
x m
DẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
*
Kiến thức cơ bản:
Các công thức về khoảng cách:
2
2
-
-
Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng): AB
xB xA
yB yA
.
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng : Ax By C 0 và điểm
Ax By C
0
0
M(x ;y ) khi đó
d
M,.
.
0
0
2
2
A B
-
Chú ý: Đối với hàm hữu tỉ thì phân tích thành phân thức thực sự, dựa vào tiệm cận đứng để chọn
hai điểm thuộc hai nhánh sao A(a ; y ), B(a ; y ) với x =a là tiệm cần đứng thì khi thực hiện
A
B
tính toán sẽ đơn giản hơn..
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
1
/Bài toán 1: Khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 điểm thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số
x 1
Ví dụ 1: Giả sử A, B là 2 điểm nằm trên 2 nhánh của đồ thị hàm số y
. Tìm giá trị nhỏ nhất
x 2
của khoảng cách giữa 2 điểm A, B.
LG:
x1 1
x1 2
x2 1
x2 2
Vì A, B nằm trên 2 nhánh của đồ thị nên ta giả sử A(x1;
), B( x2 ;
) với x <-2
1
2
1
x - 2 - a (a 0) y 1
1
1
a
2
2
1
1
2
2
1
)
2
a b
Đặt
do đó AB = (a b) ( ) (a b) .(1
2
1
a b
x 2 b(b 0) y 1
2
2
b
2
(a b) 4ab
2
Áp dụng BĐT cosi có:
1
2
=> AB 8 AB 2 2
1
2
(
ab)
ab
a b
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
a b 1 A(3;2); B(-1; 0)
ab 1
*
2
KL: Giá trị nhỏ nhất giữa 2 điểm thuộc 2 nhánh đồ thị hàm số là AB=2 .
2
x x 1
Ví dụ 2: Cho hàm số
C
: y
. Tìm hai điểm A, B thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao cho
x 1
đoạn AB nhỏ nhất.
LG:
2
x x 1
1
.
C
: y
x
x 1
x 1
2
2
2
x x 1
x x 1
2
1
1
Vì A, B nằm trên 2 nhánh của đồ thị (C)nên ta giả sử A(x1;
), B( x2
;
) với
x1 1
x2 1
x1<-12
Đặt
1
x -1- a (a 0) y 1 a
1
1
a
1
x 1 b(b 0) y 1 b
2
2
b
2
do đó AB =
2
1
1
b
2
2
1
2
1
4
2
(
a b) (a b) ( ) (a b) .2
4ab.2
8ab
2
8
2
2
2
a
ab a b
ab a b
ab
4
4
mà 8ab
2 8ab.
8 2
ab
ab
2
AB 88 2 AB 88 2
=>
a b
1
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
a b 4
4
8ab
2
ab
*
Vậy 2 điểm trên 2 nhánh đồ thị có khoảng cách nhỏ nhất là:
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
1
1
1
1
4
;1 4 2) 2).
2
4
A(1 4 ;1 4 2), B(1
4
2
2
2
2
/Bài toán 2: Khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 giao điểm của một đƣờng thẳng với đồ thị hàm số
3
x 1
x 1
Ví dụ 3: CMR với mọi m đường thẳng (d): y=-x+m luôn cắt đồ thị hàm số: y
(C) tại 2 điểm
2
phân biệt A, B thuộc 2 nhánh đồ thị. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn AB.
LG:
.
Phương trình hoành độ giao điểm của )d) và (C ):
3
2
x 1
x 1
1
2
x m f (x) 2x 2(m 2)x m 1 0, x (1)
2
2
2
' m 2m 6 (m 1) 5 0,m
.
(1) có
1 5
f ( )
0,m
2
2
nên (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x , x khác -1/2 với mọi m.
1
2
1
Mặt khác theo Viet: (2x +1)(2x +1)=-5<0 =>x < < x2
1 2 1
2
.
hay (d) luôn cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt A, B thuộc 2 nhánh đồ thị (Đpcm).
2
2
2
2
A(x ; -x +m); B(x ; -x +m) => AB = 2(x -x ) = 2[(x +x ) -2x x ] = 2(m-1) +10 10,m
1
1
2
2
1
2
1
2
1 2
Hay ABmin
= 10 m 1
*
Đ/s: Giá trị m cần tìm là: m=1.
3
/ Bài toán 3: Khoảng cách lớn nhất từ một điểm đến một tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
ax b
y
cx d
Ví dụ 4: Cho đồ thị hàm số: y
x 2
x 1
(C ) có I là giao 2 tiệm cận, (d) là một tiếp tuyến của (C ). Tìm
giá trị lớn nhất khoảng cách từ I đến đường thẳng (d)
LG:
1
2
.
y'
(x 1)
.
(C ) có giao 2 tiệm cận là: I(-1; 1)
x0 2
) thuộc (C) ( x0 1), tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình:
x0 1
.
Giả sử M(x0;
1
x0 2
x0 1
2
y
(x x )
x (x 1) y (x 1)(x 2) 0 (d)
2
0
0
0
0
(
x0 1)
Khoảng cách từ M đến (d):
x0 2
.
2
x (x 1)
(x 1)(x 2)
0 0
0
0
x0 1
2 x 1
2
0
d(M; d)=
2
1
4
4
1
(x 1)
1 (x 1)
2
(x 1)
0
0
2
0
(
x0 1)
1
2
2
Mà:
(x 1) 2,x 1 d(M;d)
2
2
0
0
(
x0 1)
2
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
1
x 0
2
4
0
Dấu = xảy ra
(x 1) (x 1) 1
2
0
0
(
x0 1)
x0 2
Vậy khoảng cách lớn nhất từ M tới tiếp tuyến (d) là: d(M; d)max
2
= .
4
/ Bài toán 4: Khoảng cách lớn nhất từ một điểm đến một đƣờng thẳng đi qua một điểm cố định
3
2
Ví dụ 5: Cho hàm số: y=x -3x +mx+1 (C). Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu. Gọi
(
) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu. Tìm điểm cố định mà () luôn đi qua với m tìm
1
11
được.Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ điểm I(
;
)
đến đường thẳng () .
2
4
LG:
2
.
y'=3x -6x+m
2
y'=0
3x -6x+m= 0 (1)
.
Hàm số có CĐ, CT
(1) có 2 nghiệm phân biệt ' 93m 0 m 3 (*)
.
Với m t/m (*), (1) có 2 nghiệm: x ; x thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu là:
1
2
A(x ; y(x )); B(x ; y(x ))
1
1
2
2
x 1 2m m
2x 1
3 3
.
Lấy y chia cho y' được: y=y'.
3
2m
3
m
y(x )
2x 1
1
1
3
=>
2m
m
y(x )
2x 1
2
2
3
3
Do đó phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:
2m
m
2x 1 m(2x 1) (3 3y 6x) 0 ()
3
y=
3
.
Giả sử () đi qua M(x ; y ) cố định
0 0
1
2
y0 2
2x 1 0
x
0
0
m(2x 1) (3 3y 6x ) 0,m 3
0
0
0
3
3y 6x 0
0
0
2
1
2m
Vậy () đi qua điểm cố định M( ;2) có vtcp u (1;
2)
3
4
3
5
4
IM (1; ) IM
3
2m
2) 0 m 1
N/ x: d(I; ()
)
IM. Dấu = xảy ra IM IM.u
0 1 (
4
3
Hay d(I; () )max = IM= 5/4 khi m=1
*
*
Đ/s: Giá trị m cần tìm là: m=1.
N/x: 1- Với bài toán dạng 4, nếu không phát hiện điểm cố định M mà () luôn đi qua, ta có thể áp
dụng công thức tính khoảng cách theo toạ độ có:
2
m 11
2
m 11
3
4
3
4
d(I; () )=
f (m)
2
2
2m
2m
3
1
2
1
2
3
Từ đó đi khảo sát hàm f(m) với m<3, dựa vào bảng biến thiên , kết luận
f(m) f (1),m 3 hay d(I; () )max= f(1)= 5/4 khi m=1.
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
2
- PP tìm GTLN khoảng cách từ điểm I cố định đến đường thẳng () thay đổi biết () luôn
đi qua điểm cố định M:
+
+
d(I; ()
) IM
d(I; () )max= IM khi M là hình chiếu của I lên () hay IM.u
0
5
/ Bài toán 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ một điểm trên đồ thị hàm số
2
ax b
cx d
ax bx c
dx e
y
,
y
đến 2 tiệm cận.
2
x 1
Ví dụ 6: Cho hàm số y
(C). Tìm điểm M trên (C) có tổng khoảng cách đến 2 đường tiệm cận
x 3
là nhỏ nhất
LG:
2x0 1
Giả sử M( x0 ; )(C), x 3
x0 3
.
.
.
0
(C) có TCĐ: (d ): x-3=0
1
TCN: (d ): y-2=0
2
Tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là:
2
x0 1
7
7
d= x0 3
2 x 3
2. x 3.
2 7
0
0
x0 3
x0 3
x0 3
x 3 7 y 2 7
7
2
0
0
Dấu = xảy ra khi x0 3 x0 3
x0 3
7
x 3 7 y 2 7
0
0
*
Vậy có 2 điểm cần tìm là: M1(3 7;2 7); : M2(3 7;2 7) ;
*
Bài tập tự luyện
3
2
1
. Cho hàm số y x 3mx 3x 3m 2 Cm . Tìm m để Cm có cực đại cực tiểu đồng thời
khoảng cách giữa chúng là bé nhất.
x 2
2
2
. Cho hàm số
tiệm cận là nhỏ nhất.
. Cho hàm số : y
nhỏ nhất.
. Cho hàm số: y
C
: y
. Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai
x 1
2
x x 1
. Tìm các điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận là
x 1
3
C
2
x 1
(C). Tìm các điểm M trên (C) sao cho có tổng các khoảng cách đến 2 tiệm
4
x 1
cận bằng 4
. Cho hàm số y
2
x 4x 3
x 2
5
(C). CMR: tích các khoảng cách từ điểm M bất kì trên (C) đến 2
x 2
. Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn
tiệm cận là số không đổi.
2
C : y
x 1
6
. Cho hàm số
MN nhỏ nhất.
. (HVKTQS-2000): Cho hàm số:
2
x 4x 5
7
(C). Tìm điểm M trên (C) sao cho có khoảng cách
y
x 2
đến đường thẳng (d): 3x+y+6=0 là nhỏ nhất.
2
x 2x 1
8
. Cho hàm số
C
: y
.
x 1
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
a.Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.
b, Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất.
1
9
. (ĐH KhốiA 2005) Gọi (C ) là đồ thị của hàm số: y mx (*) (m là tham số)
m
x
1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m =
.
4
b.
Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C ) đến
m
1
tiệm cận xiên bằng
.
2
2
m
4 2
0. Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số y=x +mx +6- có 3 điểm cực trị A, B,C (trong
2
1
đó A thuộc Oy) sao cho tứ giác ABOC là hình bình hành.
DẠNG 6: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ TƢƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ
*
Kiến thức cơ bản:
1
. Cho 2 đồ thị (C ): y=f(x) và (C ): y=g(x). Số giao điểm của 2 đồ thị là số nghiệm của phương
1
2
trình: f(x)=g(x).
2
. Số nghiệm của phương trình: f(x)=m là số giao điểm của đồ thị hàm số y= f(x) và đường thẳng (d):
y=m.
. Số nghiệm của phương trình f(x)= 0 là số giao điểm của (C): y=f(x) và trục hoành.
3
3
2
Đối với hàm bậc 3 : f(x) = ax + bx +cx+d, một số dạng thường gặp :
f (x) khong co cuc tri
f (x) co hai cuc tri
-
Cắt trục hoành tại điểm duy nhất
y .y 0
CD CT
f (x) co hai cuc tri
-
-
Cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt
Cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
yCD. y 0
CT
f (x) co hai cuc tri
yCD. y 0
CT
Cắt trục hoành tại 3 điểm tạo thành cấp số cộng: x x x
1 2 3
a
b
-
-
d
Cắt trục hoành tại 3 điểm tạo thành cấp số nhân: x x x
1
2 3
a
Chú ý: Công thức Vi-et cho hàm bậc ba.
b
a
x x x
1
2
3
c
x x x x x x
1
2
2
3
1 3
a
d
x x x
1
2
3
a
Đối với hàm trùng phƣơng
Cắt trục hoành tại 4 điểm tạo cấp số cộng: t = 9t1
-
2
Chú ý: Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y =f(x) trên đoạn [a,b]:
-
Tìm giá trị cực đại, cực tiểu f(x) trên [a,b]
-
Tìm f(a), f(b)
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
-
Giá trị lớn nhất f(x) = max f (x) , giá trị nhỏ nhất f(x) = min f (x)
x[a,b]
x[a,b]
Bài toán về biện luận:
+
f(x) = m có nghiệm GTNN f(x)
m
GTLN f(x)
GTLN f(x)
m đúng với mọi x m GTNN f(x)
m có nghiệm m GTNN f(x)
m nghiệm đúng mọi x m GTLN f(x)
+
+
+
+
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
m có nghiệm m
Các dạng toán biện luận số nghiệm f(x) = m cần chú ý về cách vẽ đồ thị hàm chứa trị tuyệt đối
Giả sử cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C).
1
. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số y f (x) như sau:
+
+
+
Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên trục Ox
Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox, qua trục Ox
Bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox
(
Đồ thị hàm số y f (x) luôn nằm trên trục hoành )
2
. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số y f
x
như sau:
+
+
Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy (bỏ phần đ/t nằm bên trái Oy)
Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy, qua trục Oy
(
Đồ thị hàm số chẵn y f x
luôn nhận trục Oy làm trục đối xứng )
3
. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số y f (x) như sau:
+
+
Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox (bỏ phần nằm dưới trục Ox)
Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox, qua trục Ox
(
Đồ thị hàm số y f (x) luôn nhận trục Ox làm trục đối xứng
4
. Từ đồ thị hàm số y = f(x) = u(x).v(x) suy ra đồ thị hàm số y = u(x)v(x) như sau:
u(x).v(x) khi u(x) 0
Ta viết: y u(x)v(x)
u(x).v(x) khi u(x) 0
+
+
Giữ nguyên phần đồ thị (C) (ứng với x thỏa mãn u(x)
Lấy đối xứng qua trục Ox, phần đồ thị (C) (ứng với x thỏa mãn u(x) <0)
0)
y = f(x) có đồ thị (C)
y f
y f
x
có đồ thị (C’)
y f
y f
x
có đồ thị (C “)
x
0, xD . Do đó ta
x
có ,
f x f x
phải giữ nguyên phần phía
xD nên đây là hàm số
trên trục Ox và lấy đối xứng chẵn do đó có đồ thị đối
phần phía dưới trục Ox lên
xứng qua trục tung Oy.
trên.
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
1
/ Bài toán 1: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bằng đồ thị
Ví dụ 1: Cho hàm số .
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2
x 3x 3
b. Tìm m để phương trình:
m (1) có 4 nghiệm phân biệt.
x 1
LG:
a. Vẽ đồ thị (C)
2
x 3x 3
b. Từ đồ thị (C) ta có đồ thị (C'): y=
x 1
Số nghiệm của (1) là số giao điểm của (C') và đường thẳng (d): y=m. Dựa vào đồ thị ta có:
(
1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m >3
2
4
x x
x 1
Ví dụ 2: Cho hàm số
C
: y
.
a.Khảo sát hàm số.
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x
2
m 4 x m 0 (2)
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
LG:
2
2
4
x x
x 1
4 x x
x 1
(2)
m. Vậy số nghiệm của (2) là số giao điểm của đồ thị (C'): y=
và đường
thẳng (d): y=m.
Dựa vào đồ thị ta có:
+
+
Nếu m< 0: (2) có 4 nghiệm phân biệt
Nếu m=0: (2) có 3 nghiệm phân biệt
Nếu m>0 : (2) có 2 nghiệm phân biệt
2
/ Bài toán 2: Tìm số giao điểm của 2 đồ thị bằng số nghiệm phƣơng trình
x
Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng (d): y=-x+m cắt đồ thị (C): y
tại 2 điểm phân biệt.
x 1
LG:
.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):
x
2
x m f (x) x (m 2)x m 0, x 1 (1)
x 1
.
(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt
2
(m 2) 0
m 2
f (1) 1 0
*
Đ/s: Giá trị m cần tìm: m
-2.
3
*
/ Bài toán 3: Tìm điều kiện để phƣơng trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt
PP1: Đưa về pt: f(x)=g(m) => khảo sát hàm y=f(x)
3
2
Ví dụ 4: Cho hàm số: y= x -3x -9x+m (C ). Tìm m để (C ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
m
m
LG:
3 2 3 2
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox: x -3x -9x+m = 0 x -3x -9x=-m
3 2
.
.
Xét hàm số y=x -3x -9x có:
2
2
+
y'=3x -6x-9 =3( x -2x-3)
y'=0 x=-1 hoặc x=3
BBT:
+
+
X
y'
-
-1
0
5
3
0
+
+
+
-
+
Y
-27
-
Dựa vào bảng biến thiên ta có: (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt 27 m 5 5 m 27
PP2: Đƣa về pt: (x- x ).g(x)=0
*
0
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
3
2
Ví dụ 5(ĐH-A-2010): Tìm m để đồ thị hàm số y= x -2x + (1-m)x+m (C ) cắt trục hoành tại 3 điểm
m
2
2
2
3
phân biệt có hoành độ x ; x ; x thoả mãn: x + x + x <4
1
2
3
1
2
LG:
phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox: x -2x + (1-m)x+m =0 (1)
3
2
.
x 1
2
(x-1)(x -x-m)=0
2
x x m 0
2
pt: f(x)=x -x-m=0 có 2 nghiệm phân biệt x x khác1
1, 2
(
d) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
1
4
m 0
1 4m 0
f (1) m 0
m
(*)
.
Với m thoả mãn (*), (1) có 3 nghiệm: x x ,x =1.
1, 2 3
2 2 2
2
do đó x + x + x <4 (x x ) 2x x 3 1 2m 3 m 1 (**)
1
2
3
1
2
1 2
.
kết hợp (*) và (**) ta được giá trị m cần tìm là: -1/4
0.
4
/Bài toán 4: Tìm điều kiện để phƣơng trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
3
2
Ví dụ 6: : Cho hàm số: y= x -3x -9x+m (C ). Tìm m để (C ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành
m
m
độ lập thành cấp số cộng.
LG:
.
3 2
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox: x -3x -9x+m = 0(1)
=>) Giả sử (C ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng
=
>(1) có 3 nghiệm x ; x ; x lập thành cấp số cộng theo thứ tự đó
1
2
3
=
> x +x =2x => x +x +x =3x =3(Viet) => x =1
1 3 2 1 2 3 2 2
.
Thay x =1 vào (1) ta được: m-11=0 hay m=11
2
<=) Thử lại với m=11: (1) có 3 nghiệm lập thành CSC là: 1 12;1;1 12
*
Đ/s: Giá trị m cần tìm là: m=11.
*
Bài tập tự luyện:
2
x 1
x 1
1
. Cho hàm số y
có đồ thị là (C).
a, Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
b, Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x
2
m 2 x m 1 0.
3
2
2
3
. Cho hàm số y x kx 4
a. Khảo sát hàm số trên khi k = 3.
b. Tìm các giá trị của k để phương trình x kx 4 0 có nghiệm duy nhất.
. (ĐH KhốiD 2006): Cho hàm số y x 3x 2
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị
.
3
2
3
.
1
5
(
C) tại ba điểm phân biệt.
ĐS: b. m , m 24
.
4
2
x 3x 3
4
. (ĐH KhốiA 2004): Cho hàm số y
(1)
2 x 1
a. Khảo sát hàm số (1).
b. Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB=1.
1
5
2
ĐS: b. m
.
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
2
mx x m
5
. (ĐH KhốiA 2003): Cho hàm số y
(*) (m là tham số)
x 1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có
hoành độ dương.
1
ĐS: b. m 0
.
2
3
2
2
3
2
6
. (ĐH KhốiA 2002): Cho hàm số y = x + 3mx + 3(1 m )x + m m (1) (m là tham số)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
3
2
3
2
b. Tìm k để phương trình x + 3x + k 3k = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
3
2
2
7
8
9
. Tìm m để đồ thị hàm số y = x - 3mx + 2m(m 4)x + 9 m -m cắt trục Ox tại 3 điểm lập thành
cấp số cộng.
3
2
3
. Tìm m để đồ thị hàm số y = x - 3mx + 4m cắt trục đường thẳng y=x tại 3 điểm lập thành cấp
số cộng .
3
2
. (ĐHTCKT-2000): Tìm m để đồ thị hàm số y = 2 x - 3(2m+1)x + 6mx + 1 cắt trục Ox tại 3 điểm
phân biệt
1
3
1
0. (ĐHBK-2001): Tìm m để đồ thị hàm số y = x - x + m cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
3
DẠNG 7: CÁC BÀI TOÁN VÊ ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ
1
. Bài toán 1: Tìm điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua
Phƣơng pháp:
Từ hàm số y f
x,m ta đưa về dạng F x, y mG x, y . Khi đó tọa độ điểm cố định nếu có
F
x, y
0
là nghiệm của hệ phương trình
.
G
x, y
0
3
2
Ví dụ 1: Cho hàm số y x 3
m 1
x 3mx 2
Cm
. Chứng minh rằng
Cm
luôn đi qua hai điểm
cố định khi m thay đổi.
LG:
.
Giả sử M(x ; y ) là điểm cố định mà (C ) luôn đi qua với mọi m
0
0
m
3
2
y = x -3(m-1)x -3mx +2, mọi m
0
0
0
0
2
3
(3x +3x )m+y -x -3x -2=0, mọi m
0
0
0
0
0
x 0
y0 2
0
2
0
3x 3x 0
0
3
y - x 3x 2 0
x 1
0
0
0
0
y0 4
Vậy luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi là M(0; 2) và N(-1; -4)
Cm
*
Bài tập tự luyện:
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
2
2
x
6 m
x 4
Cm
. Chứng minh rằng đồ thị luôn đi qua một điểm cố
1
. Cho hàm số
Cm
: y
: y
mx 2
định khi m thay đổi.
2
3
4
2
. Cho hàm số
Cm
1 2m
x 3mx
m 1
. Tìm các điểm cố định của họ đồ thị trên.
3
2
. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y
m 3
x 3
m 3
x
6m 1
x m 1
Cm
luôn đi qua
ba điểm cố định.
2
. Bài toán 2: Tìm các cặp điểm đối xứng trên đồ thị
-
Điểm
I
x0 ; y0
là tâm đối xứng của đồ thị
C
: y f
x
Tồn tại hai điểm M(x;y) và M’(x’;y’)
x x' 2x0
x' 2x x
0
thuộc (C) thỏa:
f
f
x
f
x'
2y0
x
f 2x x
2y0
0
Vậy
I
x0 ; y0
là tâm đối xứng của (C)
f
x
2y f
2x x
.
0
0
Cách 2 : Chuyển sang hệ trục tọa độ mới với IXY, trong đó f(X) là hàm lẻ
Chú ý : f(-x) = f(x) thì f(x) là hàm chẵn
f (-x) = -f(x) thì f(x) là hàm lẻ
-
Tìm điểm đối xứng nhau qua đường thẳng (d) : y =ax+b
o Gọi M(x,y) là điểm thuộc C
o Viết phương trình đường thẳng qua M vuông góc (d) cắt (C ) tại M’(x’,y’)
o Trung điểm I của MM’ nằm trên (d)
-
Chứng minh đồ thị hàm số đối xứng qua đường thẳng y =ax+b
o Gọi M(x,y) là điểm bất kỳ trên (C )
o Tìm M’(x’,y’) đối xứng M qua (d)
o Chứng minh M’ thuộc (C )
3
2
Ví dụ 2 (ĐH Khối D2008): Cho hàm số y = x – 3x + 4 (1). Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi
qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B
đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Lời giải:
.
d : y 2 = k(x 1) y = kx k + 23.
2
3
2
.Phương trình hoành độ giao điểm: x 3x + 4 = kx k + 2 x 3x kx + k + 2 = 0.
2 2
(x 1)(x 2x k 2) = 0 x = 1 g(x) = x 2x k 2 = 0.
Vì ' > 0 và g(1) ≠ 0 (do k > 3) và x + x = 2x nên có đpcm!.
1
2
I
*
Bài tập tự luyện:
2
x 2x 2 m
có đồ thị
2
1
. Cho hàm số y
Tìm giá trị của m để
Cm
.
2
x 3
Cm có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
2
2
2
x 2m x m
x 1
2
3
. Cho hàm số
Cm
: y
.
Định m để
Cm
3
có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
2
. Cho hàm số y x 3x m
1
(m là tham số).
a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2. ĐS:a.
x0 f x0 , x 0
m>0.
f
0
…
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
3
x
11
3
2
4
. Cho hàm số y x 3x
C
có đồ thị . Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng nhau qua
3
trục tung.
1
. Cho hàm số y x ax bx c . Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là
I(0;1) và đi qua điểm M(1;1).
3
2
5
3
. Bài toán 3: Tìm điểm có toạ độ nguyên
x 2
Ví dụ 3: Tìm trên đồ thị hàm số y
(C) các điểm có toạ độ là các số nguyên.
x 1
LG:
x0 2
)(C), x 1 là điểm có tọa độ là các số nguyên
0
x0 1
.
Giả sử M( x0 ;
x0 2
x0 1
1
x 1 1
x 0 y 2
0 0
0
.
Vì y0
1
Z nên
x0 1
x0 1 1
x 2 y 0
0 0
Vậy có 2 điểm cần tìm là: M (0; 2) và M (-2;0)
1
2
DẠNG 8: CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐỐI XỨNG TRONG HAM SỐ
Kiến thức cơ sở
Cho hàm số y=f(x). có đồ thị (C)
1
.Nếu f(x) là hàm số chẵn : Đồ thị của có đối xứng nhau qua trục Oy - Có nghĩa là ,trục
Oy là trục đối xứng của nó .
2
3
. Nếu f(x) là hàm số lẻ : Đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
. Cho hai điểm và đường thẳng d : mx+ny+p=0 . Nếu A và B đối
A x1; y1 ;B x2; y2
xứng nhau qua đường thẳng d thì phải thỏa mãn hệ sau :
k .k 1
y2 y1
x2 x
1
AB
d
;
voi:kAB
Trungdiêm Id
4
. Cho điểm I( x0; y ) . Nếu chuyển hệ tọa độ Oxy dọc theo phương của véc tơ OI thì
0
x x X
0
công thức chuyển trục là :
y y y
0
Khi đó phương trình của đồ thị (C) trong hệ mới : Y=F(X;y ;x )
0
0
B. GHI NHỚ :
-
-
-
1
*
-
Đối với đồ thị hàm phân thức , thì giao hai tiệm cận là tâm đối xứng
Đối với hàm số bậc ba thì tọa độ điểm uốn là tọa độ tâm đối xứng
Đối với hàm số trùng phương thì trục Oy là trục đối xứng của đồ thị hàm số .
. Dạng 1. Chứng minh đồ thị có trục đối xứng
Cách 1.
Giả sử trục đối xứng có phương trình : x x0 . Gọi điểm
I x0;0
x x X
OI
0
-
Chuyển
Oxy
IXY
y Y
-
Viết phương trình đường cong (C) trong tọa độ mới : Y=F(X;x ;y ) (*)
0 0
-
-
Buộc cho (*) là một hàm số chẵn : ( Cho hệ số các ẩn bậc lẻ bằng 0 )
Giải hệ các ẩn số bậc lẻ bằng 0 ta suy ra kết quả cần tìm .
*
Cách 2. Nếu với x x0 là trục đối xứng thì : f( x x ) f x0 x
đúng với mọi x , thì ta
0
cũng thu được kết quả .
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
4
3
2
Ví dụ 1. Cho hàm số y x 4x 7x 6x 4 C . Chứng minh rằng đường thẳng x=1 là
trục đối xứng của đồ thị (C)
(
Hoặc : Chứng minh rằng đồ thị hàm số có trục đối xứng ; tìm phương trình của trục
đối xứng đó ? )
LG
-
-
-
Giả sử đường thẳng x= x0 là trục đối xứng của đồ thị (C). Gọi I( x0;0)
x x X
OI
0
Chuyển :
Oxy
IXY
y Y
Phương trình của (C) trong hệ tọa độ mới là :
4
3
2
x x0 6
Y
x x0
4
x x0
7
x x0 4
4
3
2
2 3
X
2
0
4
0
3
0
2
0
Y X
4x 4
X
6x 5x
4x 5x 7x 6
X
x 4x 7x 6x 4
0
0
0
0
0
0
-
Để hàm số là chẵn thì các hệ số của ẩn bậc lẻ và số hạng tự do bằng không :
4x 4 0
0
3 2
4x 5x 7x 6 0
x 1
0
0
0
0
4
3
2
x 4x 7x 6x 4 0
0
0
0
0
Chứng tỏ đồ thị hàm số có trục đối xứng , và phương trình của trục đối xứng là : x=1.
4
3
2
Ví dụ 2. Tìm tham số m để đồ thị hàm số : y x 4x mx
Cm
có trục đối xứng
song song với trục Oy.
LG
-
-
-
Giả sử đường thẳng x= x0 là trục đối xứng của đồ thị (C). Gọi I( x0;0)
x x X
OI
0
Chuyển :
Oxy
IXY
y Y
Phương trình của (C) trong hệ tọa độ mới là :
4
3
2
2
3
0
2
0
4
0
3
0
2
0
Y X
4x 4
X
6x 3x m
X
4x 12x 2mx
X x 4x mx
0
0
0
0
4
x0 1
0
x0 1
-
Để là hàm số chẵn thì :
3
2
4x 12 2mx 0 m 4
0
0
0
2
. Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng.
CÁCH GIẢI
Ta cũng có hai cách giải
Cách 1.
-
Giả sử đồ thị (C) có tâm đối xứng là
I
x x X
0
x0; y0
OI
-
Chuyển :
Oxy
IXY
y y Y
0
-
-
-
Viết phương trình (C) trong hệ tọa độ mới : Y=F(X;x ;y ) (*)
Buộc cho (*) là một hàm số lẻ : ( Cho hệ số các ẩn bậc chẵn )
Giải hệ ( với hệ số các ẩn bậc chẵn bằng 0 ) ta suy ra kết quả .
0 0
Cách 2.
Nếu đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng thì :
f (x x) f (x x) 2y với mọi x
0
0
0
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
2
x
Ví dụ 1. ( ĐH-QG-98). Cho (C) : y
x 1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Chứng minh (C) có tâm đối xứng , tìm tọa độ tâm đối xứng đó .
LG
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Giả sử (C) có tâm đối xứng là I
I x0; y0
1
-
Phương trình (C) viết lại thành dạng : y x 1
x 1
x x X
0
OI
-
Chuyển :
Oxy
IXY
y y Y
0
1
Y y
x0 X
1
0
x0 X
1
-
Phương trình (C) trong hệ mới là :
1
Y X
x0 1 y0
X x0 1
x 1 y 0 x 1
0
0
0
-
Để hàm số là lẻ :
I
1;2
x0 1 0
y0 2
Chứng tỏ đồ thị hàm số có tâm đối xứng I(1;2).
x
Ví dụ 2. (ĐH-NNI-99). Cho hàm số y
C
x 1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Chứng minh giao hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị (C)
LG
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
1
b. Hàm số viết lại : y 1
x 1
-
Giả sử (C) có tâm đối xứng là
I
x0; y0
x x X
OI
0
-
Chuyển :
Oxy
IXY
y y Y
0
1
Y y 1
0
0
x X
1
-
-
Phương trình (C) trong hệ mới là :
1
Y y 1
0
X x0 1
1 y 0 x 1
0
0
Để hàm số là lẻ :
I
1;1
x0 1 0
y0 1
Nhận xét : Giao hai tiệm cận là (-1;1) trùng với I . Chứng tỏ giao hai tiệm cận là tâm
đối xứng của (C).
3
. Tìm tham số m để (C ) : y=f(x;m) nhận điểm I( x0; y ) là tâm đối xứng .
m
0
Hƣớng giải quyết
1
-
. Nếu f(x;m) là hàm số phân thức hữu tỷ :
Tìm tọa độ giao hai tiệm cận . Giả sử giao hai tiệm cận là J(a;b)
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
a x0
m
b y0
-
Để I là tâm đối xứng thì buộc J trùng với I ta suy ra hệ :
. Nếu f(x;m) là hàm số bậc ba .
2
y''(x;m) 0 x a
J a;b
y b
-
Tìm tọa độ điểm uốn :
y f (x;m)
a x0
m
b y0
-
Tương tự như trên , đẻ I là tâm đối xứng , ta cho J trùng vố I ta suy ra hệ :
3
x
2
Ví dụ 3. Tìm m để đồ thị hàm số y 3mx 2
C ;m 0
nhận điểm I(1;0) là tâm
m
m
đối xứng .
LG
2
3
x
6x
6x
2
Ta có : y'
6mx y'' 6m. Cho y''=0 6m 0; x m xu
m
m
m
6
m
4
5
2
5
-
Tính yu y
xu ;m
3m.m 2 2m 2 U
m ;2m 2
m
2
m 1
m 1
-
-
Để I là tâm đối xứng thì : cho U trùng với I :
m 1
5
5
2m 2 0 m 1
Vậy với m=-1 và m=1 thì I(1;0) là tâm đối xứng của đồ thị .
Ví dụ 4. (ĐH-Luật -99) .
2
2
x
m 4 x 2m1
x 2
Cho hàm số y
Cm
Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2;1) làm tâm đối xứng .
GIẢI
1
-
Ta viết lại hàm số ; y 2x m
. Chứng tỏ với mọi m đồ thị luôn có tiệm cận xiên
x 2
với phương trình là : y=2x+m và tiệm cận đứng : x=2 .
-
Gọi J là giao hai tiệm cận , thì J(2;m+4)
2 2
-
Để I làm tâm đối xứng thì ta buộc J trùng với I , nghĩa là ta có hệ :
m 3
m 4 1
-
Vậy với m=-3 thì I là tâm đối xứng của đồ thị .
Ví dụ 5.( ĐH-CĐ-2000).
3
2
Cho hàm số y x 3x 3mx 3m 4
Cm
Tìm m để nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng.
Cm
LG
-
Tìm tọa độ điểm uốn :
2
Ta có : y' 3x 6x 3m; y'' 6x 6 y'' 0 6x6 0;x 1 xu
Tính yu y 133m3m 4 6m 2;U 1;6m 2
1
11
-
-
Để I là tâm đối xứng thì :
m 0
m 2 2
6
Vậy với m=0 , thì I là tâm đối xứng của đồ thị .
4
. Tìm các điểm đối xứng nhau trên đồ thị
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài toán : Cho đồ thị (C) : y=f(x) , tìm trên đồ thị những cặp điểm M,N đối xứng nhau
qua điểm A hoặc đường thẳng d: Ax+By+C=0 ( cho trước )
CÁCH GIẢI
-
-
Giả sử
M x0; y0 (C) y f x0 1
Tìm tọa độ điểm N theo x0 , y0 sao cho N là điểm đối xứng của M qua A ( hoặc qua d )
0
Nên ta có : yN f
Từ (1) và (2) ta tìm được tọa độ của điểm M,N .
Ví dụ 6. ( ĐH-GTVT-97)
xN 2
-
3
2
Cho hàm số y x mx 9x 4. Xác định m để trên đồ thị hàm số có một cặp điểm đối
xứng nhau qua gốc tọa độ O.
GIẢI
Giả sử
M
x0; y0
và N
-x ;y0
là cặp điểm đối xứng nhau qua O, nên ta có :
0
3 2
y x mx 9x 4 1
0 0 0 0
3 2
y x mx 9x 4 2
0 0 0 0
2
Lấy (1) cộng với (2)vế với vế ,ta có : mx 4 0
3
0
4
Để (3) có nghiệm khi và chỉ khi m<0 . Khi đó : x0
m
Thay vào (1) ta tìm dược y0 . Vậy đáp số : m< 0 .
2
x x 2
x 1
Ví dụ 7. ( ĐH GQTPHCM-97) . Cho hàm số y
C
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Tìm tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I(0;5/2)
LG
a. Học sinh tự vẽ đồ thị
b. Giả sử
M
x1; y1
;N
x2; y2
thuộc (C) và I là trung điểm của M và N. Ta có :
x x 2x 0
x x
1
2
I
2
1
N x ;5 y
1 1
y y 2y 5
y2 5 y
1
1
2
I
M và N đều thuộc (C) nên ta có hệ :
2
1
x x 2
1
y1
1
2
1
2
x1 1
x x 2 x x 2
1
1
1
;
Lấy (1) cộng với (2) ta được : 5
2
x x 2
x1 1
x1 1
1
1
5
y
2
1
x1 1
2
2
2
5
x 1
x1 1
x1 x 2
x1 1
x1 x 2
1
1
1
2
x 9 x 3
1
-
Với
x 3 y 2; M
3;2
, N
3;2
1
1
x 3 y 7; M
3;7
, N
3;2
2
2
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
2
x
Ví dụ 8. ( ĐH-Hàng Hải -99). Cho hàm số y
C
x 1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Tìm hai điểm A,B nằm trên (C) và đối xứng nhau qua đường thẳng d : y= x-1 .
LG
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Ta có hai cách giải .
*
Cách 1.
1
x 1
-
Viết lại phương trình (C) y x 1
. Gọi
A
x1; y1
,B
x2; y2
C
. Nên ta có
y2 y1
x2 x1
x2 x1
x2 x1
2
2
-
-
k
1
1
;
kd 1
AB
x1 1x2 1
x1 1x2 1
Nếu A,B đối xứng nhau qua d thì :
k .k 1 1
AB d
2
1
:1
1;
x1 1x2 1
1; x .x
x1 x
2
2 0 (*)
1
2
I d 2
x 1 x 1
1
2
Nếu I là trung điểm của AB thì :
x x 2x
1 2 I
;
I d y y x x 2
1 2 1 2
y y 2y
I
1
2
1
1
x x 2
x x 2
1
2
1
2
x 1 x 1
1
2
x x 2
1 2
0 4
4
x x 2 0
1
2
x 1x2 1
x x 6 (**)
1 2
1
x x 6
1
2
0
2
Từ (*) và (**) ta có hệ :
x ;x là 2 n pt : X 6X 4 0
1
2
x .x 4
1
2
1
Vậy : X 3 5, X 3 5 Y 4 5
1
2
1
2
5
Chú ý : Ta còn có cách giải khác
-
-
Gọi d' là đường thẳng vuông góc với d suy ra d': y=-x+m ( m là tham số )
Do A,B thuuộc d' đồng thời thuộc (C) , cho nên tọa độ A,B là nghiệm của hệ :
2
x
x m
(
có hai nghiệm khác 1)
x 1
y x m
2
g(x;m) 2x
m1
x m 0 (1)( có 2 nghiệm khác 1)
2
m1
8m 0
2
Điều kiện :
m 6m1 0 m 3 2 2 m 3 2 2(*)
g(1;m) 2 m1 m 1 0
Với điều kiện (*) thì (1) có hai nghiệm khác 1 , đó cũng chính là hoành độ của A và B.
Gọi I là trung điểm của AB tọa độ I :
-
x1 x2
m 1
4
m 1
4
3m 1
4
xI
xI
xI
2
x x 2m
m 1
4
1
2
yI
yI
m
yI
2
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
-
Để A và B đối xứng nhau qua d thì I thuộc d :
3m1 m1
y x 1
1; 2m 2; m 1. Với m=-1 , thỏa mãn (*)
4
I
I
4
1
1
1
1
y1
1
1
2
2 2
x1
x2
1
2
2
2
-
Khi m=-1 (1) trở thành : 2x 1 0
1
1
1
1
y2
1
1
2
2
2 2
1
2
2
x 2x 2
Ví dụ 9.( ĐH-ThủyLợi -99) . Cho hàm số y
C
x 1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Tìm m để đường thẳng d : y=-x+m cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho A,B đối xứng
nhau qua đường thẳng d': y= x+3 .
GIẢI
A. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm A,B có hoành độ là nghiệm của phương trình :
2
x 2x 2
2
x m
1
g(x;m) 2x
3 m
x 2 m 0
2
( có hai nghiệm khác 1)
x 1
2
g(1;m) 23 m 2 m 1 0
3 m
8
2 m
0
2
m 2m9 o; m 1 10 m 1 10(*)
x1 x2 3 m
xI
2
4
-
-
Gọi I là trung diểm của AB thì :
3
m 3m 3
y x m m
I
I
4
4
Để A,B đối xứng nhau qua d thì I phải thuộc d :
3
m3 3 m
y x 3
3; 2m 18; m 9
I
I
4
4
-
Với m=9 thì (2) trở thành :
6
14
2
6 14
12 14
9
x1
y
1
2
2
2
2x 12x 11 0
6
14
2
6 14
12 14
x2
y
9
2
2
2
1
3
3
2
3
Ví dụ 10. ( ĐH-Huế -2001). Cho hàm số y x mx m
Cm
2
2
a. Tìm tham số m để đồ thị Cm có CĐ, CT đồng thời các điểm CĐ,CT đối xứng nhau
qua đường thẳng d : y=x
b. Tìm m để Cm cắt trục OX tại ba điểm A,B,C sao cho : AB=BC.
GIẢI
x 0
2
a. Ta có : y' 3x 3mx 3x
x m
0
x m
-
-
Để tồn tại cực đại , cực tiểu : m 0 (*)
1
3
Gọi A(0;
m
) và B(m; 0) là hai điểm cực trị .
28
2
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
1
3
0
m
yA y
B
2
1
2
-
-
Tính : k
m ;k 1
.
AB
d
xA xB
m 0
2
0 m
m
xA xB
xI
xI
2
1
2
2
yA yB
2
Gọi I là trung điểm của AB :
3
0 m
yI
1
3
2
y
m
I
2
4
2
1
2
m 2
k .k 1 m .1 1
I d
AB
d
-
Để A,B đối xứng nhau qua d thì :
2
; m 2
1
m
3
m
yI x
I
4
2
Thỏa mãn điều kiện (*).
3
1
3
2
3
b. Nếu Cm cắt Ox tại ba điểm phân biệt A,B,C thì : x mx m 0
1 , có ba
2
2
nghiệm.
Khi A,B,C lập thành cấp số cộng ( AB=BC) ,thì gọi hoành độ của A,B,C theo thứ tự là
x , x , x . Áp dụng vi ét cho phương trình (1).
:
1
2
3
b
3
x x x m
3
2
1
1
1
2
3
x1
x3 x2
m
a
2
x m
x m
2
2
2
2
c
x .x x .x x .x 0
x2
x1 x3
x .x 0
1
1
1
2
2
3
3
1
1
3
2
2
2
2
a
x .x 2x 2 m x .x m
1
3
1
3
1
4
1
2
3
d
1
3
x2
x1.x3
m
x .x .x m
m 0
1
2
3
2
1
1
2
3
a
2
m m m
x x 2x
2
2
2
1
3
2
x x x x
2 1 3 2
Nhưng khi m=0 ,thì đồ thị hàm số chỉ cắt trục hoành tại duy nhất một điểm .Cho nên ,
không tồn tại giá trị m nào để hàm số cắt Ox tại ba điểm lập thành cấp số cộng .
2
x
m 2 x m 1
x 1
Ví dụ 11 .((HVKTQS-2001). Cho hàm số y
Cm
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) khi m=2
b. Tìm m để trên Cm có hai điểm A,B sao cho : 5x y 3 0;5x y 3 0. Tìm m để
A
A
B
B
A,B đối xứng nhau qua đường thẳng x+5y+9=0.
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Từ giả thiết ta thấy tọa độ A,B thỏa mãn phương trình : 5x-y+9=0 . Có nghĩa là A,B
nằm trên đường thẳng d' : y=5x+9 .Nhưng A,B lại nằm trên Cm , cho nên A,B là giao
2
x
m 2
x 1
y 5x 3
x m 1
2
g(x;m) 4x
m 10
x m 2 0
1
5x 3
của d' với Cm
.
y 5x 3
2
m 4m 68 0
mR
.
g(1;m) 4 m10 m 2 2 0
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
x1 x2 m 10
xI
2
8
-
-
Gọi I là trung điểm của AB :
m 10
5m 26
y 5x 3 5
3
I
I
8
8
Nếu A,B đối xứng nhau qua d : x+5y+9=0 , thì I phải thuộc d . ( Thỏa mãn tính chất d'
vuông góc với d rồi ).
m10 5
5m26
34
13
9 0; m
.
8
8
2
x mx 2m3
Ví dụ 12.( CĐSPHN-2001) Cho hàm số y
Cm
x 2
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m=3.
b. Chứng minh rằng với một điểm M tùy ý thuộc (C), tiếp tuyến tại M cắt (C) tại hai
điểm A,B tạo với I ( là giao hai tiệm cận ) một tam giác có diện tích không đổi ,không
phụ thuộc vào vị trí của M.
c. Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại ,cực tiểu với mọi m . Tìm m để hai điểm
cực đại , cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d : x+2y+8=0 .
GIẢI
2
x 3x 3
x 2
1
a. Khi m=3 . (C) : y
x 1
. ( Học sinh tự vẽ đồ thị (C) )
x 2
1
1
b. Ta có : y' 1
. Gọi
M
x0; y0
(C) y x 1
(*)
2
0
0
x0 2
x 2
1
1
Tiếp tuyến với (C) tại M là : y 1
x x0
x 1
2
0
x0 2
x0 2
1
1
x0
-
Nếu x 2 tại điểm A , thì y 1
2 x0
x 1
A
2
0
x0 2
x0 2
x0 2
x0
A 2;
x0 2
-
Tiếp tuyến cắt tiện cận xiện y=x+1 tại điểm B.
1
1
1
xB x0
x 1
x 1; x 2x 2 y x 1 2x 3
2
0
B
B
0
B
B
0
x0 2
x0 2
B
2x 2;2x 3
0
0
-
-
Nếu I là giao hai tiệm cận , thì I có tọa độ I(-2;-1).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên tiệm cận đứng : x=-2 suy ra H(-2;2x 3
)
0
1
1
1
x0
-
Diện tích tam giác AIB S AI.BH y y . x x
1 2x 2 2
A
I
B
H
0
2
2
2
2 x 2
0
1
2
S
.2 x 2 2
dvdt
0
x0 2
Chứng tỏ S là một hằng số , không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
2
2
2x mx 2
x mx 2m 3
x 1
x 4x 3
c.Ta có : y'
0
2
2
x 3
x 2
x 2
Chứng tỏ y' không phụ thuộc vào m , hay với mọi m hàm số luôn có hai điểm cực trị .
vansanh.math@gmail.com 30
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
-
-
Gọi hai điểm cực trị là :
M
1;m2
;N 3;m6
m6
m 2
1
Tính : k
2;k
.
MN
d
31
2
13
xJ
yJ
2
2
Gọi J là trung điểm của MN ,
m 2 m 6
m 4
2
-
Để M,N đối xứng nhau qua d thì :
1
2
2 2 m 4 8 0
k .k 1 2. 1
MN
d
m 1
J d
Vậy m=1 thì hai điểm cực đại , cực tiểu đối xứng nhau qua d .
DẠNG 9: CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH DIỆN TÍCHTHỂ TÍCH
Ứng dụng tích phân
a. Diện tích
Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C ), (C ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ), (C ) và
1
2
1
2
hai đường thẳng x=a, x=b được tính bởi công thức:
y
b
f(x
)
S
f x g x dx
a
g(x)
Chú ý:
O
Nếu diện tích thiếu các đường thẳng x=a, x=b
ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b.
a
b
x
y
y
d
b. Thể tích
f(x
)
Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi
(x)
{
(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox
b
O a
b
x
c
2
x
được tính bởi công thức: V
f
x
dx
a
O
Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi
{
(C): x=(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy
d
2
được tính bởi công thức: V
y
dy
c
Thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox
b
2
2
(
f(x)g(x), x[a;b]) được tính bởi công thức:V
f
x
g
x
dx
.
a
2
(
2m 1)x m
x 1
Ví dụ (ĐH-D-2002): Cho hàm số: y
(C )
m
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m=-1
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và 2 trục toạ độ.
LG:
3x 1
x 1
.
Khi m=-1 ta có: y
.
Diện tích cần tính là:
0
0
0
3x 1
1
1
0
4
S=
dx 3 dx 4
dx 3. 4ln x 1
1 4ln (Đvdt)
1
1/ 3
x
1
1
x
1
3
3
1
3
3
3
*
Bài tập tự luyện:
4
2
(
ĐHHH-2000): Cho hàm số y x 4x 4 (1)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Tính diện tích hình phẳng của miền D giới hạn bởi đường cong (C) và đường thẳng:
y=4.
c. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi D khi nó quay quanh trục Ox.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
2
x x 1
Bài 1. Cho hàm số y
có đồ thị là (C).
x 2
1
. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) vuông
ĐS: y x 2 2 5
và y x 2 2 5
góc với tiệm cận xiên
2
. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của (C) đều không đi qua điểm I(-2; -3)
2
x 5x 4
Bài 2. Cho hàm số y
có đồ thị là (C).
x 2
. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) song
song với đường thẳng y = 3x + 2008.
1
ĐS: y 3x 3
và y 3x 11
2
. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với tiệm cận xiên.
3
2
Bài 3. [HVBCVT. 2000] Cho hàm số y x 3x 2 (*)
1
2
. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô (*)
. Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) mà qua đó kẻ
được một tiếp tuyến với đồ thị hàm số (*)
ĐS: A(1; 0)
2
2
x (a 1)x 3
Bài 4. [ĐHGTVT.00] Cho hàm số y
có đồ thị là (Ca).
x a
. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô khi a = 2
1
2
. Xác định a để đường tiệm cận xiên của đồ thị (C ) tiếp xúc với
a
2
parabol y = x + 5.
ĐS: a = -3
2
x x 2
Bài 5. Cho hàm số y
có đồ thị là (C).
x 2
. Tìm phương trình đường cong đối xứng với đường cong
C) qua đường thẳng y = 2.
2
1
x 3x 6
ĐS: y
(
x 2
2
. Tìm phương trình đường cong đối xứng với đường cong (C) qua điểm I(1; -2)
3
Bài 6. Cho hàm số y x 3xcó đồ thị là (C)
. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
2
. Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến
đồ thị (C).
3
Bài 7. [ĐHVinh.00] Cho hàm số y (m 1)x (2m 1)x m 1 có đồ thị (Cm).
1
. CMR: với mọi m đồ thị (C ) luôn có 3 điểm
m
1 5 5 5
ĐS: A (-1;1), A (
,
)
0
1,2
cố định thẳng hàng
2
2
2
. Với giá trị nào của m thì trên (C ) có tiếp tuyến
m
vuông góc với đường thẳng đi qua 3 điểm cố
định
Bài 8. Cho hàm số y x mx (m1) có đồ thị (Cm).
. Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm)
. Gọi A là điểm cố định với hoành độ dương của (Cm).
ĐS: m < -1 hoặc m > 0
ĐS: A1,2( 1;0)
4
2
1
2
Hãy tìm các giá trị của m để tiếp tuyến với đồ thị tại A
song song với đường thẳng y = 2x.
Bài 9. Cho hàm số y x 3mx 3(m 1)x m có đồ thị (Cm).
ĐS: m =1
3
2
2
1
2
3
. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực tiểu tại x=2
. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến
đi qua A(0; 6)
ĐS: m=1
ĐS: y = 9x + 6
3
2
Bài 10. Cho hàm số y x 3x mx 1 có đồ thị (Cm).
1
2
. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3
. Chứng minh với mọi m đồ thị (C ) luôn cắt đồ thị hàm
m
3
2
Quỹ tích:
y 4x 4x 18x 19
số y = x +2x +7 tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm quỹ
3
2
tích trung điểm I của đoạn AB.
3
. Xác định m để (C ) cắt đường thẳng y = 1 tại ba
m
9
65
8
điểm phân biệt C(0; 1) D và E sao cho các tiếp tuyến
tại D và E vuông góc với nhau.
ĐS: m
2
x x m
Bài 11. Cho hàm số y
có đồ thị là (C ) (m là tham số khác 0)
m
x 1
1
2
. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
. Tìm m để (C ) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại
m
A, B vuông góc với nhau
3
. Tìm m để tam giác tạo bởi một tiếp tuyến bất kỳ của (C ) và hai đường tiệm cận
m
có diện tích nhỏ hơn 2 (đvdt)
2
x x 2
x 2
. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
Bài 12. Cho hàm số y
có đồ thị là (C)
1
2
3
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d:5x - 9y –4 = 0
. Tìm những điểm M trên Oy để từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến đến hai nhánh của (C)
3
2
Bài 13. Cho hàm số y x 3x 1 có đồ thị là (C)
1
. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
3
2
1 a
2
. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: x 1 3
x 1
x 3
x 1
Bài 14. Khảo sát hàm số y =
có đồ thị là (C).
33
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
a) Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x + m luôn luôn cắt (C) tại hai điểm phân
biệt M và N.
b) Xác định m để độ dài đoạn MN nhỏ nhất.
c) Tiếp tuyến tại một điểm I bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận của đồ thị (C)
tại hai điểm P và (Q). Chứng minh I là trung điểm của PQ.
2
x 4x 5
Bài 15. Cho hàm số : y
(C)
x 2
a) Khảo sát hàm số.
b) Tìm các điểm trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng
: y + 3x + 6 = 0 là nhỏ nhất.
2
x
Bài 16. Cho hàm số y
x 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Viết phương trình parabol đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu và tiếp xúc với đường
1
thẳng y =
2
c) Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị để khoảng cách giữa chúng
là nhỏ nhất.
2
x x 2
x 3
. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Bài 17. Cho hàm số y
có đồ thị là (C).
1
2
2
x x 2
. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
m
x 3
2
x x 2
3
4
3a
x 3
2
x x 2
k
x 3
2
2
x x 2
x 3
5
. Biện luận theo t số nghiệm của phương trình:
t
2
x 2x 9
y
x 2
Bài 18. Cho hàm số
có đồ thị là (C).
1
. Xác định k để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = k tại hai điểm phân biệt với
hoành độ dương.
2
. Xác định k để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = kx + 10 – 5k tại hai điểm phân
biệt nhận I(5; 10) làm trung điểm.
3
2
Bài 19 [A-2013]. Cho hàm số y = -x +3x +3mx-1.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=0.
b. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;)
Bài 20 [B-2013]. Cho hàm số y=2x -3(m+1)x +6mx
a. Khảo sát khi m=-1
3
2
b. Tìm m để hàm số có 2 cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với y =x+2.
3
2
Bài 21[D-2013]. Cho hàm số y=2x -3mx +(m-1)x+1
a. Khảo sát khi m=1
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
b. Tìm m để đường thẳng y=-x+1 cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt.
x 2
x 1
Bài 22 [A-2014]. Cho hàm số y
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b. Tìm tọa độ M thuộc (c ) sao cho khoảng cách từ M đến đường y=-x bằng
Bài 23 [B-2014]. Cho hàm số y=x -3mx +1
2
3
a. Khảo sát khi m=1
b. Cho A(2 ;3). Tìm m để hàm số có 2 cực trị tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A.
3
Bài 24 [D-2014]. Cho hàm số y=x -3x-2
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Tìm M thuộc (C ) sao cho tiếp tuyến tại M có hệ số góc bằng 9.
--------------- hết -----------------------
© 2024 - nslide
Website chạy thử nghiệm. Thư viện tài liệu miễn phí mục đích hỗ trợ học tập nghiên cứu , được thu thập từ các nguồn trên mạng internet ... nếu tài liệu nào vi phạm bản quyền, vi phạm pháp luật sẽ được gỡ bỏ theo yêu cầu, xin cảm ơn độc giả