Chương II. §1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

 

1.1Định nghĩa: Cho điểm và mặt phẳng Gọi là hình chiếu của lân mặt phẳng Khi đó khoảng cách giữa hai điểm và được gọi là khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Kí hiệu:

 

1.2 Cách tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

* Cách 1:

Bước 1: Tìm mặt phẳng qua vuông góc

Bước 2: Tìm

Bước 3: Trong mặt phẳng , kẻ

Vậy

* Cách 2: Nếu biết khoảng cách từ đến mặt phẳng và

i/

 

ii/ Biết và cắt tại

thì

Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng và vuông góc với nhau. Gọi là giao tuyến của chúng. Từ lấy hai điểm sao cho Lấy điểm trên và trên sao cho và cùng vuông góc với mà Tìm khoảng cách từ đến

Giải.

Do

( là trung điểm )(1)

Mặt khác ta có

( cân tại )(2)

Từ (1)(2) suy ra

Vậy

Xét vuông cân tại

Ta có:

Nên

 

Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáy là hình thoi , cạnh bên vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy là Tính

a)      Đường cao của hình chóp.

b)     Khoảng cách từ đến mặt phẳng

Giải.

 

a.Vì là hình thoi và , nên là tam giác đều.

Gọi là trung điểm của thì

Mặt khác là tam giác vuông tại nên là góc giữa và

Theo giả thiết

Ta có mà nên

Vì nên là đường cao của hình chóp

Ta có

Vậy

b. Ta có từ đó

vậy nếu kẻ đường cao của thì

Xét vuông tại .

Ta có:

 

Bài tập.

1. Cho tam giác điều cạnh điểm thuộc cạnh với Vẽ đoạn vuông góc và

1. Hãy nêu cách dựng đoạn vuông góc vẽ từ đến
2. Tính khoảng cách từ và từ đến mặt phẳng

Giải.

a.Cách dựng đoạn vuông góc vẽ từ đến

Gọi là trung điểm

Ta có: đều, có là đường trung tuyến suy ra

Qua kẻ đường thẳng song song với và cắt tại

Khi đó(1)

Mặt khác: (vì ) (2)

Từ (1)(2) suy ra:

Mà

Qua dựng đường thẳng vuông góc với tại .

Suy ra: hay là đoạn vuông góc  từ đến

b.Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

Ta có:

Mặt khác: vuông tại , có là đường cao

Suy ra

Vậy

* Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

Ta có:

Suy ra

 

 

 

2. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , và

1. Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng
2. Tính khoảng cách từ tâm hình vuông đến mặt phẳng
3. Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến mặt phẳng

Giải.

a.Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

Ta có:

Mặt khác:

Trong mặt phẳng , kẻ tại

Suy ra hay

vuông tại có là đường cao nên ta có:

Vậy

b.Tính khoảng cách từ tâm hình vuông đến mặt phẳng

ta có:

 

Vậy

c.Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến mặt phẳng

Gọi là trọng tâm

Ta có:

Mà

Vậy

3. Cho lăng trụ đứng có và Gọi là trung điểm cạnh

1. Chứng minh
2. Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

Giải.

1. Chứng minh

Áp dụng định lý cosin trong ta có:

Ta có:

Mà hay

Suy ra vuông tại

Vậy

b.Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

Gọi là hình chiếu của lên

Khi đó:

Với

Suy ra:

Tính

Ta có:

(1)

Mặt khác: (2)

Từ (1)(2) suy ra

Mà

Do đó: Trong mặt phẳng , từ kẻ đường thẳng vuông góc với tại .

Khi đó:

vuông tại có là đường cao nên ta có:

Với

Vậy