HÀM SỐ BẬC HAI
Dẫn dắt vấn đề
Cổng Arch tại thành phố St.Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol (hình vẽ). Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao m so với mặt đất (điểm M), người ta thả một sợi dây chạm đất (dây căng thẳng theo phương vuông góc với mặt đất). Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng một đoạn m. Giả sử các số liệu trên là chính xác. Hãy tính độ cao của cổng Arch (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng).
Hàm số bậc hai
Hàm số bậc hai cho bởi công thức . Tập xác định của hàm số .
Đồ thị hàm số bậc hai:
1. Nhận xét: Đồ thị hàm số bậc hai là một Parabol có:
- Đỉnh .
- Trục đối xứng: .
- Bề lõm quay lên trên nếu a > 0, bề lõm quay xuống dưới nếu a < 0.
2. Cách vẽ đường Parabol:
1. Xác định tọa độ đỉnh
2. Vẽ trục đối xứng .
3. Lập bảng giá trị: tọa độ đỉnh của (P), tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung (điểm (0;c)), tọa độ một số điểm khác thuộc đồ thị.
4. Vẽ Parabol.
Sự biến thiên của hàm số bậc hai:
Bảng biến thiên
Với
x
y
Hàm số với nghịch biến trên khoảng , đồng biến trên khoảng , có giá trị nhỏ nhất là đạt tại .
Với
x
y
Hàm số với , đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng , có giá trị lớn nhất là đạt tại .
Ví dụ: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
Tập xác định của hàm số là .
Đồ thị hàm số là một parabol có:
Đỉnh . Trục đối xứng .
Bảng biến thiên
x
2
y
Một số điểm đặc biệt
x
0
1
2
2
3
y
3
0
- 1
0
3
Giải bài toán
Cổng Arch tại thành phố St.Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol (hình vẽ). Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao m so với mặt đất (điểm M), người ta thả một sợi dây chạm đất (dây căng thẳng theo phương vuông góc với mặt đất). Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng một đoạn m. Giả sử các số liệu trên là chính xác. Hãy tính độ cao của cổng Arch (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng).
Lời giải
Gắn hệ toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của AB, tia là chiều dương của trục hoành (hình vẽ).
Parabol có phương trình , đi qua các điểm: và nên ta có hệ
Suy ra chiều cao của cổng là m.
Bài tập
Bài 1. Xác định parabol (P): biết rằng (P):
Đi qua hai điểm M(1;2) và N(-1,3).
Đi qua điểm A(2;1) và có trục đối xứng .
Đi qua điểm B(-1;2), đỉnh có tung độ bằng .
Bài 2. Xác định hàm số bậc hai (P):biết rằng (P):
Có trục đối xứng là đường thẳng và cắt trục tung tại điểm A(0,3).
Có đỉnh là I(-1;-2).
Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm M(-1;2).
Bài 3. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a. b. c.
Bài 4. Cho (P):
Vẽ (P).
Tìm tất cả các giá trị x sao cho .
Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a. b. .
c. với d. với .
Bài 6. Cho hàm số . Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số luôn đi qua 2 điểm cố định.
Bài 7. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số:
a.
nguon VI OLET
